SFA方法的綜述

1、實用標準文案SFA方法和因子分析法綜述(姬曉鵬，管理科學與工程，1009209018)1.1 DEA方法和SFA方法的區(qū)別1.數(shù)據(jù)包絡分析(DEA)數(shù)據(jù)包絡分析(data envelopment analysis)簡稱DEA,采用線性規(guī)劃技術, 是最常用的一種非參數(shù)前沿效率分析法。它由A. Charnes和W. W. Cooper01等人于 1978年創(chuàng)建的，以相對效率為基礎對同一類型的部門的績效進行評價。該方法將同一類型的部門或單位當作決策單元(DMU),其評價依據(jù)的是所能 觀測到的決策單元的輸入數(shù)據(jù)和輸出數(shù)據(jù)。輸入數(shù)據(jù)是指決策單元在某種活動中 所消耗的某些量，如投入資金量、原料量等，輸出數(shù)

2、據(jù)是指決策單元消耗這些量 所獲得的成果和產(chǎn)出，如產(chǎn)品產(chǎn)量、收入金額等。將各決乗單元的輸入輸出數(shù)據(jù) 組成生產(chǎn)可能集所形成的生產(chǎn)有效前沿面，通過衡量每個決策單元離此前沿面的 遠近，來判斷該決策單元的投入產(chǎn)出的合理性，即技術效率。一般的評價方法比較同一類型的決策單元的效率，需要先對決策單元的輸入 輸出指標進行比較，并通過加權得到一個綜合評分，然總通過各個決疑單元的評 分來反映其效益優(yōu)劣。數(shù)據(jù)包絡分析法則巧妙地構造了目標函數(shù)，并通過Charnes -Cooper變換(稱為L 一變換)將分式規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，無需統(tǒng) 一指標的量綱，也無需給定或者計算投入產(chǎn)出的權值，而是通過最優(yōu)化過程來確 定權重

3、，從而使對決策單元的評價更為客觀。對建筑設計企業(yè)進行評價的問題， 很適于數(shù)據(jù)包絡分析法的評價模型。DEA方法也存在著一些缺點：首先，當決策單元總數(shù)與投入產(chǎn)出指標總數(shù)接 近時，DEA方法所得的技術效率與實際情況偏差較大；其次，DEA方法對技術有 效單元無法進行比較；此外，由于未考慮到系統(tǒng)中隨機因素的影響，當樣本中存 在著特殊點時，DEA方法的技術效率結果將受到很大影響。彭曉英等用因子分析 法對指標進行篩選和綜合，再采用DEA方法進行評價，解決了 DEA方法對指標數(shù) 量限制的問題，并對煤炭資源型城市的生態(tài)經(jīng)濟發(fā)展進行了評價。SFA與DEA方法都是前沿效率評價方法，它們都是通過構造生產(chǎn)前沿面來計 算

4、技術效率的。與DEA方法相比，SFA方法利用生產(chǎn)函數(shù)來構造生產(chǎn)前沿面，并 采用技術無效率項的條件期望來作為技術效率，其結果受特殊點的影響較小且不 會出現(xiàn)效率值相同且為1的情況，可靠性、可比性更好“。SFA方法也有一些缺 點，如處理多產(chǎn)出的情況時不如DEA方法方便，需要將多產(chǎn)出合并成一個綜合產(chǎn) 出；而投入指標過多時，由于指標間的相關關系，也會對結果的可靠性產(chǎn)生影響。 周春應等、侯強等分別采用了 SFA方法對我國區(qū)域經(jīng)濟技術效率和遼寧省城市技 術效率進行了評價6刀。1.1.1 SFA方法的產(chǎn)生在經(jīng)濟學中，技術效率的概念應用廣泛。Koopmans首先提出了技術效率的 概念，他將技術有效定義為：在一定

