4.1.1直角坐標(biāo)系

1、4.1.1直角坐標(biāo)系 i 掌握在平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的方法，體會(huì)坐標(biāo)系的作用. 2對(duì)具體問題，能建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使所刻畫的代數(shù)形式具有更簡(jiǎn)便的 結(jié)果. 基礎(chǔ)初探 1. 直線坐標(biāo)系 在直線上，取一個(gè)點(diǎn)為原點(diǎn)，并確定一個(gè)長(zhǎng)度單位和直線的方向， 就建立了 直線上的坐標(biāo)系，即數(shù)軸. 數(shù)軸上任意一點(diǎn)P都可以由惟一的實(shí)數(shù)x確定，x稱為點(diǎn)P的坐標(biāo). 2. 平面直角坐標(biāo)系 在平面上，取兩條互相垂直的直線的交點(diǎn)為原點(diǎn)， 并確定一個(gè)長(zhǎng)度單位和這 兩條直線的方向，就建立了平面直角坐標(biāo)系.平面上任意一點(diǎn) P都可以由惟一 的有序?qū)崝?shù)對(duì)（x, y）確定，（x，y）稱為點(diǎn)P的坐標(biāo). 3. 空間直角坐標(biāo)系 在空間中

2、，選擇兩兩垂直且交于一點(diǎn)的三條直線， 取這三條直線的交點(diǎn)為原 點(diǎn)，并確定一個(gè)長(zhǎng)度單位和這三條直線的方向，就建立了空間直角坐標(biāo)系. 空間中任意一點(diǎn)P都可以由惟一的三元有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）確定，（x，y， z）稱為點(diǎn)P的坐標(biāo). 思考探究 1. 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系一般有哪些規(guī)則？ 【提示】（1）如果圖形有對(duì)稱中心，可以選擇對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)； （2）如果圖形有對(duì)稱軸，可以選擇對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸； （3）使圖形上的特殊點(diǎn)盡可能多的落在坐標(biāo)軸上. 2. 由坐標(biāo)（x，y）怎樣確定點(diǎn)的位置？ 【提示】在平面直角坐標(biāo)系中，分別過點(diǎn)M（x,O）, N（0，y）作x軸和y軸的 垂線，兩條直線的交點(diǎn)P即（x，y）所確

3、定的點(diǎn). 質(zhì)疑手記 第2頁 預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： kJ 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系刻畫點(diǎn)的位置 正方形的邊長(zhǎng)等: 于4,試選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，表示其頂點(diǎn)與中心的坐 標(biāo). 【自主解答】法一 以正方形的一個(gè)頂點(diǎn)為原點(diǎn)，兩條鄰邊為坐標(biāo)軸， 且把第四個(gè)頂點(diǎn)放在第一象限，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖(1)所示此時(shí)，其 四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 0(0,0)、A(4,0)、B(4,4)、C(0,4)，中心為M(2,2). 法二 以正方形的中心為原點(diǎn)，且使兩條坐標(biāo)軸平行于正方形的邊， 建立平 面直角坐標(biāo)系，如圖(2)所示.此時(shí)，正方形的頂

4、點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2, 2)、B(2,2)、 C( 2,2)、D( 2， 2)，中心為 0(0,0). 法三 以正方形的兩條對(duì)角線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，如圖(3)所示此 時(shí)，正方形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A(2 .2, 0)、B(0,2,2)、C( 2 2, 0)、D(0, 2 2)， 中心為0(0,0).(作圖時(shí)只要以圖(2)中的原點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作圓，該圓 與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)即是圖(3)中正方形的各個(gè)頂點(diǎn)) 再練一題 1選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，表示兩條直角邊長(zhǎng)都為1的直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn) 的坐標(biāo). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：98990000】 【解】 法一 以直角三角形的兩條直角邊 AC、BC所在直線分別為x軸

5、、 y軸，建立如圖 所示的平面直角坐標(biāo)系，則 C(0,0)，A(1,0)，B(0,1). 第2頁 法二 以斜邊AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸，建立如圖（2） 所示的平面直角坐標(biāo)系則A（乎，0）, B（，0）, C（0,乎）. M+ 建立坐標(biāo)系解決證明問題 用解析法證明：等腰三角形底邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，到兩腰的距離之 卜例 第11頁 差等于一腰上的高. 【自主解答】如圖，在ABC中，AB= AC， P為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PD丄AB于D，PE丄AC于E，CF丄AB于F，以BC 所在直線為x軸，以BC的中垂線為y軸, 建立直角坐標(biāo)系，如圖所示， 設(shè) A(0，b)，B( a,0)，C(a,0)

