解圓錐曲線問題常用的八種方法與七種常規(guī)題型

1、解圓錐曲線問題常用的八種方法與七種常規(guī)題型總論：常用的八種方法1、定義法2、韋達定理法3、設而不求點差法4、弦長公式法5、數形結合法6、 參數法（點參數、K參數、角參數）7、代入法中的順序8、充分利用曲線系方程法七種常規(guī)題型（1）中點弦問題（2 ）焦點三角形問題（3）直線與圓錐曲線位置關系問題（4）圓錐曲線的有關最值（范圍）問題（5）求曲線的方程問題1 曲線的形狀已知 這類問題一般可用待定系數法解決。2曲線的形狀未知-求軌跡方程（6）存在兩點關于直線對稱問題（7）兩線段垂直問題常用的八種方法1、定義法（1） 橢圓有兩種定義。第一定義中，1+r2=2a。第二定義中，c=ed1r2=ed2。（2）

2、 雙曲線有兩種定義。第一定義中， * 2 2a，當12時，注意2的最小值為 c-a:第二定義中，1=ed1,2=ed2，尤其應注意第二定義的應用，常常將半徑與點到準 線距離”互相轉化。（3）拋物線只有一種定義，而此定義的作用較橢圓、雙曲線更大，很多拋物線問題用 定義解決更直接簡明。2、韋達定理法因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉化為方程組關系問題，最終轉化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應注意不 要忽視判別式的作用。3、設而不求法解析幾何的運算中，常設一些量而并不

3、解解出這些量，利用這些量過渡使問題得以解決，這種方法稱為設而不求法”。設而不求法對于直線與圓錐曲線相交而產生的弦中點問題，常用點差法”，即設弦的兩個端點 A(x i,yi),B(x2,y2),弦AB中點為M(xo,yo)，將點A、 B坐標代入圓錐曲線方程，作差后，產生弦中點與弦斜率的關系，這是一種常見的“設而不 求”法，具體有：2 2(1) 務 嶺 1(a b0)與直線相交于 A、B，設弦 AB中點為 M(xo,yo),則有a b篤卑k 0。(其中K是直線AB的斜率) a b(2)2 x -2 ab21(a0,b0)與直線I相交于A、B,設弦AB中點為M(xo,yo)則有第 -yk0(其中K是

4、直線AB的斜率)a b(3)y2=2px( p0)與直線 I 相交于 A、B 設弦 AB 中點為 M(x0,y0),則有 2y0k=2p,即 y0k=p.(其中K是直線AB的斜率)4、弦長公式法弦長公式：一般地，求直線與圓錐曲線相交的弦 AB長的方法是：把直線方程y kx b代入圓錐曲線方程中，得到型如ax2 bx c 0的方程，方程的兩根設為xA，xB，判別式為，貝y |AB| . 1 k2 |xA xB|1 k2，若直接用結論，能減少配方、開|a|方等運算過程。5、數形結合法解析幾何是代數與幾何的一種統一，常要將代數的運算推理與幾何的論證說明結合起來考慮問題，在解題時要充分利用代數運算的嚴

5、密性與幾何論證的直觀性，尤其是將某些代數式子利用其結構特征，想象為某些圖形的幾何意義而構圖，用圖形的性質來說明代數性質。女口 2x+y ”，令2x+y=b，貝U b表示斜率為-2的直線在y軸上的截距；如x2+y2” ,令 Jx2 y2 d，則d表示點P (x, y)到原點的距離；又如 _3 ”，令_ =k，則k x 2 x 2表示點P (x、y)與點A (-2 , 3)這兩點連線的斜率6、參數法(1) 點參數利用點在某曲線上設點(常設“主動點”)，以此點為參數，依次求出其他相關量，再列式求解。如 x軸上一動點P,常設P (t , 0);直線x-2y+1=0上一動點P。除設P (xi,y 1)外

