線性代數(shù)第四版同濟(jì)大學(xué)課后習(xí)題答案

1、201(1)141183第一章121048行列式利用對角線法則計(jì)算下列三階行列式44)30(32(1)816448o33cabc abab cab c-ga1 C21b21 a21b2121 a ax21)x(x 3xy(x y)c z 33、2(x y)2按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序(1) 1 2 3 4 解逆序數(shù)為(2) 4 1 3 2解逆序數(shù)為(3) 3 4 2 1y)yyx(x y)3 c 2y 3x y4143(x3x423.33y)yx y (X y) x3y求下列各排列的逆序數(shù)32解逆序數(shù)為53 23 14 24 1,2 1(4)2 4 1 3解逆序數(shù)為32 14 14 3(5)1

2、 3(2 n1) 2 4(2 n)解逆序數(shù)為嚀3 2 (1個(gè))5 25 4(2個(gè))7 27 47 6(3個(gè))(2n1)2(2n1)4(2n1)61個(gè))(6)1 3(2n 1) (2n) (2 n2)(n(2n1)(2 n 2)解逆序數(shù)為n( n3 2(1個(gè))5 25 4 (2(2(n 1 個(gè))4 2(16 21)2(2n1)4(2n1)6(2n1)(2 n 2)個(gè))6 4(2 個(gè))(23解(2 n)4(2 n)6(2 n)(2 n 2) ( n 1 個(gè))n)2寫出四階行列式中含有因子a11a23的項(xiàng)含因子&1伯23的項(xiàng)的一般形式為(1) a11a23a3ra4s這種排列共有兩個(gè)即24和42其中

3、rs是2和4構(gòu)成的排列 所以含因子a11a23的項(xiàng)分別是(41) &11323&3044(1) &11323&34&42(計(jì)算下列各行列式1) &11&2血32&44&11&2血32&4421) &11&2血34&42&11&23&34&4241 WO125202142 0741BO125414207202141002302021C 4121041W23230241- 29002 4231 5423 623152042362315204236C2C22312214 23 4C 2C Cc 2 cc4230202310ab ae aebee解bd ed deadfb e ebf ef efb e

4、 e1 adfbee 1 b11 4abedef100e 1riar2abb10 01 d001 d1 ab a 0C3 de21 ab a ad(1)( 1)211 e 111 e 1 ed01 d01 01)(1)3ab1adedabedabed ad 1a2 ab b22aa b2b111證明:(1)(ab)3；a 11 b0100 1e10 01d證明a2 ab b2e2 e1a2 ab a2 b2 a22a a b 2b2a b a 2b 2a1 1 1e3e11 0 0b2a22b2a(ba)(b(a b)3axbyaybzazaybzazbxaxazbxaxbyayab1(bab

5、b(2)b;1)3a2(a3xb3)y證明axbyaybzazaybzazbxaxazbxaxbyaybbb;bz azx ayayy azbx axazbzazbxaxz axby ayb;axbyayaybzazaxayx y z1 1y z xa3y z xb3z x yz x yx y zx y z1x y za3y z xb3y z xz x yz x yb2bxazyzbyzaxxy(a3a2xb3)y2 2 2 2 abed2 2 2 2 abedzv2 2 2 212 2 2 2 abed2 2 2 2 abed2 2 2 2 abed1aa2a41bb2b41cc2c4(a證

6、明b)(1aa2a41bb2b41cc2c4ed222 2c)( a1dd2d4aa3 33 35 55d)(b c)(bd)(c d)( ab c d);1 b b(b 0 b2(b21 c c(caa)a2) c2(c21 d d(d a2) d2(d2aa)aa)a2)(b a)(ca)(d a)1 b b2(b1 c a) c2(c1 d a) d2(da)(b a)(c1a)(d a)01c b0 c(c b)(c b a) d(d1 d b b)(d b a)=(b a)(c a)(d a)(cb)(dc)(bX10000X100000X1ana 1an 2a2X a1b)(a c

7、)( a d)( banX1 c(c b a) d(dd)(cn 1a1Xd)( a b cb a)d)an 1Xan證明用數(shù)學(xué)歸納法證明D2Xa2 X1aiX2QXa2命題成立假設(shè)對于（nDn 1 X則Dn按第一列展開1）階行列式命題成立n 2a1 X有an2X1000Dn XDn 1 an( 1)n 1X10011X1fnn 1XDn 1anXa1Xan1Xan因此 對于n階行列式命題成立6副對角線翻轉(zhuǎn)設(shè)n階行列式D依次得det( aj),把D上下翻轉(zhuǎn)、或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90、或依D1an1annD2ainannD3anna11a1na11an1an1a：證明D1證明D2因?yàn)閚(n 1)1) 2

8、 DD det( aj)所以（同理可證D2D3an1anna11aln(1)n1an1anna11aina21a2nD11)n1(1)1 21)n(nn(n 1)1)hn(n 1)a11alna21a2nan1anna31a3n2) (n1)D1)n(n1)a11ain1) 2 D2an1annn(n1)7計(jì)算下列各行列式 Dna11al)2 (Dnn(n 1)1)F Dtn(n 1)1) 2 d（Dk為k階行列式）,其中對角線上元素都是an(n 1)(1)FD(1)n(n 1)D D（按第n行展開）未寫出的元素都是00 0 0 0 1a 0 00 0a(1)n10 a 00 0(1)2n a

