第11-13章修改稿

1、本資料來源于七彩教育網(wǎng)第十一章 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)11.1 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的概念一、知識導(dǎo)學(xué)1. 復(fù)數(shù)：形如的數(shù)（），復(fù)數(shù)通常有小寫字母表示，即,其中叫做復(fù)數(shù)的實部、叫做復(fù)數(shù)的虛部，稱做虛數(shù)單位.2. 分類：復(fù)數(shù)()中，當(dāng)時，就是實數(shù)；除了實數(shù)以外的數(shù)，即當(dāng)b時，叫做虛數(shù)；當(dāng),b時，叫做純虛數(shù).3. 復(fù)數(shù)集：全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合.4. 復(fù)數(shù)相等：如果兩個復(fù)數(shù)與的實部與虛部分別相等，記作：=.5. 復(fù)平面、實軸、虛軸：建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面.在復(fù)平面內(nèi)，軸叫做實軸， 軸叫做虛軸.6. 復(fù)數(shù)的模：設(shè)=,則向量的長度叫做復(fù)數(shù)的模（或絕對值），記作.(1)；(2)=；(3)；7共扼復(fù)數(shù)：如果兩

2、個復(fù)數(shù)的實部相等，而虛部互為相反數(shù)，則這兩個復(fù)數(shù)互為共扼復(fù)數(shù).二、疑難知識導(dǎo)析1兩個實數(shù)可以比較大小，而不全是實數(shù)的兩個復(fù)數(shù)不能比較大小2則，而，則不一定成立，如時；3，而則不一定成立；4若不一定能推出；5若，則=，但若則上式不一定成立.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1兩個共扼復(fù)數(shù)的差是（ ）.實數(shù) .純虛數(shù) .零 .零或純虛數(shù) 錯解:當(dāng)?shù)玫綍r就錯誤的選B，忽略了b可以為零的條件.正解：設(shè)互為共扼的兩復(fù)數(shù)分別為及則 或當(dāng)時，為純虛數(shù)當(dāng)時，因此應(yīng)選D. 注：要認(rèn)真審題，看清題設(shè)條件，結(jié)論. 學(xué)會全面辯證的思考問題，準(zhǔn)確記 憶有關(guān)概念性質(zhì). 例2判斷下列命題是否正確 (1)若, 則 (2)若且，則 (3)若，

3、則 錯解：(1)認(rèn)為任何一個實數(shù)的平方大于零可推廣到復(fù)數(shù)中，從而(1)是正確的 (2)認(rèn)為兩實數(shù)之差大于零等價于前一個大于后一個實數(shù)，也可推到復(fù)數(shù)中來.認(rèn)為兩復(fù)數(shù)差為實數(shù)則這兩個復(fù)數(shù)也為實數(shù).而認(rèn)為命題(2)是正確的. (3)把不等式性質(zhì)錯誤的推廣到復(fù)數(shù)中，忽略不等式是在實數(shù)中成立的前提條件. 正解：(1)錯，反例設(shè)則 (2)錯，反例設(shè)，滿足，但不能比較大小. (3)錯，故，都是虛數(shù)，不能比較大小.例3實數(shù)分別取什么值時，復(fù)數(shù)是(1)實數(shù)；(2)虛數(shù);(3)純虛數(shù). 解：實部，虛部.（1）當(dāng) 時，是實數(shù)；（2）當(dāng) ，且 時，是虛數(shù)；（3） 當(dāng) 或 時是純虛數(shù) 例4 設(shè)，當(dāng)取何值時， (1) ;

4、 (2).分析：復(fù)數(shù)相等的充要條件，提供了將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題的依據(jù)，這是解復(fù)數(shù)問題常用的思想方法，這個題就可利用復(fù)數(shù)相等的充要條件來列出關(guān)于實數(shù) 的方程，求出 的值解：(1)由可得：解之得，即：當(dāng) 時 (2)當(dāng) 可得： 或 ，即 時.例5是兩個不為零的復(fù)數(shù)，它們在復(fù)平面上分別對應(yīng)點P和Q，且，證明OPQ為直角三角形（O是坐標(biāo)原點），并求兩銳角的度數(shù)分析 本題起步的關(guān)鍵在于對條件的處理等式左邊是關(guān)于的二次齊次式，可以看作二次方程求解，也可配方解：由（，不為零），得即向量與向量的夾角為，在圖中，又，設(shè)，在OPQ中，由余弦定理OPQ為直角三角形，四、典型習(xí)題導(dǎo)練1. 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足關(guān)系，那么z等

5、于（ ）A B C D2.復(fù)數(shù)系方程有實數(shù)根，則這個實數(shù)是.3.實數(shù)m取何值時，復(fù)數(shù)是(1)純虛數(shù)；(2)在復(fù)平面上的對應(yīng)點位于第二象限4.已知且求復(fù)數(shù)5.設(shè)復(fù)數(shù)滿足且在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第二象限、四象限的角平分線上，求的值 11.2 復(fù)數(shù)的運算 一、知識導(dǎo)學(xué)1.復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義(1)加法的幾何意義復(fù)數(shù) 是以、為兩鄰邊的平行四邊形對角線所對應(yīng)的復(fù)數(shù).(2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義復(fù)數(shù)是連接向量、的終點，并指向被減數(shù)的向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù).2. 重要結(jié)論（1） 對復(fù)數(shù)z 、和自然數(shù)m、n，有，(2) ，； ，.(3) ，.(4)設(shè)，二、疑難知識導(dǎo)析1.對于，是復(fù)數(shù)運算與實數(shù)運算相互轉(zhuǎn)化的主要依據(jù)，也

