幾何證明題的技巧

1、幾何證明題的技巧1）證明線(xiàn)段相等，角相等的題，通常找到線(xiàn)段所在圖形，證明全等2）隱藏條件：比如特殊圖形的性質(zhì)自己要清楚，有些時(shí)候幾何題做不出來(lái)就是因?yàn)?沒(méi)有利用好隱藏條件3）輔助線(xiàn)起到關(guān)鍵作用4）幾何證明步驟：依據(jù) 結(jié)論 定理切記勿忽略細(xì)微條件 5）遇到面積問(wèn) 題，輔助線(xiàn)通常做高，遇到圓，多為做半徑，切線(xiàn) 6）個(gè)別題型做輔助線(xiàn)：1 通過(guò)連結(jié)，延長(zhǎng)，作垂直，作平行線(xiàn)等添加輔助線(xiàn)的方法，構(gòu)造全等三角 形。2 遇到有中點(diǎn)條件時(shí)，常常延長(zhǎng)中線(xiàn)（即倍長(zhǎng)中線(xiàn)），或以中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中 心，使分散的條件匯集起來(lái)。3 遇到求邊之間的和，差，倍數(shù)關(guān)系時(shí)，通常采用截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法，求角度 之間的關(guān)系時(shí)，也一樣。要掌握初中

2、數(shù)學(xué)幾何證明題技巧，熟練運(yùn)用和記憶如下原理是關(guān)鍵。下面歸類(lèi)一下，多做練習(xí)，熟能生巧，遇到幾何證明題能想到采用哪一類(lèi) 型原理來(lái)解決問(wèn)題。一、證明兩線(xiàn)段相等1. 兩全等三角形中對(duì)應(yīng)邊相等。2. 同一三角形中等角對(duì)等邊。3. 等腰三角形頂角的平分線(xiàn)或底邊的高平分底邊。4. 平行四邊形的對(duì)邊或?qū)蔷€(xiàn)被交點(diǎn)分成的兩段相等。5. 直角三角形斜邊的中點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離相等。6. 線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上任意一點(diǎn)到線(xiàn)段兩段距離相等。7. 角平分線(xiàn)上任一點(diǎn)到角的兩邊距離相等。8. 過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)且平行于第三邊的直線(xiàn)分第二邊所成的線(xiàn)段相等。*9.同圓（或等圓）中等弧所對(duì)的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周 角所對(duì)的弦相

3、等。*10.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)的切線(xiàn)長(zhǎng)相等或圓內(nèi)垂直于直徑的弦被直徑分 成的兩段相等。11.兩前項(xiàng)（或兩后項(xiàng)）相等的比例式中的兩后項(xiàng)（或兩前項(xiàng)）相等。*12.兩圓的內(nèi)（外）公切線(xiàn)的長(zhǎng)相等。13.等于同一線(xiàn)段的兩條線(xiàn)段相等。二、證明兩個(gè)角相等1. 兩全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。2. 同一三角形中等邊對(duì)等角。3. 等腰三角形中，底邊上的中線(xiàn)（或高）平分頂角。4. 兩條平行線(xiàn)的同位角、內(nèi)錯(cuò)角或平行四邊形的對(duì)角相等。5. 同角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等。*6. 同圓（或圓）中，等弦（或?。┧鶎?duì)的圓心角相等，圓周角相等，弦切 角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角。*7.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，圓心和這一點(diǎn)的連

4、線(xiàn)平分兩條切線(xiàn)的夾角。8.相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等。*9.圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角。10.等于同一角的兩個(gè)角相等。三、證明兩條直線(xiàn)互相垂直1. 等腰三角形的頂角平分線(xiàn)或底邊的中線(xiàn)垂直于底邊。2. 三角形中一邊的中線(xiàn)若等于這邊一半，則這一邊所對(duì)的角是直角。3. 在一個(gè)三角形中，若有兩個(gè)角互余，則第三個(gè)角是直角。4. 鄰補(bǔ)角的平分線(xiàn)互相垂直。5. 一條直線(xiàn)垂直于平行線(xiàn)中的一條，則必垂直于另一條。6. 兩條直線(xiàn)相交成直角則兩直線(xiàn)垂直。7. 利用到一線(xiàn)段兩端的距離相等的點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上。8. 利用勾股定理的逆定理。9. 利用菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直。*10.在圓中平分弦（或弧）的直徑垂直于弦。*

