2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第章 概率 .2 古典概型教學(xué)案(1)

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精預(yù)習(xí)課本p100103，思考并完成以下問題 1什么叫基本事件？什么叫等可能事件？ 2什么叫古典概型？古典概型有什么特點(diǎn)？ 3古典概型的概率計(jì)算公式是什么？ 1基本事件與等可能事件(1）基本事件:在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的每一個(gè)基本結(jié)果(2)等可能事件：若在一次試驗(yàn)中，每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性都相同，則稱這些基本事件為等可能基本事件點(diǎn)睛(1)基本事件是試驗(yàn)中不能再分的簡(jiǎn)單的隨機(jī)事件，其他事件可以用它們來表示（2）任何兩個(gè)基本事件是不會(huì)同時(shí)發(fā)生的（3）任何事件都可以表示成基本事件的和2古典概型(1)特點(diǎn)：有限性：所有的基本事件只有有限個(gè)；等可能性:每個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能

2、的（2)定義：將滿足上述條件的隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型稱為古典概型(3)古典概型概率的計(jì)算公式：如果1次試驗(yàn)的等可能基本事件共有n個(gè),那么每一個(gè)等可能基本事件發(fā)生的概率都是;如果某個(gè)事件a包含了其中m個(gè)等可能基本事件，那么事件a發(fā)生的概率為p（a).即p(a）。點(diǎn)睛古典概型的概率公式p(a）與事件a發(fā)生的頻率有本質(zhì)的區(qū)別，其中p(a)是一個(gè)定值，且對(duì)同一試驗(yàn)的同一事件m,n均為定值，而頻率中的m,n均隨試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化,但隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加頻率總接近于p(a)1一個(gè)家庭中有兩個(gè)小孩,則所有等可能的基本事件是_（列舉出來）答案:(男，男），（男,女),(女,男),（女，女）2從字母a，b，c，d中

3、任意取出兩個(gè)不同字母的試驗(yàn)中,有哪些基本事件？這些基本事件是等可能基本事件嗎？解:共有6個(gè)基本事件:aa，b，ba,c，ca，d，db，c，eb，d，fc，d每個(gè)基本事件取到的概率都為，屬于等可能基本事件古典概型的判定典例下列概率模型是古典概型嗎？為什么?（1）從區(qū)間1，10內(nèi)任意取出一個(gè)實(shí)數(shù)，求取到實(shí)數(shù)2的概率；（2)向上拋擲一枚不均勻的舊硬幣,求正面朝上的概率；（3)從1,2,3，100這100個(gè)整數(shù)中任意取出一個(gè)整數(shù)，求取到偶數(shù)的概率解(1）不是古典概型，因?yàn)閰^(qū)間1，10中有無限多個(gè)實(shí)數(shù)，取出的那個(gè)實(shí)數(shù)有無限多種結(jié)果，與古典概型定義中“所有可能結(jié)果只有有限個(gè)”矛盾（2）不是古典概型,因?yàn)?/p>

4、硬幣不均勻?qū)е隆罢嫦蛏稀迸c“反面向上”的概率不相等，與古典概型定義中“每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同”矛盾（3)是古典概型，因?yàn)樵谠囼?yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限的，而且每個(gè)整數(shù)被抽到的可能性相等只有同時(shí)滿足有限性和等可能性這兩個(gè)條件的試驗(yàn)才是古典概型，兩個(gè)條件只要有一個(gè)不滿足就不是古典概型 活學(xué)活用下列隨機(jī)事件：某射手射擊一次，可能命中0環(huán)，1環(huán),2環(huán)，,10環(huán)；一個(gè)小組有男生5人,女生3人，從中任選1人進(jìn)行活動(dòng)匯報(bào);一只使用中的燈泡壽命長(zhǎng)短；拋出一枚質(zhì)地均勻的硬幣,觀察其出現(xiàn)正面或反面的情況；中秋節(jié)前夕,某市工商部門調(diào)查轄區(qū)內(nèi)某品牌的月餅質(zhì)量，給該品牌月餅評(píng)“優(yōu)或“差”這些事件中,屬于古典

