講題的四種境界

1、講題的四種境界黃金聲( 江西省臨川二中344100)講題，是數(shù)學(xué)課堂的主旋律之一，如何講題， 是老師們必須面臨的課題筆者經(jīng)十余年的探索、積累，于 2003 年第一次提出了“講題的四種境界”的理念，又經(jīng)近幾年的思考、歸納，試圖通過本文從更深層次詮釋、豐富這一獨(dú)創(chuàng)理念，并期待得到同行的指點(diǎn)1 什么是“講題的四種境界”?第一種境界：就題講題，把題目講清；( 達(dá)成目標(biāo)：一聽就能懂)第二種境界：發(fā)散題目的多種解( 證) 法，拓展解題思路，把題目講透；( 達(dá)成目標(biāo)：一點(diǎn)就能透)第三種境界：理清題目的諸多變化，以求探源奠基，把題目講活；( 達(dá)成目標(biāo)：一時忘不了)第四種境界：探究題目之?dāng)?shù)學(xué)思想方法，以能力培養(yǎng)

2、為終極目標(biāo)，做題目的主人( 達(dá)成目標(biāo)：一用真有效)2 “講題的四種境界”理念的基本內(nèi)容與詮釋2 1 會解題會講題會解題：針對自己存在的問題，結(jié)合自己的知識水平和能力水平，對題目所反映的信息進(jìn)行處理其目的是為了求得自己的理解，并能順利地講完此題講題后情景教師：我明明講得很清楚，可學(xué)生還是說不懂! 基礎(chǔ)太差了!?學(xué)生：課堂上老師講的我都懂了，為什么下來不會做題 ?教師：這就奇怪了，既然聽懂了，怎么不會做題呢 ?悟性有問題 !?教師再講類似題，甚至將解題的每一個步驟更詳細(xì)地寫出來，然后再布置學(xué)生做題不信教不會 ( 再不會就沒救 )!?會講題：針對學(xué)生存在的問題，結(jié)合學(xué)生的知識水平和能力要求，對題目所

3、反映的信息進(jìn)行處理其講題前情景教師認(rèn)真做題；教師反思自己的做題過程：我是怎樣思考的?做題過程中遇到哪些障礙?學(xué)生在思考過程中會遇到哪些障礙?怎樣講才會使學(xué)生更容易接受?在一次習(xí)題課的課前準(zhǔn)備時，有如下一道題引起了我的注意：題 1如圖，將一張長方形紙片翻折，則圖中重疊部分是三角形答案很簡單：等腰三角形由此引起了我的疑問：答案為什么不可以是鈍角三角形?是等腰三角形嗎?是不是隨便一折都是等腰三角形 ?于是，我拿了一張長方形紙片動手折了起來結(jié)果發(fā)現(xiàn)，重疊部分可以是鈍角三角形、銳角三角形、直角三角形，但都是等腰三角形，當(dāng)然，還可以折出等邊三角形如圖所示：而要判斷三角形形狀的變化，只要抓住圖中a 的變化就

4、輕松搞定，即：當(dāng)45 a 90時，ABC 是銳角三角形；當(dāng)0 a 45時，ABC 是鈍角三角形；當(dāng)a = 45時，ABC 是等腰直角三角形，當(dāng)a =60時，ABC 是等邊三角形在講題時，如果把這些變化融進(jìn)去，不是更能體現(xiàn)本題的價值嗎?從思想方法上看，三角形形狀變化體現(xiàn)“分類思想”，而三角形形狀發(fā)生變化的原因是由a 的變化引起的，這又體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化思想”，還有“從特殊到一般思想”、“空間觀念”、“圖形的軸對稱”等等2007 年 1 月 10 日和 9 月 20 日，我以“一張長方形紙片：折出你的思維”為題，分別在撫州市金溪縣第二中學(xué)和贛州市崇義縣橫水中學(xué)上了這節(jié)課，從課后教師的點(diǎn)評看，反映還是不錯

5、的這說明，我對這道填空題的探究得到了同行的肯定2 2清楚懂會清楚：是“分得開”，是教師的講解可以使學(xué)生把事理“分開”了，但是還沒有“連上”，即沒有把“分開”的東西和學(xué)生已知的、熟悉的、可接受的東西連接起來其講題效果達(dá)到了第一種境界或第二種境界懂：是“連得上”，是教師的講解能使學(xué)生把題目中所涉及的綜合的、不熟悉的“知識結(jié)”分解為已知的、熟悉的、可接受的“點(diǎn)”，又能在這些點(diǎn)之間找到已知的、熟悉的、可接受的“線”其講題效果達(dá)到了第二種境界或第三種境界會：是通過教師的講解能使學(xué)生在“連得上”的基礎(chǔ)上對相關(guān)知識進(jìn)行聯(lián)絡(luò)、梳理、發(fā)散和拓展，從而培養(yǎng)了學(xué)生思維的廣闊性和深刻性，并使學(xué)生具備了較強(qiáng)的自主探究能