6、，也可直接設 P (2yi-1,y 1)(2) 斜率為參數當直線過某一定點 P(xo,y o)時，常設此直線為 y-yo=k(x-x 0)，即以k為參數，再按命題要求依次列式求解等。(3) 角參數當研究有關轉動的問題時，常設某一個角為參數，尤其是圓與橢圓上的動點問題。7、代入法中的順序這里所講的“代入法”，主要是指條件的不同順序的代入方法，如對于命題：“已知條件Pl,P2求(或求證)目標Q,方法1是將條件Pi代入條件P2,方法2可將條件P2代入條件Pi,方法3可將目標Q以待定的形式進行假設，代入P1,P2,這就是待定法。不同的代入方法常會影響解題的難易程度，因此要學會分析，選擇簡易的代入法。八

7、、充分利用曲線系方程法、定義法【典型例題】例1、(1)拋物線C:y2=4x上一點(2)拋物線C: y2=4x上一點QP到點A(3,4 、2 )與到準線的距離和最小，則點P的坐標為到點B(4,1)與到焦點F的距離和最小，則點Q的坐標分析：(1) A在拋物線外，如圖,連 PF，則PHPF，因而易發(fā)現,當A、P、F三點共線時，距離和最小。i 1HA/qBPF(2) B在拋物線內，如圖，作 QR丄I交于R,則當B、Q、R三點共線時，距離和最 小。解:( 1)(2， 2)連PF,當A、P、F三點共線時， AP PH AP PF最小，此時 AF的方程為4 201y (X 1)即 y=2j2(x-1),代入

8、 y2=4x 得 P(2,22),(注：另一交點為(一，42)，3 12它為直線AF與拋物線的另一交點，舍去)1(2) (,1)4過Q作QR丄I交于R,當B、Q、R三點共線時，BQ QF| | BQ QR最小，此時 Q一 1 1點的縱坐標為1，代入y2=4x得x=，二Q( ,1)44點評：這是利用定義將“點點距離”與“點線距離”互相轉化的一個典型例題，請仔細體會。2 2jyAHT-0F丿xfP為橢圓例2、F是橢圓x y 1的右焦點，A(1,1)為橢圓內一定點,43上一動點。(1) PA | PF |的最小值為(2) PA 2PF的最小值為分析：PF為橢圓的一個焦半徑，常需將另一焦半徑PF或準線

9、作出來考慮問題。解：(1) 4 - . 5設另一焦點為F，則F (-1,0)連A F ,PFPA PF PA 2a PF 2a (PF PA) 2a AF 4 顯當P是FA的延長線與橢圓的交點時，PA PF取得最小值為4-J5。1(2)作出右準線 I，作 PH 丄 I 交于 H，因 a2=4, b2=3, c2=1, a=2, c=1 , e=,21 PF ：|PH,即2 PFPH PA 2 PF PA PH當A、P、H三點共線時，其和最小，最小值為2aXac例3、動圓M與圓Ci：（x+1）2+y2=36內切,與圓C2：（x-1）2+y2=4外切,求圓心軌跡方程。分析：作圖時，要注意相切時的“

10、圖形特征”：兩個圓心與切點這三點共線圖中的A、M、C共線，B、D、M共線）。列式的主要途徑是動圓的“半徑等于半徑”（如圖中的解：如圖,MCMCMD )。MD，MAC MA MB DB 即6 MA MB 2MA MB 8( *)點M的軌跡為橢圓,2a=8, a=4, c=1 , b2=15 軌跡方程為2x162y15點評：得到方程（*）后，應直接利用橢圓的定義寫出方程，而無需再用距離公式列式求解，即列出.（x 1）2 y2. （x 1）2 y24，再移項，平方，相當于將橢圓標準方程推導了一遍，較繁瑣！3例 4、 ABC 中，B（-5,0）,C（5,0）,且 sin C-s in B=si nA,

11、求點 A 的軌跡方程。5分析：由于sinA、sinB、sinC的關系為一次齊次式，兩邊乘以2R （ R為外接圓半徑）可轉化為邊長的關系。解:si nC-si nB=3si nA532Rs in C-2Rsi nB=5-2RsinA AB AC即 AB AC點A的軌跡為雙曲線的右支（去掉頂點）/ 2a=6, 2c=10-a=3,c=5,b=422所求軌跡方程為x1(x3)916點評：要注意利用定義直接解題，這里由（* ）式直接用定義說明了軌跡（雙曲線右支）例5、定長為3的線段AB的兩個端點在y=x2上移動，AB中點為M，求點M到x軸 的最短距離。分析：(1)可直接利用拋物線設點，如設A(xi,x