6、是把復(fù)數(shù)看作整體進行運算的主要依據(jù)，在解題中加以認(rèn)識并逐漸體會.2.在進行復(fù)數(shù)的運算時，不能把實數(shù)的某些法則和性質(zhì)照搬到復(fù)數(shù)集中來，如下面的結(jié)論.當(dāng)時，不總是成立的.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1 滿足條件的點的軌跡是（ ）A.橢圓 B.直線 C.線段 D.圓錯解：選A或B.錯因：如果把看作動點Z到定點（0，2）的距離，由上式表示到兩個定點（0，2）與（-1，0）的距離之和為常數(shù) 動點的軌跡符合橢圓的定義，但是，有一定的前提的就是兩點間的距離小于定常數(shù).正解：點（0，2）與（-1，0）間的距離為， 動點在兩定點（0，-2）與（-1，0）之間，選C評注：加強對概念的理

7、解加深，認(rèn)真審題.例2 求值：錯解：原式= 錯因：上面的解答錯在沒有真正理解的含義，只是用了三個特殊整數(shù)代替了所有整數(shù)，犯了用特殊代替一般的錯誤.另外還可以看出對虛數(shù)單位的整數(shù)冪的運算不熟悉，沒有掌握虛數(shù)單位整數(shù)冪的運算結(jié)果的周期性.正解：原式=評注：虛數(shù)單位整數(shù)冪的值具有以4為周期的特點，根據(jù)必須按被4整除余數(shù)為0、1、2、3四種情況進行分類討論. 例3已知，求的值. 分析：結(jié)論是等比數(shù)列的求和問題，所以應(yīng)聯(lián)想到求和公式，若直接將條件代入求和公式，則顯得較為麻煩，不妨先將條件化簡. 原式=評注：由于數(shù)列中的數(shù)可以是復(fù)數(shù)，所以數(shù)列的諸性質(zhì)在復(fù)數(shù)集中仍成立.例4 （06年上海春卷）已知復(fù)數(shù)滿足為

8、虛數(shù)單位），求一個以為根的實系數(shù)一元二次方程.解法一： ， . 若實系數(shù)一元二次方程有虛根，則必有共軛虛根. ， 所求的一個一元二次方程可以是. 解法二：設(shè) ， 得 ， 以下解法同解法一. 例5解析 四、典型習(xí)題導(dǎo)練1（06年四川卷）非空集合關(guān)于運算滿足：（1）對任意，都有； （2）存在，使得對一切，都有，則稱關(guān)于運算為“融洽集”；現(xiàn)給出下列集合和運算： 其中關(guān)于運算為“融洽集”_;（寫出所有“融洽集”的序號）2. 3計算4.計算 5解下列方程：(1)；(2). 第十二章 統(tǒng)計121抽樣方法一、 知識導(dǎo)學(xué)1抽簽法：（1）將總體中的所有個體編號（號碼可以從1到N）；（2）將1到N這N個號碼寫在形

9、狀、大小相同的號簽上（號簽可以用小球、卡片、紙條等制作）；（3）將號簽放在同一箱中，并攪拌均勻；（4）從箱中每次抽出1個號簽，并記錄其編號，連續(xù)抽取k次；（5）從總體中將與抽到的簽的編號相一致的個體取出.2隨機數(shù)表法：（1）對總體中的個體進行編號（每個號碼位數(shù)一致）；（2）在隨機數(shù)表中任選一個數(shù)作為開始；（3）從選定的數(shù)開始按一定的方向讀下去，得到的數(shù)碼若不在編號中，則跳過；若在編號中，則取出；如果得到的號碼前面已經(jīng)取出，也跳過；如此繼續(xù)下去，直到取滿為止；（4） 根據(jù)選定的號碼抽取樣本.3系統(tǒng)抽樣（等距抽樣）：（1）采用隨機的方式將總體中的個體編號；（2）將整個的編號按一定的間隔（設(shè)為k）分

10、段，當(dāng)（N為總體中的個體數(shù)，n為樣本容量）是整數(shù)時，；當(dāng)不是整數(shù)時，從總體中剔除一些個體，使剩下的總體中個體的個數(shù)N能被n整除，這時，并將剩下的總體重新編號；（3）在第一段中用簡單隨機抽樣確定起始的個體編號；（4）將編號為的個體抽出.4分層抽樣：（1）將總體按一定標(biāo)準(zhǔn)分層；（2）計算各層的個體數(shù)與總體的個數(shù)的比；（3）按各層個體數(shù)占總體的個體數(shù)的比確定各層應(yīng)抽取的樣本容量；（4）在每一層進行抽樣（可用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣）.二疑難知識導(dǎo)析1簡單隨機抽樣是從總體中逐個不放回地抽取.2簡單隨機抽樣和系統(tǒng)抽樣都是一種等概率抽樣，即每個個體被抽到的可能性都是相同的.3簡單隨機抽樣適用于總體中個體較少

11、的情況；系統(tǒng)抽樣適用于總體中個體數(shù)較多的情形；分層抽樣用于總體由幾個差異明顯的部分組成的情況.4 分層抽樣時，在每一層內(nèi)進行抽樣時可根據(jù)具體情況，采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣.5 在使用分層抽樣時，在每一層內(nèi)抽樣的比例相同.三經(jīng)典例題導(dǎo)講例1某工廠生產(chǎn)A,B,C,D四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為2：3：5：1，現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個容量為n的樣本，樣本中A型號有16件，那么此樣本容量n是多少？錯解：樣本容量16=2（件）錯因：混淆了A型號產(chǎn)品與樣本容量的比例關(guān)系.正解：在分層抽樣中，每一層所抽的個體數(shù)的比例與總體中各層個體數(shù)的比例是一致的，所以，樣本容量為答：此樣本容量為88件.例2從

