數學建模中預測方法[稻谷書苑]

1、沈沈 炎炎 峰峰 TEL:664802 2015.8.1 1教學運用 歷屆CUMCM數據預測題目 n2003年 A題 SARS的傳播問題 n2005年 A題 長江水質評價和預測問題 n2006年 B題 艾滋病療法的評價及療效的 預 測問題 n2007年 A題中國人口增加預測問題 n2009年 D題 “會議籌備”對與會人數的確定 n2010 B題 上海世博會影響力 相關數據預測 n2012 A題 葡萄酒質量評價和相關預測問題 n2013 A題 交通事故階段車流量的分析與預測 2 教學運用 3 教學運用 4 教學運用 5 教學運用 6 教學運用 7 教學運用 Model Assessment Ob

2、jectives: Choose an appropriate model from candidates Estimate the prediction performance of a given model For both of these purposes, the best approach is to run the procedure on an independent test set, if one is available If possible one should use different test data for (1) and (2) above: a val

3、idation set for (1) and a test set for (2) Often there is insufficient data to create a separate validation or test set. In this instance Cross-Validation is useful. 8 教學運用 K-Fold Cross-Validation Divide the data into K roughly equal parts (typically K=5 or 10) for each k = 1,2,K, fit a candidate mo

4、del to the other K-1 parts, and compute its error in predicting the kth part: This gives the cross-validation error do this for many models and choose the model that makes smallest. 2 ( )( ) kii i kth part Eyy 9 教學運用 年份199019911992199319941995 一季度4.776.387.4610.348.4810.39 二季度6.168.066.3710.458.1510

5、.48 三季度5.049.648.469.549.4312.23 四季度5.136.838.898.279.6710.98 某市六年來汽車貨運量（億噸公里）某市六年來汽車貨運量（億噸公里） 10 教學運用 年份199019911992199319941995 一季度4.776.387.4610.348.4810.39 二季度6.168.066.3710.458.1510.48 三季度5.049.648.469.549.4312.23 四季度5.136.838.898.279.6710.98 某市六年來汽車貨運量（億噸公里）某市六年來汽車貨運量（億噸公里） 11 教學運用 02468101214

6、16 4 5 6 7 8 9 10 11 12 教學運用 13 教學運用 某市六年來汽車貨運量時間序列分解某市六年來汽車貨運量時間序列分解 14 教學運用 15 教學運用 1 1 移動平均法移動平均法 n移動平均法：在原時間序列內依次 求連續(xù)若干期的平均數作為其某一 期的趨勢值，如此逐項遞移求得一 系列的移動平均數，形成一個新的、 派生的平均數時間序列。 n 在新的時間序列中偶然因素的影響 被削弱，從而呈現出現象在較長時 間的基本發(fā)展趨勢。 16 教學運用 n把時間序列連續(xù) N 期的平均數作為最 近一期（第t期）的趨勢值: )( 1 11 )1( Ntttt YYY N M N 期移動平均數

7、17 教學運用 n把時間序列連續(xù) N 期的平均數作為 N 期的中間 一期的趨勢值。 n如果N為奇數，則把N期的移動平均值作為中間一期 的趨勢值。 n如果N為偶數，須將移動平均數再進行一次兩項移 動平均，以調整趨勢值的位置，使趨勢值能對準某 一時期)。相當于對原序列進行一次N+1 項移動平 均，首末兩個數據的權重為0.5，中間數據權重為1。 為偶數）NYYYY N M NtNtttNt ()5 . 05 . 0( 1 112/ 中心化移動平均 18 教學運用 Example 1 n新衛(wèi)機械廠的銷售收入（萬元）：新衛(wèi)機械廠的銷售收入（萬元）： 年年 份份 銷售銷售 收入收入 年年 份份 銷售銷售

8、收入收入 年份年份 銷售銷售 收入收入 年份年份銷售銷售 收入收入 198 5 1080199 0 2160 1995 216020003240 198 6 1260199 1 2340 1996 234020013420 198 7 1800199 2 1980 1997 288020023240 198 8 1620199 3 2520 1998 306020033060 198 9 1440199 4 2559 1999 270020043600 19 教學運用 中心移動平均法 銷售銷售 收入收入 3 3年移年移 動平均動平均 銷售銷售 收入收入 4 4年移動年移動 平均平均 移正移正