5、11.利用半圓上的圓周角是直角。四、證明兩直線(xiàn)平行1. 垂直于同一直線(xiàn)的各直線(xiàn)平行。2. 同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)的兩直線(xiàn)平行。3. 平行四邊形的對(duì)邊平行。 4.三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊。5.梯形的中位線(xiàn)平行于兩底。6. 平行于同一直線(xiàn)的兩直線(xiàn)平行。7. 一條直線(xiàn)截三角形的兩邊（或延長(zhǎng)線(xiàn)）所得的線(xiàn)段對(duì)應(yīng)成比例，則這條直 線(xiàn)平行于第三邊。五、證明線(xiàn)段的和差倍分1. 作兩條線(xiàn)段的和，證明與第三條線(xiàn)段相等。2. 在第三條線(xiàn)段上截取一段等于第一條線(xiàn)段，證明余下部分等于第二條線(xiàn) 段。3. 延長(zhǎng)短線(xiàn)段為其二倍，再證明它與較長(zhǎng)的線(xiàn)段相等。4. 取長(zhǎng)線(xiàn)段的中點(diǎn)，再證其一半等于短線(xiàn)段。5. 利用一

6、些定理（三角形的中位線(xiàn)、含 30 度的直角三角形、直角三角形斜 邊上的中線(xiàn)、三角形的重心、相似三角形的性質(zhì)等）。六、證明角的和差倍分1. 與證明線(xiàn)段的和、差、倍、分思路相同。2. 利用角平分線(xiàn)的定義。3. 三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。七、證明線(xiàn)段不等1. 同一三角形中，大角對(duì)大邊。2. 垂線(xiàn)段最短。3. 三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。4. 在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。*5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。6. 全量大于它的任何一部分。八、證明兩角的不等1. 同一三角形中，大邊對(duì)大角。2. 三角形的外角大于和它不相鄰的任一內(nèi)角。

7、3. 在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角 也大。*4. 同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大。5. 全量大于它的任何一部分。九、證明比例式或等積式1. 利用相似三角形對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例。2. 利用內(nèi)外角平分線(xiàn)定理。3. 平行線(xiàn)截線(xiàn)段成比例。4. 直角三角形中的比例中項(xiàng)定理即射影定理。*5. 與圓有關(guān)的比例定理 -相交弦定理、切割線(xiàn)定理及其推論。6.利用比利式或等積式化得。十、證明四點(diǎn)共圓*1.對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的頂點(diǎn)共圓。*2.外角等于內(nèi)對(duì)角的四邊形內(nèi)接于圓。*3.同底邊等頂角的三角形的頂點(diǎn)共圓（頂角在底邊的同側(cè)）。*4.同斜邊的直角三角形的頂點(diǎn)共圓。*5.到頂點(diǎn)距離相

8、等的各點(diǎn)共圓基本圖形的輔助線(xiàn)的畫(huà)法1. 三角形問(wèn)題添加輔助線(xiàn)方法方法 1：有關(guān)三角形中線(xiàn)的題目，常將中線(xiàn)加倍。含有中點(diǎn)的題目，常常利 用三角形的中位線(xiàn)，通過(guò)這種方法，把要證的結(jié)論恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移，很容易地解決 了問(wèn)題。方法 2：含有平分線(xiàn)的題目，常以角平分線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸，利用角平分線(xiàn)的性質(zhì) 和題中的條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識(shí)解決問(wèn)題。方法 3：結(jié)論是兩線(xiàn)段相等的題目常畫(huà)輔助線(xiàn)構(gòu)成全等三角形，或利用關(guān)于 平分線(xiàn)段的一些定理。方法 4：結(jié)論是一條線(xiàn)段與另一條線(xiàn)段之和等于第三條線(xiàn)段這類(lèi)題目，常采 用截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法，所謂截長(zhǎng)法就是把第三條線(xiàn)段分成兩部分，證其中的一部 分等于第一條線(xiàn)段，而另