6、力其講題效果達(dá)到了第三種境界或第四種境界題 2 (2007 常州 ) 已知，如圖，正方形ABCD 的邊長為 6，菱形 EFGH 的三個頂點(diǎn)E 、 G、 H 分別在正方形ABCD 邊AB 、CD 、 DA 上，AH2 ，連接CF(1)當(dāng) DG(2)設(shè) DG2 時，求 FCG 的面積；x ，用含 x 的代數(shù)式表示FCG 的面積；(3) 判斷 FCG 的面積能否等于 1，并說明理由講題分析第 (1)問中“DG2 ”寓意于DGAH，即HAEGDH，且GHE90又由菱形EFGH可得點(diǎn)F(或 CF) 此時位于BC 邊上，由此可知， 四邊形( 菱形 )EFGH已特殊化為正方形所以， FCG 的面積等于GDH

7、 的面積第 (2)問中“ DGx ”是讓菱形 EFGH 一般化由于可推知FCG 中， CG6 x ，所以，作出CG 邊上的高 FM 就成為一種必然由圖形的對稱性可知，應(yīng)連接GE ，通過證明HAE FMC ，得 FMAH 2 第 (3)問是借助試題中“菱形EFGH 的兩個頂點(diǎn) E 、 G 分別在正方形ABCD 邊 AB 、 CD 上” 的限制作用 由第 (2) 問可知， FM AH2，是 一個定值，則 x 的大小就限制了FCG 的面積因為 HD AH ，所以 HCHB ，即點(diǎn) E 不可能與點(diǎn) A 重合 ( x 的最小值為 0，即 HG 的最小值等于HD) 點(diǎn) G 不能與點(diǎn)C 重合 ( 即HG 的

8、最大值等于HB ) 這樣通過求出x 的值并由此求出HG(或 AE )的值就可以正確判斷FCG 的面積能否等于1 了講題反思1第 (1)問中證明“四邊形( 菱形 )EFGH為正方形”非常困難，原答案也只用同理可證GDH FCG 模糊了事，能否消除這個邏輯性障礙?2第 (2)問中“連接GE ”是學(xué)生解題的一個難點(diǎn)，但這一難點(diǎn)的突破沒有在試題( 或解題 ) 中得到暗示同時，試題中連接GF 有些不流暢3 研 究 發(fā) 現(xiàn) ： 由 于 點(diǎn) F 是 隨 著 點(diǎn) G 、 E 的 位 置 變 化 而 變 化 的 ， 雖 然 點(diǎn) F 到 DC 的 距 離FMAH2 ，是一個定值，但點(diǎn)F 到 AD 的距離卻在一定范

9、圍內(nèi)發(fā)生變化為了彰顯本題圖形背景中的核心思想“特殊一般特殊”，可將本題圖形置于平面直角坐標(biāo)系的背景中，以探究動態(tài)菱形EFGH中點(diǎn)F的位置變化為主線，改編成下題：題 3 如圖，正方形ABCD 的邊長為6以直線AB 為羽軸、AD 為y 軸建立坐標(biāo)系菱形EFGH的三個頂點(diǎn)H、 E 、 G 分別在正方形ABCD 邊 DA 、AB 、 CD 上，已知AE2 (1) 如圖甲，當(dāng)點(diǎn)F在邊BC 上時，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；(2) 設(shè) DGx 請在圖乙中探索：用含x 的代數(shù)式表示點(diǎn)F 的坐標(biāo)；(3) 設(shè)點(diǎn) F 的橫坐標(biāo)為 m 問： m 有無最大值和最小值 ?若有，請求出；若無，請直接作否定的判斷，不必說明理由( 思考：

10、正方形ABCD 可以作怎樣的改變? 將正方形ABCD 置換成矩形可以嗎?平行四邊形呢?梯形呢 ?)2 3應(yīng)該有 =想有 +可能有一般說來，教師不會把學(xué)生完全沒有學(xué)的、學(xué)生現(xiàn)有知識能力水平無法企及的題目拿給學(xué)生做，那么為何有的學(xué)生卻可能對題目 ( 難題 ) 無從下手呢 ?此時學(xué)生的心態(tài)是怎樣的呢 ?教師面對這種情況又該怎樣做呢 ?想有：人的需要、欲望、感情是普遍存在的，學(xué)生也不例外，此時教師應(yīng)該盡其所能激發(fā)起學(xué)生的需要和突破難題的欲望，并使他們初步感受到這種需要所能帶來的那種快感可能有：當(dāng)學(xué)生感覺到利用已有知識能做而又做不出來的時候，此時教師的啟發(fā)和點(diǎn)撥就顯得至關(guān)重要根據(jù)本人的思考，教師的啟發(fā)與