9、198198 5 5 1080108010801080 198198 6 6 126012601380138012601260 198198 7 7 18001800156015601800180014851485 198198 8 8 162016201620162016201620 1642.1642. 5 5 198198 9 9 144014401740174014401440 1822.1822. 5 5 14401440 15301530 17551755 18901890 20 教學運用 移動平均的結果移動平均的結果 21 教學運用 n移動平均法一般用來消除不規(guī)則變動的 影響，把

10、序列進行修勻（smoothing)， 以觀察序列的其他成分。 n如果移動平均的項數等于季節(jié)長度則可以 消除季節(jié)成分的影響； n如果移動平均的項數等于平均周期長度的 倍數則可以消除循環(huán)變動的影響。 n由于區(qū)分長期趨勢和循環(huán)變動比較困難，在 應用中有時對二者不做區(qū)分，而是把兩項合 在一起稱為“趨勢循環(huán)”成分（trend-cycle)。 移動平均法的應用移動平均法的應用 22 教學運用 指數平滑方法的基本原理 n指數平滑是一種加權移動平均，既可以用來 描述時間序列的變化趨勢，也可以實現時間 序列的預測。 n指數平滑預測的基本原理是：用時間序列過 去取值的加權平均作為未來的預測值，離當 前時刻越近的取

11、值，其權重越大。 23 教學運用 ttt YYY )1 ( 1 式中： 1 t Y表示時間序列第t+1期的預測值； t Y 表示時間序列第t期的實際觀測值； t Y 表示時間序列第t期的預測值； 表示平滑系數，01。 11 1 2 2 1 1 )1 ()1 ()1 ()1 ( )1 ( YYYYY YYY tt ttt ttt n單參數指數平滑的模型為： 24 教學運用 適用場合 n單參數（一次）指數平滑適用于不包含 長期趨勢和季節(jié)成分的時間序列預測 n如果原序列有增長趨勢，平滑序列將系 統(tǒng)的低于實際值 n如果原序列有下降趨勢，平滑序列將系 統(tǒng)的高于實際值 25 教學運用 平滑系數的確定 n選

12、擇合適的平滑系數是提高預測精度的關 鍵。 n如果序列波動較小，則平滑系數應取小一 些，不同時期數據的權數差別小一些，使 預測模型能包含更多歷史數據的信息； n如果序列趨勢波動較大，則平滑系數應取 得大一些。這樣，可以給近期數據較大的 權數，以使預測模型更好地適序列趨勢的 變化。 n統(tǒng)計軟件中可以根據擬合誤差的大小自動 篩選最優(yōu)的平滑系數值。 26 教學運用 初始預測值的確定 n初始預測值的確定 n等于第一個觀測值 n等于前k個值的算術平均 n適用場合：單參數（一次）指數平滑適 用于不包含長期趨勢和季節(jié)成分的平穩(wěn) 時間序列預測 27 教學運用 案例分析 n新衛(wèi)機械廠銷售額的單參數指數平滑 預測

13、n分析預測創(chuàng)建模型方法選擇 “指數平滑”;根據需要設置“條件”。 n擬合情況與2年的預測值（下頁圖）。 nSPSS Statistics 估計的=0.689. n擬合數據的MAPE=12.847%. 28 教學運用 單參數指數平滑的圖形結果 29 教學運用 n時序圖檢驗 根據平穩(wěn)時間序列均值與方差為常數平穩(wěn)時間序列均值與方差為常數的性質，平穩(wěn)序列的時序圖應該顯示出該 序列始終在一個常數值附近隨機波動，而且波動的范圍有界、無明顯趨勢及周期 特征 n自相關圖檢驗 平穩(wěn)序列通常具有短期相關性平穩(wěn)序列通常具有短期相關性。該性質用自相關系數來描述就是隨著延遲期數 的增加，平穩(wěn)序列的自相關系數對很快地衰減

14、向零。 n純隨機性檢驗（白噪聲檢驗） 平穩(wěn)性檢驗平穩(wěn)性檢驗 30 教學運用 nAR(p)AR(p)模型模型 nMA(q)MA(q)模型模型 nARMAARMA（p p，q q）模型）模型 平穩(wěn)時間序列分析模型： ARMA模型的全稱是自回歸移 動平均（auto regression moving average）模型，它是目 前最常用的擬合平穩(wěn)時間序列的模型擬合平穩(wěn)時間序列的模型。ARMA模型又可 細分為AR模型、MA模型和ARMA模型三大類。 tptpttt xxxx 22110 qtqtttt x 2211 qtqtttptptttt xxxx 221122110 31 教學運用 n確定性時