5、概型的有_解析：題號(hào)判斷原因分析不屬于命中0環(huán)，1環(huán)，2環(huán)，,10環(huán)的概率不一定相同屬于任選1人與學(xué)生的性別無關(guān)，仍是等可能的不屬于燈泡的壽命是任何一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù),有無限多種可能屬于該試驗(yàn)結(jié)果只有“正”“反”兩種，且機(jī)會(huì)均等不屬于該品牌月餅評(píng)“優(yōu)”與“差”的概率不一定相同放回”與“不放回”問題答案:典例從含有兩件正品a1，a2和一件次品b1的3件產(chǎn)品中每次任取1件，連續(xù)取兩次（1)若每次取出后不放回,連續(xù)取兩次，求取出的產(chǎn)品中恰有一件是次品的概率；(2)若每次取出后又放回，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件是次品的概率解（1)每次取一件,取后不放回地連續(xù)取兩次，其一切可能的結(jié)果為（a1，a2),（a1，

6、b1)，(a2，a1)，（a2，b1)，(b1，a1），(b1，a2)，其中小括號(hào)內(nèi)左邊的字母表示第1次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)品由6個(gè)基本事件組成，而且可以認(rèn)為這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的用a表示“取出的兩件中恰好有一件次品”這一事件，則a（a1，b1），（a2,b1),(b1,a1），（b1，a2）事件a由4個(gè)基本事件組成因而p（a)。(2）有放回地連續(xù)取出兩件，其一切可能的結(jié)果為（a1，a1），（a1，a2），(a1，b1）,（a2，a1)，(a2，a2），(a2，b1），(b1，a1）,(b1，a2），(b1，b1)共9個(gè)基本事件由于每一件產(chǎn)品被取到的機(jī)會(huì)均等，因此可以

7、認(rèn)為這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的用b表示“恰有一件次品這一事件，則b(a1，b1），（a2,b1）,（b1,a1)，（b1，a2）事件b由4個(gè)基本事件組成，因而p(b)。抽取問題是古典概型的常見問題,解決此類問題需要注意兩點(diǎn)：一是所給問題是否需要將被抽取的個(gè)體進(jìn)行區(qū)分才能滿足古典概型的條件,二是看抽取的方式是有放回還是不放回，兩種抽取方式對(duì)基本事件的總數(shù)是有影響的另外，不放回抽樣看作無序或有序抽取均可，有放回抽樣要看作有序抽取 活學(xué)活用從1，2,3,4,5五個(gè)數(shù)字中任意有放回地連續(xù)抽取兩個(gè)數(shù)字，求下列事件的概率:(1)兩個(gè)數(shù)字不同；(2)兩個(gè)數(shù)字中不含有1和5；（3)兩個(gè)數(shù)字中恰有一個(gè)1。解:

8、所有基本事件為（1，1)，(1,2)，(1，3），（1,4），(1，5)，(2，1），（2，2),(2，3）,(2，4)，(2,5）,（3，1），(3，2)，(3,3),(3，4），(3,5），（4,1），(4，2），（4，3），（4，4)，(4，5)，(5，1），(5,2)，（5，3），（5，4),(5，5），共25個(gè)(1)設(shè)a“兩個(gè)數(shù)字不同”,則p(a)。（2）設(shè)b“兩個(gè)數(shù)字中不含1和5”，則p（b）。建立概率模型解決問題(3)設(shè)c“兩個(gè)數(shù)字中恰有一個(gè)1”，則p（c).典例有a，b,c,d四位貴賓，應(yīng)分別坐在a，b，c，d四個(gè)席位上，現(xiàn)在這四人均未留意，在四個(gè)席位上隨便就座（1)求這四人恰

9、好都坐在自己的席位上的概率；（2)求這四人恰好都沒坐在自己的席位上的概率；（3)求這四人恰有一位坐在自己的席位上的概率解將a，b,c，d四位貴賓就座情況用如圖所示的圖形表示出來a席位b席位c席位d席位 a席位b席位c席位d席位 a席位b席位c席位d席位 a席位b席位c席位d席位由圖可知，所有的等可能基本事件共有24個(gè)（1)設(shè)事件a為“這四人恰好都坐在自己的席位上”，則事件a只包含1個(gè)基本事件，所以p（a）。（2）設(shè)事件b為“這四人恰好都沒坐自己的席位上，則事件b包含9個(gè)基本事件，所以p（b).（3)設(shè)事件c為“這四人恰有一位坐在自己的席位上”,則事件c包含8個(gè)基本事件，所以p（c）。對(duì)于一些比

