等比數(shù)列的前n項(xiàng)和教學(xué)設(shè)計(jì)

1、等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和（ 第一課時(shí)）一 教材分析。（1）教材的地位與作用： 等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科 書(shū)數(shù)學(xué)（ 5），是數(shù)列這一章中的一個(gè)重要內(nèi)容，它不僅在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的實(shí)際 應(yīng)用，如儲(chǔ)蓄、分期付款的有關(guān)計(jì)算等等，而且公式推導(dǎo)過(guò)程中所滲透的類比、化歸、分 類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和工作中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。（2）從知識(shí)的體系來(lái)看：“等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和”是“等差數(shù)列及其前 n 項(xiàng)和”與“等 比數(shù)列”內(nèi)容的延續(xù)、 不僅加深對(duì)函數(shù)思想的理解， 也為以后學(xué)數(shù)列的求和， 數(shù)學(xué)歸納法 等做好鋪墊 。二學(xué)情分析。 （1）學(xué)生的已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)：掌握了等

2、差數(shù)列的概念，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式 與方法，等比數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式。（2）教學(xué)對(duì)象：高二理科班的學(xué)生， 學(xué)習(xí)興趣比較濃 ,表現(xiàn)欲較強(qiáng) , 邏輯思維能力也初步 形成，具有一定的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力， 但由于年齡的原因， 思維盡管活躍、 敏捷， 卻缺乏冷靜、深刻，因而片面、不夠嚴(yán)謹(jǐn)。（ 3）從學(xué)生的認(rèn)知角度來(lái)看： 學(xué)生很容易把本節(jié)內(nèi)容與等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和從公式的形成、 特點(diǎn)等方面進(jìn)行類比，這是積極因素，應(yīng)因勢(shì)利導(dǎo)。不利因素是：本節(jié)公式的推導(dǎo)與等差 數(shù)列前 n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)有著本質(zhì)的不同，這對(duì)學(xué)生的思維是一個(gè)突破，另外，對(duì)于q =1 這一特殊情況，學(xué)生往往容易忽視，尤其是在后面使用的

3、過(guò)程中容易出錯(cuò)。三教學(xué)目標(biāo)。根據(jù)教學(xué)大綱的要求、 本節(jié)教材的特點(diǎn)和本班學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律， 本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確 定為：（1）知識(shí)技能目標(biāo)理解并掌握等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程、 公式的特 點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上，并能初步應(yīng)用公式解決與之有關(guān)的問(wèn)題。（2）過(guò)程與方法目標(biāo)通過(guò)對(duì)公式推導(dǎo)方法的探索與發(fā)現(xiàn)， 向?qū)W生滲透特殊到般、類比與轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、抽象、概括等邏輯思維能力和逆向思維的能力（3）情感，態(tài)度與價(jià)值觀培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神，從探索中獲 得成功的體驗(yàn)，感受數(shù)學(xué)的奇異美、結(jié)構(gòu)的對(duì)稱美、形式的 簡(jiǎn)潔美。四重點(diǎn) , 難點(diǎn)分析。教學(xué)重點(diǎn)：公式的推導(dǎo)、公式的特點(diǎn)和公式

4、的運(yùn)用。 教學(xué)難點(diǎn)：公式的推導(dǎo)方法及公式應(yīng)用中 q與 1的關(guān)系。五教法與學(xué)法分析 .培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、 學(xué)會(huì)探究是全面發(fā)展學(xué)生能力的重要前提， 是高中新課程改革的 主要任務(wù)。 如何培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、 學(xué)會(huì)探究呢？建構(gòu)主義認(rèn)為： “知識(shí)不是被動(dòng)吸收的， 而是由認(rèn)知主體主動(dòng)建構(gòu)的。 ”這個(gè)觀點(diǎn)從教學(xué)的角度來(lái)理解就是：知識(shí)不是通過(guò)教師傳 授得到的，而是學(xué)生在一定的情境中，運(yùn)用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，并通過(guò)與他人（在教師指導(dǎo) 和學(xué)習(xí)伙伴的幫助下）協(xié)作，主動(dòng)建構(gòu)而獲得的，建構(gòu)主義教學(xué)模式強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心， 視學(xué)生為認(rèn)知的主體， 教師只對(duì)學(xué)生的意義建構(gòu)起幫助和促進(jìn)作用。 因此，本節(jié)課采用了 啟發(fā)式和探究式相結(jié)合的