15、間序列分析（確定性時間序列分析（平滑法平滑法、趨勢外推擬合法）趨勢外推擬合法） 通常這種非平穩(wěn)的時間序列顯示出非常明顯的規(guī)律 性，比如有顯著的趨勢或有固定的變化周期 。 n隨機性時間序列分析隨機性時間序列分析（ARIMA模型模型 ） 由隨機因素導致的的非平穩(wěn)時間序列，通常這種隨機 波動非常難以確定和分析 。通過差分法或適當的變換通過差分法或適當的變換 使非平穩(wěn)序列的化成為平穩(wěn)序列使非平穩(wěn)序列的化成為平穩(wěn)序列 。 在實際情況中，絕大部分序列都是非平穩(wěn)的，因 而對非平穩(wěn)序列的分析更普遍、更重要，相應地各種分 析方法也更多。通常包含下列兩種方法： n非平穩(wěn)序列分析法非平穩(wěn)序列分析法 32 教學運用

16、ARIMA(Autoregressive Integrated Moving Average)模型模型，差分自回歸滑 動平均模型（滑動也譯作移動），又稱求 合自回歸滑動平均模型。 ARIMA（p，d，q）中，AR是自回歸，p 為自回歸項數；MA為滑動平均，q為滑 動平均項數，d為使之成為平穩(wěn)序列所做為使之成為平穩(wěn)序列所做 的差分次數（階數）的差分次數（階數）。 ARIMA（p，d，q）模型是ARMA（p，q） 模型的擴展。 33 教學運用 34 教學運用 例：建立國際航線旅客月度人數的例：建立國際航線旅客月度人數的ARIMA模型。我們已有一組模型。我們已有一組1949 年至年至1961年國際航

17、線旅客月度人數的年國際航線旅客月度人數的144條記錄。使用條記錄。使用ARIMA過程過程 進行建模和預測。其數據列于下表所示。進行建模和預測。其數據列于下表所示。 YEAR123456789101112 1949112118132129121135148148136119104118 1950115126141135125149170170158133114140 1951145150178163172178199199184162146166 1952171180193181183218230242209191172194 1953196196236235229243264272237211

18、180201 1954204188235227234264302293259229203229 1955242233267269270315364347312274237278 1956284277317313318374413405355306271306 1957315301356348355422465467404347305336 1958340318362348363435491505404359310337 1959360342406396420472548559463407362405 1960417391419461472535622606408461390432 35 教學運

19、用 n（1）繪制時序圖）繪制時序圖 36 教學運用 n（2）對平穩(wěn)性和季節(jié)性的識別）對平穩(wěn)性和季節(jié)性的識別 對平穩(wěn)性和季節(jié)性的識別通常有時序圖和自相關圖兩種方法， 或兩者結合起來一起判斷。 l 時序圖，是通過直接觀察時間序列折線圖來檢驗序列是 否平穩(wěn)。如果時間序列有某種趨勢或呈現出增加或減少范 圍的擴散現象，則序列是不平穩(wěn)的。 l 自相關圖。如果序列的折線圖并不明顯地呈現上述現象， 而我們又無法直接判斷序列究竟平穩(wěn)與否，通?？梢岳?自相關圖自相關圖來檢測序列是否平穩(wěn)。 37 教學運用 38 教學運用 n（3）變換不平穩(wěn)序列為平穩(wěn)序列）變換不平穩(wěn)序列為平穩(wěn)序列 l 如果時間序列呈線性趨勢，均值

20、不是常數，利用一階差分 將產生一個平穩(wěn)序列。 l 如果時間序列呈二次趨勢，均值不是常數，利用二階差分 將產生一個平穩(wěn)序列。 l 如果時間序列呈現出隨時間的上升或下降而偏差，方差不 是常數，通常可利用取自然對數轉化為平穩(wěn)序列。 l 如果時間序列呈現指數趨勢，均值和方差都不是常數，通 常也可利用取自然對數轉化為平穩(wěn)序列。 l 如果時間序列呈現“相對環(huán)”趨勢，通常將數據除以同時 發(fā)生的時間序列的相應值轉化為平穩(wěn)序列。 39 教學運用 a）取對數消除振幅變大趨勢-線性增長趨勢 40 教學運用 b）需要對這個新序列數據再進行滯后一次（消除增長消除增長） 和滯后12次（消除季節(jié)消除季節(jié)）共兩次差分最終轉換

