面面平行與垂直小結(jié)與復(fù)習(xí)

1、平行與垂直小結(jié)與復(fù)習(xí)平行與垂直小結(jié)與復(fù)習(xí) 線面平行與垂直的關(guān)系也可以互相轉(zhuǎn)化線面平行與垂直的關(guān)系也可以互相轉(zhuǎn)化 兩直線平行的判定兩直線平行的判定 1.定義：在同一平面內(nèi)沒有公共點的兩條直線。定義：在同一平面內(nèi)沒有公共點的兩條直線。 2.公理公理4：ab，bc ac 3.直線和平面平行性質(zhì)定理：直線和平面平行性質(zhì)定理： a ，a， =b ab 4.直線和平面垂直的性質(zhì)定理：直線和平面垂直的性質(zhì)定理： a，b ab 5.兩個平面平行的性質(zhì)定理：兩個平面平行的性質(zhì)定理： ， =a， =b ab 6. a、b、c，a c，b c ab 直線和平面平行的判定直線和平面平行的判定 1.定義定義：a = a

2、 2.判定定理：判定定理：a，b，ab a 3.面面平行性質(zhì)定理：面面平行性質(zhì)定理： ，a a ，a，a a （半個定理半個定理） 4.，a a 或或a 平面和平面平行的判定平面和平面平行的判定 1.定義：定義：= 2.判定定理：判定定理： a，b，ab=A，a ，b 3.a，a 4. ， 兩直線垂直判定兩直線垂直判定 1.定義定義：所成角是直角。：所成角是直角。 2.如果一條直線和兩條平行線中的一條垂直，那么如果一條直線和兩條平行線中的一條垂直，那么 它也和另一條垂直。它也和另一條垂直。 即即 ab，c a c b 3.線面垂直定義線面垂直定義:即即 a，b b a 4.三垂線定理三垂線定理

3、 即即 PA，AO a，a a PO 5.三垂線定理逆定理三垂線定理逆定理： 即即PA，a PO，a AO a 6.三個兩兩垂直的平面的三條交線兩兩垂直。三個兩兩垂直的平面的三條交線兩兩垂直。 （半個定理半個定理） 、 、 兩兩垂直兩兩垂直三條交線三條交線a、b、c兩兩垂直兩兩垂直 直線和平面垂直的判定直線和平面垂直的判定 1.定義：定義：一條直線垂直于平面內(nèi)的任意直線。一條直線垂直于平面內(nèi)的任意直線。 2.判定定理判定定理1： mn=O，l m，l n , m、n l 3.判定定理判定定理2：ml ，l m 4 ，l l 5面面垂直的性質(zhì)定理面面垂直的性質(zhì)定理 , =l，a，a l a 6

4、=l， l （半個定理半個定理） 平面和平面垂直的判定平面和平面垂直的判定 1.定義：兩個相交平面成直二面角。定義：兩個相交平面成直二面角。 2.判定定理：判定定理：a，a 3. ， (結(jié)論須證結(jié)論須證) 如圖如圖AC、BD為異面直線，為異面直線， 、 、 是三個互相是三個互相 平行的平面，平行的平面，AB分別交分別交 、 、 于于A、E、B，CD 分別交分別交 、 、 于于C、F、D，AD、CB分別交分別交 于于G、 H。求證：。求證：EHFG是平行四邊形。是平行四邊形。 A C G F E H BD 例例1 證明：連結(jié)證明：連結(jié)AB、CD，過，過AB、AD可確定平面可確定平面 ABD，過，

5、過BC、CD可確定平面可確定平面CBD GEBD，HFBD GEHF 過過AD、CD可確定平面可確定平面ADC 過過AB、BC可確定平面可確定平面ABC EHAC，F(xiàn)GAC EHFG EHFG是平行四邊形是平行四邊形 本題證明過程中，把一個較復(fù)雜的空間圖形分散本題證明過程中，把一個較復(fù)雜的空間圖形分散 成一個個簡單的圖形來處理成一個個簡單的圖形來處理,并幾次將并幾次將立體幾何問立體幾何問 題化成平面幾何問題題化成平面幾何問題來解決來解決,這是解決立體幾何問這是解決立體幾何問 題時常常采用的手段。題時常常采用的手段。 例例2 已知三棱錐已知三棱錐SABC，ASB=ASC=45， BSC=60，求

6、證：側(cè)面，求證：側(cè)面BSA側(cè)面?zhèn)让鍯SA A B E D C S 分析分析:利用兩個平面所成的二面角是利用兩個平面所成的二面角是 直二面角進行證明直二面角進行證明. 證明：過證明：過B作作BDSA于于D，過，過D在平面在平面SAC內(nèi)作內(nèi)作 EDAC交交SC于于E，連，連BE，BDE為二面角為二面角B ASC的平面角的平面角ABEDCS ASC=ASB=45 ED=SD=BD 設(shè)設(shè)SD=a，則，則SB=SE= a 在在BSE中中 BSE= 60BE= a 在在BDE中中 BDE=90 二面角二面角BASC為直二面角為直二面角 側(cè)面?zhèn)让鍮SA側(cè)面?zhèn)让鍯SA 222 BEBDDE 2 B A E D

