高考數(shù)學必備—高考數(shù)學100個熱點問題—第28煉 三角函數(shù)性質(zhì)

1、高考資源網(wǎng)（） 您身邊的高考專家第28煉 三角函數(shù)及函數(shù)性質(zhì)一、基礎知識：1、正弦函數(shù)的性質(zhì)（1）定義域： （2）值域： （3）周期： （4）對稱軸（最值點）： （5）對稱中心（零點）：，其中是對稱中心，故也是奇函數(shù)（6）單調(diào)增區(qū)間： 單調(diào)減區(qū)間：2、余弦函數(shù)的性質(zhì)（1）定義域： （2）值域： （3）周期： （4）對稱軸（最值點）：其中是對稱軸，故也是偶函數(shù)（5）對稱中心（零點）： （6）單調(diào)增區(qū)間： 單調(diào)減區(qū)間：3、正切函數(shù)的性質(zhì)（1）定義域： （2）值域： （3）周期： （4）對稱中心： （5）零點：（6）單調(diào)增區(qū)間： 注：正切函數(shù)的對稱中心由兩部分構(gòu)成，一部分是零點，一部分是定義域取不到

2、的的值4、的性質(zhì)：與正弦函數(shù)相比，其圖像可以看做是由圖像變換得到（軸上方圖像不變，下方圖像沿軸向上翻折），其性質(zhì)可根據(jù)圖像得到：（1）定義域： （2）值域： （3）周期： （4）對稱軸： （5）零點：（6）單調(diào)增區(qū)間： 單調(diào)減區(qū)間：5、的性質(zhì)：此類函數(shù)可視為正弦函數(shù)通過坐標變換所得，通常此類函數(shù)的性質(zhì)要通過計算所得。所涉及的性質(zhì)及計算方法如下：（1）定義域：（2）值域：（3）周期： （4）對稱軸（最值點），對稱中心（零點），單調(diào)區(qū)間需通過換元計算所求。通常設，其中，則函數(shù)變?yōu)?，在求以上性質(zhì)時，先利用正弦函數(shù)性質(zhì)與圖像寫出所滿足的條件，然后將還原為再解出的值（或范圍）即可注：1、余弦函數(shù)也可看做

3、的形式，即，所以其性質(zhì)可通過計算得到。2、對于某些解析式的性質(zhì)（如對稱軸，單調(diào)區(qū)間等）可根據(jù)解析式的特點先變形成為，再求其性質(zhì)二、典型例題：例1：函數(shù) （ ）A. 在上單調(diào)遞減 B. 在上單調(diào)遞增C. 在上單調(diào)遞減 D. 在上單調(diào)遞增思路：單調(diào)遞增區(qū)間：單調(diào)遞減區(qū)間：符合條件的只有D答案：D例2：函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）A. B. C. D. 思路：先變形解析式，再求出單調(diào)區(qū)間：，時，D選項符合要求答案：D例3：的遞減區(qū)間為（ ）A. B. C. D. 思路：在解函數(shù)性質(zhì)之前首先把的系數(shù)變正：，再求其單調(diào)區(qū)間：，由于，所以區(qū)間等同于答案：D例4：已知函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)性質(zhì)判斷正確的是（

4、 ）A. 最小正周期為，一個對稱中心是B. 最小正周期為，一個對稱中心是C. 最小正周期為，一個對稱中心是D. 最小正周期為，一個對稱中心是思路： 對稱中心：時，一個對稱中心是答案：A例5：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）A. B. C. D. 思路：求單調(diào)區(qū)間可設，即，只需找到所滿足的條件然后解出的范圍即可。的取值需要滿足兩個條件，一是保證，二是取單調(diào)增的部分，所以可得：，即，解得： 答案：A例6：設函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的說法中正確的是（ ）A. 是偶函數(shù) B. 的最小正周期是C. 圖像關(guān)于點對稱 D. 在區(qū)間上是增函數(shù)思路：先判斷的周期，可結(jié)合圖像進行判斷，可得：；對于對稱軸，對稱中心，單調(diào)區(qū)間

