數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文(設(shè)計)一元函數(shù)極限的求法

1、編號：07005110239 南陽師范學(xué)院 2011 屆畢業(yè)生 畢業(yè)論文（設(shè)計） 題 目： 一元函數(shù)極限的求法 完 成 人： 班 級： 2007- 02 學(xué) 制： 4 年 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 指導(dǎo)教師： 完成日期： 2011-03-9 目 錄 摘要 .（1） 0 引言 .（1） 1 利用初等函數(shù)的連續(xù)性求函數(shù)極限（直接代入法） .（1） 1.1 連續(xù)的性質(zhì) .（1） 2 利用函數(shù)極限的四則運算求函數(shù)極限 .（2） 2.1 直接運用法則 .（2） 2.2 間接運用法則利用恒等變形化簡表達式，然后再用四則運算 .（2） 2.2.1 約分法.（2） 2.2.2 通分法.（3） 2.2.3 根式

2、有理化法.（3） 2.2.4 分子分母同除以無窮大量或根據(jù)結(jié)論求之.（3） 3 利用迫斂性求函數(shù)極限 .（4） 4 利用兩個重要極限公式求函數(shù)極限 .（4） 5 利用無窮小量的性質(zhì)求函數(shù)極限 .（5） 6 利用替換法函數(shù)極限.（6） 6.1 變量替換 .（7） 6.2 等價無窮小量替換 .（7） 6.2.1 定理.（7） 6.2.2 常見的等價無窮小量.（7） 6.3 泰勒公式的等價量代換麥克勞林展式 .（8） 7 利用洛必達法則求函數(shù)極限 .（1） 7.1 定理 .（9） 7.2 對于型或型直接使用法則 .（10） 0 0 8 利用對數(shù)運算求函數(shù)極限 .（1） 9 利用極限的定義驗證極限 .

3、（1） 9.1 極限的“”定義 .（5） 10 利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)極限 .（1） 10.1 導(dǎo)數(shù)的定義 .（5） 11 利用左右極限法求函數(shù)極限 .（1） 12 利用定積分的定義求函數(shù)極限 .（1） 13 利用級數(shù)收斂的必要條件求函數(shù)極限 .（15） 13.1 級數(shù)收斂的必要條件 .（15） 14 利用微分中值定理和積分中值定理求函數(shù)極限 .（15） 14.1 拉格朗日中值定理 .（15） 14.2 積分中值定理 .(16） 15 總結(jié).（17） 參考文獻.（17） abstract .（18） 一元函數(shù)極限的求法一元函數(shù)極限的求法 作 者： 指導(dǎo)教師： 摘要：本文對一元函數(shù)極限的常見求法進

4、行了歸納總結(jié)，并在某些具體求解方 法就其中要注意的細節(jié)和技巧做了說明，以便我們了解函數(shù)的各種極限，以及 對各類函數(shù)極限進行計算. 關(guān)鍵詞：一元函數(shù)；極限；求法 0 引言 一元函數(shù)極限的計算是“高等數(shù)學(xué)”基本計算之一。為了能熟練 準確地計算各種極限，就必須掌握其各種極限的求法，解題時要針 對不同函數(shù)極限的特點采用相應(yīng)的求法，同時還要注意每種求解方 法的適應(yīng)范圍，這樣才能達到事半功倍的效果。. 1 1 利用初等函數(shù)的連續(xù)性求函數(shù)極限（直接代入法） 1.1 連續(xù)的性質(zhì)8 如果 是初等函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)一點，則， x ( )f x 0 0 lim xx f xf x 如果點 是初等函數(shù)的可去間斷點，那么

5、由復(fù)合函數(shù)連續(xù)性 x ( )fx 可知： 0 0 lim xx fxfx 例 1 求 0 limln 15 x x exx 解：= 0 limln 15 x x exx 0 ln 1 005e 6 例 2 求 1 0 lim1 x x x 解：因為是可去間斷點0 x 所以 1 0 lim1 x x x 1 0 lim 1 x x xe 2 2 利用函數(shù)極限的四則運算法求函數(shù)極限 極限四則運算法則的條件是充分非必要的，因此，利用極限四 則運算法則求函數(shù)極限時，必須對所給的函數(shù)逐一進行驗證它是否 滿足極限四則運算法則的條件，滿足條件者，方能利用極限四則運 算法則求之；不滿足條件者，不能直接利用極限

