2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 概率 2.2 建立概率模型教學(xué)案

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精22建立概率模型“放回”與“不放回”問題典例從含有兩件正品a1,a2和一件次品b1的3件產(chǎn)品中每次任取1件，連續(xù)取兩次(1)若每次取出后不放回,連續(xù)取兩次，求取出的產(chǎn)品中恰有一件是次品的概率；（2）若每次取出后又放回，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件是次品的概率解（1）每次取一件,取后不放回地連續(xù)取兩次，其一切可能的結(jié)果為（a1,a2),(a1,b1），(a2,a1),(a2，b1），（b1,a1），(b1，a2）,其中小括號內(nèi)左邊的字母表示第1次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)品由6個基本事件組成，而且可以認(rèn)為這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的用a表示“取出的兩件中恰好

2、有一件次品”這一事件，則a（a1，b1），(a2，b1)，(b1，a1），（b1，a2)事件a由4個基本事件組成因而p（a).（2)有放回地連續(xù)取出兩件,其一切可能的結(jié)果為(a1,a1),(a1，a2），（a1，b1），（a2，a1），（a2，a2)，(a2,b1)，(b1,a1），(b1,a2)，(b1，b1)共9個基本事件由于每一件產(chǎn)品被取到的機(jī)會均等,因此可以認(rèn)為這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的用b表示“恰有一件次品”這一事件,則b(a1,b1），（a2，b1)，(b1，a1），(b1,a2)事件b由4個基本事件組成，因而p(b）.抽取問題是古典概型的常見問題，解決此類問題需要注意兩點：一是

3、所給問題是否需要將被抽取的個體進(jìn)行區(qū)分才能滿足古典概型的條件，二是看抽取的方式是有放回還是不放回，兩種抽取方式對基本事件的總數(shù)是有影響的另外，不放回抽樣看作無序或有序抽取均可，有放回抽樣要看作有序抽取 活學(xué)活用口袋中有6個除顏色外其余都相同的球,其中4個白球，2個紅球,從袋中一次任意取出2球，求下列事件的概率：（1）事件a“取出的2球都是白球”；(2)事件b“取出的2球一個是白球，另一個是紅球解:設(shè)4個白球的編號分別為1，2，3,4,2個紅球的編號分別為5，6。從口袋中的6個球中任取2個球的所有基本事件是：（1，2），（1,3），(1，4)，(1，5),（1,6),（2,3)，(2,4)，（2

4、,5），（2,6）,（3，4)，（3，5)，(3,6)，(4，5)，(4，6)，(5，6），共15個基本事件（1)從口袋中的6個球中任取2個，所取的2球全是白球包含的基本事件共6個，分別是(1,2),(1,3），(1，4)，(2，3），（2,4)，（3,4)所以取出的2個球全是白球的概率p(a）。（2）從口袋中的6個球中任取2個，其中一個是紅球，而另一個是白球包含的基本事件共8個，分別是(1，5)，(1,6)，（2,5），（2,6）,(3，5）,（3,6)，（4，5），(4,6）所以取出的2個球一個是白球,另一個是紅球的概率p（b)。建立概率模型解決問題典例甲、乙、丙、丁四名學(xué)生按任意次序站成

5、一排，試求下列事件的概率:(1）甲在邊上;（2）甲和乙都在邊上；(3)甲和乙都不在邊上解利用樹狀圖來列舉基本事件,如圖所示由樹狀圖可看出共有24個基本事件（1)甲在邊上有12種情形:（甲,乙，丙,丁)，（甲，乙，丁，丙），(甲,丙，乙，?。?，丙,丁，乙），(甲,丁，乙，丙)，（甲,丁，丙，乙），（乙,丙,丁，甲），（乙，丁，丙，甲），(丙，乙,丁,甲），(丙，丁，乙，甲)，(丁，乙，丙，甲)，(丁，丙，乙，甲)故甲在邊上的概率為p.(2)甲和乙都在邊上有4種情形：(甲，丙,丁，乙)，（甲，丁，丙，乙),（乙,丙，丁，甲)，（乙，丁，丙,甲),故甲和乙都在邊上的概率為p.（3)甲和乙都不在

