最短路徑之Dijkstra算法詳細(xì)講解

1、最短路徑之 Dijkstra 算法詳細(xì)講解1 最短路徑算法在日常生活中，我們?nèi)绻枰３Ｍ?A 地區(qū)和 B 地區(qū)之間，我們最希望 知道的可能是從A地區(qū)到B地區(qū)間的眾多路徑中，那一條路徑的路途最短。最 短路徑問題是圖論研究中的一個(gè)經(jīng)典算法問題，旨在尋找圖(由結(jié)點(diǎn)和路徑組成的)中兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑。算法具體的形式包括：(1) 確定起點(diǎn)的最短路徑問題：即已知起始結(jié)點(diǎn)，求最短路徑的問題。(2) 確定終點(diǎn)的最短路徑問題：與確定起點(diǎn)的問題相反，該問題是已知終結(jié)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑的問題。在 無向圖中該問題與確定起點(diǎn)的問題完全等同，在有向圖中該問題等同于把所有 路徑方向反轉(zhuǎn)的確定起點(diǎn)的問題。(3) 確定起點(diǎn)

2、終點(diǎn)的最短路徑問題：即已知起點(diǎn)和終點(diǎn)，求兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑。(4) 全局最短路徑問題：求圖中所有的最短路徑。用于解決最短路徑問題的算法被稱做 “最短路徑算法 ”，有時(shí)被簡稱作 “路徑 算法”。最常用的路徑算法有：Dijkstra 算法、A*算法、Bellman-Ford 算法、Floyd-Warshall算法、Johnson 算法。本文主要研究 Dijkstra 算法的單源算法。2 Dijkstra 算法2.1 Dijkstra 算法Dijkstra 算法是典型最短路算法，用于計(jì)算一個(gè)節(jié)點(diǎn)到其他所有節(jié)點(diǎn)的最短 路徑。主要特點(diǎn)是以起始點(diǎn)為中心向外層層擴(kuò)展，直到擴(kuò)展到終點(diǎn)為止。Dijkstra

3、算法能得出最短路徑的最優(yōu)解，但由于它遍歷計(jì)算的節(jié)點(diǎn)很多，所 以效率低。Dijkstra 算法是很有代表性的最短路算法，在很多專業(yè)課程中都作為基本內(nèi) 容有詳細(xì)的介紹，如數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，圖論，運(yùn)籌學(xué)等等。2.2 Dijkstra 算法思想Dijkstra 算法思想為：設(shè)G=（V,E是一個(gè)帶權(quán)有向圖，把圖中頂點(diǎn)集合 V分成兩組，第一組為已求 出最短路徑的頂點(diǎn)集合（用 S表示，初始時(shí)S中只有一個(gè)源點(diǎn)，以后每求得一條 最短路徑，就將加入到集合S中，直到全部頂點(diǎn)都加入到 S中，算法就結(jié)束了）， 第二組為其余未確定最短路徑的頂點(diǎn)集合 （用 U 表示），按最短路徑長度的遞增次 序依次把第二組的頂點(diǎn)加入 S中。在加入

4、的過程中，總保持從源點(diǎn) v到S中各 頂點(diǎn)的最短路徑長度不大于從源點(diǎn) v到U中任何頂點(diǎn)的最短路徑長度。此外， 每個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)距離，S中的頂點(diǎn)的距離就是從v到此頂點(diǎn)的最短路徑長度， U中的頂點(diǎn)的距離，是從v到此頂點(diǎn)只包括S中的頂點(diǎn)為中間頂點(diǎn)的當(dāng)前最短路 徑長度。2.3 Dijkstra 算法具體步驟（1）初始時(shí)，S只包含源點(diǎn)，即S二，v的距離為0。U包含除v外的其他頂 點(diǎn)，U中頂點(diǎn)u距離為邊上的權(quán)（若v與u有邊咸）（若u不是v的出邊鄰接點(diǎn)）。從U中選取一個(gè)距離v最小的頂點(diǎn)k,把k,加入S中（該選定的距離就 是v到k的最短路徑長度）。（3）以k為新考慮的中間點(diǎn)，修改U中各頂點(diǎn)的距離;若從源點(diǎn)v到頂點(diǎn) u（uU）的距離（經(jīng)過頂點(diǎn)k）比原來距離（不經(jīng)過頂點(diǎn)k）短，則修改頂點(diǎn)u的距離 值，修改后的距離值的頂點(diǎn)k的距離加上邊上的權(quán)。（4）重復(fù)步驟(2) 和(3) 直到所有頂點(diǎn)都包含在 Sxx。2.4 Dijkstra 算法舉例說明如下圖，設(shè)A為源點(diǎn)，求A到其他各頂點(diǎn)(B、C、D、E、F)的最短路徑。線上所標(biāo)注為相鄰線段之間的距離，即權(quán)值。 (注： 此圖為隨意所畫，其相鄰頂點(diǎn)間的距離與圖中的目視長度不能一一對(duì)等 )