高中數(shù)學(xué)人教A版必修5課件：2.1.1 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法

1、-1- 第1課時(shí)數(shù)列的概念 與簡(jiǎn)單表示法 第二章第二章數(shù)列數(shù)列 -2- 第1課時(shí)數(shù)列的概念 與簡(jiǎn)單表示法 2.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法 -3- 第1課時(shí)數(shù)列的概念 與簡(jiǎn)單表示法 第1課時(shí)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法 -4- 第1課時(shí)數(shù)列的概念 與簡(jiǎn)單表示法 -5- 第1課時(shí)數(shù)列的概念 與簡(jiǎn)單表示法 123 1.數(shù)列 (1)定義:按照一定順序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列. (2)項(xiàng):數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).數(shù)列中的每一項(xiàng)都和它的序號(hào) 有關(guān),排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)(通常也叫做首項(xiàng)),排在第二位的數(shù)稱 為這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)排在第n位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng). (3)表示:數(shù)列的一般形式可以寫

2、成:a1,a2,an,簡(jiǎn)記為an.an表示數(shù)列中的第 n個(gè)數(shù). 名師點(diǎn)撥 數(shù)列的特征:(1)每一項(xiàng)都是數(shù);(2)數(shù)列中的數(shù)有順序,同一組數(shù)可組成多個(gè)不同 的數(shù)列. -6- 第1課時(shí)數(shù)列的概念 與簡(jiǎn)單表示法 123 2.數(shù)列的分類 (1)按數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是否有限,分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列. 項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列;項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列叫做無窮數(shù)列. (2)按項(xiàng)的變化趨勢(shì)分類 -7- 第1課時(shí)數(shù)列的概念 與簡(jiǎn)單表示法 123 練一練1 下列敘述正確的是() B.數(shù)列中的數(shù)由它的位置序號(hào)唯一確定 C.數(shù)列1,3,5,7可表示為1,3,5,7 D.同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中不可能重復(fù)出現(xiàn) 解析:遞增數(shù)列指的是從第2項(xiàng)起

3、,每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng),A錯(cuò)誤.數(shù)列1,3,5,7 與由實(shí)數(shù)1,3,5,7組成的集合1,3,5,7是兩個(gè)不同的概念,C錯(cuò)誤.同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中 可能重復(fù)出現(xiàn),如2,2,2,表示由實(shí)數(shù)2構(gòu)成的常數(shù)列,D錯(cuò)誤.對(duì)于給定的數(shù)列,數(shù)列 中的數(shù)由它的位置序號(hào)唯一確定,B正確. 答案:B -8- 第1課時(shí)數(shù)列的概念 與簡(jiǎn)單表示法 123 -9- 第1課時(shí)數(shù)列的概念 與簡(jiǎn)單表示法 123 3.數(shù)列的通項(xiàng)公式 如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示,那么這個(gè)公 式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式. 練一練2 已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=n(n-1),則a3=,30是該數(shù)列的第 項(xiàng). 解析:an=n

4、(n-1),a3=3(3-1)=6. 令an=n(n-1)=30,解得n=6或n=-5(舍去). 答案:66 - 10- 第1課時(shí)數(shù)列的概念 與簡(jiǎn)單表示法 123 名師點(diǎn)撥 (1)已知通項(xiàng)公式an=f(n),那么只需依次用1,2,3,代替公式中的n,就可以求出這 個(gè)數(shù)列的各項(xiàng). (2)一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式可以有不同的形式,如an=(-1)n可以寫成an=(-1)n+2,還可 以寫成 這些通項(xiàng)公式形式上雖然不同,但都表示同一 數(shù)列. (3)數(shù)列的通項(xiàng)公式也可用一個(gè)分段函數(shù)表示.例如,數(shù)列1,0,1,0,的通項(xiàng)公式 可以表示為 (4)數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際上就是相應(yīng)函數(shù)的解析式. (5)并不是所有的數(shù)列

5、都有通項(xiàng)公式,就像并不是所有的函數(shù)都能用解析式表示 一樣. - 11- 第1課時(shí)數(shù)列的概念 與簡(jiǎn)單表示法 探究一探究二探究三探究四 探究一數(shù)列的概念及分類探究一數(shù)列的概念及分類 對(duì)數(shù)列概念的理解: (1)有序性:如1,2,3與3,2,1是不同的數(shù)列. (3)an與an是兩個(gè)不同的概念,an表示數(shù)列a1,a2,an,而an只表示數(shù)列an的 第n項(xiàng). (4)數(shù)列與數(shù)集是兩個(gè)不同的概念,它們的主要區(qū)別在于:集合中的元素具有無 序性和互異性,數(shù)列中的項(xiàng)是有序的且可以相同,即如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而 排列次序不同,那么它們就是不同的數(shù)列,另一方面,同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出 現(xiàn). - 12- 第1課時(shí)