5、，可考慮設，即，借助圖像先寫出所符合的條件，再求出的值（或范圍）即可。對稱軸：，不是偶函數(shù)對稱中心：，關(guān)于點對稱單調(diào)增區(qū)間：答案：C例7：函數(shù)的圖像的兩條相鄰對稱軸間的距離為（ ）A. B. C. D. 思路：根據(jù)圖像的特點可得：相鄰對稱軸之間的距離是周期的一半，所以間距為：答案：B例8：已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則的值為_思路一：可以利用輔角公式變形為的形式，但是由于系數(shù)含參，所以輔角只能用一個抽象的代替：因為關(guān)于直線對稱，思路二：本題還可以利用特殊值法求出的值，再進行驗證即可：因為關(guān)于直線對稱，所以代入一組特殊值：，再代入驗證，其一條對稱軸為，符合題意答案：例9：已知在單調(diào)遞增，求的取值

6、范圍思路：的圖像可視為僅由放縮得到。，由在單調(diào)遞增可得： ，即答案：例10：已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且圖像關(guān)于點對稱，則的取值集合為_ 思路：的圖像可視為的圖像橫坐標變?yōu)榱耍瑒t，因為在上單調(diào)增，所以，即；另一方面，的對稱軸為，所以解得，再結(jié)合可得 答案：三、近年好題精選1、函數(shù)的最小正周期是，若其圖象向右平移個單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象（ ）A關(guān)于點對稱 B關(guān)于直線對稱C關(guān)于點對稱 D關(guān)于直線對稱2、（2015，湖南）將函數(shù)的圖像向右平移個單位后得到函數(shù)的圖像，若對滿足的，有，則（ ）A. B. C. D. 3、（2016，重慶萬州二中）若函數(shù)與函數(shù)在上的單調(diào)性相同，則的一個值為

7、（ ）A. B. C. D. 4、將函數(shù)的圖像向左平移個單位，得到函數(shù)的圖像，若在上為增函數(shù)，則的最大值為（ ）A. B. C. D. 5、（2015，天津）一直函數(shù)，若函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，且函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則的值為_6、（2014，安徽）若將函數(shù)的圖像向右平移個單位，所得圖像關(guān)于軸對稱，則的最小正值是_7、（2014，北京）設函數(shù)（是常數(shù)，）若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則的最小正周期為_8、已知的圖像在上恰有一個對稱軸和一個對稱中心，則實數(shù)的取值范圍是_9、（2014，福建）已知函數(shù) （1）若，且，求的值（2）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間10、（2016，山東濰坊中學高三期末）已知函

8、數(shù)（）（1）求最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值習題答案：1、答案：B解析：由最小正周期可得：，向右平移個單位后解析式為，即，由奇函數(shù)可知，所以，對稱軸：，對稱中心：，即，配合選項可得B正確2、答案：D解析：，由可知分別取到最大最小值，不妨設，所以，由可知3、答案：C解析：先求出的單調(diào)性，解得單調(diào)遞減區(qū)間為：，即在上單調(diào)遞減。所以在單調(diào)減，所以，有，可知C符合題意4、答案：B解析：先利用圖像變換求出解析式：，即，其圖像可視為僅僅通過放縮而得到的圖像。若最大，則要求周期取最小，由為增函數(shù)可得：應恰好為的第一個正的最大值點5、答案： 解析：，由在內(nèi)單調(diào)遞增，且對稱軸為可知在達到最大值，所以，由在單增可知，從而解得 6、答案： 解析：平移后的解析式為：，由對稱軸為可知，令即得到最小正值 7、答案： 解析：由可得為一條對稱軸，由可知為一個對稱中心。因為在區(qū)間單調(diào)，所以可知與為相鄰