11、點(diǎn)撥可從以下幾方面人手：1 從學(xué)生已有知識中“啟”：溫故而知新，以達(dá)承前啟后、承上啟下的目的；2 從學(xué)生知識的盲點(diǎn)處“啟”：盲即模糊，或遺忘，此時善意的提醒、引導(dǎo)就成為解決問題的必要手段；3 從知識的關(guān)鍵點(diǎn)“啟”：一語點(diǎn)醒夢中人，頓悟、恍然大悟、大徹大悟由此產(chǎn)生；4 從知識的最近發(fā)展區(qū)“啟”：因勢利導(dǎo)，順?biāo)浦郏^“唯有源頭活水來”；5 有時教師的一個手勢、一副表情、一點(diǎn)鼓勵、一種暗示就會使學(xué)生沖破迷霧，思如泉涌，此時師生之思之想已如水乳交融，渾然天成應(yīng)該有：當(dāng)學(xué)生取得成功后，其喜悅的心情是難以言表的，在今后的學(xué)習(xí)中，就會更加主動地去透視題目中的各種潛在因素，即使在遇到困難時，也會堅定必勝

12、的信念，這便是教師講題應(yīng)達(dá)到的成功境界題 4(2006 安徽 ) 如圖，直線 l 過正方形ABCD 的頂點(diǎn) B ，點(diǎn) A 、 C 到直線 l 的距離分別是1 和 2，則正方形的邊長是講題分析1利用 ABBC 和 ABC 90兩個已知條件，證明Rt AEB Rt BFC ，得 EB FC 2利用勾股定理求出正方形的邊長AB5 講題反思1 正 方 形 ABCD 的 頂 點(diǎn) D 看 起來 是 否 “ 很 孤 單 ” 如 圖 l ， 能 否求 出 點(diǎn) D 到 直線 l 的 距 離DC ?( DC3 )2正方形 ABCD 是否“搖搖欲墜” ?將圖形特殊化：如圖2，令 AECF ，且 AB5 則AECF1

13、010 ， DF23觀察、比較上面兩題中 AE 、 CF 、 DG 的大小，你發(fā)現(xiàn)了什么 ?( AECFDG ) 如圖 3，你能證明這個結(jié)論具有一般性嗎?作 AMDG 于點(diǎn) M ，可證：四邊形 AEGM 是矩形，則 AEMG ：由 ADM BCF ，可得 AECFDG 4 讓直線 l 動起來 !如圖 4，可證 ADE CBF ，得 DEBF ，即點(diǎn)AD到直線l的距離之和與點(diǎn)BC到直線l的距離之、和相等思考直線l 的位置若再發(fā)生變化，還有類似的結(jié)論嗎?你能總結(jié)出一般規(guī)律嗎?5如圖5，連接AC ，你能利用圖形證明勾股定理嗎 ?2 4講題的最高境界=授之以法 +培之以能 +強(qiáng)之以心對應(yīng)于“講題的四種

14、境界”，一個合格的教師，其講題的效度大致有以下四種水平層次：正確：內(nèi)容正確熟練，進(jìn)度適中貼切，板書工整得當(dāng)，講話清晰從容易懂：外在關(guān)系注意鋪墊呼應(yīng)，內(nèi)在聯(lián)系注意區(qū)分主次，化難為易注意方式方法，關(guān)鍵突破注意把握時機(jī)獨(dú)到：說之以理見技巧，動之以情見門道，感之以美見藝術(shù)，啟之以需見奧妙固頂：授之以法，培之以能，強(qiáng)之以心授之以法：關(guān)注通性通法，做到深入淺出，讓學(xué)生易學(xué)培之以能：引導(dǎo)數(shù)學(xué)思考，激發(fā)學(xué)習(xí)欲望，讓學(xué)生想學(xué)強(qiáng)之以心：鼓勵提出問題，強(qiáng)調(diào)自主探究，讓學(xué)生會學(xué)題7正方形ABCD 中，M是邊AB 上任意一點(diǎn)( 不與點(diǎn)B 重合 ) ， E 是AB 延長線上一點(diǎn)，連接DM，作MNDM，交CBE 的平分線B

15、N 于點(diǎn)N (1) 如圖1，當(dāng)M是 AB 的中點(diǎn)時，求證：DMMN；(2) 如圖 2，當(dāng) M 不是 AB 的中點(diǎn)時， (1) 中的結(jié)論還成立嗎 ?說明理由證法探究作 NFAE ，證 Rt DAM Rt MFN ；在 AD 上取一點(diǎn) H ，滿足 DHMB ，證 Rt DAM Rt MBN 逆向思維：若DMMN ，則 MNDM 成立嗎 ?類比拓展：在正多邊形中，類似本題的結(jié)論是否也成立?( 類比聯(lián)想 ) 問題背景某課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到如下兩個命題：如圖 1，兩個全等正三角形的其中一邊AC 完全重合，點(diǎn) M 是邊 BC 上任意一點(diǎn) ( 不與點(diǎn) C 重合 ) 若AMN60 ，則 AMMN