6、(a0，b0),則直線 AB 的方程為 bx ay+ ab= 0, 直線AC的方程為bx+ ay ab= 0, 取P（x0,0）,使x0a,則點(diǎn)P到直線AB、AC的距離分別為 |bx0 0+ ab| bx0+ ab 2 a2 + b2 PD=: 占+ b PE |bx0+ 0 ab| bx0 ab a2 + b2 a2 + b2 點(diǎn)C到直線AB的距離為 CF |ab+ ab|2ab PD-PE-詈廣 CF. 故所需證明命題成立. 再練一題 2. 已知 ABC中，AB = AC, BD、CE分別為兩腰上的高，求證：BD= CE. 【證明】如圖，以BC所在直線為x軸，BC的垂直平分線為y軸建立平

7、面直角坐標(biāo)系. 設(shè) B( - a,0), C(a,O), A(0，h). h 則直線AC的方程為y= hx+ h，即：hx+ ay-ah= 0. a 直線AB的方程為y= ax+ h， a 即：hx ay+ ah= 0. 由點(diǎn)到直線的距離公式得: BD = |2ah| a2+ h2 CE = |2ah| ,a2+ h2 BD = CE. 建立坐標(biāo)系求軌跡方程 如圖4-1-1所示，過點(diǎn)P(2,4)有兩條互相垂直的直線li, l2.l1交x軸于 A點(diǎn)，l2交y軸于B點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M滿足的方程. 圖 4-1-1 【思路探究】 設(shè)點(diǎn)卜求斜率 斜率積為1 -整理得方程一 檢查有無不適合的點(diǎn)結(jié)論|

8、設(shè)M(x, y)-尋求M滿足的條件- 列方程檢查有無不適合的點(diǎn) 法二 法三 O, A, P, B四點(diǎn)共圓 PM = MO 求kOP及0P中點(diǎn)坐標(biāo) 點(diǎn)斜式寫出OP的垂直平分線方程為所求 【自主解答】 法一 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x, y),因?yàn)镸為線段AB的中點(diǎn), 所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2x,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,2y). 因?yàn)?1丄12,且11, 12過點(diǎn)P(2,4), 所以 kAP kPB= 1. 4 04 2y22 y 而 kAP=(xm 1), kPB=，所以 .彳 =一 1(xm 1),整理，得 x 2 2x2 01 x 1 + 2y 5 = 0(xm 1). 因?yàn)楫?dāng)x= 1時(shí)，點(diǎn)A, B的坐

9、標(biāo)分別為(2,0), (0,4)，所以線段AB的中點(diǎn)坐 標(biāo)是(1,2),它滿足方程x+ 2y 5 = 0. 綜上所述，點(diǎn)M滿足的方程是x+ 2y 5 = 0. 法二 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x, y)，則A, B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(2x0) , (0,2y), 1 連接PM.因?yàn)閨1丄12,所以PM = qAB. 而 PM= : x 2 2+ y 4 2, AB= 2x2 + 2y2, 所以 2 x 2 2+ y 4 2 =4x2+ 4y2, 化簡(jiǎn)，得x+ 2y 5 = 0,即為所求方程. 法三 因?yàn)?1丄l2, OA丄OB,點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，所以O(shè), A, P, B 四點(diǎn)共圓， 且該圓的圓心為M(

10、x, y),所以PM = MO ,所以點(diǎn)M的軌跡為線段OP的垂 直平分線. 4 0 因?yàn)閗OP= 2, OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，所以點(diǎn)M滿足的方程為y 2 2 0 =2(x 1), 化簡(jiǎn)得x+ 2y 5= 0. 通過建立坐標(biāo)系精確地刻畫集合圖形的位置和物體運(yùn)動(dòng)的軌跡的方法稱為 解析法解決此類問題的關(guān)鍵： （1）建立平面直角坐標(biāo)系； （2）設(shè)點(diǎn)（點(diǎn)與坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)）； （3）列式（方程與坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)，列出幾何條件，并將幾何條件代數(shù)化）； （4）化簡(jiǎn)（注意變形的等價(jià)性）； （5）證明（若保證等價(jià)變形，則此步驟可以省略）. 再練一題 3設(shè)圓（x- 1）2+ y2 = 1的圓心為C,過原點(diǎn)作圓的弦0A,

11、求0A中點(diǎn)B的 軌跡方程. 【解】 法一（直接法）：設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（x, y）, 由題意，得0B2+ BC2= OC2，如圖所示， 即x2 + y2+ （x- 1）2 + y2 = 1，即卩0A中點(diǎn)B的軌跡方程為（x-）2 + y2=；（去 掉原點(diǎn)） 法二（幾何法）：設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）， 1 由題意知CB丄OA，0C的中點(diǎn)記為Mg, 0）， 1 1 貝U MB = 2C= 2， 1 2 2 1 故B點(diǎn)的軌跡方程為（x 2）2+y2=4（去掉原點(diǎn)） 法三（代入法）：設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（X1, y1）, B點(diǎn)坐標(biāo)為（x, y）, X1 x= 由題意得 y= y1 xi = 2x, 即 y1 二 2y.