10、較復(fù)雜的古典概型問題,一般可以通過分類，有序地把事件包含的情況分別羅列出來，從而清晰地找出滿足條件的情況在列舉時(shí)一定要注意合理分類，才能做到不重不漏，結(jié)果明了,而樹狀圖則是解決此類問題的較好方法 活學(xué)活用甲、乙、丙、丁四名學(xué)生按任意次序站成一排，試求下列事件的概率：(1）甲在邊上;(2)甲和乙都在邊上；(3)甲和乙都不在邊上解：利用樹狀圖來列舉基本事件，如圖所示由樹狀圖可看出共有24個(gè)基本事件(1)甲在邊上有12種情形:(甲，乙，丙，丁),（甲,乙，丁,丙),(甲，丙，乙，丁），（甲,丙，丁,乙)，（甲，丁,乙，丙)，(甲，丁，丙，乙)，（乙，丙，丁，甲),(乙，丁，丙,甲),（丙，乙，丁，甲

11、)，(丙，丁,乙，甲），（丁，乙，丙，甲）,（丁，丙，乙，甲）故甲在邊上的概率為p。（2）甲和乙都在邊上有4種情形:（甲,丙，丁，乙),(甲,丁，丙,乙），(乙，丙，丁，甲），(乙，丁，丙，甲），故甲和乙都在邊上的概率為p。（3）甲和乙都不在邊上有4種情形：(丙，甲，乙，丁)，（丙，乙，甲，?。?，（丁，甲，乙，丙)，(丁，乙，甲，丙)，故甲和乙都不在邊上的概率為p.古典概型的綜合應(yīng)用典例海關(guān)對(duì)同時(shí)從a,b，c三個(gè)不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測(cè)，從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量（單位：件）如下表所示工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測(cè)。地區(qū)abc數(shù)量50150100(1）求這

12、6件樣品中來自a，b，c各地區(qū)商品的數(shù)量；（2）若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測(cè)，求這2件商品來自相同地區(qū)的概率解(1)因?yàn)闃颖救萘颗c總體中的個(gè)體數(shù)的比是,所以樣本中包含三個(gè)地區(qū)的個(gè)體數(shù)量分別是501，1503，1002.所以a，b，c三個(gè)地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別為1,3,2.(2)設(shè)6件來自a，b,c三個(gè)地區(qū)的樣品分別為a；b1，b2，b3；c1，c2，則抽取的這2件商品構(gòu)成的所有基本事件為a,b1,a，b2，a,b3，a，c1，a，c2，b1，b2，b1，b3，b1，c1，b1,c2，b2,b3，b2，c1，b2，c2，b3,c1，b3,c2，c1，c2，共15個(gè)每個(gè)

13、樣品被抽到的機(jī)會(huì)均等,因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的記事件d：“抽取的這2件商品來自相同地區(qū)”，則事件d包含的基本事件有b1，b2,b1，b3，b2，b3，c1，c2共4個(gè)所以p(d)。即這2件商品來自相同地區(qū)的概率為.(1)概率問題常常與統(tǒng)計(jì)問題結(jié)合在一起考查,在此類問題中，概率與頻率的區(qū)別并不是十分明顯，通常直接用題目中的頻率代替概率進(jìn)行計(jì)算(2)涉及方程或者函數(shù)的有關(guān)概率問題，考查的是如何計(jì)算要求的事件a所包含的基本事件的個(gè)數(shù),通常需要將函數(shù)與方程的知識(shí)應(yīng)用其中解決此類問題,只需要利用函數(shù)、方程知識(shí)找出滿足條件的參數(shù)的范圍,從而確定基本事件的個(gè)數(shù),最后利用古典概型的概率計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算