12、1002名學(xué)生中選取100名進行抽樣檢查.請用系統(tǒng)抽樣法設(shè)計一種方案，敘述其步驟.解：（1）將1002名學(xué)生進行編號，號碼分別為1，2，1002； （2）用隨機數(shù)表法剔除2個個體，并將剩下的學(xué)生重新編號，號碼分別為1，2，1000；（3）將1000個號碼平均分成100組，并在第一組1，2，10中用簡單隨機抽樣法確定一個號碼（如）；（2） 將號碼為的個體抽出.例3某學(xué)校有2005名學(xué)生，從中選取20人參加學(xué)生代表大會，采用簡單隨機抽樣方法進行抽樣，是用抽簽法還是隨機數(shù)表法？如何具體實施？分析：由于學(xué)生人數(shù)較大，制作號簽比較麻煩，所以決定用隨機數(shù)表法解：采用隨機數(shù)表法實施步驟：（1） 對2005名

13、同學(xué)進行編號，0000-2004（2） 在隨機數(shù)表中隨機地確定一個數(shù)作為開始，如21行45列的數(shù)字9開始的4位：9706；依次向下讀數(shù)，5595，4904,，如到最后一行，轉(zhuǎn)向左邊的四位數(shù)字號碼，并向上讀，凡不在0000-2004范圍內(nèi)的，則跳過，遇到已讀過的數(shù)也跳過，最后得到號碼為：0011，0570，1449，1072，1338，0076，1281，1866，1349，0864，0842，0161，1839，0895，1326，1454，0911，1642，0598，1855的學(xué)生組成容量為20的樣本.例4某工廠有3條生產(chǎn)同一產(chǎn)品的流水線，每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)分別是3000件，4000件，8

14、000件.若要用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為150件產(chǎn)品的樣本，應(yīng)該如何抽樣？解：總體中的個體數(shù)N=3000+4000+8000=15000樣本容量n=150抽樣比例為所以應(yīng)該在第一條流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取3000=30件產(chǎn)品在第二條流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽?。?000=40件產(chǎn)品在第三條流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽?。?000=50件產(chǎn)品這里因為每條流水線所生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)都較多，所以，在每條流水線的產(chǎn)品中抽取樣品時，宜采用系統(tǒng)抽樣方法四典型習(xí)題導(dǎo)練1為了解某班50名同學(xué)的會考及格率，從中抽取10名進行考查分析，則在這次考查中，考查的總體內(nèi)個體總數(shù)為 樣本容量為 .2采用系統(tǒng)抽樣從含有200

15、0個個體的總體（編號為0000，0001，1999）中抽取一個容量為100的樣本，則第一段的編號為 若在第一段中用簡單隨機抽樣得到起始個體編號為0013，則前6個入樣編號為 . 3某市為了了解職工的家庭生活狀況，先將職工所在的國民經(jīng)濟行業(yè)分成13類，然后每個行業(yè)抽的職工家庭進行調(diào)查，這種抽樣方法是 .4用分層抽樣的方法在一個企業(yè)中抽取一個樣本容量為50的樣本，其中在管理營銷部門抽了15人，技術(shù)部門10人，其余在生產(chǎn)工人中抽取，已知該企業(yè)有生產(chǎn)工人375人，那么這個企業(yè)共有多少職工？5采用簡單隨機抽樣從含有5個人的身高的總體中抽取一個容量為2的樣本，寫出全部樣本，并計算各個樣本的平均值，各樣本平

16、均值的平均值.12.2頻率分布直方圖、折線圖與莖葉圖一、知識導(dǎo)學(xué)1頻率分布表：反映總體頻率分布的表格.2一般地，編制頻率分布表的步驟如下：（1）求全距，決定組數(shù)和組距，組距=；（2）分組，通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；（3）登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表.3 頻率（分布）直方圖：利用直方圖反映樣本的頻率分布規(guī)律.4 一般地，作頻率分布直方圖的方法為：（1）把橫軸分成若干段，每一線段對應(yīng)一個組的組距；（2）以此線段為底作矩形，它的高等于該組的，這樣得出一系列的矩形；（3）每個矩形的面積恰好是該組上的頻率.5 頻率折線圖：如果將頻率分布直方圖中各相鄰的矩形的上底邊的中

17、點順次連接起，就得到一條折線，稱這條折線為本組數(shù)據(jù)的頻率折線圖.6 制作莖葉圖的方法是：將所有兩位數(shù)的十位數(shù)字作為“莖”，個位數(shù)字作為“葉”，莖相同者共用一個莖，莖按從小到大的順序從上向下列出，共莖的葉一般按從大到?。ɑ驈男〉酱螅┑捻樞蛲辛谐?二、疑難知識導(dǎo)析1 在編制頻率分布表時，要選擇適當(dāng)?shù)慕M距和起始點才可以使頻率分布表更好地反映數(shù)據(jù)的分布情況.2 在編制頻率分布表時，如果取全距時不利于分組（如不能被組數(shù)整除），可適當(dāng)增大全距，如在左右兩端各增加適當(dāng)范圍（盡量使兩端增加的量相同）.3 頻率折線圖的優(yōu)點是它反映了數(shù)據(jù)的變化趨勢，如果將樣本容量取得足夠大，分組的組距取得足夠小，則這條折線將趨