6、邊上有4種情形：（丙，甲，乙，丁)，(丙，乙，甲,丁），(丁，甲，乙,丙),(丁,乙，甲，丙），故甲和乙都不在邊上的概率為p。對于一些比較復(fù)雜的古典概型問題，一般可以通過分類，有序地把事件包含的情況分別羅列出來，從而清晰地找出滿足條件的情況在列舉時一定要注意合理分類，才能做到不重不漏，結(jié)果明了，而樹狀圖則是解決此類問題的較好方法活學(xué)活用有a，b，c，d四位貴賓，應(yīng)分別坐在a，b，c，d四個席位上，現(xiàn)在這四人均未留意，在四個席位上隨便就座(1)求這四人恰好都坐在自己的席位上的概率；（2)求這四人恰好都沒坐在自己的席位上的概率;(3)求這四人恰有一位坐在自己的席位上的概率解：將a，b，c，d四位貴

7、賓就座情況用如圖所示的圖形表示出來 a席位b席位c席位d席位 a席位b席位c席位d席位a席位b席位c席位d席位 a席位b席位c席位d席位由圖可知，所有的等可能基本事件共有24個(1)設(shè)事件a為“這四人恰好都坐在自己的席位上,則事件a只包含1個基本事件，所以p（a)。（2）設(shè)事件b為“這四人恰好都沒坐自己的席位上”,則事件b包含9個基本事件，所以p（b）。（3)設(shè)事件c為“這四人恰有一位坐在自己的席位上”，則事件c包含8個基本事件,所以p(c）。古典概型的綜合應(yīng)用典例海關(guān)對同時從a，b，c三個不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測，從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量（單位：件）如下表所示工作人員用分層抽樣的

8、方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測.地區(qū)abc數(shù)量50150100(1）求這6件樣品中來自a,b，c各地區(qū)商品的數(shù)量；(2）若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測,求這2件商品來自相同地區(qū)的概率解(1)因為樣本容量與總體中的個體數(shù)的比是，所以樣本中包含三個地區(qū)的個體數(shù)量分別是501,1503,1002。所以a，b，c三個地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別為1，3,2.(2)設(shè)6件來自a,b,c三個地區(qū)的樣品分別為a;b1,b2,b3；c1，c2，則抽取的這2件商品構(gòu)成的所有基本事件為a，b1,a，b2，a，b3，a，c1,a,c2，b1，b2,b1，b3，b1，c1，b1，c2，b2

9、，b3,b2,c1,b2,c2,b3，c1，b3，c2，c1，c2，共15個每個樣品被抽到的機(jī)會均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的記事件d：“抽取的這2件商品來自相同地區(qū)，則事件d包含的基本事件有b1，b2,b1，b3，b2，b3，c1,c2共4個所以p（d）。即這2件商品來自相同地區(qū)的概率為。（1)概率問題常常與統(tǒng)計問題結(jié)合在一起考查，在此類問題中，概率與頻率的區(qū)別并不是十分明顯，通常直接用題目中的頻率代替概率進(jìn)行計算(2）涉及方程或者函數(shù)的有關(guān)概率問題，考查的是如何計算要求的事件a所包含的基本事件的個數(shù)，通常需要將函數(shù)與方程的知識應(yīng)用其中解決此類問題，只需要利用函數(shù)、方程知識找出滿足條

10、件的參數(shù)的范圍,從而確定基本事件的個數(shù)，最后利用古典概型的概率計算公式進(jìn)行計算活學(xué)活用把一枚骰子拋擲2次，觀察出現(xiàn)的點數(shù),并記第一次出現(xiàn)的點數(shù)為a，第二次出現(xiàn)的點數(shù)為b，試就方程組解的情況，解答下列各題：（1)求方程組只有一個解的概率;(2)求方程組只有正數(shù)解的概率解：若第一次出現(xiàn)的點數(shù)為a，第二次出現(xiàn)的點數(shù)為b記為有序數(shù)值組(a,b）,則所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有：(1,1）(1,2）（1，3）（1，4)(1,5)(1，6），（2，1）（2，2)(2,3）（2,4)(2,5）（2,6)，（3，1)（3，2)（3，3）(3,4)（3，5)（3，6）,（4,1）(4,2)(4,3)（4，4)(4,5）

11、（4,6),(5，1）（5，2)(5,3)(5,4）（5,5）（5,6)，（6,1)(6，2）(6,3）(6,4）(6，5）(6，6），共36種由方程組可得（1)若方程組只有一個解,則b2a，滿足b2a的有(1,2)，(2，4）,(3，6),故適合b2a的有36333個其概率為：p1。(2）方程組只有正數(shù)解，需滿足b2a0且分兩種情況：當(dāng)2ab時,得當(dāng)2ab時,得易得包含的基本事件有13個：（2，1)，(3,1)，(4,1），（5,1），（6,1),(2,2）,(3，2）,（4，2），（5，2),（6,2)，（1，4),(1,5），（1,6)，因此所求的概率p2。層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1集合a2,