14、活學(xué)活用把一枚骰子拋擲2次，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),并記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為a，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為b,試就方程組解的情況，解答下列各題:(1）求方程組只有一個(gè)解的概率;(2)求方程組只有正數(shù)解的概率解：若第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為a，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為b記為有序數(shù)值組（a,b)，則所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有：（1,1）(1，2）(1,3）(1,4）（1，5）（1,6），(2,1）（2,2)（2，3）（2,4)（2,5）(2，6),（3,1）（3，2)(3,3)(3，4）(3,5)（3，6），（4,1)（4,2)（4，3)（4,4)(4,5)(4，6)，(5,1）（5，2）（5,3）(5，4）(5，5）(5,6),（6

15、,1）（6,2)（6,3）(6,4)(6，5)(6，6），共36種由方程組可得(1)若方程組只有一個(gè)解，則b2a，滿足b2a的有(1，2），（2，4)，(3,6)，故適合b2a的有36333個(gè)其概率為：。(2)方程組只有正數(shù)解,需滿足b2a0且分兩種情況：當(dāng)2ab時(shí)，得當(dāng)2ab時(shí)，得易得包含的基本事件有13個(gè)：（2,1)，(3，1)，(4，1）,（5,1），(6,1），（2,2),(3，2)，（4,2)，(5,2）,(6，2），(1,4)，（1，5），（1,6），因此所求的概率p2。層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1一枚硬幣連續(xù)擲三次，基本事件共有_個(gè)解析：畫樹形圖：共8種答案：82從甲、乙、丙三人中任選兩

16、名代表，甲被選中的概率為_解析:本題中基本事件有甲，乙，甲，丙,乙，丙共三個(gè)，其中甲被選中包含兩個(gè)基本事件，故甲被選中的概率為。答案：3從標(biāo)有1，2,3，4,5，6的6張紙片中任取2張，那么這2張紙片數(shù)字之積為偶數(shù)的概率為_解析：基本事件為1，2，1,3，1，4,1,5,1,6，2，3，2，4，2,5，2，6，3，4，3，5,3,6，4，5，4,6，5,6共15個(gè)其中符合要求的有1，2，1,4,1,6，2,3，2，4，2,5，2,6，3，4，3,6,4，5，4,6，5，6共12個(gè)故p.答案：4一個(gè)口袋里裝有2個(gè)白球和2個(gè)黑球，這4個(gè)球除顏色外完全相同，從中摸出2個(gè)球，則1個(gè)是白球,1個(gè)是黑球的

17、概率是_解析：這四個(gè)球記為白1，白2，黑1，黑2。則基本事件為白1,白2，白1，黑1，白1，黑2，白2，黑1，白2，黑2，黑1，黑2共6個(gè)其中符合要求的為白1,黑1，白1，黑2，白2，黑1，白2，黑2共4個(gè)故p.答案：5設(shè)集合pb,1，qc，1，2，pq,若b,c2，3，4，5，6，7，8，9(1)求bc的概率;（2）求方程x2bxc0有實(shí)根的概率解:（1）因?yàn)閜q，當(dāng)b2時(shí)，c3，4,5,6,7，8，9;當(dāng)b2時(shí)，bc3,4，5，6，7,8,9,基本事件總數(shù)為14.其中bc的事件數(shù)為7種，所以bc的概率為:.（2）記“方程有實(shí)根”為事件a，若使方程有實(shí)根，則b24c0，即bc4,5，6,7,

18、8，9共6種。 所以p(a)。層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1同時(shí)擲兩枚骰子,點(diǎn)數(shù)之和大于9的概率為_解析：p.答案:2某班委會(huì)由3名男生和2名女生組成，現(xiàn)從中選出2人擔(dān)任正副班長(zhǎng),其中至少有一個(gè)女生當(dāng)選的概率為_解析：這五名同學(xué)分別表示為男1，男2，男3,女1,女2，用(x,y）表示基本事件，其中x是正班長(zhǎng)，y是副班長(zhǎng),則基本事件為（男1，男2），(男2，男1)，（男1，男3)，(男3,男1），（男1,女1)，（女1，男1),（男1,女2)，（女2，男1），（男2，男3)，（男3，男2），(男2，女1)，（女1,男2)，(男2，女2），（女2，男2),(男3，女1）,(女1，男3)，（男3，女2),(女

