2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.3.1 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和同步作業(yè)新人教A版必修5

1、2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.3.1 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和同步作業(yè)新人教a版必修52020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.3.1 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和同步作業(yè)新人教a版必修5年級(jí)：姓名：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分)1.已知等差數(shù)列an的前10項(xiàng)和為30,a6=8,則a100=()a.100b.958c.948d.18【解析】選c.設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由已知解得所以a100=-42+9910=948.2.已知等差數(shù)列an的公差為3,且a1+a3=8,則數(shù)列an的前4項(xiàng)的和s4的值為()a.10b.16c.22d.35【解析

2、】選c.因?yàn)榈炔顢?shù)列an的公差為3,且a1+a3=8,所以2a1+23=8,所以a1=1,所以s4=41+3=22.3.(2019玉溪高二檢測(cè))已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和sn,且s3=s5=15,則s7=()a.4b.7c.14d.【解析】選b.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為sn,且s3=s5=15,所以a4+a5=0,所以2a1+7d=0.再根據(jù)s3=3a1+3d=15,可得a1=7,d=-2,則s7=7a1+d=49+21(-2)=7.4.(2019大慶高一檢測(cè))在等差數(shù)列an中,若a3+a4+a5+a6+a7=45,則s9=()a.45b.162c.81d.【解析】選c.因?yàn)樵诘炔顢?shù)列an中,a3+a

3、4+a5+a6+a7=5a5=45,所以a5=9.所以s9=9a5=81.5.等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,若=,則下列結(jié)論中正確的是()a.=2b.=c.=d.=【解析】選c.由已知sn=an,sn-1=an-1(n2),兩式相減可得an=an-an-1(n2),化簡(jiǎn)得=(n2),當(dāng)n=3時(shí),=.6.數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn=2n2+n(nn*),則an=()a.2n-1b.2n+1c.4n-1d.3n+2【解析】選c.因?yàn)閿?shù)列an的前n項(xiàng)和sn=2n2+n,所以當(dāng)n2時(shí),an=sn-sn-1=2n2+n-2(n-1)2+(n-1)=4n-1,當(dāng)n=1時(shí),a1=s1=3,符合上式,所以綜上an

4、=4n-1.二、填空題(每小題5分,共10分)7.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,s3=6,s4=12,則s6=_.【解析】方法一:設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d,由s3=6,s4=12,得解得所以s6=6a1+15d=30.方法二:因?yàn)閍n為等差數(shù)列,可設(shè)前n項(xiàng)和sn=an2+bn,由s3=6,s4=12得解得即sn=n2-n,所以s6=36-6=30.答案:308.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,若s8=32,則a2+2a5+a6=_.【解析】因?yàn)閟8=32,所以=32.可得a4+a5=a1+a8=8,則a2+2a5+a6=2(a4+a5)=28=16.答案:16三、解答題(每小題10分

5、,共20分)9.在各項(xiàng)為正的等差數(shù)列an中,已知公差d=2,an=11,sn=35,求a1和n.【解析】由題意得即解得或(舍去)故10.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,a1=1,an0,anan+1=sn-1,其中為常數(shù).(1)證明:an+2-an=.(2)是否存在,使得an為等差數(shù)列?并說(shuō)明理由.【解析】(1)由anan+1=sn-1知,an+1an+2=sn+1-1,兩式相減得,an+1(an+2-an)=an+1,又因?yàn)閍n+10,所以an+2-an=.(2)存在.由a1=1,a1a2=a1-1,得a2=-1,由(1)知,a3=+1.令2a2=a1+a3,解得=4.所以an+2-an=4,

6、由此可得,a2n-1是首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列,a2n-1=1+(n-1)4=4n-3;a2n是首項(xiàng)為3,公差為4的等差數(shù)列,a2n=3+(n-1)4=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.因此存在=4,使得an為等差數(shù)列.(45分鐘75分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.已知等差數(shù)列1-3n,則公差d等于()a.1 b.3 c.-3 d.n【解析】選c.因?yàn)閍n=1-3n,所以a1=-2,a2=-5,所以d=a2-a1=-3.2.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,若s17=255,a10=20,則數(shù)列an的公差為()a.3b.4c.5d.6【解析】選c.根據(jù)等差數(shù)列的求和

