極值點(diǎn)偏移問題兩種常見解法之比較

1、極值點(diǎn)偏移問題的兩種常見解法之比較淺談部分導(dǎo)數(shù)壓軸題的解法在高考導(dǎo)數(shù)壓軸題中， 不斷出現(xiàn)極值點(diǎn)偏移問題， 那么， 什么是極值點(diǎn)偏移 問題？參考陳寬宏、邢友寶、賴淑明等老師的文章，極值點(diǎn)偏移問題的表述是： 已知函數(shù) y f (x) 是連續(xù)函數(shù)，在區(qū)間 (x1, x2 )內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn) x0 ，且 f(x1) f (x2) ，若極值點(diǎn)左右的 “增減速度 ”相同，常常有極值點(diǎn) x0 x1 2x2 ，我 們稱這種狀態(tài)為極值點(diǎn)不偏移； 若極值點(diǎn)左右的 “增減速度 ”不同，函數(shù)的圖象不 具有對(duì)稱性，常常有極值點(diǎn) x0 x1 x2 的情況，我們稱這種狀態(tài)為 “極值點(diǎn)偏移 ”2極值點(diǎn)偏移問題常用兩種方法

2、證明：一是 函數(shù)的單調(diào)性 ，若函數(shù) f(x) 在區(qū) 間 (a,b) 內(nèi) 單 調(diào) 遞 增 ， 則 對(duì) 區(qū) 間 (a,b) 內(nèi) 的 任 意 兩 個(gè) 變 量 x1、x2 ，f(x1) f(x2) x1 x2 ；若函數(shù) f(x)在區(qū)間 ( a, b )內(nèi)單調(diào)遞減，則對(duì)區(qū)間 (a,b)內(nèi) 的任意兩個(gè)變量 x1、 x2 ， f(x1) f(x2) x1 x2. 二是利用 “對(duì)數(shù)平均不等式 ”證 明，什么是 “對(duì)數(shù)平均 ”？什么又是 “對(duì)數(shù)平均不等式 ”？?jī)蓚€(gè)正數(shù) a和b 的對(duì)數(shù)平均數(shù)定義：,a b,abL(a,b) lna lnb a,a b,對(duì)數(shù)平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)、 幾何平均數(shù)的大小關(guān)系是：ab L(a

3、,b) a2b ，此式記為對(duì)數(shù)平均不等式)下面給出對(duì)數(shù)平均不等式的 證明：i)當(dāng) a b 0 時(shí)，顯然等號(hào)成立 ii)當(dāng) a b 0時(shí)，不妨設(shè) a b 0，先證 ab a b ，要證 ab a b ，只須證： ln a ln b ln a lnb只須證：1(x 1)1 22x0 ，所以 f (x)2ln x x ,x 1x再證：a b a blna lnb 2a 1 ln a要證：a b a b ，只須證： b b ln a lnb 2 a 1 2 b11 在(1, ) 內(nèi)單調(diào)遞減，所以 f(x) f (1) 0，即 2ln x x 1 ，x 故 ab a b lna lnb令 a x 1，則

4、只須證： x 1 ln x ，只須證 12ln x，x 1b x 1 2 x 1 22 ln x 設(shè) g(x) 1 x21 ln2x ，2x 1，則 g (x) (x 21)2 21x 2x(xx 11)2 0所以 g(x) 在區(qū)間 (1, ) 內(nèi)單調(diào)遞減，所以 g(x) g(1) 0，即12 nl x ，x 1 2 ，故 a b a blna lnb 2綜上述，當(dāng) a 0,b 0 時(shí)， ab L(a,b) a b 2例 1 (2016 年高考數(shù)學(xué)全國理科第 21題)已知函數(shù) f (x) (x 2)ex a(x 1)2 有兩個(gè)零點(diǎn)()求 a 的取值范圍；)設(shè) x1,x2是 f (x)的兩個(gè)零點(diǎn)