5、的技術條件下，如果不減少其它產(chǎn)出就不可 能增如任何產(chǎn)出，或者不增加其它投入就不可能減少任何投入，則稱該投入產(chǎn)出 為技術有效的4】。Farrel I首次提出了技術效率的前沿測定方法，并得到了理論 界的廣泛認同，成為了效率測度的基,05o在實際應用中，前沿面是需要確定的。其確定方法主要兩種：一種是通過計 量模型對前沿生產(chǎn)函數(shù)的參數(shù)進行統(tǒng)計估計，并在此基礎上，對技術效率進行測 定，這種方法被稱為效率評價的“統(tǒng)計方法”或“參數(shù)方法”；另一種是通過求 解數(shù)學中的線性規(guī)劃來確定生產(chǎn)前沿面，并進行技術效率的測定，這種方法被稱 為“數(shù)學規(guī)劃方法”致“非參數(shù)方法”。參數(shù)方法的特點是通過確定前沿生產(chǎn)函 數(shù)的參數(shù)來

6、確定生產(chǎn)前沿面，針對不同研究對象所確定的生產(chǎn)函數(shù)也各不相同， 技術效率的測度具有一定的針對性，而非參數(shù)方法只需通過求解線性規(guī)劃來確定 生產(chǎn)前沿面，方法簡單易行，應用廣泛。參數(shù)方法依賴于生產(chǎn)函數(shù)的選擇，常用的生產(chǎn)函數(shù)有Cobb-Douglas生產(chǎn)函 數(shù)、Translog生產(chǎn)函數(shù)等。參數(shù)方法的發(fā)展經(jīng)歷了兩個階段：確定型前沿模型 和隨機型前沿模型。Aigner等、Afriat分別提出了各自的確定型前沿模型，在 不考慮隨機因素影響的情況下求解前沿生產(chǎn)函數(shù)，06，07o但是，由于確定型前沿 模型把所有可能產(chǎn)生影響的隨機因素都作為技術無效率來進行測定，這使得其技 術效率測定結果與實際的效率水平有一定的偏差

7、。為了消除確定型前沿模型的這 一缺陷，Meeusen 和 Vanden Broeck, Aigner、Love I I 和 Schmidt 和 Battese 和 Corra提出了隨機前沿模型（即SFA方法），對模型中的誤差項進行了區(qū)分，提高 了技術效率測定的精確性“ y役1.1.2SFA方法簡介Meeusen 和 Vanden Broeck, Aigner Love I I 和 Schmidt 和 Battese 和 Corra 首次提出了隨機前沿方法(Stochastic Frontier Approach,簡稱SFA),它是一 種技術效率理論的參數(shù)方法。1. SFA模型文獻108-110

8、中提出的SFA模型如下所示：y= f 3,0) exp(v/) exp(-“J , , = 1，,N(4-1)其中，表示產(chǎn)出，兀表示投入，0為模型參數(shù)。在他們提出的模型中，將 隨機擾動分為兩部分：一部分用于表示統(tǒng)計誤差，又被稱為隨機誤差項，用片 來表示：另一部分用于表示技術的無效率，又被稱為非負誤差項，用來表示。當模型的生產(chǎn)函數(shù)選擇Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)時，式(4T)可寫成下面的線 性形式：Ing =燉 +，0, In+ vf ui , i = 1,.,N(4-2)i模型有如下假設：(1) 隨機誤差項片iidNW。和,主要是由不可控因素引起，如自然災害、天 氣因素等等。(2) 非負誤

9、差項坷問甘(0,丈)，取截斷正態(tài)分布(截去0的部分)，且有、 v.相互獨立。(3) %、片與解釋變量兀相互獨立。Battese和Coelli在前人研究的基礎上進行了改進，引入了時間的槪念， 使S F A模型可以對面板數(shù)據(jù)進行效率評價問。具體模型如下：y = /(旺,0)cxp(嶺Jexp(-叫)，i = 1,.N , t = 1,.7(4-3)在式(4-3)中，人是第/個決策單元的右時期產(chǎn)出，心是第/個決策單元的 右時期的全部投入，0為模型參數(shù)，匕為隨機誤差項，嗎=%exp(-(/-7)為非 負誤差項，為被估計的參數(shù)。圖4T SFA模型的技術效率圖4-1以Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)為例，