6、數(shù)列的概念 與簡(jiǎn)單表示法 探究一探究二探究三探究四 典型例題1 已知下列數(shù)列: (1)0,0,0,0,0,0; (2)0,-1,2,-3,4,-5,; (4)1,0.2,0.22,0.23,; 其中,是有窮數(shù)列,是無窮數(shù)列,是遞增數(shù)列, 是遞減數(shù)列,是常數(shù)列,是擺動(dòng)數(shù)列(填序號(hào)). 思路分析:觀察數(shù)列的項(xiàng)的變化趨勢(shì)與規(guī)律,由數(shù)列的分類來判斷. - 13- 第1課時(shí)數(shù)列的概念 與簡(jiǎn)單表示法 探究一探究二探究三探究四 解析:(1)是常數(shù)列且是有窮數(shù)列; (2)是無窮擺動(dòng)數(shù)列; (4)是無窮遞減數(shù)列; (5)是無窮擺動(dòng)數(shù)列. 答案:(1)(2)(3)(4)(5)(3)(4)(1)(2)(5) - 1

7、4- 第1課時(shí)數(shù)列的概念 與簡(jiǎn)單表示法 探究一探究二探究三探究四 變式訓(xùn)練1下列說法正確的是(填寫序號(hào)). 0,1,2,3,4,5是有窮數(shù)列; 按從小到大排列的所有自然數(shù)構(gòu)成一個(gè)無窮遞增數(shù)列; -2,-1,1,3,-2,4,3是一個(gè)項(xiàng)數(shù)為5的數(shù)列; 數(shù)列1,2,3,4,2n是無窮數(shù)列. 解析:緊扣數(shù)列的有關(guān)概念,驗(yàn)證每一個(gè)說法是否符合條件.0,1,2,3,4,5是集 合,而不是數(shù)列,故錯(cuò)誤.按從小到大排列的所有自然數(shù)構(gòu)成一個(gè)無窮遞增數(shù)列, 故正確.同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn),故此數(shù)列共有7項(xiàng),故錯(cuò)誤.數(shù)列 1,2,3,4,2n,共有2n項(xiàng),是有窮數(shù)列,故錯(cuò)誤. 答案: - 15- 第1課時(shí)數(shù)

8、列的概念 與簡(jiǎn)單表示法 探究一探究二探究三探究四 探究二根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出通項(xiàng)公式探究二根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出通項(xiàng)公式 1.數(shù)列的通項(xiàng)公式表示的是項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系. 2.根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫通項(xiàng)公式,體現(xiàn)了由特殊到一般的規(guī)律.解題時(shí),一定要注 意觀察項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系和相鄰項(xiàng)間的關(guān)系.具體思路為: (1)先統(tǒng)一項(xiàng)的結(jié)構(gòu),如都化成分?jǐn)?shù)、根式等. (2)分析這一結(jié)構(gòu)中變化的部分與不變的部分,探索變化部分的規(guī)律與對(duì)應(yīng)序號(hào) 間的關(guān)系. (3)對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況,可先觀察其絕對(duì)值,再用(-1)k處理符號(hào). (4)對(duì)于周期出現(xiàn)的數(shù)列,考慮拆成幾個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)列和的形式,或者利用周期函數(shù) 的知識(shí)解答. - 16-

9、 第1課時(shí)數(shù)列的概念 與簡(jiǎn)單表示法 探究一探究二探究三探究四 3.常見數(shù)列的通項(xiàng)公式 (1)數(shù)列-1,1,-1,1,的通項(xiàng)公式是an=(-1)n,數(shù)列1,-1,1,-1,的通項(xiàng)公式是an=(- 1)n+1或(-1)n-1. (2)數(shù)列1,2,3,4,的通項(xiàng)公式是an=n. (3)數(shù)列1,3,5,7,的通項(xiàng)公式是an=2n-1. (4)數(shù)列2,4,6,8,的通項(xiàng)公式是an=2n. (5)數(shù)列1,2,4,8,的通項(xiàng)公式是an=2n-1. (6)數(shù)列1,4,9,16,的通項(xiàng)公式是an=n2. - 17- 第1課時(shí)數(shù)列的概念 與簡(jiǎn)單表示法 探究一探究二探究三探究四 思路分析:經(jīng)過觀察、分析尋找每一項(xiàng)與

10、其項(xiàng)數(shù)的統(tǒng)一規(guī)律. - 18- 第1課時(shí)數(shù)列的概念 與簡(jiǎn)單表示法 探究一探究二探究三探究四 解:(1)數(shù)列的項(xiàng)有的是分?jǐn)?shù),有的是整數(shù),可將各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀 察: ,所以,它的一個(gè)通項(xiàng)公式為 (2)數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值分別為1,3,5,7,9,是連續(xù)的正奇數(shù),其通項(xiàng)公式為2n-1;考 慮(-1)n+1具有轉(zhuǎn)換符號(hào)的作用,所以數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(-1)n+1(2n-1). (3)各項(xiàng)加1后,分別變?yōu)?0,100,1 000,10 000,此數(shù)列的通項(xiàng)公式為10n,可得原數(shù) 列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=10n-1. - 19- 第1課時(shí)數(shù)列的概念 與簡(jiǎn)單表示法 探究一探究二探究三探究四 (4)數(shù)