5、，證明： x1 x2 2 解：() 函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)?R ，當(dāng) a 0時(shí)， f (x) (x 2)ex 0 ，得 x 2 ，只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng) a 0時(shí)， f (x) (x 1)ex 2a當(dāng) a 0時(shí)，由 f (x) 0 得， x 1，由 f (x) 0 得， x 1，由 f (x) 0 得， x 1，故， x 1是 f (x) 的極小值點(diǎn)，也是 f (x) 的最小值點(diǎn)，所以 f ( x) min f(1) e 0又 f (2) a 0 ，故在區(qū)間 (1,2) 內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn) x2 ，即 1 x2 2x 2 1由 lim (x 2)ex lim x lim x 0, 又 a

6、(x 1)2 0 ，所以， x x e x ef(x) 在區(qū)間( ,1存) 在唯一零點(diǎn) x1，即 x1 1 ，故 a 0 時(shí)， f (x) 存在兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng) a 0時(shí)，由 f (x) 0得， x 1或x ln( 2a) ，e若 ln( 2a) 1，即 a時(shí)， f (x) 0，故 f(x) 在R上單調(diào)遞增，與題意不符e若ln( 2a) 1，即a 0時(shí)，易證 f(x)極大值 =f(1) e 0故 f (x)在R上只有一e個(gè)零點(diǎn)，若 ln( 2a) 1 ，即 a 時(shí)，易證f ( x)極大值 =f (ln( a2 a(ln2 ( a2 ) 4 lna( 2 ) ，5故) f0(x)在 R上只有一個(gè)零點(diǎn)

7、 綜上述， a 0()解法一、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明由()知， a 0 且 x1 1 x2 2令 h(x) f (x) f (2 x) (x 2)ex xe2 x ,x 1，則 h(x)(x 1)(e2(x 1) 1)x2因?yàn)?x 1，所以 x 1 0,e2(x 1) 1 0，所以 h(x) 0，所以 h(x) 在(1, )內(nèi)單調(diào)遞增 所以 h(x) h(1) 0，即 f (x) f2( x) ，所以 f(x2) f(2 x2 ) ，所以 f(x1) f(2 x2)， 因?yàn)?x1 1,2 x2 1， f (x) 在區(qū)間 ( ,1)內(nèi)單調(diào)遞減，所以 x1 2 x2 ，即 x1 x2 2 解法二、利

8、用對(duì)數(shù)平均不等式證明由()知， a 0，又 f (0) a 2 所以，當(dāng) 0 a 2時(shí)， x1 0且1 x2 2 ，故 x1 x2 2當(dāng) a 2 時(shí)，0 x1 1 x2 2 ，又因?yàn)?a(x1 2)ex1(x1 1)2(x2 2)ex2(x2 1)2即 (2 x1)ex1 (2 x2)ex2(1 x1)2(x2 1)2所以 ln(2x1)x1 2ln(1x1) ln(2 x2 ) x2 2ln( x21)所以 ln(2x1)ln(2 x2)2(ln(1 x1) ln(x21) x2x1(2 x1)(2 x2)所以ln(1x1)ln(x21) (2x1)(2 x2)4 x1x212ln(2x1)

9、ln(2x2 )ln(2x1)ln(2 x2 ) 2所以x1 x2 222 ln(1 x1) ln(x2 1) ln(2 x1) ln(2 x2 )下面用反證法證明不等式成立因?yàn)?0x11 x2 2，所以 2 x1 2x20，所以 ln(2x1) ln(2 x2 ) 0假設(shè) x1x22，當(dāng)x1 x2 2，x1 x220且2 ln(1 x1)ln(x2 1) =0 ,與矛盾；121 2 2ln(2 x1)ln(2 x2)當(dāng) x1x22時(shí) x1x22 0且2 ln(1x1)ln(x21) 0，得函數(shù) f (x)的遞增區(qū)間 (0, )，a1由 f (x) 0，得函數(shù) f(x)的遞減區(qū)間 ( , )a

10、 ()解法一、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解 設(shè)點(diǎn) A、B 的橫坐標(biāo)分別為 x1、 x2 ，則 x0 x1 x2 ，且 0 x1 1 x22a11 1由()知，當(dāng) a 0時(shí)， f ( x)極大值 = f (x)max f( ) ln 1aa a因?yàn)楹瘮?shù) f (x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以 f ( x) max 0，所以 0 a 1要證 f(x0)(12x0 )(1ax0)0 ，只須證ax01，即證x1x22x0a令 h(x) f(x) f (2 x) ln x ln(2 x) 2ax 2,0 x 1a a a則 h (x) 1 a 2ax 2 ax2(ax 1)2x(2 ax)10，所以 h(x) 在 (

