工程高等代數(shù)7線性空間與線性變換習(xí)題解答

1、習(xí)題七111 填空題(1)向量組(1,1,0,-1),(1,2,3,0), (2,3,3, -1)生成的向量空間的維數(shù)是 解 2 (2) 設(shè)全體三階上三角形矩陣構(gòu)成的線性空間為V，則它的維數(shù)是 解 6 (3)次數(shù)不超過2的多項式的全體構(gòu)成線性空間Px其中的元素f (x)= X + x+1在基1,x-1,X-1)X-下的坐標是解(3,4,1)T 1 01、。1 =00( 2 =1，口3 =14(4 )設(shè)是向量空間V3的一個基，則向量a = 1在該基下的坐標1112,2,2解(1、R2中從基1 =，口2 =到另丿r1丿(5)二維向量空間個基的過渡矩陣(6)三維向量空間中的線性變換T(x, y, z

2、) = (x y, x - y, z)在標準基 = (1,0,0), e2 二(0,1,0),e3 =(0,0,1)下對應(yīng)的矩陣是 J 10、解 1-10 e 0 12.選擇題(1) 下列說法中正確的是(A) 任何線性空間中一定含有零向量；(B) 由r個向量生成的子空間一定是r維的；(C) 次數(shù)為n的全體多項式對于多項式的加法和數(shù)乘構(gòu)成線性空間;(D) 在n維向量空間V中，所有分量等于1的全體向量的集合構(gòu)成 V的子空間.(2) 下列說法中錯誤的是.(A )若向量空間V中任何向量都可以由向量組1,2,川，：5線性表示，則1,2,川，：5是V的一個基；(B )若門維向量空間V中任何向量都可以由向量

3、組:, ：-2jH-n線性表示，則r，2,川八n是V的一個基；(C)若n1維向量空間V中任何向量都可以由向量組1,2,l|l,n線性表示，則： 1 2J ： n不是V的一個基；(D) n維向量空間V的任一個基必定含有 n個向量.3(3) 下列3維向量的集合中， 是R的子空間.(A)：(X1, X2,X3)為X2X3 0;X1,X2,X3R f ；(B)(捲，X2, X3) / +X22 +X32 =1; X1, X2, x r；(C)：(X1, X2, X3) X1二 X2= X3； X1, X2,X3 Rf；(D)7(X1, X2,X3)為 _X2X3；X1,X2,X3Rf.(4) 在V2中

4、，下列向量集合構(gòu)成子空間的是 (A) (0,0), (0,1), (1,0)組成的集合;(B) (0,0)組成的集合；(C) 所有形如(x,1)的向量組成的集合;(D)滿足x y =1的所有(x, y)組成的集合.(5) V2的下列變換 不是線性變換.(A) T(x, y) =(0,0)；(B) T(x, y) =(ax by, cx dy), a, b, c, d 是實數(shù);(C) T(x, y) =(x y,1)；(D) T (x, y) =(0, x -y).解(1) A; ( 2) A; (3) C; (4) B ； (5) C .3 .驗證：(1)主對角線上元素之和等于 0的2階矩陣的

5、全體 S；(2) 2階對稱矩陣的全體S2 , 對于矩陣的加法和乘數(shù)運算構(gòu)成線性空間，并寫出每個空間的一個基.解任取A運S, Be S，(a c) A 一 ld其中a,b, c, d, e, f表示任意實數(shù)，則對于任意的k, R，有線性運算的封閉性成立:ka + Xb kc+hekA中扎B =乏S .,kd + 入 f ka - &b /S的一個基是0、-V0任取A S2, B ，對于任意的k, R，都滿足運算成立:(kAB)T 廿人丁B丁 =kAB S,.廣10、*0 0A0 0；c丿J01a +b +c = 0, a, b, c 匸 R.0丿J解(1)不構(gòu)成.由于即W對矩陣加法不封閉.(2)