11、列中每一項(xiàng)均由三部分組成,分母是從1開始的奇數(shù)列,其通項(xiàng)公式為2n-1; 分子的前一部分是從2開始的自然數(shù)的平方,其通項(xiàng)公式為(n+1)2,分子的后一部分 是減去一個(gè)自然數(shù),其通項(xiàng)公式為n,綜合得原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為 (5)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都等于序號(hào)與序號(hào)加1的積的倒數(shù),且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù), 偶數(shù)項(xiàng)為正,所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是 - 20- 第1課時(shí)數(shù)列的概念 與簡(jiǎn)單表示法 探究一探究二探究三探究四 方法總結(jié) 此類問題主要靠觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為 特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等方法.具體方法為:(1)分式中分子、分母的特 征;(2)相鄰項(xiàng)的變化特征;

12、(3)拆項(xiàng)后的特征;(4)各項(xiàng)的符號(hào)特征和絕對(duì)值特征;(5) 化異為同.對(duì)于分式,還可以考慮對(duì)分子、分母各個(gè)擊破,或?qū)ふ曳肿?、分母之間的 關(guān)系. - 21- 第1課時(shí)數(shù)列的概念 與簡(jiǎn)單表示法 探究一探究二探究三探究四 - 22- 第1課時(shí)數(shù)列的概念 與簡(jiǎn)單表示法 探究一探究二探究三探究四 - 23- 第1課時(shí)數(shù)列的概念 與簡(jiǎn)單表示法 探究一探究二探究三探究四 探究三數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用探究三數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用 1.數(shù)列是特殊的函數(shù),特殊性表現(xiàn)在它的定義域?yàn)檎麛?shù)集N*(或它的有限子 集).當(dāng)自變量n從小到大依次取值時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值就構(gòu)成數(shù)列,因此數(shù)列的通項(xiàng)公 式就是相應(yīng)函數(shù)的解析式,即an=f(

13、n). 2.判斷給定的項(xiàng)是否是數(shù)列中的項(xiàng),實(shí)質(zhì)就是一個(gè)解方程的過程.若解得的n是 正整數(shù),則該項(xiàng)是此數(shù)列中的項(xiàng);否則,就不是該數(shù)列中的項(xiàng). - 24- 第1課時(shí)數(shù)列的概念 與簡(jiǎn)單表示法 探究一探究二探究三探究四 典型例題3 已知數(shù)列 (1)求這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng); (2) 是不是該數(shù)列中的項(xiàng),為什么? (3)求證:數(shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間(0,1)內(nèi). 思路分析:對(duì)于(1)(2)將n代入或列方程求解;對(duì)于(3),將通項(xiàng)化簡(jiǎn),根據(jù)n1求出 項(xiàng)的取值范圍. - 25- 第1課時(shí)數(shù)列的概念 與簡(jiǎn)單表示法 探究一探究二探究三探究四 - 26- 第1課時(shí)數(shù)列的概念 與簡(jiǎn)單表示法 探究一探究二探究三探究四 -

14、27- 第1課時(shí)數(shù)列的概念 與簡(jiǎn)單表示法 探究一探究二探究三探究四 - 28- 第1課時(shí)數(shù)列的概念 與簡(jiǎn)單表示法 探究一探究二探究三探究四 - 29- 第1課時(shí)數(shù)列的概念 與簡(jiǎn)單表示法 探究一探究二探究三探究四 - 30- 第1課時(shí)數(shù)列的概念 與簡(jiǎn)單表示法 探究一探究二探究三探究四 - 31- 第1課時(shí)數(shù)列的概念 與簡(jiǎn)單表示法 1 2 3 4 5 1.下列敘述正確的是() A.數(shù)列1,3,5,7與7,5,3,1是相同的數(shù)列 B.數(shù)列0,1,2,3,可以表示為n C.數(shù)列0,1,0,1,是常數(shù)列 D.數(shù)列2n是遞增數(shù)列 解析:數(shù)列中的項(xiàng)是有序的,故A錯(cuò);B中數(shù)列可以表示為n-1;C中數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列, 故選D. 答案:D - 32- 第1課時(shí)數(shù)列的概念 與簡(jiǎn)單表示法 1 2 3 4 5 - 33- 第1課時(shí)數(shù)列的概念 與簡(jiǎn)單表示法 1 2 3 4 5 3.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=log3(2n+1),則a3=. 解析:an=log3(2n+1),a3=log3(23+1)=log39=2. 答案:2 - 34- 第1課時(shí)數(shù)列的概念 與簡(jiǎn)單表示法 1 2 3 4 5 4.已知