18、于一條曲線，我們稱這一曲線為總體分布的密度曲線.4 莖葉圖對于分布在099的容量較小的數(shù)據(jù)比較合適，此時，莖葉圖比直方圖更詳盡地表示原始數(shù)據(jù)的信息.5 在莖葉圖中，莖也可以放兩位，后面位數(shù)多可以四舍五入后再制圖.三、典型例題導(dǎo)講例1（06全國卷）一個社會調(diào)查機構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖（如下圖）.為了分析居民的收入與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，要從這10000人用再用分層抽樣方法抽出100人作進一步調(diào)查，則在（元）月收入段應(yīng)抽出 人.解析:由直方圖可得（元）月收入段共有人，按分層抽樣應(yīng)抽出人.故答案 25點評：頻率分布直方圖中，關(guān)健要理解圖

19、中數(shù)據(jù)的意義，特別是圖中每個小矩形的面積才是這一組距內(nèi)個體的頻率.例2從有甲乙兩臺機器生產(chǎn)的零件中各隨機抽取15個進行檢驗，相關(guān)指標(biāo)的檢驗結(jié)果為：甲：534，517，528，522，513，516，527，526，520，508，533，524，518，522，512乙：512，520，523，516，530，510，518，521，528，532，507，516，524，526，514畫出上述數(shù)據(jù)的莖葉圖錯解： 甲 乙 8 0 787632 1 2 43 3 02 4 錯因：對于兩位數(shù)是將兩位數(shù)的十位數(shù)字作為“莖”，個位數(shù)字作為“葉”，莖相同者共用一個莖，莖按從小到大的順序從上向下列出，共莖

20、的葉一般按從大到?。ɑ驈男〉酱螅┑捻樞蛲辛谐?，對于三位數(shù)字，應(yīng)該把前兩位數(shù)字作為莖，最后一位數(shù)字作為葉，然后從圖中觀察數(shù)據(jù)的分布情況，而不是仍考慮兩位數(shù)，盡管此題的效果一樣.正解：用前兩位數(shù)作為莖，莖葉圖為 甲 乙 8 50 787632 51 52 43 53 02 54 從圖中可以看出，甲機床生產(chǎn)的零件的指標(biāo)分布大致對稱，平均分在520左右，中位數(shù)和眾數(shù)都是522，乙機床生產(chǎn)的零件的指標(biāo)分布也大致對稱，平均分也在520左右，中位數(shù)和眾數(shù)分別是520和516，總的看，甲的指標(biāo)略大一些.例3在繪制頻率分布直方圖的第三個矩形時，矩形高度 與這個矩形的寬度（組距）有關(guān)； 與樣本容量n無關(guān)； 與第

21、三個分組的頻數(shù)有關(guān)； 與直方圖的起始點無關(guān).以上結(jié)論中正確的共有（）A0個 B.1個 C. 2個 D.3個錯解：D.錯因：起始點與組距均影響第三組的頻數(shù)，所以矩形高度與以上各因素均有關(guān)，正確，正解：C.例4根據(jù)中國銀行的外匯牌價，2005年第一季度的60個工作日中，歐元的現(xiàn)匯買入價（100歐元的外匯可兌換的人民幣）的分組與各組頻數(shù)如下：1050，1060：1，1060，1070：7，1070，1080：20，1080，1090：11，1090，1100：13，1100，1110：6，1110，1120：2.（1）列出歐元的現(xiàn)匯買入價的頻率分布表；（2）估計歐元的現(xiàn)匯買入價在區(qū)間10651105

22、內(nèi)的頻率；（3）如果歐元的現(xiàn)匯買入價不超過x的頻率的估計值為0.95，求此x解：（1）歐元的現(xiàn)匯買入價的頻率分布表為：分組頻數(shù)頻率1050，106010.0171060，107070.1171070，1080200.3331080，1090110.1831090，1100130.2171100，111060.1001110，112020.033合計601.000（2）歐元現(xiàn)匯買入價在區(qū)間10651105內(nèi)的頻率的估計值為（3）因為0.017+0.117+0.333+0.183+0.217=0.8670.95，0.017+0.217+0.100=0.9670.95，所以在1100，1110內(nèi)，且

23、滿足0.867+0.100即歐元現(xiàn)匯買入價不超過1108.3的頻率的估計為0.95例5初一年級某班期中考試的數(shù)學(xué)成績統(tǒng)計如下：分?jǐn)?shù)段100909980-8970-7960-690-59人數(shù)26122172如果80分以上（包括80分）定為成績優(yōu)秀，60分以上（包括60分）定為成績及格.那么，在這個班級的這次成績統(tǒng)計中，成績不及格的頻率是多少？成績及格的頻率是多少？成績優(yōu)秀的頻率是多少？解：被統(tǒng)計的對象（參加這次考試的本班學(xué)生）共有2+6+12+21+7+2=50個.60分以上的有48個，80分以上的有20個，所以成績不及格的頻率是，成績及格的頻率是，成績優(yōu)秀的頻率是.說明 要計算一組數(shù)據(jù)中某個對

24、象的頻率，要先計算數(shù)據(jù)的總的個數(shù)，再計算符合這個對象要求的數(shù)據(jù)的個數(shù).某個對象可以是一個確定的數(shù)據(jù)，也可以是在某一范圍內(nèi)數(shù)據(jù)的總數(shù).例6在英語單詞frequency和英語詞組relative frequency中，頻數(shù)最大的各是哪個字母？它們的頻數(shù)和頻率各是多少？解：在frequency和英語詞組relative frequency中，頻數(shù)最大的字母都是e，在單詞frequency中，e的頻數(shù)是2，頻率是；在詞組relative frequency中，e的頻數(shù)是4，頻率是.點評：在兩組數(shù)據(jù)中，同一個對象的頻數(shù)相等，但頻率不一定相等，頻數(shù)大，不一定頻率大.在同一組數(shù)據(jù)中，某兩個對象的頻數(shù)相等，頻