6、四則運算法則求之。 但是，并非不滿足四則運算法則條件的函數(shù)就沒有極限，而是需要 將函數(shù)進行恒等變形，使其符合條件后，再利用極限四則運算法則 求之。 為了敘述方便把自變量的某個變化過程略去不寫，用記號 表示在某個極限過程中的極限，因此，極限的四則運算 lim f x f x 法則可確切地敘述如下： 定理定理1 1 在同一變化過程中，設(shè)，都存在 lim f x limg x 則（1） limlimlimf xg xf xg x （2） limlimf xg xf xg x （3）當分母時，有 lim0g x lim lim lim f xf x g xg x 2.1 直接運用法則 例例 3 3 求

7、 2 2 0 1 lim 21 x x xx 解： 2 2 00 22 0 000 limlim1 10 1 lim1 21lim2limlim100 1 xx x xxx x x xxxx 2.2間接運用法則利用恒等變形化簡表達式，然后再用四則運算 法則求極限 2.2.1 約分法 例例 4 4 求 3 2 1 1 lim 1 x x x 分析：由于當時，。因此，不符合1x 3 10 x 2 10 x 3 2 1 1 lim 1 x x x 四則運算法則條件，需進行恒等變形：即消去當時，分子、分1x 母為0的因子后方可利用極限四則運算法則求之。1x 解： 2 32 2 111 11 113 l

8、imlimlim 11112 xxx xxx xxx xxxx 2.2.2 通分法 例例 5 5 求 2 1 21 lim 11 x xx 分析：當時，因此，不符1x 2 2 1x 1 1x 2 1 21 lim 11 x xx 合四則運算法則條件，需要進行恒等變形再求之。 解： 22 111 212111 limlimlim 111112 xxx xx xxxxx 22.3 根式有理化法：分子或分母有理化 例例 6 6 求 4 123 lim 2 x x x 分析：當時，分子，分母，因此4x 1230 x20 x 不符合四則運算法則條件，需進行恒等變形再求之。 4 123 lim 2 x x

9、 x 解： 444 22242 2412324 limlimlim 4321231231 83 xxx x xxx xxxx 2.2.4 分子分母同除以無窮大量或根據(jù)結(jié)論求之 例 7 求 2 3 11 lim 65 x xx xx 1 01 1 0 01 lim nn n mm x m a xa xa b xb xb 0,mn 0 0 , a mn b ,mn 解： 2 32 33 11 11 limlim 65656 xx xx xxx xxxx 3 利用迫斂性求函數(shù)極限3 定理定理2 2 設(shè)，且在某內(nèi)有 00 limlim xxxx f xg xa 0; ux ，則 f xh xg x 0

10、 lim xx h xa 例 8 求 cos lim x xx x 解：因為，所以當時，1cos1x 0 x 11cos11 11 xxxx xxxxx 而， 11 lim 1lim 11 xx xx 由迫斂性定理得， cos lim1 x xx x 4 利用兩個重要極限公式求函數(shù)極限 4.1 0 sin lim1 x x x 例例 9 9 求 0 sin2 lim x x x 解： 00 sin2sin2 limlim22 2 xx xx xx 4.2 或 1 lim 1 x x e x 1 0 lim 1 x x xe 例例 1010 求 1 0 lim 1 x x x 解：令，則當時，u

11、x 0 x 0u 因此 11 00 1 lim 1lim 1 xu xu xu e 5 利用無窮小量的性質(zhì)求函數(shù)極限2 5.1 相關(guān)性質(zhì) （1）設(shè)在某內(nèi)有定義。若，則稱為當 f x 0 ux 0 lim0 xx f x f x 時的無窮小量。 0 xx （2）有限個無窮小量的代數(shù)和為無窮小量。 （3）有限個無窮小量的差為無窮小量。 （4）有限個無窮小量的乘積為無窮小量。 （5）有界函數(shù)與無窮小量的乘積為無窮小量。 （6）無窮大量的倒數(shù)是無窮小量。 例例 1111 求 sin lim x x x 分析：因為不存在，不能直接使用運算法則，故必須先將函limsin x x 數(shù)進行恒等變形。 解: ,

