排列組合的21種例題

1、高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 解排列組合應(yīng)用題的 21 種策略排列組合問題是高考的必考題，它聯(lián)系實際生動有趣，但題型多樣，思路靈活，不 易掌握，實踐證明，掌握題型和解題方法，識別模式，熟練運用，是解決排列組合應(yīng)用 題的有效途徑；下面就談一談排列組合應(yīng)用題的解題策略 .1. 相鄰問題捆綁法 : 題目中規(guī)定相鄰的幾個元素捆綁成一個組，當(dāng)作一個大元素參與排 列.例 1. A, B,C, D , E五人并排站成一排，如果 A, B必須相鄰且 B在 A的右邊，那么不同的 排法種數(shù)有A、60種 B 、48 種 C 、36種 D 、24種2. 相離問題插空排 :元素相離（即不相鄰）問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，

2、再把規(guī)定的相離的幾個元素插入上述幾個元素的空位和兩端 .例 2. 七人并排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是A、1440種 B 、3600 種 C 、4820種 D 、4800種3. 定序問題縮倍法 : 在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù) 的方法.例 3. A, B,C, D , E五人并排站成一排，如果 B必須站在 A的右邊（ A, B可以不相鄰）那么不同的排法種數(shù)是A、24種 B 、60 種 C 、90種 D 、120種4. 標(biāo)號排位問題分步法 : 把元素排到指定位置上，可先把某個元素按規(guī)定排入，第二步 再排另一個元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成

3、 .例 4. 將數(shù)字 1，2，3，4 填入標(biāo)號為 1，2，3，4 的四個方格里，每格填一個數(shù)，則每個 方格的標(biāo)號與所填數(shù)字均不相同的填法有A、6種 B 、9 種 C 、11種 D 、23種5. 有序分配問題逐分法 : 有序分配問題指把元素分成若干組，可用逐步下量分組法 .例 5. （ 1）有甲乙丙三項任務(wù)，甲需 2 人承擔(dān)，乙丙各需一人承擔(dān)，從 10 人中選出 4 人承擔(dān)這三項任務(wù)，不同的選法種數(shù)是A、1260種 B 、2025 種 C 、2520種 D 、5040種（2）12 名同學(xué)分別到三個不同的路口進(jìn)行流量的調(diào)查，若每個路口 4 人，則不同的分 配方案有A、 C12C8C4 種 B3C1

4、42C84C44種 C 、 C142C84A33種 DC142C84C44A336. 全員分配問題分組法 :例 6.（1）4名優(yōu)秀學(xué)生全部保送到 3 所學(xué)校去，每所學(xué)校至少去一名，則不同的保送 方案有多少種？（2）5本不同的書，全部分給 4 個學(xué)生，每個學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為 A、480種 B 、240種 C 、120種 D 、96 種7. 名額分配問題隔板法 :例 7.10 個三好學(xué)生名額分到 7 個班級，每個班級至少一個名額，有多少種不同分配方 案？8. 限制條件的分配問題分類法 :例 8. 某高校從某系的 10 名優(yōu)秀畢業(yè)生中選 4 人分別到西部四城市參加中國西部經(jīng)濟(jì)開 發(fā)建設(shè)，

5、其中甲同學(xué)不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？9. 多元問題分類法： 元素多，取出的情況也多種，可按結(jié)果要求分成不相容的幾類情況 分別計數(shù)，最后總計 .例 9. （ 1）由數(shù)字 0，1，2，3，4，5 組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十 位數(shù)字的共有A、210種 B 、300 種 C 、464種 D 、600 種（2）從 1，2，3，100這 100個數(shù)中，任取兩個數(shù)，使它們的乘積能被 7整除，這兩 個數(shù)的取法（不計順序）共有多少種？（3）從 1，2，3，100這 100個數(shù)中任取兩個數(shù)，使其和能被 4整除的取法（不計 順序）有多少種？10. 交叉問題集合法： 某些排列組合

6、問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個數(shù)公 式n（AUB） n（A） n（B） n（AI B） .例 10. 從 6 名運動員中選出 4 人參加 4100 米接力賽，如果甲不跑第一棒， 乙不跑第四 棒，共有多少種不同的參賽方案？11. 定位問題優(yōu)先法： 某個或幾個元素要排在指定位置，可先排這個或幾個元素；再排 其它的元素。例 11.1 名老師和 4 名獲獎同學(xué)排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有 多少種？12. 多排問題單排法 : 把元素排成幾排的問題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理 . 例 12. （ 1） 6 個不同的元素排成前后兩排，每排 3 個元素，那么不同的排法種數(shù)是 A、

7、36 種 B 、120 種 C 、720種 D 、1440 種（2）8 個不同的元素排成前后兩排，每排 4 個元素，其中某 2 個元素要排在前排，某 1 個元素排在后排，有多少種不同排法？13. “至少”“至多”問題用間接排除法或分類法 : 抽取兩類混合元素不能分步抽 . 例 13. 從 4 臺甲型和 5 臺乙型電視機(jī)中任取 3 臺，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺， 則不同的取法共有A、140種 B 、80 種 C 、70種 D 、35 種14. 選排問題先取后排 : 從幾類元素中取出符合題意的幾個元素，再安排到一定的位置 上，可用先取后排法 .例 14. （1）四個不同球放入編號為 1，

