排列組合難題21+12種方法

1、高考數(shù)學輕松搞定排列組合難題二十一種方法排列組合問題聯(lián)系實際生動有趣，但題型多樣，思路靈活，因此解決排列組合問題, 首先要認真審題，弄清楚是排列問題、組合問題還是排列與組合綜合問題；其次要抓住 問題的本質(zhì)特征，采用合理恰當?shù)姆椒▉硖幚?。教學目標1. 進一步理解和應(yīng)用分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理。2. 掌握解決排列組合問題的常用策略；能運用解題策略解決簡單的綜合應(yīng)用題。 提高學生 解決問題分析問題的能力3. 學會應(yīng)用數(shù)學思想和方法解決排列組合問題.復(fù)習鞏固1.分類計數(shù)原理（加法原理）完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有m種不同的方法，在第2類辦法中有m2 種不同的方法，在第n類辦法中有mn種不

2、同的方法，那么完成這件事共有：N = m, +口2 +川 +mn種不同的方法.2. 分步計數(shù)原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有mi種不同的方法，做第2步有m2種不同 的方法，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有：N =mi xm2刈|x min種不同的方法.3. 分類計數(shù)原理分步計數(shù)原理區(qū)別分類計數(shù)原理方法相互獨立，任何一種方法都可以獨立地完成這件事。分步計數(shù)原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一個階段，不能完成整個事件.解決排列組合綜合性問題的一般過程如下：1. 認真審題弄清要做什么事2. 怎樣做才能完成所要做的事，即采取分步還是分類，或是分步與分類同時進

3、行，確定分 多少步及多少類。3. 確定每一步或每一類是排列冋題（有序）還是組合（無序）冋題,兀素總數(shù)是多少及取出 多少個元素.4. 解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).解：由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了這兩個位血. 先排末位共有c1然后排首位共有c1I A；C；最后排其它位置共有1 由分步計數(shù)原理得c4c3a3 =288c1位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法，若以元素分析為主，需先安排特殊元素，再處理其它元

4、素.若以位置分析為主，需先滿足特殊位置的要求 ，再處理其它位 置。若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其它條件練習題:7種不同的花種在排成一列的花盆里，若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花 盆里，問有多少不同的種法？二.相鄰元素捆綁策略例2. 7人站成一排，其中甲乙相鄰且丙丁相鄰，共有多少種不同的排法.解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復(fù)合元素，同時丙丁也看成一個復(fù)合元素,再與其它元素進行排列，同時對相鄰元素內(nèi)部進行自排。由分步計數(shù)原理可得共有 =480種不同的排法甲乙）（丙丁要求某幾個元素必須排在一起的問題，可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素，

5、再與其它元素一起作排列，同時要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.練習題：某人射擊8槍，命中4槍,4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為_20 三.不相鄰問題插空策略例3. 一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場，則節(jié)目的出 場順序有多少種？解:分兩步進行第一步排2個相聲和3個獨唱共有a5種，第二步將4舞蹈插入第一步排 好的6個元素中間包含首尾兩個空位共有種 a4不同的方法，由分步計數(shù)原理，節(jié)目的 不同順序共有a5a4種元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩練習題：某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如

6、果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為30四. 定序問題倍縮空位插入策略例4.7人排隊，其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法解:（倍縮法）對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一起進 行排列，然后用總排列數(shù)除以這幾個元素之間的全排列數(shù)，則共有不同排法種數(shù)是：a7/a3（空位法）設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有 a4種方法，其余的三個位 置甲乙丙共有 丄種坐法，則共有a4種方法。思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎？（插入法）先排甲乙丙三個人，共有1種排法，再把其余 4四人依次插入共有 方法定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插練習題:

7、10人身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求從左至右身高逐漸增加，共有多 少排法？C10五. 重排問題求幕策略例5.把6名實習生分配到7個車間實習，共有多少種不同的分法解：完成此事共分六步：把第一名實習生分配到車間有 二種分法.把第二名實習生分配到 車間也有7種分依此類推，由分步計數(shù)原理共有76種不同的排法允許重復(fù)的排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個元素 的位置，一般地n不同的元素沒有限制地安排在m個位置上的排列數(shù)為 mn種練習題：1. 某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將 這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)