16、 如圖 2，兩個全等正方形的其中一邊CD 完全重合，點(diǎn) M 是邊 BC 上任意一點(diǎn) ( 不與點(diǎn) C 重合 ) 若AMN90 ，則 AMMN 然后運(yùn)用類比的思想提出了如下的命題：如圖 3，兩個全等正五邊形的其中一邊CD 完全重合，點(diǎn) M 是邊 BC 上任意一點(diǎn) ( 不與點(diǎn) C 重合 ) 若么AMN108 ，則 AMMN 任務(wù)要求(1) 請你從、三個命題中任意選擇一個進(jìn)行證明；(2) 請你繼續(xù)完成下面的探索：如圖 4，兩個全等正n ( n 3) 邊形其中一邊CD 完全重合， 點(diǎn) M 是邊 BC 上任意一點(diǎn) ( 不與點(diǎn) C 重合 ) 問：當(dāng)么AMN 等于多少度時，結(jié)論AMCN 成立 ( 不要求證明

17、)?如圖 5，兩個全等正六邊形的其中一邊CD 完全重合， 點(diǎn) M 是邊 BC 的中點(diǎn) 當(dāng)AMN120 時，點(diǎn) N 是 PC 的中點(diǎn)嗎 ?說明理由( 拓展延伸 ) 如圖，正方形ABCD 與正方形 CDEF 中，邊 CD 完全重合，連接CE 將直角三角形的直角頂點(diǎn)M 在直線 BC 上滑動 ( 不與點(diǎn)B 、 C 重合 ) ，其中一條直角邊始終經(jīng)過點(diǎn)A ，另一條直角邊交直線 CE 于點(diǎn)N，作NPBC ，交直線BC 于點(diǎn)P (1) 如圖1，頂點(diǎn)M是 BC 的中點(diǎn)求證：AMMN；求證：點(diǎn)N 是 CE 的中點(diǎn)(2) 設(shè)正方形的邊長為1， CMm 求麗CN的值NE綜上所述， 教師在講題前既要從自己做題的角度去

18、揣摩習(xí)題，還要以學(xué)生做題的角度去思考習(xí)題，更要以命題者的角度去審視題目，只有這樣，才能最大限度的挖掘習(xí)題的潛能，提高講題的效率能把復(fù)雜的問( 習(xí) ) 題簡單化就是完美，能把簡單的問( 習(xí) ) 題深刻化就是杰出! 讓我們共同努力，使自己體驗講題的快樂，讓學(xué)生在傾聽講題的快樂中享受數(shù)學(xué)之美!參考文獻(xiàn)杜和戎講授學(xué)(M)北京華語教學(xué)出版社，2007一、數(shù)學(xué)教學(xué)不能只憑經(jīng)驗從經(jīng)驗中學(xué)習(xí)是每一個人天天都在做而且應(yīng)當(dāng)做的事情，然而經(jīng)驗本身的局限性也是很明顯的，就數(shù)學(xué)教學(xué)活動而言，單純依賴經(jīng)驗教學(xué)實(shí)際上只是將教學(xué)實(shí)際當(dāng)作一個操作性活動，即依賴已有經(jīng)驗或套用學(xué)習(xí)理論而缺乏教學(xué)分析的簡單重復(fù)活動；將教學(xué)作為一種技

19、術(shù)，按照既定的程序和一定的練習(xí)使之自動化。它使教師的教學(xué)決策是反應(yīng)的而非反思的、直覺的而非理性的，例行的而非自覺的。這樣從事教學(xué)活動， 我們可稱之為 “經(jīng)驗型” 的，認(rèn)為自己的教學(xué)行為傳遞的信息與學(xué)生領(lǐng)會的含義相同，而事實(shí)上這樣往往是不準(zhǔn)確的，因為師生之間在數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗、這會社會閱歷等方面的差異使得這樣的感覺通常是不可靠的，甚至是錯誤的。二、理智型的教學(xué)需要反思理智型教學(xué)的一個根本特點(diǎn)是“職業(yè)化”。它是一種理性的以職業(yè)道德、職業(yè)知識作為教學(xué)活動的基本出發(fā)點(diǎn)，努力追求教學(xué)實(shí)踐的合理性。從經(jīng)驗型教學(xué)走向理智型教學(xué)的關(guān)鍵步驟就是“教學(xué)反思”。對一名數(shù)學(xué)教師而言教學(xué)反思可以從以下幾個方面展開：對數(shù)學(xué)概念的反思、對學(xué)數(shù)學(xué)的反