6、構(gòu)成任取a10biCi W1但2W1,a20b2C26 bi q =,a2 b2 C2 = 0,q +a2 0 +b2 00 g +c2 0 ja1 a2 b| b2 g 0=0,a1 a2bi b2 00 G +O 0,zka10,kq kb| kg = 0,所以 kA 她.W2對矩陣加法和數(shù)乘運算封閉，所以 她構(gòu)成子空間.7. 判斷R2 2的下列子集是否構(gòu)成子空間，說明理由.(1)由所有行列式為零的矩陣所組成的集合(2)由所有滿足 AA二A的矩陣組成的集合W2.解(1)不構(gòu)成.取A =100，A, B W，但是 A B =10 1,A+ B = 1,因此A B W1，加法不封閉.(2)不構(gòu)

7、成取單位矩陣 E,數(shù)乘不圭寸閉.3t8在R中求向量 a (-2,7,6)在基a= (2,0,-1)T, a =(1,3,2)丁, a二(-2,1,1)丁下的坐標.解 設(shè)所求坐標為(X1 , x2, x3)T，則2/2x1、J2X3、7=0+3x2+X31 6丿l2x21 X3解得(Xi,X2,X3)t =(-1,2,1)丁.9 R3中兩個基為碼=(1,1,1)T,旳=(1,0，-1)丁，口3=(1,0,1)丁 ；% =(1,2,1)t,遼=(2,3,4)t, =(3,4,5)t ,1 2,求由基:、.：J, -S到基 F ：2, ：3的過渡矩陣.2解設(shè)(-1, -2, -30 1 2, ： 3

8、) P，則q1 rA廣123、(234、P =（務(wù)勺耳尸少，卩2,卩3）=10 0234=0-1-1Jj bJ45L10310 在R中，取兩個基q =(1,0,0)T, e(0,1,0)T, e(0,0,1)T%=(1,0,0)丁,。2=(1,1,0)丁,5=(1,1,1)丁（1 ）求由基（2, e到基-1/2, ：3的過渡矩陣;（2）已知由基：1,2,3到基 J, 的過渡矩陣為 A =100-110-1 ，求 優(yōu),鷺, ；1丿（3）已知0（在基札，B2, 03下的坐標為(1,2,3)T，求Ct在基a12t3下的坐標.n1r解（1）因為（,。2, 口3）=（0, e2, e3）011，所以基U

9、, e2（3到基,口2,5的過渡矩陣為001丿11rp =011001丿從而(2)由于(轉(zhuǎn)，P2,氏)=(%, 口2,。3)A= 011 1 11 1 -11、-1b 、1，故 b_(1,0,0)t2 =(o,1,o)t3 =(0,0,1)t (3 )設(shè)0在基耳，0(2宀3下的坐標為(X1,X2,X3)T，則有a =(01,02,4)X2 ，又2=(ss g a26：=(-1 ,-2,-3)，ZX11、1-1 、X2=A2=1 -12-1lX3 / b 311 在R3中取兩個基e=(1,o,o,o)T, 產(chǎn)2=(0,1,0,0)丁,Te3=(0,0,1,0),ke4=(,1)T,產(chǎn)T%=(2,

10、1,1,1)T, 嚴2 = (0,3,1,0)T,T4=(5,3,2,1),耳=(6,6,1,3八(1 )求前一個基到后一個基的過渡矩陣;(2)求向量(X1, X2,X3, X4)T在后一個基下的坐標;(3) 求在兩個基下有相同坐標的向量.解(1)因為(1,2,3廠4)=(，e2,e3,e4)，所以前一個基到后一個基的過渡矩陣為A = 5 63 3 61 2 113丿 設(shè)向量(X1, X2, X3, x4)t在后一個基下的坐標為(如，y2, y3, y4)T，則，ZXi-(-1X2X3：3,所以,r 2056、A廣129-27-33、y2=Ax1336x1:112-9-23X2y31x3-11

11、21x327900-18X3丿兇丿1 1013丿1芻丿1-7-3926 y以4丿 設(shè)向量:=(xi, x2, x3, x4)T在兩個基下有相同的坐標，則(e1, e2, e3, e4)鼻1 X2X3=EX2X3, =(。1,。2,口3,。4)X2X3=AX2X3ggga所以(AE) X2=0,解得 a =k(1,1,1, 1)T,X3IlX4丿12.說明xOy平面上變換X 的幾何意義，其中y丿(-1 o)(1) A =0 1丿o 1 A=；J 0丿(0A =00b0 1A =1 0丿f 、Xf 、X$】/ 、X/ -x(1) T=A=1= 01丿y丿關(guān)于y軸對稱;T=Ayj解z0 0、0 18