9、一部分等于第二條線(xiàn)段。2. 平行四邊形中常用輔助線(xiàn)的添法平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對(duì)邊、對(duì)角和對(duì)角線(xiàn)都具 有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線(xiàn)方法上也有共同之處，目的都是造就線(xiàn)段的 平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成常見(jiàn)的三角 形、正方形等問(wèn)題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡(jiǎn)解如下：（ 1）連對(duì)角線(xiàn)或平移對(duì)角線(xiàn)：（ 2）過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線(xiàn)構(gòu)造直角三角形（ 3）連接對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過(guò)對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)作一邊的平行線(xiàn)，構(gòu)造 線(xiàn)段平行或中位線(xiàn)（ 4）連接頂點(diǎn)與對(duì)邊上一點(diǎn)的線(xiàn)段或延長(zhǎng)這條線(xiàn)段，構(gòu)造三角形相似或等 積三角形。（ 5）過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)角線(xiàn)的垂線(xiàn)，構(gòu)成線(xiàn)段平行或

10、三角形全等 .3. 梯形中常用輔助線(xiàn)的添法梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識(shí)的綜合，通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)將梯形問(wèn)題化歸為平行四邊形問(wèn)題或三角形問(wèn)題來(lái)解決。輔助 線(xiàn)的添加成為問(wèn)題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線(xiàn)有：（ 1）在梯形內(nèi)部平移一腰。（2）梯形外平移一腰（3）梯形內(nèi)平移兩腰4）延長(zhǎng)兩腰（5）過(guò)梯形上底的兩端點(diǎn)向下底作高（6）平移對(duì)角線(xiàn)（ 7）連接梯形一頂點(diǎn)及一腰的中點(diǎn)。（8）過(guò)一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線(xiàn)。（ 9）作中位線(xiàn)當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和計(jì)算中，添加的輔助線(xiàn)并不一定是固定不變的、 單一的。通過(guò)輔助線(xiàn)這座橋梁，將梯形問(wèn)題化歸為平行四邊形問(wèn)題或三角形問(wèn) 題來(lái)解決，這是解決

11、問(wèn)題的關(guān)鍵。常見(jiàn)的輔助線(xiàn)做法1、遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用 “三線(xiàn)合一 ”的性質(zhì)解題，思維 模式是全等變換中的 “對(duì)折 ”。2、遇到三角形的中線(xiàn)，倍長(zhǎng)中線(xiàn)，使延長(zhǎng)線(xiàn)段與原中線(xiàn)長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等 三角形，利用的思維模式是全等變換中的 “旋轉(zhuǎn) ”。3、遇到角平分線(xiàn)，可以自角平分線(xiàn)上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線(xiàn)，利用的 思維模式是三角形全等變換中的 “對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線(xiàn)的性質(zhì)定 理或逆定理。4、過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是 全等變換中的 “平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊 ”。5、截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線(xiàn)段上截取一條線(xiàn)段與特定線(xiàn)段相 等，或是將某條線(xiàn)段延長(zhǎng)，是之與特定線(xiàn)段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性 質(zhì)加以說(shuō)明。這種作法，適合于證明線(xiàn)段的和、差、倍、分等類(lèi)的題目。6、特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類(lèi)的問(wèn)題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形 各頂點(diǎn)的線(xiàn)段連接起來(lái)，利用三角形面積的知識(shí)解答。所謂“倍長(zhǎng)中線(xiàn) ”，就是加倍延長(zhǎng)中線(xiàn)，使所延長(zhǎng)部分與中線(xiàn)相等，然后往 往需要連接相應(yīng)的頂點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)邊都對(duì)應(yīng)相等。常用于構(gòu)造全等三角 形。中線(xiàn)倍長(zhǎng)法多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系（一般都是原題已 經(jīng)有中線(xiàn)時(shí)用，不太會(huì)有自己畫(huà)中線(xiàn)的時(shí)候）。說(shuō)簡(jiǎn)單一點(diǎn)，倍長(zhǎng)中線(xiàn)就是指：延長(zhǎng)中線(xiàn)，使所延長(zhǎng)部分與中線(xiàn)相等，然 后