9、0 0 0a 0(n 1) (n 1)(n 1) (n 1)a1)2 2(anan an 2 a1)n1)nan1(n 2)(n 2)XaaDnaXaaaX解X aaa X X a0Dna X 0X aa X 000X a再將各列都加到第一列上得X (n 1)aaa0X a0Dn00X a0000an(a 1)n(an)nan 1 (a 1)n1(an)nDn 1aa 1an1 11將第一行乘（1）分別加到其余各行aXX(n1)a( X a)n 11解根據(jù)第6題結(jié)果有111aa 1anan1(a 1)n1(an)n 1an(a 1)n(an)nn(n 1)Dn 1 ( 1)Dn 1( 1) 2

10、(a i 1) (a j 1)n 1i j 1n(n 1)(1) 2(i j)n 1 ij 1n(n 1)n (n 1)1(1)(1)2n此行列式為范德蒙德行列式n(n 1)(i j)1 i j 1(i1j)anbnD2nD2nCnana1C1dnbna1C1(按第1行展開)Cndn于是a 1bn1 0a rnanCi diq 1dn 1 000dn0 an 1bn 1ai b1(1)2n 1bnC1 d1Cn 1dn 1Cn0即C2n再按最后一行展開得遞推公式C2nandnC2n 2bnCnD2n 2D2nn(qdi bC)D22p012310122103210bnCn) C2n 2onao

11、4n3n2nnooo onooo 20022022 2qGQ5oooo4%32nnnoooooooo42 aa3 ao5qoooqooooonDnD6解oooooo印葺nooooooo(華2an)(110000aj01000a2100100a3100001an11n00000 1a1i 1aia2ann丄)i 1 ai用克萊姆法則解下列方程組52201 1235 22 0123112 34 5卷訊似 沃5 1 卷4 抵卷20 X 2 為 kik2R(B)3 即必須0)(4此時(shí)，增廣矩陣為(k1k2為任意常數(shù))1的充分必要條件是存在非零列向量 a及非零行向量babT證明必要性由R(A) 1知A的

12、標(biāo)準(zhǔn)形為00即存在可逆矩陣PAQ10(1,0,0)(1, 0, , 0)或 AbT (1011 0 (1,0, ,0)Q100) Q 1 則a是非零列向量 b是非零行向量充分性RA) 1因?yàn)?所以&A)19且 A abT因?yàn)閍與b是都是非零向量所以A是非零矩陣從而&A)1設(shè)A為代 abT) min R(a)R(bT)mi n11m n矩陣 證明Em有解的充分必要條件是代A(1) 方程AX證明 由定理7 方程AX Em有解的充分必要條件是Em)故 R：A) F(A m代A nF(A R(A而I ET是矩陣(A E)的最高階非零子式 方程AX Em有解的充分必要條件是F(A)(2)方程YA &有解

13、的充分必要條件是證明注意 方程YA AY En有解的充分必要條件是 條件是R(A) &AT) n20 設(shè)A為m n矩陣Em)m因此&有解的充分必要條件是 AY&AT)n 因此，方程YA巳有解巳有解的充分必要由(1)證明證明由AX AY 得A(X Y)若 AX AY 且 R(A) O 因?yàn)镽(A) nn 則X Y由定理9 方程A(X Y)O只有零解即XY O也就是XY第四章向量組的線性相關(guān)性1及3v1解設(shè)2v2V123)Ta2 (10解1)TVi(10)TV2(01 1)V3 (30)T求 ViV2V1V3V2(1(12v23(a1(100)11)T(01)T1)TV33(1(31(0 1a)2

14、(a22)a)0)T0 3T5( a310) T a3a)2( a2 a) 5(a3(42(03a)1) T1 4(330)10)T求a 其中a11)T(23(a16(3a1 2a2 5a3)3(2, 5,1,3)t 2(10,1,5,10)t6(1 2已知向量組A a1(04) T3)Ta2 (3B b1(22)Tb2 (05(4,1, 1,1)T12)ta32 1 1) T(2ba(413)證明B組能由A組線性表示證明由但A組不能由B組線性表示324(A, B)知WA)由FAB)所以B組能由A組線性表示0 2 112 11知 R(B)因?yàn)?B)F(B所以A組不能由B組線性表示已知向量組Aa

15、1(0Bb1 (證明A組與B組等價(jià) 證明由1)T1)a2(1b2(10) T1)Tb3(31)T(B,A)知 RB) F(BF(A) F(B A)組與B組等價(jià)顯然在所以&A)中有二階非零子式從而 R(A) R(B)故R(AR(A)B)已知F(a1a 1能由a2a 4不能由a1a2a3)2a3線性表示a2a3線性表示R a2a3a4)3證明(1)證明(1)由R(a2a3a4)3知a2a3a4線性無關(guān)2因此A故a2a3也線性無關(guān) a3線性表示(2) 假如a4能由a1 故a4能由a2 能由a1又由Ra1a2a3)2 知 a1a2a3線性相關(guān)故a1能匕由a2a2a3線性表示 a2a3線性表示a3線性表