5、教學(xué)方法， 讓老師的主導(dǎo)性和學(xué)生的主體性有機(jī)結(jié)合， 使學(xué)生能 夠愉快地自覺(jué)學(xué)習(xí)，通過(guò)學(xué)生自己觀察、分析、探索等步驟，自己發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的方法， 比較論證后得到一般性結(jié)論，形成完整的數(shù)學(xué)模型，再運(yùn)用所得理論和方法去解決問(wèn)題。 一句話： 還課堂以生命力，還學(xué)生以活力。六課堂設(shè)計(jì)（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題。（時(shí)間設(shè)定： 3 分鐘）利用投影展示 在古印度，有個(gè)名叫西薩的人，發(fā)明了國(guó)際象棋，當(dāng)時(shí)的印度國(guó)王大 為贊賞，對(duì)他說(shuō)：我可以滿足你的任何要求。西薩說(shuō)：請(qǐng)給我棋盤(pán)的 64 個(gè)方格上，第一格 放 1 粒小麥，第二格放 2 粒，第三格放 4 粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第 64 格。國(guó)王令宮廷數(shù)學(xué)家計(jì)

6、算，結(jié)果出來(lái)后，國(guó)王大吃一驚。為什么呢？ 設(shè)計(jì)這個(gè)情境目的是在引入課題的同時(shí)激發(fā)學(xué)生的興趣， 調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性故事內(nèi)容 緊扣本節(jié)課的主題與重點(diǎn) 提出問(wèn)題 1：同學(xué)們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？引導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)出麥?？倲?shù) 1 2 22 23263（二）師生互動(dòng)，探究問(wèn)題 5 分鐘 提出問(wèn)題 2：1+ 2+ 22 +23 +263究竟等于多少呢 ?有學(xué)生會(huì)說(shuō)：用計(jì)算器來(lái)求（老師當(dāng)然肯定這種做法，但學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)比較難求。 ） 提出問(wèn)題 3：同學(xué)們，我們來(lái)分析一下這個(gè)和式有什么特征？（學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，后一項(xiàng)都是 前一項(xiàng)的 2 倍）提出問(wèn)題 4：如果我們把每一項(xiàng)都乘以 2，就變成了它的后一項(xiàng)，那么我們?nèi)粼诖?/p>

7、等式兩邊同以 2，得到另一式： 利用投影展示 .S64 1 2 22 23263（1）2S64 2 22 23 242 64（2）比較（ 1）（2 ）兩式，你有什么發(fā)現(xiàn)？（學(xué)生經(jīng)過(guò)比較發(fā)現(xiàn)：（ 1）、（ 2）兩式有許多相 同的項(xiàng)）提出問(wèn)題 5：將兩式相減，相同的項(xiàng)就消去了，得到什么呢？。 （學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)： S64 264 1 這五個(gè)問(wèn)題的設(shè)計(jì)意圖：層層深入，剖析了錯(cuò)位相減法中減的妙用，使學(xué)生容易接受為 什么要錯(cuò)位相減，經(jīng)過(guò)繁難的計(jì)算之苦后，突然發(fā)現(xiàn)上述解法，也讓學(xué)生感受到這種 方法的神奇 這時(shí)，老師向同學(xué)們介紹錯(cuò)位相減法，并提出問(wèn)題 6：同學(xué)們反思一下我們錯(cuò)位相減法求此題的過(guò)程，為什么（ 1）式