10、顯示了 SFA模型技術效率測度的優(yōu) 點。圖中，由Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)確定的生產(chǎn)前沿面為：In qt = /7() + Px In , 而基于這個確定生產(chǎn)前沿面的隨機前沿模型為：兀+片-坷，也可 以表示為： =exp(0o+0 11】舌+匕-叫A、B兩點分別表示隨機影響為正或為負的情況：A點表示隨機影響為正，則隨機誤差項為正數(shù)，生產(chǎn)前沿而上移到= exp(0()+0i山心+v4)，樣本的技術效率為T&i =你二 cxp(0Mlw+b-) q； cxp(0o+0Jn 心+5)稱彩文檔B點表示隨機影響為負，則隨機誤差項與為負數(shù)，生產(chǎn)前沿面下移到 q； =exp(0。+ 0Jn xH +

11、g ,樣本的技術效率為TEl)=- =.仝!性叱匕如。佈cxp(0o+0Jn + %)2. SFA效率的計算對于式(4-1),我們可以將SFA技術效率定艾如下:TEi =exp(-q)=/(*0)exp(%)(4-4)所以，在匕的分布已知的情況下，我們可以計算出技術效率的平均值TE = Eexp(-)，但是，通過該方法若想計算出各樣本點的技術效率值卻有些 困難。因為我們可以根據(jù)樣本點的觀測值得出模型中參數(shù)的估計值，并根據(jù)這些 估計值求出殘差 ,但是，我們無法計算出每個S和嶺的估計值。為了能夠計算出每個樣本點的技術效率，文獻16將技術效率定義為 7=exp-E(U |),該方法被稱為JLMS技術

12、，他們分別就半正態(tài)分布和指數(shù) 分布推導了 E(q罔)的表達式，得出了技術效率值，解決了技術效率計算的問題。實用標準文案SFA方法通過極大似然法估計出各個參數(shù)值，然后用技術無效率項的條件期 望作為技術效率值。與DEA方法相比，其結果一般不會有效率值相同并且為1的 情況，并且SFA方法充分利用了每個樣本的信息并且計算結果穩(wěn)定，受特殊點影 響較小，具有可比性弓更、可靠性高的優(yōu)點。1.2因子分析法1.2.1因子分析法簡介因子分析是一種比較實用的多元統(tǒng)計方法，它是主成分分析法的推廣。因子 分析法的作用是將相關性較高、關系復雜的指標變量綜合成數(shù)量較少、關系簡單 的綜合指標（在因子分析中被稱為因子），并展現(xiàn)

13、各因子與初始變量之間的關系。 換言之，因子分析就是一種應用于存在復雜的相關關系的指標體系中，研究或探 尋不能直接觀察到，但對所觀測變量起到支配或概括性作用的隱藏因子的多元統(tǒng) 計分析方法切。一個指標體系中的每個變量的形成都是有其原因的，各個變量之間的共同原 因被稱為公共因子，而每個變量又存在著產(chǎn)生其特性的原因，被稱為特殊因子。 因子分析就是根據(jù)樣本的數(shù)據(jù)資料，將影響每一個原始變量的公共因子和特殊因 子采用線性的方式來進行表達，以達到合理解釋原始變量的相關性并降低維數(shù)的 目的。在釆用因子分析方法時，一般使公共因子盡可能少且槪括性高，并且盡可 能使其具有一定專業(yè)意義，公共因子共同作用于每個變量，而特

14、殊因子只作用于 特定的變量。1.2.2因子分析的數(shù)學模型及計算方法1.因子分析的數(shù)學模型假設有p個觀測變量，可以用刃3個公共因子和1個特殊因子來進行表示， 如下所示：X=如百+絢2巧+。1”斤+X? =禹 +。22坊 + +。2”巧 + 1（4_5）Xq =你斥+匕 + J式(4-5)中，X為觀測變量，竹為公共因子，斫為特殊因子，伽是因子系數(shù) (又稱為因子載荷)，而由因子載荷構成的矩陣力被稱為因子載荷矩陣。因子 分析模型中，假設初始變量X八公共因子耳和特殊因子斫均為標準化變量(即平 均值為0,方差為1),特殊因子斫服從N(O, a,2) (1 = 1,2，,q),并且與巧之間 不相關。因子載荷