8、為 空_2. 某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人，他們到各自的一層下電梯，下電梯的方法78六. 環(huán)排問題線排策略例6. 8人圍桌而坐，共有多少種坐法？解：圍桌而坐與坐成一排的不同點在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人A：并從此位置把圓形展成直線其余7人共有（8-1 ）!種排法即7 !CCKXXXKXXX)ABCDEFGHA14一般地,n個不同元素作圓形排列，共有（n-1）!種排法如果從n個不同元素中取出 m個元素作圓 形排列共有 -A：n練習題：6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈120七. 多排問題直排策略例7.8人排成前后兩排，每排4人其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少排法解:8人排前后

9、兩排，相當于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.個特殊元素有a2 種,再排后4個位置上的特殊元素丙有a4種，其余的5人在5個位置上任意排列有 a5種,則共有a2a4a5種般地，元素分成多排的排列問題，可歸結(jié)為一排考慮，再分段研練習題：有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排2人就座規(guī)定前排中間 的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是 346八. 排列組合混合問題先選后排策略例8.有5個不同的小球，裝入4個不同的盒內(nèi)，每盒至少裝一個球，共有多少不同的裝法. 解：第一步從5個球中選出2個組成復(fù)合元共有C；種方法.再把4個元素（包含一個復(fù)合元素）裝入4個不同的盒內(nèi)有a

10、4種方法，根據(jù)分步計數(shù)原理裝球的方法共有CsA：解決排列組合混合問題，先選后排是最基本的指導(dǎo)思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎練習題：一個班有6名戰(zhàn)士，其中正副班長各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務(wù)，每人完成一種任務(wù)，且正副班長有且只有1人參加，則不同的選法有192種九. 小集團問題先整體后局部策略例9.用1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個偶數(shù)夾1, 5在兩個奇數(shù)之間，這樣的五位數(shù)有多少個？解：把1，5，2，4當作一個小集團與3排隊共有a2種排法，再排小集團內(nèi)部共有a2a2種排法，由分步計數(shù)原理共有 a2a2a2種排法.小集團排列問題中，先整體后局部，再結(jié)合其它策略進行處

11、理。練習題：1 .計劃展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫，4幅油畫，5幅國畫，排成一行陳列，要求同一品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為 a2a5a42. 5男生和5女生站成一排照像,男生相鄰,女生也相鄰的排法有a2a5a5種十.元素相同問題隔板策略例10.有10個運動員名額，分給7個班，每班至少一個，有多少種分配方案？解：因為10個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成9個空隙。在9 個空檔中選6個位置插個隔板，可把名額分成7份，對應(yīng)地分給7個班級，每一 種插板方法對應(yīng)一種分法共有c9種分法。olo ololo ololo olo一二三四五1、.六班班班班

12、班班班將n個相同的元素分成 m份（n，m為正整數(shù)），每份至少一個元素，可以用m-1塊隔板,插入n個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數(shù)為cnrnf練習題：C94C1031. 10個相同的球裝5個盒中，每盒至少一有多少裝法？2 . x + y+z+ w=100求這個方程組的自然數(shù)解的組數(shù) 十一.正難則反總體淘汰策略例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數(shù)字中取出三個數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù)，不同的取法有多少種？解：這問題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難，可用總體淘汰法。這十個數(shù)字中有5個偶數(shù)5個奇數(shù)，所取的三個數(shù)含有3個偶數(shù)的取法有C3，只含有1個偶數(shù)的取 法有C5C；

13、，和為偶數(shù)的取法共有C5C； +C；。再淘汰和小于10的偶數(shù)共9種，符合條 件的取法共有c5c|+c|-9有些排列組合問題，正面直接考慮比較復(fù)雜，而它的反面往往比較簡捷，可以先求出 它的反面，再從整體中淘汰.練習題：我們班里有43位同學，從中任抽5人，正、副班長、團支部書記至少有一人在內(nèi) 的抽法有多少種？十二.平均分組問題除法策略 例12. 6本不同的書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解：分三步取書得C；C；C；種方法，但這里出現(xiàn)重復(fù)計數(shù)的現(xiàn)象，不妨記6本書為ABCDE，若第一步取 AB,第二步取 CD,第三步取 EF該分法記為（AB,CD,EF）,則 clccl 中還有（AB,EF,CD

14、）,（CD,AB,EF）,（CD,EF,AB）（EF,CD,AB）,（EF,AB,CD） 共有a3種取法，而這些分法僅是（AB,CD,EF）一種分法，故共有C；C；C2/a3種分法。平均分成的組，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后要一定要除以 An（ n為均分的 組數(shù)）避免重復(fù)計數(shù)。練習題：1將13個球隊分成3組，一組5個隊,其它兩組4個隊，有多少分法？ （ C；3C；C：/a2） 2.10名學生分成3組,其中一組4人，另兩組3人但正副班長不能分在同一組，有多少種 不同的分組方法 （1540）3. 某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名