25、率也相等；頻數(shù)大，頻率也大.二、 典型習(xí)題導(dǎo)練1（06年重慶卷）為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100名年齡為歲的男生體重，得到頻率分布直方圖如下：根據(jù)上圖可得這100名學(xué)生中體重在的學(xué)生人數(shù)是（ ）.A 20 B.30 C.40 D. 502 一個容量為800的樣本，某組的頻率為6.25%，則這一組的頻數(shù)是 3 某校隨機抽取了20名學(xué)生，測量得到的視力數(shù)據(jù)如下：4.7，4.2，5.0，4.1，4.0，4.9，5.1，4.5，4.8，5.2，5.0，4.0，4.5，4.8，4.7，4.8，4.6，4.9，5.3，4.0（1） 列出頻率分布表（共分5組）（2） 估計該校學(xué)生的近

26、視率（視力低于4.9）4 用一個容量為200的樣本制作頻率分布直方圖時，共分13組，組距為6，起始點為10，第4組的頻數(shù)為25，則直方圖中第4個小矩形的寬和高分別是多少？5 200名學(xué)生某次考試的成績的分組及各組頻率如下表：分組頻數(shù)21130528520則及格率，優(yōu)秀率（）的估計分別是6某地隨機檢查了140名成年男性紅細(xì)胞（L），數(shù)據(jù)的分組及頻率如下表：分組頻數(shù)頻率分組頻數(shù)頻率21761311425232127合計140（1）完成上面的頻率分布表（2）根據(jù)上面的圖表，估計成年男性紅細(xì)胞數(shù)在正常值（4.05.5）內(nèi)的百分比7名著簡愛的中英文版本中，第一節(jié)部分內(nèi)容每句句子所含單詞（字）數(shù)如下：英文

27、句子所含單詞數(shù)10，52，56，40，79，9，23，11，10，21，30，31；中文句子所含字?jǐn)?shù)11，79，7，20，63，33，45，36，87，9，11，37，17，18，71，75，51.（1）作出這些數(shù)據(jù)的莖葉圖；（2）比較莖葉圖，你能得到什么結(jié)論？123平均數(shù)、方差與標(biāo)準(zhǔn)差一、知識導(dǎo)學(xué)1n 個數(shù)據(jù)，.的平均數(shù)或平均值一般記為=.2一般地，若取值的頻率分別為，則其平均數(shù)為.3把一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差稱為極差.4 一般地，設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為，則稱為這個樣本的方差，算術(shù)平方根為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，分別簡稱樣本方差，樣本標(biāo)準(zhǔn)差.二、疑難知識導(dǎo)析1.平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)都是總體的數(shù)

28、字特征，從不同角度反映了分布的集中趨勢，平均數(shù)是最常用的指標(biāo)，也是數(shù)據(jù)點的“重心”位置，它易受極端值（特別大或特別小的值）的影響，中位數(shù)位于數(shù)據(jù)序列的中間位置，不受極端值的影響，在一組數(shù)據(jù)中，可能沒有眾數(shù)，也可能有多個眾數(shù).2.方差和標(biāo)準(zhǔn)差是總體的數(shù)字特征，反映了分布的分散程序（波動大小），標(biāo)準(zhǔn)差也會受極端值（特別大或特別小的值）的影響.3.分布的分散程序還可以用極差來描述，但較粗略.4.樣本方差也可以用公式計算.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1（06年江蘇卷）某人5次上班途中所花的時間（單位：分鐘）分別為已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則的值為（ ）A1 B.2 C.3 D.4解：由平均數(shù)公式為1

29、0，得，則，又由于方差為2，則得 所以有，故選D.例2數(shù)據(jù)是一名運動員的次射擊的命中環(huán)數(shù)，則他的平均命中環(huán)數(shù)的估計是（ ）.A樣本平均數(shù)均值 B樣本極差C樣本方差 D樣本平均差A(yù)D=錯解：C.錯因：后三個選項都表示了樣本的波動程度，不能用于總體平均值的估計.正解：A.例3某房間中10個人的平均身高為1.74米，身高為1.85米的第11個人，進入房間后，這11個人的平均身高是多少？解：原來的10個人的身高之和為17.4米，所以，這11個人的平均身高為=1.75.即這11個人的平均身高為1075米例4若有一個企業(yè)，70%的人年收入1萬，25%的人年收入3萬，5%的人年收入11萬，求這個企業(yè)的年平均

30、收入及年收入的中位數(shù)和眾數(shù)解：年平均收入為1（萬）；中位數(shù)和眾數(shù)均為1萬例5下面是某快餐店所有工作人員的收入表：老板大廚二廚采購員雜工服務(wù)生會計3000元450元350元400元320元320元410元（1）計算所有人員的月平均收入；（2）這個平均收入能反映打工人員的月收入的一般水平嗎？為什么？（3）去掉老板的收入后，再計算平均收入，這能代表打工人員的月收入的水平嗎？（4）根據(jù)以上計算，以統(tǒng)計的觀點對（3）的結(jié)果作出分析解：（1）平均收入（3000+450+350+400+320+320+410）=750元（2）這個平均收入不能反映打工人員的月收入水平，可以看出打工人員的收入都低于平均收入，因