12、3，b1,2，3，從a，b中各任意取一個數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率是(）a。b。c. d.解析:選c從a，b中各任意取一個數(shù)記為(x，y)，則有(2，1)，(2,2)，（2,3)，（3，1)，（3，2），（3，3)，共6個基本事件而這兩數(shù)之和為4的有(2,2)，(3,1)，共2個基本事件又從a,b中各任意取一個數(shù)的結(jié)果是等可能的，故所求的概率為.2某天上午要安排語文、數(shù)學(xué)、歷史、體育四節(jié)課，則體育課不排在第一節(jié)的概率為()a. b。c。 d.解析：選d我們不考慮語文、數(shù)學(xué)、歷史排在第幾節(jié)，只考慮體育的排法，體育等可能地排在第一節(jié)、第二節(jié)、第三節(jié)、第四節(jié)，共4個基本事件,因此體育課不排在第一節(jié)

13、的概率為。3一個袋子中裝有編號分別為1,2,3，4的4個小球，現(xiàn)有放回地摸球，規(guī)定每次只能摸一個球，若第一次摸到的球的編號為x，第二次摸到的球的編號為y，構(gòu)成數(shù)對(x，y），則所有數(shù)對（x，y）中滿足xy4的概率為（）a. b。c. d。解析：選a由題意可知兩次摸球得到的所有數(shù)對(x,y)有(1，1)，(1，2），（1，3），(1,4)，(2，1），（2，2）,(2,3),（2，4）,(3,1），(3，2）,（3，3），（3，4），(4，1）,（4，2)，(4,3)，(4，4），共16個，其中滿足xy4的數(shù)對有(1，4)，（2,2)，（4,1）,共3個故所求事件的概率為。4甲、乙兩名運動員各自

14、等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運動服中選擇1種，則他們選擇相同顏色運動服的概率為_解析:所有的基本事件有(紅，紅）,（紅，白）,（紅，藍(lán)），(白，紅），(白,白),(白，藍(lán))，(藍(lán)，紅），(藍(lán)，白),(藍(lán),藍(lán)),共9種,其中顏色相同的有(紅,紅),（白，白）,（藍(lán)，藍(lán))，共3種,故所求的概率為。答案：層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1從裝有兩個白球和一個紅球的袋中逐個不放回地摸兩個球，則摸出的兩個小球中恰有一個紅球的概率為()a。 b。c。 d。解析：選b不放回地摸出兩球共有6種情況，即（白1,紅)，（白2，紅），（白1，白2)，(白2，白1)，(紅，白1)，（紅，白2）,而恰有一個紅球的結(jié)果有4個所以p。

15、2在5張卡片上分別寫1,2，3，4,5,然后將它們混合,再任意排列成一行，則得到的數(shù)能被2或5整除的概率是(）a0.2 b0。4c0.6 d0。8解析：選c一個數(shù)能否被2或5整除取決于個位數(shù)字，故可只考慮個位數(shù)字的情況因為組成的五位數(shù)中，個位數(shù)共有1,2,3,4,5五種情況,其中個位數(shù)為2,4時能被2整除,個位數(shù)為5時能被5整除故所求概率為p0.6。3甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲在心中任想一個數(shù)字,記為a，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b，且a,b1,2，3，4若|ab1，則稱甲、乙“心有靈犀”現(xiàn)任意找兩人玩這個游戲，得出他們“心有靈犀的概率為(）a. b。c。 d.解析：選a甲

16、、乙所猜數(shù)字的情況有：（1,1），(1，2）,(1,3），(1,4），(2，1）,（2,2)，（2，3)，（2,4)，(3，1），（3,2），（3,3)，（3，4），（4,1)，（4,2)，(4，3）,（4，4)共16種情況，其中滿足|ab|1的情況有（1,1),（1，2），(2,1)，（2,2），（2,3)，(3，2），(3，3），(3，4），（4，3），（4，4)共10種情況,故所求概率為。4甲從正方形四個頂點中任意選擇兩個頂點連成直線，乙也從該正方形四個頂點中任意選擇兩個頂點連成直線,則所得的兩條直線相互垂直的概率是()a. b。c. d。解析：選c正方形四個頂點可以確定6條直線，甲、乙