12、i2), B(X2, X22),又設AB中點為M(xoyo)用弦長公式及中點公式得出y。關于xo的函數表達式，再用函數思想求出最短距離。(2) M到x軸的距離是一種“點線距離”，可先考慮M到準線的距離，想到用定義法。解法一：設 A(x 1， xi2)， B(X2, x22)， AB 中點 M(x0，yo)(xi X2)2 (xi2 X；)2 則 Xi X2 2xo22Xi X22 yo由得(Xi_X2)2I+(x i+X2)2=9即(X1+X2)2-4XiX2 I+(X 1+X2)2=9由、得 2xix2=(2xo)2-2yo=4xo2-2yo代入得(2xo)2-(8xo2-4yo) i+(2

13、xo)2=9 4yo 4x：9i 4x：24yo 4xo4x(4x：i)94x( i2 9 i 5, yo 5當4xo2+仁3 即x0子時，(yo)min法二：如圖，2MM2aa2 bb2| |af| |bf| |ab| 3yMBAcAir1Bx1IAMBI313MM 2即 MM1-21 42MM15當AB經過焦點F時取得最小值。45 M到x軸的最短距離為 -4點評：解法一是列出方程組，利用整體消元思想消xi, X2,從而形成yo關于xo的函數，這是一種“設而不求”的方法。而解法二充分利用了拋物線的定義，巧妙地將中點M到x軸的距離轉化為它到準線的距離，再利用梯形的中位線，轉化為A、B到準線的距

14、離和，結合定義與三角形中兩邊之和大于第三邊(當三角形“壓扁”時，兩邊之和等于第三邊)的屬性， 簡捷地求解出結果的，但此解法中有缺點，即沒有驗證AB是否能經過焦點F,而且點M的坐標也不能直接得出。二、韋達定理法【典型例題】2 2例6、已知橢圓 乂 1(2 m 5)過其左焦點且斜率為 1的直線與橢圓及準線m m 1從左到右依次交于 A、B、C、D、設f(m)=|ABCD| ,( 1)求f(m),(2)求f(m)的最值。分析：此題初看很復雜，對f(m)的結構不知如何運算，因A、B來源于“不同系統”A在準線上,B在橢圓上，同樣C在橢圓上,D在準線上，可見直接求解較繁，將這些線段“投影”到x軸上，立即可

15、得防f (m) (Xb Xa)J2 (Xd Xc)V2|2|(Xb Xa) (XdXc)2 (Xb Xc) (Xa Xd)2 (XbXc)1yC1D，-F1B7 A0卜2X此時問題已明朗化，只需用韋達定理即可。2 2解：(1)橢圓1 中，a2=m , b2=m-1 , c2=1，左焦點 Fi(-1,0)m m 1則 BC:y=x+1，代入橢圓方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1) 2-m2+m=0/ (2m-1)x2+2mx+2m-m 2=0設 B(x1,y1),C(X2,y2),則X1+X 2=-2m2m 1(25)f(m) | AB CD| 血 |(X

16、b Xa)2(X1 X2) (Xa Xc)2x1(XdXc)X22m2m 1(2) f (m)，-2m 1 12m 1、2(112m當 m=5 時，f (m)min10、一 29當 m=2 時，f (m)max4.23y。0，將 yo=xo+1，k=1 代入得Xomm2m 1，可見Xb2m2m 1點評：此題因最終需求Xb Xc，而BC斜率已知為1,故可也用“點差法”設 BC中點為M(x0,y0)，通過將B、C坐標代入作差，得-m當然，解本題的關鍵在于對 f (m) J AB CD|的認識，通過線段在 x軸的“投影” 發(fā)現f (m) xB xC是解此題的要點。三、點差法與圓錐曲線的弦的中點有關的