15、矩陣具有下面幾個統(tǒng)計特征和意狡：因子載荷5的意義由于初始變量、公共因子和特殊因子均為標準化變量，且各因子互不相關， 通過研究可以得出，因子載荷呦實際上是變量&與公共因子巧的相關性度量。 且有|(/|0及對應的單位正交特征向量 5“2，.,_。接下來，通過計算Q = ijX求出模型的主成分。按照因子分析盡量 減少變量個數(shù)的目的，公共因子個數(shù)一般應小于變量個數(shù)(即nq),由于最后剩 下的0-刃個特征值較小，通?？梢院雎云鋵φw方差的貢獻。因子載荷矩陣力的第_/列為阿“，所以，因子載荷矩陣力的樣本估計量為：(4-10)在實際情況中，所選取的公共因子組合一般需要滿足總貢獻率達到85%以上 的條件，所選

16、取得公共因子個數(shù)也由這一條件來決定。(2) 因子旋轉(zhuǎn)在一般情況下，通過對因子載荷矩陣估計所得到的初始因子載荷矩陣的公共 因子與初始變量之間的關系不夠明確，無法對公共因子的性質(zhì)進行解釋。為方便 因子分析在實際問題中的應用，就需要對因子載荷矩陣進行旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)的方法主要分為正交旋轉(zhuǎn)和斜交旋轉(zhuǎn)，它們都有其各自的特點。正交獲 轉(zhuǎn)可以保持初始解中因子的相關關系，而斜交旋轉(zhuǎn)能夠根據(jù)隱藏因子之間的聯(lián)系 最大程度的反映現(xiàn)實狀況，本章采用方差最大正交旋轉(zhuǎn)法來進行因子旋轉(zhuǎn)。方差最大正交旋轉(zhuǎn)法是從初始因子載荷矩陣的每一列出發(fā)，使和每個因子有 關的載荷的方差最大，既使各個因子載荷值盡可能向0或1這兩個極值轉(zhuǎn)化。這 樣就

17、可以較容易地說明某公共因子主要代表了哪些変量的信息，也就容易解釋公 共因子的意義。(3) 因子得分因子分析應用到綜合評價方面，就需要得到最終的得分，而因子分析是將變 量表示為公共因子的線性組合，所以要將這些公共因子應用到綜合評價方而，就 需要我們對公共因子進行測度，即給出公共因子的值。為此，我們需要將公共因 子反過來表示為變量的線性組合。但是，因為nxg階因子載荷矩陣A是不可逆 的，所以，公共因子不能準確地表示為變量的線性組合。因此，因子得分需要進 行估計。假設公共因子由變量表示的線性組合如下：Fj=ajX+. + djqXq =(4-11)我們將式(4-11)稱為因子得分函數(shù)。Q為因子的得分

18、系數(shù)。在使用因子分析法進行綜合評價時，有時還需要得出綜合得分，這時，將各 因子得分與其方差貢獻比率的乘積求和，可以得到因子分析的綜合評分，如式 (4T2)所示：F =,+具化(4-12);-11.3SFA方法與因子分析的整合1.3.1 SFA方法與因子分析整合的優(yōu)點SFA自身具有很多優(yōu)點：SFA方法將實際產(chǎn)出分為生產(chǎn)函數(shù)、隨機因素和技 術無效率，它考慮了隨機因素對于產(chǎn)出的影響，而DEA方法則將實際產(chǎn)出小于前 沿產(chǎn)出的原因全部歸結為技術無效率，忽略了隨機因素對產(chǎn)出的影響；SFA方法 利用生產(chǎn)函數(shù)和隨機擾動項構造出隨機生產(chǎn)前沿，并通過極大似然法估計出各個 參數(shù)的數(shù)值，然后將技術無效率項的條件期望作