17、各自任選一條共有36個基本事件兩條直線相互垂直的情況有5種（4組鄰邊和對角線）,其包括10個基本事件，所以所求概率等于。5。如圖所示的莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測評中的成績，其中一個數(shù)字被污損,則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率為_解析：從圖中的數(shù)據(jù)知甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為90.若甲、乙兩組平均數(shù)相等，則有905(83838799)98。若甲組的平均成績超過乙組的平均成績，則被污損的數(shù)字可為0，1，7，共8種情況,故其概率p。答案：6設(shè)集合p2，1，0,1，2，xp且yp，則點(x，y）在圓x2y24內(nèi)部的概率為_解析：以(x，y）為基本事件,用列表法或坐標(biāo)軸法可知滿足xp且yp的基本事

18、件有25個,且每個基本事件發(fā)生的可能性都相等點(x，y）在圓x2y24內(nèi)部，則x，y1，1,0,用列表法或坐標(biāo)軸法可知滿足x1，1，0且y1,1,0的基本事件有9個所以點（x，y）在圓x2y24內(nèi)部的概率為.答案：7甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排合影，則甲站在乙的左邊的概率為_解析：我們不考慮丙、丁、戊具體站在什么位置，只考慮甲、乙的相對位置，只有甲站在乙的左邊和甲站在乙的右邊，共2個等可能發(fā)生的結(jié)果,因此甲站在乙的左邊的概率為.答案：8一個袋子中有紅、白、藍(lán)三種顏色的球共24個，除顏色外其他特征完全相同，已知藍(lán)色球3個若從袋子中隨機(jī)取出1個球,取到紅色球的概率是。(1)求紅色球的個數(shù)；(2)

19、若將這三種顏色的球分別進(jìn)行編號，并將1號紅色球，1號白色球，2號藍(lán)色球和3號藍(lán)色球這四個球裝入另一個袋子中，甲乙兩人先后從這個袋子中各取一個球(甲先取，取出的球不放回），求甲取出的球的編號比乙大的概率解：（1）設(shè)紅色球有x個,依題意得，解得x4,紅色球有4個（2)記“甲取出的球的編號比乙的大”為事件a，所有的基本事件有(紅1，白1）,(紅1,藍(lán)2)，(紅1,藍(lán)3），（白1，紅1)，（白1,藍(lán)2)，（白1，藍(lán)3)，(藍(lán)2，紅1）,(藍(lán)2，白1)，（藍(lán)2,藍(lán)3），(藍(lán)3，紅1)，(藍(lán)3,白1），（藍(lán)3，藍(lán)2)，共12個事件a包含的基本事件有（藍(lán)2，紅1）,（藍(lán)2，白1)，（藍(lán)3，紅1）,（藍(lán)3，白

20、1)，(藍(lán)3，藍(lán)2),共5個，p（a).9從一批蘋果中,隨機(jī)抽取50個,其重量（單位：克）的頻數(shù)分布表如下:分組（重量)80，85）85，90)90，95)95，100）頻數(shù)（個）5102015（1)根據(jù)頻數(shù)分布表計算蘋果的重量在90,95）的頻率；(2）用分層抽樣的方法從重量在80，85)和95，100）的蘋果中共抽取4個，其中重量在80,85）的有幾個?(3）在（2)中抽出的4個蘋果中，任取2個，求重量在80，85)和95，100)中各有1個的概率解：（1）由題意知蘋果的樣本總數(shù)n50，在90,95)的頻數(shù)是20，蘋果的重量在90，95）的頻率是0.4.（2)設(shè)從重量在80,85)的蘋果中

21、抽取x個，則從重量在95,100）的蘋果中抽取（4x)個表格中80,85），95,100)的頻數(shù)分別是5,15,515x(4x)，解得x1。即重量在80，85)的有1個(3）在(2）中抽出的4個蘋果中,重量在80，85)中有1個,記為a，重量在95,100)中有3個，記為b1,b2,b3,任取2個，有：ab1，ab2，ab3，b1b2，b1b3,b2b3,共6種不同方法記基本事件總數(shù)為n,則n6，其中重量在80，85)和95，100)中各有1個的事件記為a，事件a包含的基本事件為ab1，ab2,ab3，共3個，由古典概型的概率計算公式得p（a）。10某產(chǎn)品的三個質(zhì)量指標(biāo)分別為x，y,z，用綜合指標(biāo)sxyz評價該產(chǎn)品的等級若s4, 則該