15、，則不同的安排方案種數(shù)為 （ C：C；a2/a2 = 90）十三.合理分類與分步策略例13.在一次演唱會上共10名演員，其中8人能能唱歌,5人會跳舞,現(xiàn)要演出一個2人唱 歌2人伴舞的節(jié)目，有多少選派方法解：10演員中有5人只會唱歌，2人只會跳舞3人為全能演員。選上唱歌人員為標準 進行研究只會唱的5人中沒有人選上唱歌人員共有CfCa種，只會唱的5人中只有1人選上 唱歌人員c5c3c2種,只會唱的5人中只有2人選上唱歌人員有Cfd種，由分類 計數(shù)原理 +c5c3c2 +c5C2 種。解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質(zhì)進行分類， 按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步， 做到標準明確。分步層次清楚，不重

16、不漏，分類標準一旦確定要貫穿于解題過程的始終。練習題：1. 從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座 談會，若這4人中必須既有男生又 有女生，則不同的選法共有 眩2. 3成人2小孩乘船游玩,1號船最多乘3人,2號船最多乘2人,3號船只能乘1人，他 們?nèi)芜x2只船或3只船,但小孩不能單獨乘一只船，這3人共有多少乘船方法.（27） 本題還有如下分類標準：*以3個全能演員是否選上唱歌人員為標準*以3個全能演員是否選上跳舞人員為標準*以只會跳舞的2人是否選上跳舞人員為標準都可經(jīng)得到正確結(jié)果十四.構(gòu)造模型策略例14.馬路上有編號為123,4,5,6,7,8,9的九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞,但不能關(guān)掉相鄰

17、的2盞或3盞,也不能關(guān)掉兩端的2盞,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？ 解：把此問題當作一個排隊模型在6盞亮燈的5個空隙中插入3個不亮的燈有C；種如占位填空模型，排隊模型，裝盒一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型, 模型等，可使問題直觀解決練習題：某排共有10個座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有 多少種？（ 120）十五.實際操作窮舉策略例15.設(shè)有編號1,2,3,4,5的五個球和編號1,2,3,4,5的五個盒子，現(xiàn)將5個球投入這五 個盒子內(nèi)，要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同，有多 少投法解：從5個球中取出2個與盒子對號有C2種還剩下

18、3球3盒序號不能對應(yīng)，利用實際 操作法，如果剩下3,4,5號球,3,4,5 號盒3號球裝4號盒時，則4,5號球有只 有1種裝法，同理3號球裝5號盒時,4,5號球有也只有1種裝法，由分步計數(shù)原 理有2C2種3號盒34 號盒 5 號盒對于條件比較復(fù)雜的排列組合問題，不易用公式進行運算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會收 到意想不到的結(jié)果練習題：1. 同一寢室4人,每人寫一張賀年卡集中起來，然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？（9）2. 給圖中區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū) 域不同色，現(xiàn)有4種可選顏色，則不同的著色方法有.72 種十六.分解與合成策略例16. 30030能被多少個不同

19、的偶數(shù)整除分析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式 30030=2X 3X 5 X 7 X 11X13依題意可知偶因數(shù)必先取2,再從其余5個因數(shù)中任取若干個組成乘積, 所有的偶因數(shù)為：C5 +Cf+C3 +C5 +c5練習:正方體的8個頂點可連成多少對異面直線解：我們先從8個頂點中任取4個頂點構(gòu)成四體共有體共C：-12=58,每個四面體 有3對異面直線,正方體中的8個頂點可連成3x58 = 174對異面直線分解與合成策略是排列組合問題的一種最基本的解題策略，把一個復(fù)雜問題分解成幾個小問題逐一解決，然后依據(jù)問題分解后的結(jié)構(gòu)，用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理將問題合成，從而得到問題的答案海個比較復(fù)雜