17、問題，我們稱之為圓錐曲線的中點弦問題。解圓錐曲線的中點弦問題的一般方法是：聯立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次 方程的根的判別式、根與系數的關系、中點坐標公式及參數法求解。若設直線與圓錐曲線的交點(弦的端點)坐標為A(x1, y1)、B(x2,y2)，將這兩點代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差， 得到一個與弦AB的中點和斜率有關的式子，可以大大 減少運算量。我們稱這種代點作差的方法為點差法”。1. 以定點為中點的弦所在直線的方程x2例1、過橢圓162y41內一點M (2,1)引一條弦，使弦被 M點平分，求這條弦所在直線的方程。解：設直線與橢圓的交點為 A(x1, y1)、B(x2, y2)

18、M (2,1)為AB的中點x1 x24y1 y22又A、B兩點在橢圓上，則2 2 2 2X1 4y116，X2 4y2162 2 2 2兩式相減得(人x2 ) 4(y1y2 ) 0于是(X1 X2)(X1 X2)4(y1 y2)(y1 y?)0y1y2x-ix241X1X24( y1y2)4 221即 kAB1，故所求直線的方程為 y1扣 2)，即 x 2y 4 0。2例2、已知雙曲線x2 y 1，經過點M (1,1)能否作一條直線I，使I與雙曲線交于 A、B，且點M是線段AB的中點。若存在這樣的直線I，求出它的方程，若不存在，說明理由。策略：這是一道探索性習題，一般方法是假設存在這樣的直線，

19、然后驗證它是否滿足題設的條件。本題屬于中點弦問題，應考慮點差法或韋達定理。解：設存在被點 M平分的弦AB，且A(x1,y1)、B(x2,y2)則X1X22y1y22222X11，X22 上122兩式相減，得1 y.| y2(xi X2)(X! X2)(yi y2)(yi y?) okAB - 22 x-i x2故直線 AB: y 12(x 1)y 12(x 1)由 2 y2消去y，得2x24x 30x122(4)4 2 380這說明直線 AB與雙曲線不相交，故被點 M平分的弦不存在，即不存在這樣的直線I。評述：本題如果忽視對判別式的考察，將得出錯誤的結果，請務必小心。由此題可看到中點弦問題中判

20、斷點的 M位置非常重要。(1)若中點M在圓錐曲線內，則被點 M平分的弦一 般存在；(2)若中點M在圓錐曲線外，則被點 M平分的弦可能不存在。2. 過定點的弦和平行弦的中點坐標和中點軌跡221例3、已知橢圓 J 1的一條弦的斜率為 3,它與直線x丄的交點恰為這條弦的中點75 252M，求點M的坐標。1解:設弦端點 P(x1，y1)、Q(X2,y2)，弦 PQ 的中點 M(x,yo)，則冷 -人 X22x01 ， y1 y2y02 又y12X121，y22X2175257525兩式相減得25( y1y2)(y1y2)75(x1X2)(X1X2)0即 2 y0(y1y2)3(X1X2)0y1y23X

21、1X22 y0ky1y2333，即y。1X1X22y02點M的坐標為G，2)。2 222例4、已知橢圓- X 1 ,求它的斜率為3的弦中點的軌跡方程。7525解：設弦端點P(x1, y1)、Q(X2, y2)，弦 PQ 的中點 M (x, y)，則2 又y12X112y22X2175257525兩式相減得25( y1y2）（y1y2)75(x1X2)(X1 X2) 0即 y(y1y2) 3x(X1X2）0，y1即竺-y3xX1X2yky1y233x3，即xy 0xiX2y由 X 駡 得 P（ 5J3 5V3）Q（5V35j3）由丄 m 1，得P（ w,_r）Q（丁，?。?525點M在橢圓內5/

22、35,3它的斜率為3的弦中點的軌跡方程為 x y 0（x）2 22x例1已知橢圓 y2 1，求斜率為2的平行弦中點的軌跡方程.2解 設弦的兩個端點分別為 P x1, y-! , Q x2, y2 ， PQ的中點為M x, y2 2則X12y11，（ 1）牛 y221，（2）222 2X1X222X,X2y1y2門12得:-y1y20，y1y2022XX2又xX2y12x, y1y2 2y,y22，x 4y0.X1X2Q弦中點軌跡在已知橢圓內，所求弦中點的軌跡方程為 x 4y 0 （在已知橢圓內）2例2 直線l : ax y a 50 （ a是參數）與拋物線 f ： y x 1的相交弦是AB，則