12、)，投影到y(tǒng)軸;令)f 、XI0p/ 、yT=A=1=10丿關(guān)于直線y = x對稱;#f 、Xf 、X0 1、f 、X/Xy=A11-1 0 丿T順時針旋轉(zhuǎn)90 .13. n階對稱矩陣的全體 V對于矩陣的線性運算構(gòu)成一個 n(n 1)維線性空間給定 n階矩陣P，以2A表示V中的任一元素，變換T(A)二 PTAP稱為合同變換證明合同變換 T是V中的線性變換.證明設(shè) A, B V , k R，則 AT 二 A, BT = B，所以(A B)T = A B , (kA)T =kA 從而 A B與kA是對稱矩陣又因為T(A B)二 PT(A B)P = PT AP PTBP = T(A) T(B),T

13、(kA) = PT(kA)P = kPTAP 二 kT( A),所以T是V中的線性變換.(46 0)14. 設(shè)R3中o(i/x23是一個基，且線性變換 T在此基下的矩陣為 A = 3 5 0 ,I-3 -6 b(1 )證明-* 2心3, 3, -2： 心2也是R3的一個基；(2 )求線性變換T在此基下的矩陣.證明(1 )令* -*2比3, J =七，訂-2：,心2，可解得1 =1 2 3,=2 ：廠2 ： 2- ： , 3,這說明了二，2,3和：仆：2, ：3可以相互線性表示,1,-2,從而它們等價，所以-1, -2, -3是 R3 的一個基.21B，并設(shè)從基：d2,3到基 5、，飛的過渡矩陣

14、是15 .函數(shù)集合 V3= =（a2x2 +ai x+氏）e 亂，a,ab- Rf對于函數(shù)的線性運算構(gòu)成三維線性空z-10-21 2 0P，貝U B = P AP，由條件知P =1 0 1，得P亠-1 -2 1I 1 11L 一1 0 丿(2)設(shè)線性變換T在基,匕，I下的矩陣是，從而-200間在V3中取一個基=x2ex,:匕=xex,3 =ex，求微分運算 D在這個基下的矩陣.解因為D（： J =x2ex 2xex =2 2 0 3,D（： 2）=ex xex =0： ： 2： 3，所以微分運算D在這個基下的矩陣為D( ： 3) = eX = 0： i Os 11 鳥3,16.二階對稱矩陣的全

15、體 V3 = A =上1X2X2X3丿X1,X2,X R 對于矩陣的線性運算構(gòu)成三維線性空間在V3中取一個基A =n,000011、00,0，在V中定義合同變換T( A)(1求T在基A, A2,A下的矩陣.解因為T( A)=I1T(A2)二0 Y11人0o1%-A1A2A3 ,r10、1、廣1r01A1J1丿10丿01J2；a210鮮“1 0、0 0、15 r0 0i11丿W 1.丿110 1.丿0 1q00、(T(AJ,T(A2),T( A3)=( A1, A2, A3)110J211 0 0所以t在基a, A, A下的矩陣為110 .訂2 117.設(shè)A是一個正定矩陣,向量、=(X1,X2，

16、川，人)，(必,川，yn) .在 Rn中定義內(nèi)積I- , - 1為?。? A T .證明在這個定義之下，Rn是一個Euclid空間.證明按定義證明滿足以下四條性質(zhì)即可.(1) 對稱性 la, 0 】=otAPT=(a APT)T = BATaT=B AaT=lB,ot 】.(2) 線性加性E + B , Y = (u + 0) AT =o( AT + E A?T = B , 丫 】+ IP , Y 1.(3) 線性齊性k，= (k)A T =kC A T) = kb,.(4)非負性 由于A是正定矩陣，所以.1 _ ： A T是個正定二次型，從而I.：.1 _ 0，當且僅當=0 時 I：0 .1