20、的問題都要用到這種解題策略十七.化歸策略例17. 25人排成5X 5方陣，現(xiàn)從中選3人，要求3人不在同一行也不在同一列，不同的選 法有多少種？解：將這個問題退化成9人排成3X 3方陣，現(xiàn)從中選3人，要求3人不在同一行也 不在同一列，有多少選法.這樣每行必有1人從其中的一行中選取1人后，把這人 所在的行列都劃掉，如此繼續(xù)下去.從3X 3方隊中選3人的方法有C3C2C1數(shù)之和等于5的概率為一，則n= 8.14用0，1，9十個數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（B） 252（C） 261（D） 279Iga-lgb的不同值的個數(shù)是（ C ）種。再從5X 5方陣選出3X 3方陣便可解決問題.從5

21、X 5方隊中選取3行3列有 選法所以從5X 5方陣選不在同一行也不在同一列的 3人有CicCCC1選法。處理復(fù)雜的排列組合問題時可以把一個問題退化成一個簡 要的問題，通過解決這個簡要的問題的解決找到解題方法, 從而進下一步解決原來的問題Y Q OO O O從 A走到B的最短練習題:某城市的街區(qū)由12個全等的矩形區(qū)組成其中實線表示馬路, 路徑有多少種？(需=35)十八.數(shù)字排序冋題查字典策略例18.由0, 1, 2, 3, 4, 5六個數(shù)字可以組成多少個沒有重復(fù)的比324105大的數(shù)?解:N =2A? +2a4 +a3 +A； + A； =297數(shù)字排序問題可用查字典法，查字典的法應(yīng)從高位向低位

22、查，依次求出其符合要求 的個數(shù)，根據(jù)分類計數(shù)原理求出其總數(shù)。練習:用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字組成沒有重復(fù)的四位偶數(shù)，將這些數(shù)字從小到大排列起來，第71個數(shù)是3140十九.樹圖策略例19. 3人相互傳球，由甲開始發(fā)球，并作為第一次傳球，經(jīng)過5次傳求后，球仍回到甲的 手中,則不同的傳球方式有 N =10對于條件比較復(fù)雜的排列組合問題，不易用 公式進行運算，樹圖會收到意想不到的結(jié)果練習：分別編有1，2，3，4，5號碼的人與椅，其中i號人不坐i號椅(i= 1,2,345 )的不同坐法有多少種？N =44二十.復(fù)雜分類問題表格策略例20.有紅、黃、蘭色的球各 5只，分別標有A、B、CD E五個字

23、母，現(xiàn)從中取5只, 要求各字母均有且三色齊備，則共有多少種不同的取法解：紅111223黃123121、/.321211取法Qc：c5c：c5c：cfc；CfCa2c5C2一些復(fù)雜的分類選取題 ，要滿足的條件比較多，無從入手，經(jīng)常出現(xiàn)重復(fù)遺 漏的情況，用表格法，則分類明確，能保證題中須滿足的條件 ，能達到好的效二：住店法策略解決“允許重復(fù)排列問題”要注意區(qū)分兩類元素： 一類元素可以重復(fù)，另一類不能重復(fù), 把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解 .例21.七名學生爭奪五項冠軍，每項冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數(shù)2013 山東（10）（A）243 【答案

24、】B2013大綱（14）6個人排成一行，其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有 （用數(shù)字作答）2013四川8.從1，3,5,7,9這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別為a, b，共可得到(A) 9(B) 10(C) 18(D) 20有 . 分析：因同一學生可以同時奪得 n項冠軍，故學生可重復(fù)排列，將七名學生看作7家“店”，五項冠軍看作5名“客”，每個“客”有7種住宿法，由乘法原理得75種.2013浙江14.將A，B，C，D，E，F(xiàn)六個字母排成一排，且 A，B均在C的同側(cè)，則不 同的排法有種（用數(shù)字作答）.【命題意圖】本題考查排列組合，屬于中檔題【答案解析】480第一類，字母C排在左邊第一個位置，有

25、a5種；第二類，字母C 排在左邊第二個位置，有a2a3種；第三類，字母C排在左邊第三個位置，有a2a3+ A a3種，由對稱性可知共有 2x（ a5+ a4a3+ a2A3+ a3a3）=480種。2013重慶（13）從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個抗震救災(zāi)醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是 590（用數(shù)字作答）.2013新課標2 （14）從n個正整數(shù)1, 2,，n中任意取出兩個不同的數(shù)，若取出的兩 11、（ 2012日照一中模擬）在小語種提前招生考試中，某學校獲得5個推薦名額，其中俄語2名，日語2名，西班牙語1名。并且日語和俄語都要求必須有男