7、公式,可得s17=17=17a9=255,可得a9=15,又a10=20,所以d=a10-a9=20-15=5.3.等差數(shù)列中,sn是前n項(xiàng)和,若a3+a8=5,s9=45,則s11=()a.0b.10c.20d.25【解析】選a.設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1,公差為d,因?yàn)?所以,即,解得,則s11=2511-5=0.故選a.4.已知等差數(shù)列an中,a2=6,a5=15,若bn=a2n,則數(shù)列bn的前5項(xiàng)和等于()a.30b.45c.90d.186【解析】選c.因?yàn)樗怨仕詀n=a1+(n-1)d=3n,故bn=a2n=6n,則因此bn的前5項(xiàng)和為s5=56+6=90.5.(2019定州高一檢測(cè)

8、)記等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,若a5=3,s13=91,則s11=()a.36b.72c.55d.110【解析】選c.因?yàn)閟13=13a7=91,所以a7=7,因?yàn)閍5=3,所以a5+a7=10,因?yàn)閍1+a11=a5+a7=10,所以s11=55.二、填空題(每小題5分,共20分)6.(2019全國(guó)卷)記sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,a10,a2=3a1,則= _.【解析】設(shè)該等差數(shù)列的公差為d,因?yàn)閍2=3a1,所以a1+d=3a1,故d=2a1(a10,d0),所以=4.答案:47.若數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn=n2-8n,n=1,2,3,則滿足an0的n的最小值為_.【解析】(1)當(dāng)n

9、=1時(shí),a1=s1=12-8=-7.(2)當(dāng)n1時(shí),由sn=n2-8n得:sn-1=(n-1)2-8(n-1)=n2-10n+9,兩式相減,得:an=2n-9,n=1也符合,由an=2n-90,得:n4.5,所以,滿足an0的n的最小值為5.答案:58.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn=n2-2n+3,則an=_.【解析】當(dāng)n=1時(shí),a1=s1=2,當(dāng)n2,an=sn-sn-1=n2-2n-(n-1)2+2(n-1)=2n-3,故an=答案:9.我國(guó)古代,9是數(shù)字之極,代表尊貴之意,所以中國(guó)古代皇家建筑中包含許多與9相關(guān)的設(shè)計(jì).例如,北京天壇圓丘的地面由扇環(huán)形的石板鋪成(如圖所示),最高一層是一塊天

10、心石,圍繞它的第一圈有9塊石板,從第二圈開始,每一圈比前一圈多9塊,共有9圈,則前9圈的石板總數(shù)是_. 【解析】因?yàn)樽罡咭粚拥闹行氖且粔K天心石,圍繞它的第一圈有9塊石板,從第二圈開始,每一圈比前一圈多9塊,共有9圈,則每圈的石板數(shù)構(gòu)成一個(gè)以9為首項(xiàng),以9為公差的等差數(shù)列,所以an=9n,當(dāng)n=9時(shí),第9圈共有81塊石板,所以前9圈的石板總數(shù)s9=(9+81)=405.答案:405三、解答題(每小題10分,共30分)10.等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為sn,已知a10=30,a20=50.(1)求通項(xiàng)an.(2)令sn=242,求n.【解析】(1)由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=5

11、0,得方程組解得所以an=2n+10.(2)由sn=na1+d,sn=242,得方程12n+2=242,解得n=11或n=-22(舍去),即n=11.11.設(shè)a1,d為實(shí)數(shù),首項(xiàng)為a1,公差為d的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,滿足s5s6+15=0.(1)若s5=5,求s6及a1.(2)求d的取值范圍.【解析】(1)由題意知s6=-=-3,a6=s6-s5=-8,所以解得a1=7.綜上,s6=-3,a1=7.(2)因?yàn)閟5s6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2+9da1+10d2+1=0,所以(4a1+9d)2=d2-8,所以d28.故d的取值范圍為d-2或d

12、2.12.(2017江蘇高考)對(duì)于給定的正整數(shù)k,若數(shù)列an滿足an-k+an-k+1+an-1+an+1+an+k-1+an+k=2kan對(duì)任意正整數(shù)n(nk)總成立,則稱數(shù)列an是“p(k)數(shù)列”.(1)證明:等差數(shù)列an是“p(3)數(shù)列”.(2)若數(shù)列an既是“p(2)數(shù)列”,又是“p(3)數(shù)列”,證明:an是等差數(shù)列.【證明】(1)因?yàn)槭堑炔顢?shù)列,設(shè)其公差為d,則an=a1+(n-1)d,從而,當(dāng)n4時(shí),an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2an,k=1,2,3,所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an,因此等差數(shù)列是“p數(shù)列”.(2)數(shù)列既是“p數(shù)列”,又是“p數(shù)列”,因此,當(dāng)n3時(shí),an-2+an-1+an+1+an+2=4an,當(dāng)n4時(shí),an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an.由知,an-3+an-2=4an-1-(an+an+1),an+2+an+3=4an+1-(an-1+a