8、兩邊要同乘以 2 呢？這個(gè)問(wèn)題的設(shè)計(jì)意圖 : 讓學(xué)生對(duì)錯(cuò)位相減法有一個(gè)深刻的認(rèn)識(shí)， 也為探究等比數(shù)列求和公 式的推導(dǎo)做好鋪墊 （三）類比聯(lián)想，解決問(wèn)題。 時(shí)間設(shè)定： 10分鐘提出問(wèn)題 7：設(shè)等比數(shù)列 an 的首項(xiàng)為 a1, 公比為q,求它的前項(xiàng)和 Sn即 Sn a1 a2 a3a 學(xué)生開(kāi)展合作學(xué)習(xí) ,討論交流，老師巡視課堂， 發(fā)現(xiàn)有典型解法的，叫同學(xué)板書(shū)在黑板上。 設(shè)計(jì)意圖：從特殊到一般 ,從模仿到創(chuàng)新 ,有利于學(xué)生的知識(shí)遷移和能力提高，讓學(xué)生在 探索過(guò)程中，充分感受到成功的情感體驗(yàn) 四）分析比較，開(kāi)拓思維。 時(shí)間設(shè)定： 5分鐘將不同的的方法進(jìn)等行比分析數(shù)評(píng)列價(jià)。根an據(jù),學(xué)公生比的為認(rèn)識(shí)q狀

9、,況它，的可能前有n如下項(xiàng)幾和種方法：錯(cuò)位相減法1：Sn a1 a1q a1q 2a1qn 2 a1qn 1qSna1q a1q2n1n2a1 q a1q a1 q(1 q)Sn a1 a1qn等比數(shù)列 an,公比為 q ,它的前 n 項(xiàng)和錯(cuò)位相減法Sna 1 a 2a 3an 1 an提出公比 qqSna 2 a 3(1 q)Sn a1 anqan 1 an等比數(shù)列 an,公比為 q ,它的前 n 項(xiàng)和Sna1a2a3an 1an2 n 2 n 1Sna1a1 qa1qa1 q a1 qn 3 n 2a1 q(a1 a1qa1qa1q )a1 q(Sn a1qn 1)(1 q)Sn a1 a

10、1qn累加法等比數(shù)列 an,公比為 q,它的前 n 項(xiàng)和Sn a1 a2 a3an 1 ana2 a1qa3 a2 qa4 a3 qan an 1qa2 a3an q(a1 a2 a3an 1 )Sn a1 q(Sn an)(1 q)Sn a1 anq可能也有同學(xué)會(huì)想到由等比定理得anqSna1a2a3ana2 a3a1annqa2an 1a2 a3anqa1 a2an 1即 Sn a1qSn an(1 q)Sn a1 anq設(shè)計(jì)意圖：共享學(xué)習(xí)成果，開(kāi)拓了思維，感受數(shù)學(xué)的奇異美 】五) 歸納提煉，構(gòu)建新知。 時(shí)間設(shè)定： 3 分鐘提出問(wèn)題8:由(1- q)sn = a1-a1qn得sn= a1

11、-a1q 對(duì)不對(duì)？這里的 q能不能等于 1？等比數(shù)列中的公比1- q能不能為1？ q 1 時(shí)是什么數(shù)列？此時(shí) Sn ？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)反問(wèn)精講，一方面使學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，增強(qiáng)思維 的嚴(yán)謹(jǐn)性】提出問(wèn)題 9: 等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式怎樣 ?,q 11a1(1 qn),q 1a1 anq學(xué)生歸納出 Sn1 qSn1 qna1,q 1na1,q設(shè)計(jì)意圖：向?qū)W生滲透分類討論數(shù)學(xué)思想，加深對(duì)公式特征的了解 】六) 層層深入，掌握新知 。 時(shí)間設(shè)定： 15 分鐘基礎(chǔ)練習(xí) 1已知 an 是等比數(shù)列 ,公比為 q21(1) 若a1=3,q= 3, 則Sn(2). 則a1 2,q 1,則 Sn練