31、為老板收入特別高，這是一個異常值，對平均收入產(chǎn)生了較大的影響，并且他不是打工人員（3）去掉老板后的月平均收入（450+350+400+320+320+410）=375元.這能代表打工人員的月收入水平（4）由上可見，個別特殊數(shù)據(jù)可能對平均值產(chǎn)生大的影響，因此在進行統(tǒng)計分析時，對異常值要進行專門討論，有時應(yīng)剔除之四、典型習(xí)題導(dǎo)練1 在一次知識競賽中，抽取20名選手，成績分布如下：成績678910人數(shù)分布12467則選手的平均成績是 （ ）A4 B.4.4 C.8 D.8.828名新生兒的身長（cm）分別為50，51，52，55，53，54，58，54，則新生兒平均身長的估計為 ，約有一半的新生兒身

32、長大于等于 ，新生兒身長的最可能值是 .3某醫(yī)院急診中心關(guān)于其病人等待急診的時間記錄如下：等待時間（分鐘）人數(shù)48521用上述分組資料計算得病人平均等待時間的估計值= ，病人等待時間的標(biāo)準(zhǔn)差的估計值= 4樣本的平均數(shù)為5，方差為7，則3的平均數(shù)、方差，標(biāo)準(zhǔn)差分別為 5下面是一個班級在一次測驗時的成績（已按從小到大的次序排列），分別計算男生和女生的成績和平均值，中位數(shù)以及眾數(shù)，試問中位數(shù)的含義是什么？對比兩個平均值和中位數(shù)，你分析一下這個班級的學(xué)習(xí)情況男生：55，55，61，65，68，71，72，73，74，75，78，80，81，82，87，94女生：53，66，70，71，73，73，75

33、，80，80，82，82，83，84，85，87，88，90，93，94，976某工廠甲，乙兩個車間包裝同一產(chǎn)品，在自動包裝傳送帶上每隔30min抽一包產(chǎn)品，稱其重量是否合格，分別記錄抽查數(shù)據(jù)如下：甲車間：102，101，99，103，98，99，98；乙車間：110，105，90，85，75，115，110.（1）這樣的抽樣是何種抽樣方法？（2）估計甲、乙兩車間的均值與方差，并說明哪個車間的產(chǎn)品較穩(wěn)定.12.4線性回歸方程一、知識導(dǎo)學(xué)1 變量之間的常見關(guān)系有如下兩類：一類是確定性函數(shù)關(guān)系，變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)表示；一類是相關(guān)關(guān)系，變量之間有一定的聯(lián)系，但不能完全用函數(shù)來表達(dá)2 能用直線方

34、程近似表示的相關(guān)關(guān)系叫做線性相關(guān)關(guān)系3 一般地，設(shè)有（x,y）的n對觀察數(shù)據(jù)如下：當(dāng)a,b使取得最小值時，就稱為擬合這n對數(shù)據(jù)的線性回歸方程，將該方程所表示的直線稱為回歸直線.4線性回歸方程中的系數(shù)滿足：由此二元一次方程組便可依次求出的值： （*）5一般地，用回歸直線進行擬合的一般步驟為：（1）作出散點圖，判斷散點是否在一條直線附近；（2）如果散點在一條直線附近，用公式（*）求出，并寫出線性回歸方程.二、疑難知識導(dǎo)析1現(xiàn)實世界中兩個變量的關(guān)系中更多的是相關(guān)關(guān)系而不是確定性關(guān)系，許多物理學(xué)中公式看起來是確定性關(guān)系，實際上由于公式的使用范圍，測量誤差等的影響，試驗得到的數(shù)據(jù)之間是相關(guān)關(guān)系.2用最小

35、二乘估計方法計算得到的使函數(shù)達(dá)到最小3還有其他尋找較好的回歸直線的原則（如使y方向的偏差和最小，使各點到回歸直線的距離之和最小等）4 比較相關(guān)關(guān)系絕對值的大小可以比較一組變量之間哪兩個變量有更強的（線性）相關(guān)關(guān)系.5 “最好的”直線方程中“最好”可以有多種解釋，也就有不同的求解方法，現(xiàn)在廣泛采用的最小二乘法所用的思想是找到使散點到直線在垂直方向上的距離的平方和最小的直線，用這個方法，的求解最簡單三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1有如下一組y與x的數(shù)據(jù)3210123y9410149問y與x的(樣本)相關(guān)系數(shù)r是多少?這是否說明y與x沒有關(guān)系?錯解：所以相關(guān)系數(shù)r=0,即y與x沒有關(guān)系.錯因：相關(guān)系數(shù)r=0并不

36、是說明y與x沒有關(guān)系，而是說明y與x沒有線性相關(guān)關(guān)系，但有可能有非線性相關(guān)關(guān)系.正解：所以相關(guān)系數(shù)r=0,即y與x沒有線性相關(guān)關(guān)系，但有可能有非線性相關(guān)關(guān)系.此題中y與x之間存在著的二次相關(guān)關(guān)系的.例2某工廠在2004年的各月中，一產(chǎn)品的月總成本y（萬元）與月產(chǎn)量x（噸）之間有如下數(shù)據(jù)：x4.164.244.384.564.724.965.185.365.65.745.966.14y4.384.564.64.834.965.135.385.555.715.896.046.25若2005年1月份該產(chǎn)品的計劃產(chǎn)量是6噸，試估計該產(chǎn)品1月份的總成本.分析：可將此問題轉(zhuǎn)化為下面三個問題：（1）畫出散點

