比例黃金分割平行線分線段成比例定理

1、、黃金分割黃金分割黃金分割及平行線分線段成比例AC BC如圖，點C把線段AB分成兩條線段 AC和BC,如果AB AC ,那么稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點.AC與AB的比叫做黃金比.黃金比黃金比值的求法:AC因為ABBCAC，且 BC= AB AC 所以ACABAB - ACAC解得AC=ab2，或 AO 0.618AB,即得黃金比ABACV5-12 或 0.618求作黃金分割點求已知線段AB的黃金分割點。 方法一:：如圖11、經(jīng)過點 B作BD丄AB,且BD= - ABDE= DB3、在AB上截取2、連接AD,在DA上截取AC= AE,所以點C是線段AB的黃金分割點.4

2、5-1理由：設AB= 1 ,則 BD= 1/2,AD = 2 , AC =2, BC=2AC _ BC 所以AB AC，所以點C是線段AB的黃金分割點.方法二如圖1、在線段AB上作正方形ADCB3、延長 DA至 F,使 EF= EB. 所以點H是線段AB的黃金分割點.、取AD的中點E,連接EB.、以線段AF為邊作正方形AFGH理由：設AB= 1 ,1則AE= 2，所以BEJ5-1=EF27 AF =2= AH3-75BH= 2AH HB所以AB AH2 ，所以點H是線段AB的黃金分割點.14 / 9對這一基本圖形我們將會非常熟悉,此等腰三角形叫方法三：如圖1、以AB為腰作等腰 ABD使/ A=

3、 362、作/ ADB的角平分線交 AB于點C 所以，點C是線段AB的黃金分割點. 理由：作圖的理由在本章學完就知道， 做黃金三角形AB J5 1例1:如圖所示，矩形 ABCD是黃金矩形(即 BC = 2 疋0.618 ),如果在其內(nèi)作正方形CDEF得到一個小矩形 ABFE試問矩形ABFE是否也是黃金矩形?EF,使PF=PD,以AF為邊作正方形 求AM DM的長， 試說明aM=ad dm根據(jù)(2)的結論，你能找出圖中的黃金分割點嗎?ABCD取AB的中點P,連接PD在BA的延長線上AMEF點M在AD上，如圖所示，例2:以長為2的線段AB為邊作正方形 取點(1)(2)(3)DC練習題、請你填一填(

4、)如圖，若點p是AB的黃金分割點，則線段中pB AB滿足 二關系式，即AP是的比例中項.(2 )黃金矩形的寬與長的比大約為(精確到0.001).(3)如果線段d是線段a、b、c的第四比例項，其中 d=cm.a=2 cm, b=4 cm, c=5 cm,貝U(4)已知O點是正方形 ABC啲兩條對角線的交點，則AO： AB： A(=二、認真選一選1、有以下命題:如果線段d是線段.bC的第四比例項，則有 行如果點C是線段AB的中點，那么 AC是 AB BC的比例中項如果點C是線段AB的黃金分割點，且 AOBC那么AC是 AB與BC的比例中項如果點C是線段AB的黃金分割點，AOBC且AB=2,則AOR

5、 1其中正確的判斷有（A.1個B.2個C.3D.4個2、已知P為線段AB的黃金分割點，且 APvPBy（2 2 2 2 2 2A、AP = AB ”PB ; B AB = AP PB ; C、PB= AP AB ; D、AP+ BP= AB3、已知點M將線段AB黃金分割（AM BM）,則下列各式中不正確的是 （）A.75-1AM : BM =AB : AM B. AM=AB2C. BM = 1 AB D. AM 0.618AB2C.3個且D.4個AB= 10cm，則 PQ 長為（A.1個B.2個已知P、Q是線段AB的兩個黃金分割點,A、5(751)B 5(75+1)C、10(5-2)D、5(3

6、-75)三、好好想一想1、已知點C是線段AB的黃金分割點AC=5丿5 5，且AC BC,求線段AB與BC的長。E、F為線段AB的黃金分割點，已知 AB= 10 cm，求EF的長度.AA3、AB -1如果一個矩形 ABCD （ABAAE如上圖，如果有詈AC逵，那么DE Be。平行線分線段成比例定理及其推論基本應用如圖,DE / BC，且 DB =AE ,若 AB =5, AC =10，求 AE 的長。11丄1=T 如圖,已知 AB/EF/CD，若 AB=a , CD =b , EF =c，求證:cab【鞏固】如圖,AB丄BD , CD丄BD，垂足分別為 B、AC和BD相交于點111 EF丄BD,