26、生參加。學校通過選拔定下3男2女共5個推薦對象，則不同的推薦方法共有(A) 20 種(B) 22 種(C) 24 種(D) 36 種答案；C解析；三個男生每個語種各推薦一人共有上=2（種選C2、（2012威海二模）將a,b,c三個字母填寫到3X3方格中，要求每行每列都不能出現(xiàn)重復(fù)字母,不同的填寫方法有.種.（用數(shù)值作答）【答冕】12【解析】先壇第一丘則第一行有=6種，第二行第一列有2種，其余2列有唯一1種，第三列唯一確定1種，共有6x2=12 （種）（2012臨沂3月模擬）從0,1,234,5這六個數(shù)字中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為(A) 300(B) 216( C

27、) 180(D) 162【答案】C【解析】若不選0，則有C；C；a4 =72,若選0,則有c3c2C；A； =108,所以共有180種，選C.4、（2012濟南一中模擬）如右圖所示，使電路接通，開關(guān)不同的開閉方式有A. 11 種B. 20C. 21 種D. 12【答案】【解析】若前一個開關(guān)只接通一個，則后一個有c3 +C2 + C； =7，此時有2咒7 =14種，若前一個開關(guān)接通兩一個，則后一個有C3 +C； +C； =7，所以總共有14 + 7 = 21，選C.小結(jié)本節(jié)課，我們對有關(guān)排列組合的幾種常見的解題策略加以復(fù)習鞏固。排列組合歷來是學 習中的難點，通過我們平時做的練習題，不難發(fā)現(xiàn)排列組

28、合題的特點是條件隱晦，不易 挖掘，題目多變，解法獨特，數(shù)字龐大，難以驗證。同學們只有對基本的解題策略熟練 掌握。根據(jù)它們的條件，我們就可以選取不同的技巧來解決問題.對于一些比較復(fù)雜的問 題,我們可以將幾種策略結(jié)合起來應(yīng)用把復(fù)雜的問題簡單化，舉一反三，觸類旁通，進而為后續(xù)學習打下堅實的基礎(chǔ)。首先，談?wù)勁帕薪M合綜合問題的一般解題規(guī)律：1）使用“分類計數(shù)原理”還是“分步計數(shù)原理”要根據(jù)我們完成某件事時采取的方式而 定，可以分類來完成這件事時用“分類計數(shù)原理”，需要分步來完成這件事時就用“分 步計數(shù)原理”；那么，怎樣確定是分類，還是分步驟？ “分類”表現(xiàn)為其中任何一類均 可獨立完成所給的事件，而“分步

29、”必須把各步驟均完成才能完成所給事件，所以準確 理解兩個原理強調(diào)完成一件事情的幾類辦法互不干擾，相互獨立，彼此間交集為空集， 并集為全集，不論哪類辦法都能將事情單獨完成，分步計數(shù)原理強調(diào)各步驟缺一不可， 需要依次完成所有步驟才能完成這件事，步與步之間互不影響，即前步用什么方法不影 響后面的步驟采用的方法。2）排列與組合定義相近，它們的區(qū)別在于是否與順序有關(guān)。3） 復(fù)雜的排列問題常常通過試驗、畫“樹圖”、“框圖”等手段使問題直觀化，從 而尋求解題途徑，由于結(jié)果的正確性難于檢驗，因此常常需要用不同的方法求解來獲得 檢驗。4）按元素的性質(zhì)進行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)性進行分步是處理排列組合問題的基本思

30、 想方法，要注意“至少、至多”等限制詞的意義。5）處理排列、組合綜合問題，一般思想是先選元素（組合），后排列，按元素的性質(zhì)進 行“分類”和按事件的過程“分步”，始終是處理排列、組合問題的基本原理和方法， 通過解題訓(xùn)練要注意積累和掌握分類和分步的基本技能，保證每步獨立，達到分類標準 明確，分步層次清楚，不重不漏。6）在解決排列組合綜合問題時，必須深刻理解排列組合的概念，能熟練地對問題進行分 類，牢記排列數(shù)與組合數(shù)公式與組合數(shù)性質(zhì)，容易產(chǎn)生的錯誤是重復(fù)和遺漏計數(shù)。總之，解決排列組合問題的基本規(guī)律，即：分類相加，分步相乘，排組分清，加乘明確； 有序排列，無序組合；正難則反，間接排除等。其次，我們在抓