19、2，男3）,(女1，女2），(女2，女1)共20個(gè)其中符合要求的有14個(gè)，故p.答案：3在正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個(gè)頂點(diǎn)，則構(gòu)成的四邊形是梯形的概率為_解析：如圖，在正六邊形abcdef的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個(gè)頂點(diǎn)，共有15種選法，其中構(gòu)成的四邊形是梯形的有abef,bcde,abcf,cdef,abcd，adef,共6種情況，故構(gòu)成的四邊形是梯形的概率p.答案：4如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng),則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)從1,2,3,4，5中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為_解析：基本事件為(1,2，3），(1，2，4),(1，2,5)，（1,3,4），

20、(1，3，5）,（1,4，5），（2，3，4）,(2，3，5）,(2,4，5)，(3，4,5）共10個(gè)其中勾股數(shù)只有（3，4,5），p.答案：5一個(gè)袋子中裝有六個(gè)形狀完全相同的小球，其中一個(gè)編號(hào)為1，兩個(gè)編號(hào)為2，三個(gè)編號(hào)為3，現(xiàn)從中任取一球記下編號(hào)后放回，再任取一球，則兩次取出球的編號(hào)之和為4的概率為_解析：用列表法列出所有基本事件共36個(gè)，其中和為4的有10個(gè).故p。答案：6甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排合影，則甲站在乙的左邊的概率為_解析：我們不考慮丙、丁、戊具體站在什么位置，只考慮甲、乙的相對(duì)位置，只有甲站在乙的左邊和甲站在乙的右邊,共2個(gè)等可能發(fā)生的結(jié)果,因此甲站在乙的左邊的概率為。

21、答案：7在5瓶飲料中，有2瓶已過了保質(zhì)期，從中任取2瓶，取到的全是已過保質(zhì)期的飲料的概率為_解析:設(shè)過保質(zhì)期的2瓶記為a，b，沒過保質(zhì)期的3瓶用1,2,3表示，試驗(yàn)的結(jié)果為：（1，2），（1，3），(1，a），(1，b）,(2，3),（2，a），（2，b），（3，a），(3，b)，(a，b）共10種結(jié)果，2瓶都過保質(zhì)期的結(jié)果只有1個(gè)，p。答案：ab8。如圖所示方格,在每一個(gè)方格中填入一個(gè)數(shù)字，數(shù)字可以是1,2,3,4中的任何一個(gè)，允許重復(fù),則填入a方格的數(shù)字大于b方格的數(shù)字的概率為_解析：只考慮a，b兩個(gè)方格的填法,不考慮大小，a，b兩個(gè)方格有16種填法要使填入a方格的數(shù)字大于b方格的數(shù)字,則

22、從1,2,3，4中選2個(gè)數(shù)字，大的放入a格，小的放入b格，有(4,3)，(4，2)，(4,1），(3,2），（3，1),(2,1），共6種,故填入a方格的數(shù)字大于b方格的數(shù)字的概率為。答案：9一個(gè)盒子中裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1，2，3，這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同隨機(jī)有放回地抽取3次,每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c。(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足abc”的概率;(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率解：由題意知（a，b,c）所有可能的結(jié)果為(1，1,1)，(1,1,2），(1,1，3），（1,2,1）,(1，2，2)，（1，2，3），（1，3，1）,(1，3,2)，（1，3，3)，(2，1，1)，（2,1,2），(2，1,3),（2,2,1)，（2，2，2)，(2,2，3)，（2，3，1），（2,3,2)，（2，3，3)，(3,1，1)，（3,1，2)，(3，1，3），(3,2，1)，（3，2，2)，(3，2,3）,（3,3，1),（3，3，2），(3，3，3）共27種(1)設(shè)a“抽取的卡片上的數(shù)字滿足abc”，則a包含3個(gè)結(jié)果故p(a)。(2）設(shè)b“抽取的卡片上的數(shù)字a，b,c不完全相同，則事