7、垂足為F.證明：+AB CD EF【鞏固】如圖，找出S推D、S也ED、SCD之間的關系,并證明你的結論.【例3】如圖，在梯形ABCD中，AB / CD， AB =12 , CD =9，過對角線交點O作EF / CD 交 AD , BC 于 E , F，求 EF 的長?！眷柟獭浚ㄉ虾Ｊ袛?shù)學競賽題）如圖，在梯形ABCD中，AD/ BC,AD=a，BC =b，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，AF交BE于P，CE交DF于Q，求PQ的長。C專題二、定理及推論與中點有關的問題【例4】（2007年北師大附中期末試題）1（1）如圖（1），在 MBC中，M是AC的中點，E是AB上一點，且AE =-AB4連接EM并

8、延長，交BC的延長線于D，則=.CD（2）如圖（2）,已知 MBC 中，AE :EB =1:3，BD :DC =2:1，AD 與 CE 相交于 F， 則IF+AF的值為（）FC FDB.1C.A 5A. 2【例5】（2001年河北省中考試題）如圖，在 MBC中，D為BC邊的中點，E為 AC邊上的任意一點，（1）當些=1時，AC 2（3）試猜想些=BE交AD于點0 .求也的值。（2）當些-1、丄時，求ADAC 3 4時竺的值，并證明你的猜想.AC n +1 AD【例6】（2003年湖北恩施中考題） 是BE延長線與AC的交點.（1）如果E是AD的中點，求證：AF _1 .FC = 2 ；（2）由（

9、1）知，當E是AD中點時，匚=丄FC 2（E與A、D不重合），上述結論是否仍然成立, 請說明理由.如圖，AD是MBC的中線,AO的值;if成立，若E是AD上任意一點若成立請寫出證明，若不成立，E是AD【鞏固】（天津市競賽題）如圖，已知 MBC中， 上的一點，且BE =AC，延長BE交AC于F。求證:AD是BC邊上的中線,AF =EF。A【例7】（寧德市中考題）如圖， MBC中，D為BC邊的中點，延長AD至E， 延長AB交CE的延長線于P。若AD =2DE，求證：AP =3AB。A【鞏固】（濟南市中考題；安徽省中考題）如圖，人ABC 中,別是AB , AC的中點,則 DiEWa ；若D2、E2分

10、別是Di B、若D3、E3分別是D2B、I 3 =4a ；、E2C 的中點，貝U D3E3 =1j3a +a1 faEiC 的中點，貝U D2E2 =- I 2(21 3若Dn、En分別是Dn-iB、巴一心的中點，貝U。.巴=dDnBADiE1D2BC =a，若 Di , Ei 分專題三、利用平行線轉(zhuǎn)化比例【例8】如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點0，直線I平行于BD，且 與AB、DC、BC、ad及AC的延長線分別相交于點 M、N、R、S和P . 求證：PM ”PN =PR”PS【鞏固】已知，如圖，四邊形abcd，兩組對邊延長后交于AC的延長線交 EF于G .求證：EG =GF .G

11、【例9】已知：P為MBC的中位線MN上任意一點, 邊AC、AB于D、E，求證：譽1BP、CP的延長線分別交對【例10】線，AE、如圖，M、N為 MBC邊BC上的兩點，且滿足 BM =MN =NC，條 平行于AC的直線分別交求證：EF =3DE .【例11】AB、AM和AN的延長線于點 D、E和F .分別連【例12】已知：如圖,接AC、(1)求證：EF / /CDBD、 MD、 MC在梯形 ABCD中，AB/CD，M是AB的中點, ，且AC與MD交于點E，DB與MC交于F .(2)若 AB =a , CD =b，求 EF 的長【鞏固】女口圖，在梯形 ABCD 中，AD / BC , AD =3, BC =9 ,AB=6,CD=4，若EF / BC ,且梯形AEFD與梯形EBCF的周長相等，求EF的長。【例13】 (山東省競賽題)如圖，L ABCD的對角線相交于點0,在AB的延 長線上任取一點E，連接OE交BC于點F，若a/D，c E b，=,求BF的值。在MBC中，底邊BC上的兩點E、F把BC三等分，BM是AC上的中AF分別交BM 于G、H兩點，求證：BG :GH : HM =5:3: 2【例141已知等腰直角 MBC中，E、D分別為直角邊BC、AC上的點，且CE =CD，過E、D分別作