12、習(xí) 2 判斷是非n 1 (1 2n) (1).1-2+4-8+16- + -2 n1 ( 2)(2) .1 2 22 232n 1 (1 2 )128(3) .a a2 a3a8 a(1 a )1a設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)兩道簡(jiǎn)單題來(lái)剖析公式中的基本量進(jìn)行正反兩方面的“短、淺、快”練習(xí)通過(guò)總結(jié)、辨析和反思，強(qiáng)化公式的結(jié)構(gòu)特征 】例1 已知數(shù)列 an 是等比數(shù)列 , 完成下表題號(hào)a1qnanSn（1）1/21/28（2）272/38（3）-2-96-63【設(shè)計(jì)意圖：滲透方程思想 .通過(guò)公式的正用和逆用進(jìn)一步提高學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的能力 .掌握 公式中 ”知三求二 ”的題型】練習(xí) 3：求等比數(shù)列 12,14,18

13、,116, 前 8 項(xiàng)和；變式 1 、等比數(shù)列 12,14,81,116, 前多少項(xiàng)的和是 63；變式2、等比數(shù)列 1,1,1,1 , 求第5項(xiàng)到第 10項(xiàng)的和；2 4 8 16變式 3、等比數(shù)列 a,a2,a3, an, 求前 2n 項(xiàng)中所有偶數(shù)項(xiàng)的和。 （先由學(xué)生獨(dú)立求解，然后抽學(xué)生板演，教師巡視、指導(dǎo)，講評(píng)學(xué)生完成情況，尋找學(xué)生 中的閃光點(diǎn)，給予熱情表?yè)P(yáng)。 ）【設(shè)計(jì)意圖：變式訓(xùn)練 ,深化認(rèn)識(shí)，增加思維的梯度的同時(shí)，提高學(xué)生的模式識(shí)別能力， 滲透轉(zhuǎn)化思想 】練習(xí) 4 有一位大學(xué)生畢業(yè)后到一家私營(yíng)企業(yè)去工作，試用期過(guò)后，老板對(duì)這位大學(xué) 生很欣賞， 有意留下他， 就讓這位大學(xué)生提出待遇方面的要

14、求， 這位學(xué)生提出了兩種方案 讓老板選擇，其一：工作一年，月薪五千元；其二：工作一年，第一個(gè)月的工資為 20 元， 以后每個(gè)月的工資是上月工資的 2 倍，此時(shí)，老板不假思索就選擇了第二種方案， 于是他 們之間就訂了一個(gè)勞動(dòng)待遇合同。請(qǐng)你分析一下，老板的選擇是否正確？【設(shè)計(jì)意圖： 讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活并應(yīng)用于生活，生活中處處有數(shù)學(xué) 】 （七）總結(jié)歸納，加深理解。 時(shí)間設(shè)定： 2 分鐘（1）等比數(shù)列的求和公式是什么？應(yīng)用時(shí)要注意什么？（2）用什么方法可以推導(dǎo)了等比數(shù)列的求和公式？【設(shè)計(jì)意圖：形成知識(shí)模塊， 從知識(shí)的歸納延伸到思想方法的提煉， 優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)】（八）課后作業(yè)，鞏固提高。 時(shí)間設(shè)定： 1分鐘必做：（ 1）P66練習(xí) 1研究性作業(yè)：請(qǐng)上網(wǎng)查閱“芝諾悖論”選做：求和： 1 2 2 22 3 23 4 2 4n 2n【設(shè)計(jì)意圖：為了使所有學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，布置了“必做題” ；“選做題”又為學(xué)有余力 者留有自由發(fā)展的空間， 布置了“探究題”以利于學(xué)生開(kāi)