23、弦AB的中點軌跡方程是解設 A x1, y1、B X2,y2，AB 中點 M x, y，則XX22x.Q l : a x 1y 50，l過定點N 1,5，kABkMNy 5x 122又 y1X11 ，（ 1）y2X21 ，( 2)12 得：yiy2Xix21XjX2X1X2 yiy2kABX1x2XiX22.2x2Q弦中點軌跡在已知拋物線內,所求弦中點的軌跡方程為y 2x27 (在已知拋物線內)3. 求與中點弦有關的圓錐曲線的方程例5、已知中心在原點，一焦點為F(0, .50)的橢圓被直線l : y3x 2截得的弦的中點的一 i橫坐標為一，求橢圓的方程。22解：設橢圓的方程為與a，則a2 b2

24、50設弦端點P(x1, y1)、Q(X2, y2)，弦 PQ 的中點 M(Xo,y)，則Xo2 ,y3X0XiX2 2x0 i, yi y2 2yi2 2 又生生 又 2.2a b2 2y2X21ab兩式相減得b2(yiy2)(yi y2)a2(XiX2)(XiX2)0即 b2( yy2)a2(XiX2)02%y2a2XiX2b聯立解得a275 ,b2252y所求橢圓的方程是-752xi25例3已知 ABC的三個頂點都在拋物線y232x上，其中A 2,8，且 ABC的重心G是拋物線的焦點，求直線 BC的方程.解 由已知拋物線方程得 G 8,0 .設BC的中點為M x0,y0，則A G、M三點共

25、2 2xouuuu_了線，且AG 2GMG分AM所成比為2，于是 128 2yo1 2x 11解得，M 11, 4 .y 4設 B Xl , y1 ,C X2, y2 ，則 y1 y28 .22又 y132x1，（ 1） y232x2，（ 2）2 212 得：y,y232 為 x2 ，kBCy1y232y y2324.BC所在直線方程為y 44 x 11，即 4x y 400.例4已知橢圓2 x2 ab 0的一條準線方程是x1，有一條傾斜角為7的直線交橢圓于A、B兩點，若AB的中點為C1 11 1 ，求橢圓方程24解設A s、BX2,y2，則%22xy22亍 1，（2）ab222212 得：x

26、1X22y12y2ab,y1y2b221kAB2， aX1X2a222b ， （3）12口X12y1x1,y1y2且 21，（ 1）2ab2y1y2b2 x1X2b2122AX1X2ay1y2a12a又 1，a2 c，（ 4）而 a2c由（3），（4），（5）可得 a2-,b22b2c2，（ 5）221Xy所求橢圓方程為1411244. 圓錐曲線上兩點關于某直線對稱問題2 2例6、已知橢圓 1，試確定的m取值范圍，使得對于直線 y 4x m，橢圓上總43有不同的兩點關于該直線對稱。P(x, y)為弦 RP2解：設R(xi，yi)，P2(X2,y2)為橢圓上關于直線 y 4x m的對稱兩點,的中

27、點，貝V 3xj 4y1，解得 12，3x22 4y22 122 2 2 2兩式相減得，3(X1 X2 ) 4( y1y2 ) 0即 3(X1 X2)(X1 X2)4(y1 y2)(y1 y2)0禺X22x,y1y22y,y 3x這就是弦P F2中點P軌跡方程。它與直線4xm的交點必須在橢圓內聯立yy3x4x，得Xy3m則必須滿足即(3m)22.13132 13135.求直線的斜率2X例5已知橢圓一252y9上不同的三點AX1, y1,B94, C x2, y2與焦點5F 4,0的距離成等差數列.(1)求證:x(x28 ； (2)若線段AC的垂直平分線與x軸的交點為T ,求直線BT的斜率k.(