8、2，3，4 的四個盒中，則恰有一個空盒的放法有 多少種？（2）9名乒乓球運動員，其中男 5名，女 4名，現(xiàn)在要進(jìn)行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不 同的分組方法？15. 部分合條件問題排除法 :在選取的總數(shù)中， 只有一部分合條件， 可以從總數(shù)中減去不 符合條件數(shù)，即為所求 .例 15. （ 1）以正方體的頂點為頂點的四面體共有A、70種 B 、64 種 C 、58種 D 、52種 （2）四面體的頂點和各棱中點共 10點，在其中取 4 個不共面的點，不同的取法共有 A、150種 B 、147 種 C 、144種 D 、141 種16. 圓排問題線排法 : 把 n個不同元素放在圓周 n個無編號位置上的排列

9、，順序（例如按 順時鐘）不同的排法才算不同的排列，而順序相同（即旋轉(zhuǎn)一下就可以重合）的排法認(rèn) 為是相同的，它與普通排列的區(qū)別在于只計順序而首位、 末位之分，下列 n個普通排列： a1,a2,a3L ,an;a2,a3,a4,L ,an,L ;an,a1,L ,an 1 在圓排列中只算一種，因為旋轉(zhuǎn)后可以重 合，故認(rèn)為相同， n 個元素的圓排列數(shù)有 n!種.因此可將某個元素固定展成線排，其它 n的 n 1 元素全排列 .例 16.5 對姐妹站成一圈，要求每對姐妹相鄰，有多少種不同站法？17. 可重復(fù)的排列求冪法 : 允許重復(fù)排列問題的特點是以元素為研究對象， 元素不受位置 的約束，可逐一安排元素

10、的位置， 一般地 n個不同元素排在 m 個不同位置的排列數(shù)有 mn 種方法 .例 17. 把 6 名實習(xí)生分配到 7 個車間實習(xí)共有多少種不同方法？18. 復(fù)雜排列組合問題構(gòu)造模型法 :例 18. 馬路上有編號為 1 ，2 ， 3 ， 9 九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰 的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種？19. 元素個數(shù)較少的排列組合問題可以考慮枚舉法 :例 19. 設(shè)有編號為 1，2，3，4，5 的五個球和編號為 1，2，3，4，5 的盒子現(xiàn)將這 5個 球投入 5 個盒子要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的號碼與盒子號碼相同，問 有多少種不同

11、的方法？20. 復(fù)雜的排列組合問題也可用分解與合成法 :例 20. （1）30030 能被多少個不同偶數(shù)整除？（ 2）正方體 8 個頂點可連成多少隊異面直線？21. 利用對應(yīng)思想轉(zhuǎn)化法 : 對應(yīng)思想是教材中滲透的一種重要的解題方法， 它可以將復(fù)雜 的問題轉(zhuǎn)化為簡單問題處理 .例 21. （1）圓周上有 10 點，以這些點為端點的弦相交于圓內(nèi)的交點最多有多少個？ （2）某城市的街區(qū)有 12 個全等的矩形組成，其中實線表示馬路，從 A到 B的最短路徑 有多少種？答案1. 解析：把 A, B視為一人， 且 B固定在 A的右邊，則本題相當(dāng)于 4 人的全排列， A44 24 種，答案： D.2. 解析：

12、除甲乙外，其余 5 個排列數(shù)為 A55種，再用甲乙去插 6 個空位有 A62種，不同的排法種數(shù)是 A55A62 3600 種，選 B.3. 解析： B在 A的右邊與 B在 A的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是 5個元素全排 列數(shù)的一半，即 1 A55 60 種，選 B.24. 解析：先把 1 填入方格中，符合條件的有 3 種方法，第二步把被填入方格的對應(yīng)數(shù)字 填入其它三個方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個數(shù)字，只有一種填法，共有 3 31=9 種填法，選 B.5. 解析：先從 10 人中選出 2人承擔(dān)甲項任務(wù)，再從剩下的 8 人中選 1人承擔(dān)乙項任務(wù)， 第三步從另外的 7 人中選 1 人

13、承擔(dān)丙項任務(wù)，不同的選法共有 C120C18C71 2520種，選 C.6. 答案： A.7. 解析：把四名學(xué)生分成 3 組有C42種方法，再把三組學(xué)生分配到三所學(xué)校有 A33種，故 共有 C42A33 36種方法.說明：分配的元素多于對象且每一對象都有元素分配時常用先分組再分配 .8. 答案： B.9. 解析：10個名額分到 7 個班級，就是把 10個名額看成 10個相同的小球分成 7堆，每 堆至少一個，可以在 10 個小球的 9 個空位中插入 6 塊木板，每一種插法對應(yīng)著一種分 配方案，故共有不同的分配方案為 C96 84 種 .10. 解析：因為甲乙有限制條件，所以按照是否含有甲乙來分類