12、因為當時，即是當時 sin1 limlimsin xx x x xx x 1 0 x 1 x x 的無窮小，而，即是有界函數(shù)，由無窮小量的性質(zhì)得 sin1x sin x sin lim0 x x x 例例 1212 求 22 32 342 lim 753 x xx xx 解： 22 3 32 3 12 34 3423 limlim 53 7537 7 xx xx xx xx xx 6利用替換法求函數(shù)的極限 6.1變量替換 例例 1313 求lim 1 x x x x 解：令，當時，xtx t 故 2 1 2 11 limlimlimlim 111 1111 t xttt xttt xttt e

13、e xttttt 6.2 等價無窮小量替換 6.2.1 定理定理 3 3：設(shè)，是某一變化過程中的無窮小量，且 11 , ,f f g g ，若存在，則 11 ,ff gg:lim f g 1 1 limlim ff gg 6.2.2 常見的等價無窮小量 時 0 x sin xx:tan xx:ln 1xx: arcsin xx:arctan xx: 2 1 cos 2 x x: 1 x ex :1ln x axa : 在利用等價無窮小量代換求極限時，應(yīng)注意：只有對所求極限 式中相乘或相除的因式才能用等價無窮小量來替換，而對極限式中 的相加或相減部分則不能隨意替換，否則，將導(dǎo)致的出錯誤的結(jié)果。

14、例例 1414：求 2 0 1 lim tan x x e x 解：當時，0 x 2 2 1 x ex :tan xx: 故 2 2 00 1 limlim0 tan x xx ex xx 例例 1515：求 3 0 tansin lim sin x xx x 解：由于 ，而時 sin tansin1 cos cos x xxx x 0 x ，sin xx: 2 1 cos 2 x x: 33 sin xx: 故有 2 33 00 tansin11 2 limlim sincos2 xx x x xx xxx 6.3 泰勒公式的等價代換麥克勞林展式1 6.3.1 泰勒定理 定理定理 4 4：若

15、函數(shù)在 存在 階導(dǎo)數(shù)，則 f xan xua 有（1） n n f xtxxa o 其中 2 1!2! n n n faff txf axaxaxa n ，即是的高階無窮小。（1）式稱為 o n n rxxa n rx n xa 在 處展開的泰勒公式。 f xa 當時（函數(shù)在0處存在 階導(dǎo)數(shù)），（1）式可化為：0a f xn 此式被稱為麥克勞林公式 00 0o 1! n nn ff f xfxxx n 6.3.2 常見函數(shù)的麥克勞林公式 （1） 2 1o 2! n xn xx exx n （2） 3521 1 2 sin1o 3!5!21 ! m m m xxx xxx m （3） 242 2

16、1 cos11o 2!4!2! m m m xxx xx m （4） 23 1 ln 11o 23 n n n xxx xxx n （5） 2 111 11o 2! nn n xxxxx n （6） 2 1 1o 1 nn xxxx x 例例 1616：求 2 2 4 0 cos lim x x xe x 解：因為 24 5 cos1o 224 xx xx 2 24 5 2 1o 28 x xx ex 而 2 4 5 2 coso 12 x x xex 故求得 2 45 2 44 00 1 o cos1 12 limlim 12 x xx xx xe xx 7 利用洛必達法則求函數(shù)的極限7 為

17、了下文敘述簡便把兩個無窮小量或兩個無窮大量之比的極限 統(tǒng)稱為不定式極限。記作： 型或型 0 0 7.1 定理定理 5 5（ 型）：若函數(shù)和滿足： 0 0 f x g x （1） 00 limlim0 xxxx f xg x （2）在點的空心領(lǐng)域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且 0 x 0 ux 0gx （3） （可為實數(shù)，也可為或） 0 lim xx fx a gx a 則 00 limlim xxxx f xfx a g xgx 定理定理 6 6（型）：若函數(shù)和滿足： f x g x （1） 00 limlim xxxx f xg x （2）在的某右領(lǐng)域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且 0 x 0 ux 0gx （3）（可