37、圖，根據(jù)散點圖，大致判斷月總成本y與月產(chǎn)量之間是否有線性相關(guān)關(guān)系；（2）求出月總成本y與月產(chǎn)量x之間的線性回歸方程；（5） 若2005年1月份該產(chǎn)品的計劃產(chǎn)量是6噸，試估計該產(chǎn)品1月份的總成本.錯解：省去第一步，即把判斷判斷月總成本y與月產(chǎn)量之間是否有線性相關(guān)關(guān)系的過程舍去，想當(dāng)然其具有線性相關(guān)關(guān)系，直接代入公式，求出線性回歸方程.錯因：此題的月總成本y與月產(chǎn)量x之間確實是有線性相關(guān)關(guān)系，若不具有則會導(dǎo)致錯誤.因此判斷的過程不可少.正解：（1）散點圖見下面，從圖中可以看到，各點大致在一條直線附近，說明x與y有較強的線性相關(guān)關(guān)系.（2）代入公式（*）得：a=0.9100,b=0.6477，線性回

38、歸方程是：y=0.9100x+0.6477.（3）當(dāng)x=6.0時，y=0.9100（萬元），即該產(chǎn)品1月份的總成本的估計值為6.11萬元.例3變量與有線性回歸方程，現(xiàn)在將的單位由變?yōu)榈膯挝挥勺優(yōu)?，則在新的回歸方程中. .錯解：0.1錯因：由 且的值變?yōu)樵瓉淼?，的值變?yōu)樵瓉淼目傻玫闹祽?yīng)為原來的.正解：0.01例4假定一個物體由不同的高度落下，并測量它落下的時間，幾個測量結(jié)果如下表所示：高度s(cm)4060100130150180200220240時間t(ms)353387505552579648659700725高度（距離）與時間之間的關(guān)系由公式給出，這里g是重力加速度的值.（1）畫出s關(guān)于

39、t的散點圖，這些點在一條直線附近嗎？（2）設(shè)，畫出s關(guān)于x的散點圖，這些點在一條直線附近嗎？（3）求出s關(guān)于x的線性回歸方程.解：（1）高度s關(guān)于時間t的散點圖見下面，從圖中可以看到這些點似乎在一條直線附近，也好像在一條拋物線附近（2）高度s關(guān)于x的散點圖見下面，從圖中可以看到這些散點大致在一條直線附近（3）可以求得s關(guān)于x的線性回歸方程是s=0.x18.8458例5測得某國10對父子身高（單位：英寸）如下：父親身高（x）60626465666768707274兒子身高（y）63.565.26665.566.967.167.468.370.170（1）畫出散點圖；（2）求出y與x之間的線性回歸

40、方程；（3）如果父親的身高為73英寸，估計兒子的身高.解：（1）散點圖見下面：（2）從散點圖可以看出，這些點都分布在一條直線附近，可求得線性回歸方程為（3）當(dāng)時，所以當(dāng)父親的身高為73英寸時，估計兒子的身高約為69.9英寸.四、典型習(xí)題導(dǎo)練1回歸直線方程的系數(shù)a,b的最小二乘估計使函數(shù)最小，函數(shù)指（ ）.A B. C D.2“回歸”一詞是在研究子女的身高與父母的身高之間的遺傳關(guān)系時，高爾頓提出的，他的研究結(jié)果是子代的平均身高向中心回歸.根據(jù)他的結(jié)論在兒子的身高y與父親的身高x的線性回歸方程中，b（ ）.A在（1，0）內(nèi) B.等于0 C在（0，1）內(nèi) D.在1，+內(nèi)3在研究硝酸鈉的可溶性程度時，

41、對不同的溫度觀測它在水中的溶解度，得到觀測結(jié)果如下：溫度x010205070溶解度 y 66.776.085.0112.3128.0則由此得到的回歸直線的斜率是 （保留4位有效數(shù)字）4下面的數(shù)據(jù)是年齡在40至60歲的男子中隨機抽取的6個樣本，分別測定了心臟功能水平y(tǒng)（滿分100），以及每天畫在看電視上的平均時間x（小時）看電視平均時間x4.44.62.75.80.24.6心臟功能水平y(tǒng)525369578965則x與y的樣本相關(guān)系數(shù)為 .5某地區(qū)近年來冬季的降雨量x(cm)與次年夏季空氣中碳?xì)浠衔锏淖罡咂骄鶟舛葃（ppm），的觀測數(shù)據(jù)如下表：年份 n1988198919901991199219

42、931994199519961997199819992000x28223123583321204531231614y4.54.14.84.24.63.63.12.83.42.62.32.22.0你認(rèn)為y與x是什么關(guān)系？y與n是什么關(guān)系？6每立方米混凝土的水泥用量x（單位：kg）與28天后混凝土的托壓強度（單位：kg/cm）的關(guān)系有如下數(shù)據(jù)：x150160170180190200210220230240250260Y56.958.361.664.668.171.374.177.480.282.686.489.7（1）y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系？（2）如果y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，求線性回歸方程.第

43、十三章 算法初步 13.1 流程圖一、 知識導(dǎo)學(xué)1. 流程圖：是由一些圖框和帶箭頭的流線組成的，其中圖框表示各種操作的類型，圖框中的文字和符號表示操作的內(nèi)容，帶箭頭的流線表示操作的先后次序.2算法的三種基本的邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu).3根據(jù)對條件的不同處理，循環(huán)結(jié)構(gòu)又分為兩種：直到型(until型)循環(huán)：在執(zhí)行了一次循環(huán)體之后，對控制循環(huán)條件進行判斷，當(dāng)條件不滿足時執(zhí)行循環(huán)體.滿足則停止.如圖13-1-3，先執(zhí)行A框，再判斷給定的條件是否為“假”，若為“假”，則再執(zhí)行A，如此反復(fù)，直到為“真”為止. 當(dāng)型（while型）循環(huán)：在每次執(zhí)行循環(huán)體前對控制循環(huán)條件進行判斷，當(dāng)條件滿足時