31、住問題的本質(zhì)特征和規(guī)律，靈活運用基本原理和公式進行分析解答的同 時，還要注意講究一些解題策略和方法技巧，使一些看似復(fù)雜的問題迎刃而解。下面介 紹幾種常用的解題方法和策略。一. 特殊元素（位置）的“優(yōu)先安排法”：對于特殊元素（位置）的排列組合問題， 般先考慮特殊，再考慮其他。）。例1、用0，2，3，4，5，五個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（A.24 個 B.30 個 C.40 個 D.60 個分析由于該三位數(shù)為偶數(shù)，故末尾數(shù)字必為偶數(shù)，又因為0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，應(yīng)該優(yōu)先安排，按 0排在末尾和0不排在末尾分兩類：1） 0排末尾 時，有A42個，2） 0不排在末

32、尾時，則有C21 A31A31個，由分數(shù)計數(shù)原理，共有偶數(shù) A42 + C21 A31A31=30 個，選 B。二. 總體淘汰法：對于含否定的問題，還可以從總體中把不合要求的除去。如例1中，也可用此法解答：五個數(shù)字組成三位數(shù)的全排列有 A53個，排好后發(fā)現(xiàn)0不能排首位，而 且數(shù)字3，5也不能排末位，這兩種排法要排除，故有 A53-3A42+ C21A31=30個偶數(shù)。三. 合理分類與準確分步 含有約束條件的排列組合問題，按元素的性質(zhì)進行分類，按事 情發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到分類標準明確，分步層次清楚，不重不漏。四. 相鄰問題用捆綁法：在解決對于某幾個元素要求相鄰的問題時，先整體考慮，將相 鄰的

33、元素“捆綁”起來，看作一“大”元素與其余元素排列，然后再考慮大元素內(nèi)部各 兀素間順序的解題策略就是捆綁法.例2、有8本不同的書；其中數(shù)學書3本，外語書2本，其它學科書3本.若將這些書排 成一列放在書架上，讓數(shù)學書排在一起，外語書也恰好排在一起的排法共有（）種.（結(jié)果用數(shù)值表示） 解：把3本數(shù)學書“捆綁”在一起看成一本大書，2本外語書也“捆綁”在一起看成一本 大書，與其它3本書一起看作5個元素，共有A55種排法；又3本數(shù)學書有A33種排法， 2本外語書有A22種排法；根據(jù)分步計數(shù)原理共有排法 A55 A33 A22=1440（種）.注：運用捆綁法解決排列組合問題時，一定要注意“捆綁”起來的大元素

34、內(nèi)部的順序問 題.五. 不相鄰問題用“插空法”：不相鄰問題是指要求某些元素不能相鄰，由其它元素將 它們隔開.解決此類問題可以先將其它元素排好，再將所指定的不相鄰的元素插入到它 們的間隙及兩端位置，故稱插空法.例3、用1、2、3、4、5、6 7、8組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求 1與2相鄰，2與4 相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰。這樣的八位數(shù)共有（）個.（用數(shù)字作答） 解：由于要求1與2相鄰，2與4相鄰，可將1、2、4這三個數(shù)字捆綁在一起形成一個大 元素，這個大元素的內(nèi)部中間只能排 2,兩邊排1和4,因此大元素內(nèi)部共有 A22種排法， 再把5與6也捆綁成一個大元素，其內(nèi)部也有 A22種排法，與

35、數(shù)字3共計三個元素，先 將這三個元素排好，共有 A33種排法，再從前面排好的三個元素形成的間隙及兩端共四 個位置中任選兩個，把要求不相鄰的數(shù)字 7和8插入即可，共有A42種插法，所以符合 條件的八位數(shù)共有 A22 A22 A33 A42 = 288（種）.注：運用“插空法”解決不相鄰問題時，要注意欲插入的位置是否包含兩端位置.六. 順序固定用“除法”：對于某幾個元素按一定的順序排列問題，可先把這幾個元素 與其他元素一同進行全排列，然后用總的排列數(shù)除于這幾個元素的全排列數(shù)。例4、6個人排隊，甲、乙、丙三人按“甲-乙-丙”順序排的排隊方法有多少種？ 分析：不考慮附加條件，排隊方法有 A66種，而其中甲、乙、丙的A33種排法中只有一 種符合條件。故符合條件的排法有 A66 - A33 =120種。（或A63種）例5、4個男生和3個女生，高矮不相等，現(xiàn)在將他們排成一行，要求從左到右女生從矮 到高排列，有多少種排法。解：先在7個位置中任取4個給男生，有A74種排法，余下的3個位置給女生，只有一 種排法，故有A74