28、1) 證略.(2) 解QX1 X2 8 , 設線段AC的中點為D 4,y。又A、C在橢圓上,2X12y121, (1)堂2宜 1,(2)2592592 2yy22 得:x-|2x22256.7.yiy2X1x2直線DT9 xix23625 yiy2252y。25y。的斜率kDT確定參數的范圍例6若拋物線的取值范圍.25 yo36直線DT的方程為25yy0厲6425，即 T 64 ,025， 直線BT的斜率9 0 k -L4 6425C : y2x上存在不同的兩點關于直線I : y解當m0時，顯然滿足.當m 0時，設拋物線C上關于直線l : y m x 33對稱，求實數對稱的兩點分別為Xi,%、

29、Q X2,y2，且PQ的中點為X。， yo ，則2y1X1，2（1）y2X2，（ 2）2y2X1X2，kPQy1 y2XiX2y1 y22 yo又kPQm y。Q 中點 M x0 ,y0在直線l :y m x2Q中點在拋物線y2m yX0，即綜上可知，所求實數證明定值問題例7已知AB是橢圓X區(qū)域內2m5 肋/且，解得22上,yom x03，于是Xo,10m的取值范圍是10. .2X2a占 1 a b 0不垂直于x軸的任意一條弦,bP是AB的中點，O為橢圓的中心求證:直線AB和直線OP的斜率之積是定值.證明 設 Ax1,y., Bx2,y2且x1x2，yi2y12得:y2X1x2又koP上X12

30、X2(1 )芻a2X2a.2b%x22ay1y2y2X1x28.其它?？瓷先ゲ皇侵悬c弦問題,2 y2 b2-2y2(2)b2b2a丄kOPy1 y2XiX22b x1x22a% y22 (定值).a但與之有關，也可應用。例9,過拋物線y2 2px(p 0)上一定點P( xo, yo)( yo 線于 A( X1,Y1)，B( X2,y2).(1) 求該拋物線上縱坐標為 的點到其焦點F的距離；2(2) 當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，求0 ),作兩條直線分別交拋物y1yo里的值，并證明直線 AB的斜率是非零常數.2 2解(1)略:設 A(y1 ,y1),B(y 2 ,y2)，則kAE=y2y

31、j2y1y2y1yo kP半 2y 1yoy1,kpB yo上yo2y22yoy2yo由題意，kAB=-k AC,y1 yoy2yo，則Y1y22 yo則：kAB=2yo為定值。例1。、拋物線方程y2 p(x 1)(p o)，直線x y t與x軸的交點在拋物線準線的右邊。(1) 求證：直線與拋物線總有兩個不同交點(2) 設直線與拋物線的交點為A、B，且OA丄OB ,求p關于t的函數f(t)的表達式。(1 )證明：拋物線的準線為1: x 1衛(wèi)4由直線x+y=t與x軸的交點(t，0)在準線右邊，得t 1 ，而4t p 4 04x y t22由 2消去 y得 x (2t p)x (t p) 0y p

32、(x 1)2 2(2t p) 4(t p) p(4t p 4)0故直線與拋物線總有兩個交點。(2)解：設點 A(X1, y1),點 B(X2, y2)2x1 x2 2t p, x1x2 tQOAOB koAkoB則 x1x2y“2 0又y2(txj(tX2)x1x2.2y*2 t(t 2)pp f(t)丄t4t0得函數f (t)的定義域是(2 , 0)(0, )【同步練習】1、已知:F1,22xyF2是雙曲線一22ab1的左、右焦點，過Fi作直線交雙曲線左支于點A、B，若 AB ABF2的周長為(A、4aB、4a+mc、4a+2mD、4a-m2、若點P到點F(4,0)的距離比它到直線x+5=0

33、的距離小1,貝U P點的軌跡方程是A、y2=_16xB、 y2=-32xC、y2=16xD、y2=32x且 AB AC ，點3、已知 ABC的三邊AB、BC、AC的長依次成等差數列,的坐標分別為(-1 , 0), (1 , 0)，則頂點A的軌跡方程是()2 x2y12 x2y1(x0)A、B、43432222xC、y1(x0)xD、y_1(x0 且 y0)4343()A、(x 1)22 y9(x1)B、(x$! 2y!x1)C、x2 (y$1)2D、x(yylx1)5、已知雙曲線x22 y1上一點M的橫坐標為4,則點M到左焦點的距離是9166、拋物線y=2x2截一組斜率為2的平行直線，所得弦中