12、 又因?yàn)?xi - I)2 + y1= 1, 所以(2x- 1)2+ (2y)2= 1 , 1 2 2 1 即(x刀2+ y2= 4(去掉原點(diǎn)). 法四(交點(diǎn)法)：設(shè)直線0A的方程為y= kx, 當(dāng)k= 0時(shí)，B為(1,0);當(dāng)kM0時(shí)，直線BC的方程為： 1 2 y= k(x 1)，直線OA, BC的方程聯(lián)立消去k即得其交點(diǎn)軌跡方程：y2+ 1 2 2 1 x(x1)=0,即(x)2 + y2=4k 0,1), 顯然 B(1,0)滿足(x 2)2 + y2= 4, 1 2 2 1 故(x 2)2+y2= 4(去掉原點(diǎn))為所求. 真題鏈接賞析 C (教材第16頁習(xí)題4.1第4題)據(jù)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)，

13、在A市正東方300 km 的B處有一臺(tái)風(fēng)中心形成，并以每小時(shí) 40 km的速度向西北方向移動(dòng)，在距臺(tái) 風(fēng)中心250 km以內(nèi)的地區(qū)將受其影響.問：從現(xiàn)在起經(jīng)過多少時(shí)間，臺(tái)風(fēng)將影 響A市，持續(xù)時(shí)間多長(zhǎng)？ 已知B村位于A村的正西方向1公里處，原計(jì)劃經(jīng)過B村沿著北 偏東60的方向埋設(shè)一條地下管線 m但在A村的西北方向400米處，發(fā)現(xiàn)一古代 文物遺址W.根據(jù)初步勘察的結(jié)果，文物管理部門將遺址 W周圍100米范圍劃為 禁區(qū).試問：埋設(shè)地下管線 m的計(jì)劃需要修改嗎？ 【命題意圖】本題主要考查合理建立直角坐標(biāo)系， 并能應(yīng)用其解決實(shí)際問 題的能力. 【解】以A村為原點(diǎn)，直線BA為x軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系.

14、則點(diǎn)B坐標(biāo)為(-1 000,0),點(diǎn)W坐標(biāo)為(一200.2, 200.2),由題意，管線m 的斜率為k= tan 30 =3, 所以管線m所在的方程為y=f(x+ 1 000), 化簡(jiǎn)得 3x-3y+ 1 000.3= 0, 即 x- 3y+ 1 000= 0. 點(diǎn)W到該直線m的距離為 |-200 .6-200.2+ 1 000| =|500- 100 2- 100.6|= 100(5- .2- .6). 因?yàn)?5- 2- ,6 1,所以 d 100. 故管線m不會(huì)穿過禁區(qū)，故該計(jì)劃不需要修改. 1已知點(diǎn)P(- 1 + 2m,- 3- m)在第三象限，則m的取值范圍是. 【解析】第三象限點(diǎn)的坐

15、標(biāo)特征是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均小于 0, -1 + 2mv 0, 3 mv 0, 1 mv 2, 即 2 m 3. 【答案】(-3, 1) 2點(diǎn)P(2,- 3,- 1)關(guān)于yOz坐標(biāo)平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是 . 【解析】.P(x, y, z)關(guān)于平面yOz坐標(biāo)平面對(duì)稱的為點(diǎn)P (-x, y, z), 點(diǎn)(2,- 3， 1)關(guān)于yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)為(2， 3,- 1). 【答案】(2,- 3,- 1) 3. AABC中，B(-2,0), C(2,0),A ABC的周長(zhǎng)為10,則A點(diǎn)的軌跡方程 是. 【解析】.BC = 4,：AB + AC= 10- BC= 6 BC, A的軌跡為橢圓除去 B、C兩點(diǎn), 設(shè)橢圓方程為 a2+ 2 古=1，故 2a = 6,2c =4, 即卩 a = 3, c= 2,；b2