17、8.設(shè)V是一個n維Euclid空間，g 0是V中一固定向量，證明：y = x x,=0,V)是V的一個子空間.證明 因為0 V，所以V非空.再證 V對兩種運算封閉.任給x,x2V-，即, a 0,l.x2,aU0，根據(jù)V的線性加性有iki+ x2,a=, a+X2,a=0 0 = 0，從而可知x,xVi .另一方面，由Ikx-i,aU kLx,a = 0可知，kxvV,.此即證得V, =x lx, a= 0,v是V的一個子空間.B 組z01)z0 1)Z1 0、1 .求二階矩陣構(gòu)成的線性空間R瀆中元素A =在基G=,G2 =0 0)*0 0)口 0；E-l0 1,F111廣030F 331丿,

18、F4 =*66、3的過渡矩陣；/（2）分別求向量M =印1a21a12a22 J在基E1,E2, E3, E4和基F2, F3, F4 下的坐標;（3 ）求一個非零向量 解 （1）因為A，使得A在這兩個基下的坐標相等.F2E 1E2 - E3 E4,F2=0E1 - 3E2E3 0E4 ,F3=5E1 3E2 2 E3 E4 ,F4=6E1 6 E2E3 3 E4,即(F1，F(xiàn)2 , F3，F(xiàn)4) = ( E1 , E 2,1E 3, E 4) _110 5 63 3 61 2 1013所以，基E1, E2, E3, E4到基F1, F2, F3, F4的過渡矩陣為(2)顯然Man=E1 aE

19、2 a?1E 3 a22E 4,得到在基 E1, E2, E3,E 4下的坐Ia21a22廣2103536、6P =-1121 1013標為(an,a12,a21,a22).設(shè) M 在基F1,F2,F3,F4下的坐標為(*,y2,y3,y4)，則M =( E1, E 2,E 3,務(wù)1 ZY1 a12yy=(F1, F2, F3, F4)=(已，E 2, E 3, E 4) Pa21y3y3乜22 J務(wù)4丿1屏丿E 4)4111、939fc、y1N114123y2c -4a12279327=Py31a2110024丿1V?22 J33_71126 279327(3)解方程4111 、a21a22

20、939an1丄4123ai2a11+- a12小a21a22279327a2112-an -二 a22la22 J3371丄1丄26_an 27C a12+ o a21*229327丿(4J11ana2 a21 a229391*4123_如十匚印2 一； a21_ a2227932712一冇 一一 a223371 *1丄26_an1 27_二耳2匚a21+ 二 a229327a11a12a21Ia22得 an =2 =821 =a22，所以(1nA = k, 20 .J -1丿3.設(shè)T是四維線性空間V的線性變換，T在V的基宀，2,3,4下的矩陣為U_2 -2-22652A =0 012(002

21、6 J求T在V的基r =宀，：2 _八1九鳥2,：3 1八2九鳥3,- -3, 4)P，其中所求矩陣-100養(yǎng)01-10P =001-151。00b廣130012400B = PAP00131, 1 *2,1 *2 二3,丨|, 1 *2 川 * n 也是 Rn 的一個基；(2) 求由基：1,:廠川，n到基1,1 *2,1 *2 *3,川，1 *2*n的過渡矩陣;(3)求向量在基1,2,川，n下的坐標(NX,川,燈和在基：1 , 1*2 *3，一,2下的坐標(%, 丫2,川，丫.)丁間的變換公式.解(1)因為1,1匕1匕*3,川，1 *2 川八1,2川ln1山1川+ +h+ 10川11FbF1

22、丿1川 1o 1 ill 1所以P=+,+*, P =1式0 , P可逆，從而向量組a 1 , a 1 + a2 , a 1 +。2 +a3，+ih:+ 1 1 1(0 0 川 11 2 川n與向量組 a, a,川，a等價，而：r,川I,n是Rn的一個基，所以宀，：r什爲2, 冷亠：2亠二3， ，宀亠：2 IH ：n也是R n的一個基.，1比2 *川*n的過渡矩陣為r1Ib 由基：-1, ： 2，丨|1，： n 到基 1，：1*2*3，廣11川01川+ + +400川(3)坐標變換公式為11III1y2X201III1X2+=PbF+*+4l!FrhF-10 in01-1III001+I;d卜+FHI000III000III2川I,n與-,-2JH, 是門維線性空間V的兩個基，證明(,)在兩組基下坐標完全相同的全體向量的集合V,是V的子空間；(2) 設(shè)基:-,2,川，：n到基-,-2JH, -n 的過渡矩陣是 P，若 R(E - P) =，則 dimV,二n