11、0,1) 內(nèi)單調(diào)遞增a12所以 h(x) h( ) 0，即 f (x) f( x) aa122因?yàn)?0 x1x2，所以 f (x1) f( x1) ，所以 f (x2) f( x1)aaa1 211又 x2,x1，且 f (x) 在區(qū)間 ( , ) 內(nèi)單調(diào)遞減a aaa22所以 x2x1 ，即 x1 x2，故 f (x0) 0aa解法二、利用對(duì)數(shù)平均不等式求解設(shè)點(diǎn) A、 B的坐標(biāo)分別為 A(x1,0)、 B(x2,0) ，則x1 x2x0 2由()知，當(dāng) a 0時(shí)， f(x) 極大值 = f(x) max(1) ln 1 1 1 a a a因?yàn)楹瘮?shù) f (x) 有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以 f (x

12、)max 0 ，所以 0 a 12ln x1 ax1 (2 a)x1 0因?yàn)?1 1 1 ，所以2ln x2 ax2 (2 a)x2 0ln x2 ln x1 a(x2 x1) (2 a)( x2 x1)所以x2 x1x2x1 x2a(x1 x2) (2 a) ln x2 ln x1x1 2 ，即2a(x1 x2) (2 a) 22所以 a(x1 x2)2 (a 2)(x1 x2) 2 0 ，所以 a(x1 x2) 2( x1 x2) 1 0x1 x2x1 x2所以 1 a20 ，所以 f (x0) f (x1 x2 )(1 x1 x2)(1 a 1 2 )20.例32014 年高考數(shù)學(xué)湖南卷

13、文科第 21 題)已知函數(shù)x1 x221xxf(x) 2 e1 x2求函數(shù) f (x) 的單調(diào)區(qū)間；當(dāng) f( x1) f(2x ),1x 時(shí)2x ，求證：x1 x2 0解：()函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)?Rf (x) (1 x2) 2x(1 x)ex 1 x ex(1 x2)21 x2x(x 1)2 2 ex(1 x2)2由 f (x) 0，得 x 0，由 f (x) 0，得函數(shù)的遞增區(qū)間 ( ,0)，由 f (x) 0，得函數(shù)的遞減區(qū)間 (0,)，所以 f (x)max f(0) 1)解法一、利用函數(shù)的單調(diào)性求解令 h(x) f(x) f ( x) 1 x2 ex 1 x2 e x ， x

14、 01 x 1 x(1 x2 )2 ex2 2x 2 則 h (x) x (x2 2x 3)e2x (x2 2x 3)令 H (x) (x2 2x 3)e2x (x2 2x+3), x 0則 H (x) 2(x2 x 2)e2x (x 1),x 0 ，則 H (x) 2(2 x 2 3)e2x 1,x 0由 x 0 得， H (x) 2(3 1) 4 0 ，故 H (x) 在 (0, ) 內(nèi)單調(diào)遞增故 H (x) H (0) 2 0，故 H (x) 在 (0,)內(nèi)單調(diào)遞增故 H (x) H (0) 0 ，故 h (x) 0 ，故 h(x) 在 (0, ) 上單調(diào)遞減所以， h(x) h(0)

15、0由( 1)及 f (x1) f (x2),x1 x2知， x1 0 x2 1 ，故 h(x2) f (x2) f ( x2) 0解法所以 f (x2) f( x2 )，所以 f (x1) f ( x2) ，又 f(x) 在 ( ,0) 上單調(diào)遞增 所以， x1 x2 ，即 x1 x2 0二、利用對(duì)數(shù)平均不等式求解因?yàn)?x 1時(shí)， f (x) 0 ， x 1時(shí)， f (x) 0， f (x1) f (x2), x1 x21 x1 x 所以， x1 0 x2 1 ，12 ex11 x1211 xx222 ex2 ，所以，1 x11 x12e1 x21 x2 e1 x11 x22所以， ln(1x