14、，有以下四種情況： 若甲乙都不參加，則有派遣方案 A84種；若甲參加而乙不參加，先安排甲有 3 種方 法，然后安排其余學(xué)生有 A83方法，所以共有 3A83；若乙參加而甲不參加同理也有 3A83種； 若甲乙都參加，則先安排甲乙，有 7 種方法，然后再安排其余 8 人到另外兩個城市有 A82種，共有 7A82方法.所以共有不同的派遣方法總數(shù)為 A84 3A83 3A83 7A82 4088種.11. 解析：按題意，個位數(shù)字只可能是 0、1、2、3和4共5種情況，分別有 A55 、 A14 A31A33 、 A31 A31 A33 、A21A31A33和 A31A33個，合并總計 300個, 選B

15、.12. 解析：被取的兩個數(shù)中至少有一個能被 7 整除時，他們的乘積就能被 7 整除，將這 100 個數(shù)組成的集合視為全集 I, 能被 7 整除的數(shù)的集合記做 A 7,14,21,L 98 共有 14 個元素,不能被 7整除的數(shù)組成的集合記做 eIA 1,2,3,4, L ,100 共有 86個元素；由此 可知，從 A中任取 2 個元素的取法有 C124 ，從 A中任取一個，又從 eI A中任取一個共有 C114C816 ，兩種情形共符合要求的取法有 C124 C114C816 1295種.13. 解 析 ：將 I 1,2,3L ,100 分 成四 個不 相 交的 子集 ， 能被 4 整 除的

16、 數(shù)集A 4,8,12,L 100 ；能被 4 除余 1 的數(shù)集 B 1,5,9,L 97 ，能被 4 除余 2 的數(shù)集C 2,6,L ,98 ，能被 4 除余 3 的數(shù)集 D 3,7,11,L 99 ，易見這四個集合中每一個有25 個元素；從 A中任取兩個數(shù)符合要；從 B,D 中各取一個數(shù)也符合要求；從 C中任取兩個數(shù)也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有C225C125C125C25 種 .14, 解析：設(shè)全集 =6人中任取 4 人參賽的排列，A=甲跑第一棒的排列，B=乙跑 第四棒的排列，根據(jù)求集合元素個數(shù)的公式得參賽方法共有：n(I) n(A) n(B) n(A B

17、) A64 A53 A53 A42 252 種. 法；所以共有 A31A44 72 種.16. 解析：前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成 6 個不同的元素排成一排，共 種，選 C.17. 解析：看成一排，某 2個元素在前半段四個位置中選排 2個，有 A42種，某 1個元素 排在后半段的四個位置中選一個有 A14種，其余 5 個元素任排 5 個位置上有 A55種，故共 有 A14A42A55 5760 種排法.18. 解析 1：逆向思考，至少各一臺的反面就是分別只取一種型號， 不取另一種型號的電 視機(jī)，故不同的取法共有 C93 C43 C53 70種,選. C解析 2：至少要甲型和乙 型電

18、視機(jī)各一臺可分兩種情況：甲型 1 臺乙型 2 臺；甲型 2 臺乙型 1 臺；故不同的取法有 C52C41 C15C42 70 臺, 選C .19. 解析：“先取”四個球中二個為一組，另二組各一個球的方法有 C42種，“再排”在四 個盒中每次排 3個有 A43種，故共有 C42 A43 144種.20. 解析：先取男女運動員各 2名，有C52C42種，這四名運動員混和雙打練習(xí)有 A22 中排法， 故共有 C52C42A22 120 種.21. 解析：正方體 8個頂點從中每次取四點，理論上可構(gòu)成 C84四面體，但 6 個表面和 6 個對角面的四個頂點共面都不能構(gòu)成四面體，所以四面體實際共有C84

19、12 58 個.22. 解析：10個點中任取 4個點共有 C140種，其中四點共面的有三種情況： 在四面體的 四個面上， 每面內(nèi)四點共面的情況為 C64 ，四個面共有 4C64 個；過空間四邊形各邊中點 的平行四邊形共 3個；過棱上三點與對棱中點的三角形共 6 個.所以四點不共面的情 況的種數(shù)是 C140 4C64 3 6 141 種.23. 解析：首先可讓 5 位姐姐站成一圈，屬圓排列有 A44種，然后在讓插入其間，每位均可插入其姐姐的左邊和右邊，有 2種方式，故不同的安排方式 24 25 768 種不同站法 . 說明：從 n個不同元素中取出 m個元素作圓形排列共有 1 Anm種不同排法 .m24. 解析：完成此事共分 6步，第一步；將第一名實習(xí)生分配到車間有 7 種不同方案， 第二步：將第二名實習(xí)生分配到車間也有 7 種不同方案，依次類推，由分步計數(shù)原理知 共有 76 種不同方案 .25. 解析：把此問題當(dāng)作一個排對模型，在 6 盞亮燈的 5 個空隙中插入 3 盞不亮的燈 C53 種方法, 所以滿足條件的關(guān)燈方案有 10種. 說明：一些不易理解的排列組合題，如果能轉(zhuǎn)化為熟悉的模型如填空模型，排隊模型， 裝盒模型可使問題容易解決 .26. 解析：從 5 個球中取出 2 個與盒子對號有