18、為實數(shù)，也可為或） 0 lim xx fx a gx a 則 00 limlim xxxx f xfx a g xgx 7.2 對于 型或型直接運用法則 0 0 對于型，型要通過變形為型或 型，再使用法則，0 0 0 對于型，型，型要先取對數(shù)變?yōu)樾?，然后再化為型? 0 0 0 0 型等等。 0 0 如果仍是 型不定式極限，只要有可能，則再次用洛 0 lim xx fx gx 0 0 必達法則，即考察極限是否存在，此時和在的 0 lim xx fx gx fx gx 0 x 某鄰域內(nèi)必須滿足定理 4 的條件。 對于不是 型或型時，則通過結(jié)合代數(shù)運算，等價無窮小代 0 0 換，重要極限等方法，盡

19、力使運算簡化。 洛必達法則僅是一個充分性條件的確定商式極限的工具。當滿 足條件時，所求的極限存在（或為），但當條件不滿足時，不應(yīng)當 使用這一工具，但這并不等價于極限不存在，因此，必須辯證地理 解商式的分子與分母。 例例 1717：求 2 1 cos lim tan x x x 解： 容易檢驗與在點的鄰域內(nèi)滿足定 1 cosf xx 2 tang xx 0 x 理 5 的條件（1）和（2）， 又因為 2 sincos1 limlimlim 2tan sec22 xxx fxx gxxx 故由洛必達法則得 1 limlim 2 xx f xfx g xgx 例例 1818：求 1 ln2 lim1

20、 x x xx 解：這是一個型不定式極限，作恒等變形得 0 2 ln1 1 ln2 ln 1 xx x x xxe 而 2 2 1 ln1 1 limlim1 ln xx xx x xx 于是有 1 ln2 lim1 x x xxe 例例 1919：求 sin lim sin x xx xx 解： sin 1 sin limlim1 sin sin 1 xx x xx x x xx x 但是不能用洛必達法則來做 不存在，因此，不能用 2 sinsin1 cos limlimlimlimcot sin1 cos2 sin xxxx xxxxxx xxx xx 洛必達法則來計算。 8利用對數(shù)運算求

21、函數(shù)極限 例例 2020：求 0 lim x x x 解：設(shè)，取得對數(shù)得 x yxlnlnyxx 因為 0000 2 1 ln lim lnlimlnlimlim0 11xxxx x x yxx xx 所以 ln0 000 limlimlim1 xy xxx xyee 9利用極限的定義驗證極限9 9.1 極限的“”定義：設(shè)函數(shù)在點的某個空心鄰域 f x 0 x 內(nèi)有定義，為定數(shù)。若對任給的，存在正數(shù) 0; ux a0 ，使得當時，有，則稱函數(shù) 0 0 xx f xa 當 趨于時以為極限。即 f xx 0 xa 0 lim xx f xa 定義法通常適用于求抽象函數(shù)的極限，多用于證明。 例例 2

22、121：設(shè)，證明 2 4 2 x f x x 2 lim4 x f x 證明：由于當時，2x 2 4 44242 2 x f xxx x 故對給定的，只要取，則當時002x 有，這就證明了。 4f x 2 lim4 x f x 例例 2222：設(shè) ，求 0 lim xx f xa 0 0 lim h f xh 解：因為，則對任意的，存在正數(shù) ，當 0 lim xx f xa 0 0 0 xx 時，有，從而當時，有，于 f xa0h 00 0 xhx 是 有。故。 0 f xha 0 0 lim h f xha 10利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的極限 10.1 導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)在點的某空心鄰域內(nèi)有定義

23、， yf x 0 x 若極限存在，則稱函數(shù)在處可導(dǎo)，即為 0 0 0 lim xx f xf x xx f x 0 x 0 000 0 0 0 limlim xxx f xf xf xxf x fx xxx : : : 此方法可常常求自變量趨于零的極限，多用于求抽象函數(shù)的極限 例例 2323：設(shè)存在，求極限 0 fx 00 0 2 lim x f xxf x x : : : 解：因為存在，由導(dǎo)數(shù)的定義知 0 fx 00 0 0 lim x f xxf x fx x : : : 故 0000 0 00 22 limlim22 2 xx f xxf xf xxf x fx xx : : : 11利