7、 C S 2 例例3、如圖四棱錐、如圖四棱錐SABCD，底面，底面ABCD為正方形，側(cè)為正方形，側(cè) 面面SAB底面底面AC,側(cè)面?zhèn)让鍿AD底面底面AC,面面AEGFSC， 且分別交且分別交SB、SC、SD于于E、G、F。 求證：求證： （1）AESB，AFSD （2）AGEF D S A B FG E C O 證明：證明：面面SAB面面ABCD， 而四邊形而四邊形ABCD中中BCAB BC面面SAB BCAE 又又SC面面AEGF SCAE AE面面SBC AESB D 同理同理AFSD （1） S A B FG E C （2）分析：分析：CG面面AEFG，要證，要證AGEF， 只需證只需證A

8、CEF，構(gòu)造線面垂直，構(gòu)造線面垂直EF面面AGC ACBD，只需證，只需證BDEF 證明：在證明：在RtSAB中中 AESB，SAB=90 =SESB 同理在同理在RtSAD中中 =SFSD SESB=SFSD 即即 EFBD ACBD，ACEF， SG面面AEFG , AG是是AC在面在面AEGF射影射影 EFAG 2 SA SB SD SF SE 2 SA S A B FG E C C 變式變式1： 已知四棱錐已知四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD為矩形，為矩形， 側(cè)棱側(cè)棱PA 底面底面ABCD，M、N分別是分別是AB、PC的中點，的中點， （1）求證：）求證：MN AB （2）若

9、平面）若平面PDC與平面與平面ABCD成成45度角，求證：平面度角，求證：平面 MND 平面平面PDC M P A B D N H K C 變式變式2： 已知四棱錐已知四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD為矩形，為矩形， 側(cè)棱側(cè)棱PA 底面底面ABCD，E、F分別是分別是AB、PD的中點，的中點， 且且PA=AD （1）求證：）求證：AF 平面平面PCE （2）求證：平面）求證：平面PCD 平面平面PCE P A B D E M F 1、（、（07廣東）廣東）若若l、m、n是互不相同的空間直線，是互不相同的空間直線， 是不重合的平面，則下列命題中正確的是（是不重合的平面，則下列命題中正確

10、的是（ ） , A B Cn mnm Dn 、若l,l,則 、若,l,則l 、若l,則l 、若,l,n則l 練習(xí)：練習(xí)： 、 A 2 , , 07 , Aab Bbb Cbb Dab 設(shè)a、b為兩條直線，、為兩個平面， 下列四個命題中，正確的是（ ） 、若a、b與所成的角相等,則 、若a,則a 、若a,則a 、若a, 、天 b,則 （津） 1mn,m m, m 07 m n nn mn mnn 3、（江蘇設(shè)m、n為兩條直線，、 為兩個平面， 給出下列四個命題： （ ） （2）,m （3）n, （4）, ） 其中正確的有（1）（4） C 4、如圖，、如圖，A1B1C1ABC是直三棱柱，過點是直三

11、棱柱，過點A1、 B、C1的平面和平面的平面和平面ABC的交線記作的交線記作l,試判定直線試判定直線l 與與A1C1的位置關(guān)系的位置關(guān)系,并加以證明。并加以證明。 C C1 A1 A lA1C1 證明：證明： 平面平面A1B1C1平面平面ABC A1C1平面平面ABC 平面平面A1BC與平面與平面ABC交交 于于l A1C1l E B B1 l 一、填空一、填空 1111 111111 0 1., _. 2.,2, 1,_. 3.1, ,_. 4.30, 2 , PABCPH HABC ABCDAC A CDB ABCDABC DO ABC DOABC D lPPQQ PQaQ 三棱錐的高為若

12、三個側(cè)面兩兩垂直 則 為的心 在四面體中已知棱的長為其余各邊 長為 則則二面角的余弦值 已知正方體的棱長為是底面 的中心 則 到平面的距離為 在的二面角中垂足為 則點 到平面_.的距離為 垂心垂心 3/3 4/2 a3 1111 11 1 1111111 5.,2 3 2,_. 6., ,1,3,2, ,_. 7. , ;2) ABCDABC DABAD CCCBDC lABAAl A BBlBAAABB BM lAMBM m n mn 在長方體中 則二面角的大小為 若二面角是直二面角 于且是直 線 上的一動點 則的最小值為 是兩個不同的平面，是平面外的兩條 不同的直線，給出下面幾個論斷： 1）;3);4)mn 以其中三個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié) 論，寫出正確的一個命題是_. 0 30 32 .2 .1 . :. 1 : 1 111 1111 所成的角）求異面直線 平面）求