16、1)(1x2 )ln(1x12)ln(1x2)(1x1)ln(1x22)所以， (1x2 )(1x1)ln(1x2)ln(1x1)ln(1x12)ln(1x22)22所以，(1 x2)(1x1)1 ln(1x12)ln(1x22)1x21x1ln(1 x2) ln(1 x1) 1 ln(1 x2 ) ln(1 x1)222x1 x2 ln(1 x12 ) ln(1 x22) 2 ln(1 x1) ln(1 x2 ) 因?yàn)?x1 0 x2 1 ，所以 ln(1 x1) ln(1 x2) 0下面用反證法證明 x1 x2 0 ，假設(shè) x1 x2 022當(dāng)x1 x2 0時(shí)， x12x2 0,且llnn

17、(11 xx112) llnn(11 xx222)=0，與不等式矛盾22x1 x2ln(1 x1 ) ln(1 x2 )當(dāng) x1 x2 0時(shí)， x2x1 0，所以 1 2 0,且 1 2 0 ，與不1 2 2 1 2 ln(1 x1) ln(1 x2) 等式矛盾 .所以假設(shè)不成立，所以 x1 x2 0例 4 ( 2014 年江蘇省南通市二模第 20 題)設(shè)函數(shù) f (x) ex ax a(a R), 其圖象 與 x 軸交于 A( x1 ,0), B(x2,0) 兩點(diǎn)，且 x1 x2.()求實(shí)數(shù) a 的取值范圍；()證明： f ( x1x2) 0(f (x)為函數(shù) f (x)的導(dǎo)函數(shù))；()略

18、.解：() f (x) ex a ， x R，當(dāng) a 0時(shí)， f (x) 0 在 R上恒成立，不合題意當(dāng) a 0時(shí)，易知， x ln a 為函數(shù) f (x) 的極值點(diǎn)，且是唯一極值點(diǎn)，故， f (x)min f (ln a) a(2 ln a)2當(dāng) f (x)min 0，即 0 a e2時(shí)， f (x)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，故舍去；當(dāng) f (x)min 0，即a e2時(shí)，由 f (1) e 0，且 f(x)在( ,ln a)內(nèi)單調(diào)遞減，故 f(x)在 (1,ln a)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；由 f (ln a2) a2 2aln a a a(a 1 2ln a),2 2 2 2令 y a 1 2

19、ln a,a e2 ，則 y 1 0 ，故 a 1 2ln a e2 1 4 e2 3 0 a所以 f(lna2) 0，即在 (ln a,2ln a)有且只有一個(gè)零點(diǎn) .()解法一、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解由()知， f(x) 在( ,ln a)內(nèi)遞減，在 (ln a,)內(nèi)遞增，且 f (1)e 0所以 1 x1 lna x2 2ln a ，要證 f (x1x2) 0，只須證e1 2a ，即證 x1x2 lna又 x1x2 x1 x2 ，故只須證 x1 x2 2ln a令 h(x) f (x) f (2ln a x) ex axa e2ln a xa(2lnax)a,ex a2e x 2ax 2a

20、lna，1x ln a則h(x) ex a2e x 2a 2 exa2e x 2a 0，所以 h(x) 在區(qū)間 (1,ln a)內(nèi)遞增 所以 h(x) elna a2e lna 2alna 2alna 0，即 f (x) f(2ln a x) 所以 f (x1) f (2ln a x1) ，所以 f(x2) f (2ln a x1)因?yàn)?x2 ln a,2ln a x1 lna，且 f (x) 在區(qū)間 (lna, ) 內(nèi)遞增所以 x2 2ln a x1，即 x1 x2 2ln a，故 f ( x1x2 ) 0 解法二、利用對(duì)數(shù)平均不等式求解由()知， f(x) 在( ,ln a)內(nèi)遞減，在 (ln a, )內(nèi)遞增，且 f (1) e 0x1 1x2 1(x1 1) (x2 1)所以1x1lnax22ln a，因?yàn)閒 (x1)ex1ax1a0， f (x2)ex2ax2a 0所以 x1x2 (x1 x2 ) 0，要證：f ( x1x2) 0，只須證 e x1x2 a ，即 x1x2 lnax1 1 x2 1x1 1 x2 1，即 eex2e ，所以 1 ln(xx11 11) l(nx(2x21)1) (x1 1)(x2 1)aex1故， x1x2 x1 ln(x1 1)， x1x2 x2 ln