16、示 從而a2a3則因?yàn)閍1能由a2a3線性表示a4線性相關(guān)矛盾因此a4不32判定下列向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān)(1)(2解(1)131) T (210) T30) T(140) T以所給向量為列向量的矩陣記為(1(0A0因?yàn)?)2)17 22 7 22 10所以F(A)2小于向量的個(gè)數(shù)(2) 以所給向量為列向量的矩陣記為 B 因?yàn)? 1 0 |B| 3 4 C|o 0 2從而所給向量組線性相關(guān)22 0所以R(B) 3等于向量的個(gè)數(shù)從而所給向量組線性相無關(guān)問a取什么值時(shí)下列向量組線性相關(guān)31 (a 11) Ta2 (1 a以所給向量為列向量的矩陣記為 A1)T 33(1由a)Ta|A| 11a

17、(a 1)(a1)a設(shè)311、0、1 時(shí) R(A) 3a2線性無關(guān) a1 b知8線性表示的表示式解因?yàn)閍1 ba2 b線性相關(guān)1(a1 b)2( a2此時(shí)向量組線性相關(guān)a2 b線性相關(guān)求向量b用a1故存在不全為零的數(shù)12使b) 0由此得a22(1b ca1(1c)a29定線性相關(guān)試舉例說明之 解不一定例如時(shí)有設(shè)a1a1b1a2線性相關(guān)a1(12)b1a2(1 2)b1(0b2也線性相關(guān)(24) T, b11)a2 b2(2a1b1a2b2是否一一4)1)T, b2(0T (0 0)T0)T(24)T而a1b1a2b2的對應(yīng)分量不成比例是線性無關(guān)的舉例說明下列各命題是錯(cuò)誤的 若向量組a1am線性

18、表示解則a1表示(2)10(1)a2am是線性相關(guān)的則a1可由a2設(shè) a1 e1a2若有不全為(10 0am線性相關(guān)0)a2a3但a1不能由a2am 0am線性0的數(shù)成立性相關(guān)解1a1則 a1a2mamam線性相關(guān),b1b2mbmbm亦線有不全為零的數(shù)nam1b1mbm原式可化為1(a1b1)m( am和bia1 e1b1a2 e?b2em為單位坐標(biāo)向量則上式成立而a1bm均線性無關(guān)amembm其中eia2b2e2am若只有當(dāng)m全為0時(shí)1a1才能成立則a1亦線性無關(guān)解nam921b1am線性無關(guān),b1等式mbm 0b2bm成立由于只有當(dāng)由1a1所以只有當(dāng)namm全為0時(shí)m全為0時(shí)1( a1因此

19、a1 b1bi)成立取它們滿足以上條件a1 a2(4)若 a1a2性相關(guān)則有不全為922( a2b2b)amam取bi但910的數(shù)92am線性相關(guān),mam01 b1同時(shí)成立解a1(10)Ta?(2 0) T2a2 0b1(011b1b2證明1b12b2與題設(shè)矛盾設(shè)b1b3b4線性相關(guān)由已知條件得a1 b1 a2a2 b2a1 a2b2a2a3a3b3于是a1b1 b2a3b1b2b3 a4等式iibm0等式bm)0ambm線性無關(guān)bm為線性無關(guān)組am線性相關(guān)b1b23)T2b2bm亦線(3/4)a3 a4a4a 4b4b4a4a1m使mbm 0(04) Ta1證明向量組b1從而b1 b2這說明

20、向量組b1b2b3b4b3b4 0b2b3aib4線性相關(guān)12設(shè) b1且向量組3132br線性無關(guān) 已知的r個(gè)等式可以寫成a1b231323r線性無關(guān)br31 32證明向量組b1b2ar證明(bl, b2,0) (31, 32,ar)上式記為量組b1B AK 因?yàn)閨K|10 K可逆b2br線性無關(guān)所以&B)從而向13求下列向量組的秩，并求一個(gè)最大無關(guān)組(1)31(122 8)t解由4)Ta2(9100104)Ta3(ai，a2，a3)12149100104242810009 82 19 32200091002000知 R(31323 3) 2關(guān)所以31(2)31T (147)解由a1與a2的分量不成比例因?yàn)橄蛄?2是一個(gè)最大無關(guān)組213)32T (4156)故a1a2線性無33T(1知 R(a1T故a1T14(1)所以第所以第1(印,a2, a3)23a2a 3)R( a1a2T線性無關(guān)415613 4749918 1a2a 3)所以a1T因?yàn)橄蛄縜1T與a2T的分量不成比例2a/是一個(gè)最大無關(guān)組利用初等行變換求下列矩陣的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組25 3175 9475 9425 3217 4353 13254 13420 48因?yàn)?/p>