19、為技術效率值，其結果不會像 DEA結果那樣出現(xiàn)有多個決乗單元的技術效率相同且為1的情況，便于對所有決 稱彩文檔實用標準文案策單元進行評價；SFA方法采用的極大似然估計法充分利用了每個樣本的信息并 且“平等”對待每個樣本，因此，與DEA方法相比，不易受到異常點的影響而使 技術效率計算結果與實際情況偏差較大。但是，SFA方法仍存在著一些不足：第 一，當生產(chǎn)函數(shù)的投入指標間具有很復雜的相關性時，評價結果受指標選擇的影 響較大，容易與實際效率情況產(chǎn)生偏差；第二，因為生產(chǎn)函數(shù)的產(chǎn)出只有一個， 所以，當遇到多產(chǎn)出的實際情況時，SFA方法使用超來不太方便。為了解決SFA方法在實際操作中所遇到的這兩個問題，本

20、章將因子分析與 SFA方法相結合，首先選出數(shù)量較多的備選指標，然后根據(jù)各指標的性質(zhì)進行分 類，采用因子分析的方法提取少量投入指標，并將多個產(chǎn)出指標綜合成一個綜合 產(chǎn)出指數(shù)。這樣既減少了指標間的相關性對評價結果的影響，還提高了 SFA方法 的實用性。1.3.2SFA方法與因子分析整合的方法和DEA方法一樣，SFA方法要求投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)均為正值，而采用因子分析方 法進行因子得分所得到的數(shù)據(jù)會有一部分為負值，所以，由因子分析法所得到的 數(shù)據(jù)需要進行一定的處理再進行SFA分析。本文采用運用較多的DEA方法與因子 分析法整合的方法對因子分析所得到的數(shù)據(jù)進行處理，然E釆用SFA方法進行效 率評價，并將所得結

21、果與DEA方法得到的結果進行相關性分析，以驗證這種數(shù)據(jù) 處理方法也可以應用在SFA和因子分析法的整合上。具體計算方法如下：X. -b.X,. =0+ x0.9, 0 X., 1ajhJ(4-13)式(4-13)中，為第丿個指標的最大值，巧為第丿個指標的最小值，Xy是 初始數(shù)據(jù)，是通過變換所得到的數(shù)據(jù)。這種變換可以將所有的數(shù)據(jù)變換為 0.1, 1區(qū)間上的數(shù)據(jù)，并不影響評價結果冋。參考文獻1 Charnes, A. , Cooper, W W,Rhodes, E Measuring the efficiency of dec i s ion making un itsJ European Jour

22、naI of Operational Research, 1978, 2(6): 429-444.2 魏權齡.數(shù)據(jù)包絡分析M.北京.科學出版社，2004.3 彭曉英，張慶華，煤炭資源型城市可持續(xù)發(fā)展的綜合評價方法研究，數(shù)學的 實踐與認識，2009,39(17) :22274 李雙杰，范超，隨機前沿分析與數(shù)據(jù)包絡分析方法的評析與比較，統(tǒng)計與決 策,2009, (7) ： 25285 杜忠曉，王洪禮，李懷宇，勘查設計企業(yè)效率的隨機前沿而評價，中國科技 信息，2009, 26(6) : 13156 周春應，章仁俊，基于SFA模型的我國區(qū)域經(jīng)濟技術效率的實證研究，科技 進步與對策，2008, 25 (

23、4) ：21247 侯企，王曉莉，葉麗綺，基于SFA的遼寧省城市技術效率差異分析，沈陽工 業(yè)大學學報(社會科學版),2008,1 (3):2302348 Coe I Ii T J,Rao DSP, Battese G E. An i ntroduct ion to efficiency and productivity ana lysis, Boston: KIuwer Academic Pub Ii shers, 1998, 1832199 FarreI I R, Grosskopf S, Love I I, C A K The measurement of efficiency of pr

24、oduction, Boston: Kluwer-Ni jhoff Pub Ii sh, 1985:214910 Aigner D J, Chu S F. On Estimating the Industry Production Function, The Amer ican Economic Review, 1968,58 (4):82683911 Afr iat S N. Efficiency Estimation of Production Functions, International Economic Review, 1972,13(3):56859812 Meeusen W J, Broeck V D. Efficiency Estimation from Cobb-Doug I as Production Functions v/ith Composed Error, International Economic Review, 1977,18(2) : 43544413 Aigner D, Love I I C, Schmidt P. FormuI ati