21、為平穩(wěn)序列 （4）檢驗待選的時間序列模型的自相關函數檢驗待選的時間序列模型的自相關函數 41 教學運用 ACF圖中，我們認為自相關系數在延遲圖中，我們認為自相關系數在延遲1階后都落入階后都落入2倍標準倍標準 差內，然后在延遲差內，然后在延遲12階處突然有一個較大的自相關系數，階處突然有一個較大的自相關系數， 緊接著又落入緊接著又落入2倍標準差內，很象在倍標準差內，很象在1，12處截尾處截尾 42 教學運用 n（5）估計備選時間序列模型的參數估計）估計備選時間序列模型的參數估計 n（6）利用確定的模型進行預測）利用確定的模型進行預測 43 教學運用 (7.4.1)yabx 44 教學運用 2 2

22、 (7.4.6) ii iii i ab Q ii yyyex a bxye 總方差 2 2 2 i i i i Q ii aa aba a ab a bxy yx yx 45 教學運用 00 0 (7.4.7) ii Q yabx a naby xi i naby xi i by xi i aybx n 令，即 所以 2 7.4.7 Q i i bb a by x 將式代入得（） 46 教學運用 2 2 2 i ii i ii i Q yb xxyi bb ybxbx b ybxx yxx yxx 2 00 2 (7.4.8) ii ii xy xx xxyybxx i xxyy b xx

23、i S S 令其，即 所以 47 教學運用 1(7.4.9) xy xyxy xxyy S rr s s 48 教學運用 49 教學運用 (7.4.2) 2 2 (7.4.3) nyy xx iiii b n xxi i by xi i a n n yi a x yixi b i 2 50 教學運用 年份年份 倒倒5年年 倒倒4年年 倒倒3年年 前年前年 去年去年 今年今年 明年明年 產量（萬元）產量（萬元） 300 350 380 430 500 ？ ？ 法法 51 教學運用 年份年份 倒倒5年年 倒倒4年年 大前年大前年 前年前年 去年去年 平均值平均值 xi -2 -1 0 1 2 0

24、0 yi 300 350 380 430 500 1960 392 xiyi -600 -350 0 430 1000 480 Xi2 4 1 0 1 4 10 Yi2 90000 122500 144400 184900 250000 791800 52 教學運用 991.0 56.484 480 2348010 480 234801960392791800 10010 4800480 2 2 r yyS xxS yyxS SS S r xy ii yy iixx ii ixy yyxx xy xy y x x其中 959. 0 r臨界值 53 教學運用 x bay i i )(584192

25、392448392 )(536144392348392 48392 392 5 1960 48 10 480 4 3 2 萬元明年： 萬元今年： 其中 y y xx bay n y a x y x b i i ii i i i i i 54 教學運用 21 3636. 01075. 52415.172xxy 55 教學運用 01 122 (7.4.11) kk yaa xa xa x 01 122 (7.4.10) iiikkii yaa xa xa x 56 教學運用 101 212 , , nkn ya ya YA ya (0,) i N 57 教學運用 11211 12222 12 (1

26、) 1 1 1 k k nnkn nk xxx xxx X xxx YXA 101 212 , , nkn ya ya YA ya 58 教學運用 令誤差平方和：令誤差平方和： 由極小值條件由極小值條件 可得：可得： 2 1 ()() ()min n T ii i QyyYXAYXA 0 Q A 1 () ()(7.4.12) TT AX XX Y 記記 系數矩陣（對稱）系數矩陣（對稱） 適于計算機實現適于計算機實現 T RX X 最小二乘法估計最小二乘法估計 是是A的無偏估計。的無偏估計。 A 11 ( )() ()() () TTTT E AX XX YX XX XAA 59 教學運用 2

27、 1 2 01 122 1 () () n ii i n iiikki i Qyy yaa xa xa x 01 122 0 101 122 1 01 122 2()0 2()0 2()0 iiikki iiiikki kiiiikki k Q yaa xa xa x a Q xyaa xa xa x a Q xyaa xa xa x a 60 教學運用 01122 2 011121211 2 01122 iikkii iiiikikiii kikiikiikkikii naaxaxaxy axaxax xax xx y axax xax xaxx y 61 教學運用 22 1 () ( ) n i i RSSyyk 22 1 () (1) n ii i ESSyynk 22 1 () (1) n i i TSSRSSESSyyn 62 教學運用 2 1 2 1 () 1 () n i i n i i yy RSSESS r TSSTSS yy 63 教學運用 64 教學運用 2 () 11 ii yy ESS S nknk 10% 15% S y 65 教學運用 ( ,1) (1) RSS k FF k nk E