24、用左右極限法求函數(shù)的極限 函數(shù)在某點處極限存在的充要條件：可先探求點處的左極 0 x 0 x 限和右極限，當兩者存在且相等時，該值即為函數(shù)在點處的極限 0 x 值。 此方法多用于求解分段函數(shù)的極限 例例 2424：求 0 1 lim x x x 解：表示的整數(shù)部分，因此，對任意，都有 1 x 1 x 0 x 111 1 xxx 當時，有0 x 111 1xxx xxx 即 ，而， 1 11xx x 0 lim 11 x x 0 lim11 x 故 0 1 lim1 x x x 當時，則有0 x 111 1xxx xxx 即，而， 1 11xx x 0 lim 11 x x 0 lim11 x

25、故 0 1 lim1 x x x 綜上知，從而 00 11 limlim1 xx xx xx 0 1 lim1 x x x 例例 2525：討論函數(shù)， 當時的極限。1x 解：因為， 11 limlim23 xx f xx 11 limlim 213 xx f xx 即，所以 11 limlim3 xx f xf x 1 lim3 x f x 12利用定積分的定義求函數(shù)極限10 由定積分的定義我們知道，定積分是一種和式的極限，因此，如果 關(guān)于 的某一和數(shù)可以表示成某一積分和形式時，則可以利用定積n 分，求出這個和式的極限，顯然，若要利用定積分求極限，其關(guān)鍵 在于將和式化成某一函數(shù)的積分形式。 例

26、例 2626：求 111 lim 122 n nnn ( )f x 2,1xx 21,1xx 解： 1 111111111 limlimlim 12 122 1211 n nnn i ni nnnnn nnnn 若令，且將等分為 等份，則每個小區(qū)間長度， 1 1 f x x 0,1n 1 x n : 取 為每一小區(qū)間的右端點，有： 1 1 0 0 1 111111 limlimln 1ln2 1221 1 n nn i dxx i nnnnx n 13 利用級數(shù)收斂的必要條件求函數(shù)的極限 13.1 級數(shù)收斂的必要條件是：若級數(shù)收斂，則，故對 1 n n u lim0 n n u 某些極限，可將

27、函數(shù)作為級數(shù)的一般項，只須證明此級 lim n f n f n 數(shù)收斂，便有。 lim0 n f n 例例 2727：求 lim1 k n n n a a 解：研究級數(shù) ，由于 0 1 k n n n a a 1 1 1 111 limlimlim1 k k n n k nnn n n n un a nunaa a 所以級數(shù) 收斂，故 0 1 k n n n a a lim0 k n n n a 14 利用微分中值定理和積分中值定理求函數(shù)極限5 14.1 拉格朗日中值定理： 若函數(shù)滿足下列條件：（1）在閉區(qū)間上連續(xù) f x, a b （2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), a b 則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點 ，

28、使, a b f bf a f ba 14.2 積分中值定理： 如果在連續(xù)，在上可積且不變號，則存在， f x, a b g x, a b, a b 使得。 bb aa f x g x dxfg x dx 例例 2828：求 2 limarctanarctan0 1 n aa na nn 解：設(shè)，在上用拉格朗日中值定理，得 arctanf xx, 1 aa nn （其中） 2 1 111 aaaa ff nnnn 1 aa nn 故當時，可知：原式=n 0 2 2 1 lim 11 n a na n n 例例 2929：求，其中，為常數(shù)， 為自然數(shù)。 ln lim 2 n x a xx t dt t 0a n 解：由積分中值定理知，在 與之間存在 ，使xxa lnln 22 nn x a x ta dt t 所以 lnln limlim0 22 nn x a xxx ta dt t 求函數(shù)極限的方法較多，本文僅列出了常見的幾種。在我們解 題過程中首選的方法就是文中介紹的第一種利用函數(shù)連續(xù)