44、執(zhí)行循環(huán)體，不滿足則停止.如圖13-1-4，當(dāng)給定的條件成立（“真”）時，反復(fù)執(zhí)行A框操作，直到條件為“假”時才停止循環(huán). 圖13-1-1 圖13-1-2二、疑難知識導(dǎo)析1.“算法“沒有一個精確化的定義，教科書只對它作了描述性說明，算法具有如下特點：（1）有限性：一個算法的步驟是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無限的.（2）確定性：算法的每一步驟和次序應(yīng)當(dāng)是確定的.（3）有效性：算法的每一步驟都必須是有效的.2. 畫流程圖時必須注意以下幾方面： （1）使用標(biāo)準(zhǔn)的圖形符號. （2）流程圖一般按從上到下、從左到右的方向畫. （3）除判斷框外，大多數(shù)流程圖符號只有一個進入點和一個退出點.判斷框

45、具有超過一個退出點的唯一符號. （4）判斷框分兩大類，一類判斷框“是”與“否”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個結(jié)果；另一類是多分支判斷，有幾種不同的結(jié)果. （5）在圖形符號內(nèi)描述的語言要非常簡練清楚.3. 算法三種邏輯結(jié)構(gòu)的幾點說明：（1）順序結(jié)構(gòu)是最簡單的算法結(jié)構(gòu)，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進行的.在流程圖中的體現(xiàn)就是用流程線自上而下地連接起來，按順序執(zhí)行算法步驟.（2）一個條件結(jié)構(gòu)可以有多個判斷框.（3）循環(huán)結(jié)構(gòu)要在某個條件下終止循環(huán)，這就需要條件結(jié)構(gòu)來判斷.在循環(huán)結(jié)構(gòu)中都有一個計數(shù)變量和累加變量.計數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù)，累加變量用語輸出結(jié)果，計數(shù)變量和累加變量一般是同步

46、執(zhí)行的，累加一次，計數(shù)一次.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1 已知三個單元存放了變量，的值，試給出一個算法，順次交換， 的值（即取的值，取的值，取的值），并畫出流程圖.錯解：第一步 第二步 第三步 流程圖為 圖13-1-3 錯因：未理解賦值的含義，由上面的算法使得，均取的值.舉一形象的例子：有藍(lán)和黑兩個墨水瓶，但現(xiàn)在卻把藍(lán)墨水裝在了黑墨水瓶中，黑墨水錯裝在了藍(lán)墨水瓶中，要求將其互換，請你設(shè)計算法解決這一問題.對于這種非數(shù)值性問題的算法設(shè)計問題，應(yīng)當(dāng)首先建立過程模型，根據(jù)過程設(shè)計步驟完成算法. 我們不可將兩個墨水瓶中的墨水直接交換，因為兩個墨水瓶都裝有墨水，不可能進行直接交換.正確的解法應(yīng)為：S1 取一只空

47、的墨水瓶，設(shè)其為白色； S2 將黑墨水瓶中的藍(lán)墨水裝入白瓶中； S3 將藍(lán)墨水瓶中的黑墨水裝入黑瓶中； S4 將白瓶中的藍(lán)墨水裝入藍(lán)瓶中； S5 交換結(jié)束.正解：第一步 先將的值賦給變量，這時存放的單元可作它用 第二步 再將的值賦給，這時存放的單元可作它用 第三步 同樣將的值賦給，這時存放的單元可作它用 第四步 最后將的值賦給，三個變量，的值就完成了交換流程圖為 圖13-1-4點評：在計算機中，每個變量都分配了一個存儲單元，為了達(dá)到交換的目的，需要一個單元存放中間變量.例2已知三個數(shù)，.試給出尋找這三個數(shù)中最大的一個算法，畫出該算法的流程圖. 解：流程圖為圖13-1-5點評：條件結(jié)構(gòu)可含有多個

48、判斷框，判斷框內(nèi)的內(nèi)容要簡明、準(zhǔn)確、清晰.此題也可將第一個判斷框中的兩個條件分別用兩個判斷框表示，兩兩比較也很清晰.若改為求100個數(shù)中的最大數(shù)或最小數(shù)的問題則選擇此法較繁瑣，可采用假設(shè)第一數(shù)最大（最?。⒌谝粋€數(shù)與后面的數(shù)依依比較，若后面的數(shù)較大（較?。?，則進行交換，最終第一個數(shù)即為最大（最小）值.點評：求和時根據(jù)過程的類同性可用循環(huán)結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)，而不用順序結(jié)構(gòu).例3畫出求的值的算法流程圖.解：這是一個求和問題，可采用循環(huán)結(jié)構(gòu)實現(xiàn)設(shè)計算法，但要注意奇數(shù)項為正號，偶數(shù)項為負(fù)號. 思路一：采用-1的奇偶次方（利用循環(huán)變量）來解決正負(fù)符號問題； 圖13-1-6 圖13-1-7 思路二：采用選擇結(jié)構(gòu)分奇偶項求和； 圖13-1-8 思路三：可先將化簡成，轉(zhuǎn)化為一個等差數(shù)列求和問題，易利用循環(huán)結(jié)構(gòu)求出結(jié)果. 例4 設(shè)計一算法，求使成立的最小正整數(shù)