34、點的軌跡方程是 7、 已知拋物線y2=2x的弦AB所在直線過定點 p(-2，0)，則弦AB中點的軌跡方程是8、過雙曲線x2-y2=4的焦點且平行于虛軸的弦長為 10、設點P是橢圓2x251上的動點，F1, F2是橢圓的兩個焦點，求 sin/ F1PF2的9、 直線y=kx+1與雙曲線x2-y2=1的交點個數只有一個，則k=最大值。11、已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，左焦點到坐標原點、右焦點、右準線的距離依次成等差數列，若直線I與此橢圓相交于 A、B兩點，且AB中點M為(-2,1), AB 4丿3 ,求直線I的方程和橢圓方程。12、已知直線l和雙曲線2 x2 a2與 1(a 0,b0)及其

35、漸近線的交點從左到右依次為bA、B、C、D。求證:ABCD1、Caf2二 AF22、C參考答案AF, 2a, BF2 BF,y2=16x，選 C3、D2a ,AB 4a, AF2 BF2 AB 4a 2m,選 C點P到F與到x+4=0等距離，P點軌跡為拋物線p=8開口向右，則方程為/ ABAC2 2，且 AB AC點A的軌跡為橢圓在y軸右方的部分、又 A、B、C三點不共線，即y豐0，故選4、A設中心為得 1(2x1)2(2y)2(x, y),則另一焦點為(2x-1 ,1 224，二(x 衛(wèi)2y25、35 29 離為ed3 56、x (y22y)，則原點到兩焦點距離和為又 ca,. . (x 1

36、)2 y2(x-1)2+y2 -)227、y2=x+2(x2)設 A(xi, yi),B(X2,y2), ab中點M(x , y),則2小2y1 2X1, y2c22x2, y12y22(XiX2),竺X1y2(Y12)2X2 kAB kMPy 0x 2又弦中點在已知拋物線內yx 2P,即 y22x，即 x+222y2，即 y2=x+228、4 ab24,c8, c 2 2，令 x 2、. 2 代入方程得 8-y 2=4 y2=4 , y= 2，弦長為49、2 或1 y=kx+1代入 x2-y2=1 得 x2-(kx+1) 2-仁0 (1-k2)x2-2kx-2=00 得 4k2+8(1-k2

37、)=0， k= -i 2 1-k2=0 得 k= 110、解：a2=25, b2=9, c2=16設 F1、F2 為左、右焦點，貝U F1(-4 , 0)F2(4 , 0)、 設 PF1r1 PF2r2 F1 2則 r1 r22r： r/ 2 r! r2 cos(2c)22-得 2門r2(1+cos 0 )=4b2ypF1F2X4b2- 1+cos 0 =2叩22b2 r1+r22, nr2的最大值為a2- 1+cos 0的最小值為2b22，a即 1+cos 01825cos0725，7arccos -25則當2時，sin0取值得最大值1，11將x 代入y=2x2得y ,軌跡22即sin /

38、F1PF2的最大值為1。2 211、設橢圓方程為篤71(a ba b2由題意：C、2C、 c成等差數c列,橢圓方程為2x2bc即a22c2,1，設 A(x 1, a2=2(a2-b2), / a2=2b2yi), B(X2, y2)2X12b2竺2b22b2-得2 2x-ix22b22y1b2塵與k2b bk 0 二 k=1直線AB方程為y-1=x+2即 y=x+3 ,代入橢圓方程即x2+2y2-2b2=0 得 x2+2(x+3)2-2b2=0二 3x2+l2x+18-2b2=0,ABX21 3 ； 12212(18 2b2) 24.3x2解得b2=12,橢圓方程為242y12直線l方程為x-

39、y+3=012、證明:設 A(x 1,y1), D(X2, y2), AD中點為M(xo, yo)直線I的斜率為k，則2X12 a2X2 2 a2b22y2b22x0 2y0-得孑總B(xyJ,C(X2, y2), BC中點為 M (x。, yo)，12x則歹12X2a212篤0b212與0b22yJ成立2x由、知M、M均在直線I :2a岸k若I過原點，則B、C重合于原點，命題成立0上，而M、M又在直線l上，若I與x軸垂直，則由對稱性知命題若I不過原點且與x軸不垂直，則 M與M 重合CD四、弦長公式法若直線l : y kx b與圓錐曲線相交與 A、B兩點，A (x1, y1), B(x2, y

40、2)則弦長 AB , (xi X2)2 (yi y2)2.(X) X2)2 kxi b (kx2b)2Ji k2|x1 x2|AB|=、111 y2特殊的，在如果直線1 k2 i (% x2)2 4x1x2 同理:yil .(y2 yi)2 4丫2力AB經過拋物線的焦點，則|AB|=?般地，求直線與圓錐曲線相交的弦 AB長的方法是：把直線方程y kx b代入圓錐曲線方程中，得到型如2ax bx c 0的方程，方程的兩根設為xA， xB，判別式為，則|AB| i k2 |xA xB| i k2 上仝，若直接用結論，能減少配方、開方等運算過|a|程。例 求直線x y 1 0被橢圓x2 4y2 16

41、所截得的線段 AB的長。結合圖形的特殊位置關系，減少運算在求過圓錐曲線焦點的弦長時，由于圓錐曲線的定義都涉及焦點，結合圖形運用圓錐曲線的定義，可回避復雜運算。例題1 :已知直線y x 1與雙曲線2C:x2 壬41交于A、B兩點,求AB的弦長解：設y由2XA (X1, yj, B(X2, y2)x 12y_42 2得 4x (x 1)14 0 得 3x22x 5ABX1則有X1X2X2練習1 k2 1 (X1X2)24x1x2x21：已知橢圓方程為一22y23舟相交于A、B兩點，求AB的弦長練習2:設拋物線y2 4x截直線y 2x m所得的弦長 AB長為3、5，求m的值分析：聯立直線與拋物線的方

42、程，化簡，根據根與系數的關系，求弦長 解：設 A( x1, y1), B(x2, y2)y聯立方程2X得 6x2 4xX1則X2X1X2AB2 2k (X1X2)4x1x22.(2)214( 2)2 113解：設 A(x1, y1), B(x2, y2)2聯立方程：yyX212m4X 得 4x2(4m2x m4)xX1則X1X2AB $1 k2&X例題2:已知拋物線yab分析：a、b兩點關于直線 的中點在已知直線上解： A、B關于l : Xx2)24恥2m 43上存在關于直線x y5、.(廠m)20對稱相異的兩點 A B,求弦長0對稱，則直線AB的斜率與已知直線斜率的積為1且ABo對稱ki k

43、AB 1ki 1kAB 1設直線 AB 的方程為 y x b ， A( x-i , y1), B(x2, y2)y x b2聯立方程2化簡得X2 X b 30yx2 31 1x1 x21AB中點M( , b)在直線x y 0上2 2b 1x2 x 2 0“ X1 x21則12x1 x22AB 1 k2 ,(Xi X2)2 4xiX22( 1)2 8 3 2小結：在求直線與圓錐曲線相交的弦長時一般采用韋達定理設而不求的方法，在求解過程中一般采取步驟為：設點聯立方程 消元韋達定理弦長公式作業(yè)：(1)過拋物線y2 4x的焦點，作傾斜角為的直線交拋物線于A , B兩點，且AB 16 求的值3 ,(2)2已知橢圓方程 Xy21及點B(0,22)，過左焦點 F1與B的直線交橢圓于C、D兩點，F2為橢圓的右焦點，求CDF2的面積。【典型例題】 五、數形結合法b2 4a 6bt o例1:已知P(a,b)是直線x+2y-仁0上任一點，求S= a2分析：由此根式結構聯想到距離公式，解：S= (a 2)2 (b 3)2 設 Q(-2,3),則S=