2021-2022學年高中數學 第4章 指數與對數 4.1 指數學案 蘇教版必修第一冊

1、2021-2022學年高中數學 第4章 指數與對數 4.1 指數學案 蘇教版必修第一冊2021-2022學年高中數學 第4章 指數與對數 4.1 指數學案 蘇教版必修第一冊年級：姓名：4.1指數學 習 任 務核 心 素 養(yǎng)1理解根式、分數指數冪的意義，掌握根式與分數指數冪的互化(重點)2掌握有理數指數冪的運算法則(重點)3了解實數指數冪的意義.1借助根式的性質對根式運算，提升學生的數學運算核心素養(yǎng)2通過分數指數冪、運算性質的推導，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)3借助指數冪的運算性質對代數式化簡或求值，培養(yǎng)數學運算素養(yǎng).我們已經知道，2，3，是正整數指數冪，它們的值分別為，.那么，的意義是什么呢？這正是我們將

2、要學習的知識下面，我們一起將指數的取值范圍從整數推廣到實數為此，我們需要先學習根式的知識知識點1基本概念1平方根與立方根的概念如果x2a，那么x稱為a的平方根；如果x3a，那么x稱為a的立方根根據平方根、立方根的定義，正實數的平方根有2個，它們互為相反數，一個數的立方根只有一個2a的n次方根(1)定義：一般地，xna(n1，nn*)，那么稱x為a的n次方根，式子叫作根式，其中n叫作根指數，a叫作被開方數(2)幾個規(guī)定：當n為奇數時，正數的n次方根是一個正數，負數的n次方根是一個負數，這時，a的n次方根只有一個，記作x；當n為偶數時，正數的n次方根有兩個，它們互為相反數，這時，正數a的正的n次方

3、根用符號表示，負的n次方根用符號表示，它們可以合并寫成 (a0)的形式；0的n次方根等于0(無論n為奇數，還是為偶數)1.是根式嗎？根式一定是無理式嗎？提示是根式，根式不一定是無理式1.思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)16的四次方根為2.()(2)4.()(3)2.()提示(1)16的四次方根有兩個，是2；(2)|4|4；(3)沒意義答案(1)(2)(3)知識點2根式的性質(1)0(nn*，且n1)；(2)()a(n為大于1的奇數)；(3)()|a|(n為大于1的偶數)(4)()na(nn*，且n1，a使得有意義)2.a對任意實數a都成立嗎？提示不都成立當n為不小于3的正奇數時，a

4、為任意實數，等式a恒成立當n為正偶數時，|a|.2.若n是偶數，x1，則x的取值范圍為_1，)由題意知x10，x1.知識點3分數指數冪的意義一般地，我們規(guī)定：(1)a(a0，m，n均為正整數)；(2)a(a0，m，n均為正整數)；(3)0的正分數指數冪為0,0的負分數指數冪沒有意義，0的0次冪沒有意義3.(1)可化為()aabacada(2)3可化為_(1)a(2)(1)a.(2)3.知識點4有理數指數冪的運算性質(1)asatast；(2)(as)tast；(3)(ab)tatbt，(其中s，tq，a0，b0)4.化簡()2的結果為_原式()2()1. 類型1根式的性質【例1】求下列各式的值

5、(1)；(2)；(3)；(4)；(5)，x(3,3)解(1)2.(2).(3)|3|3.(4)|a3|(5)原式|x1|x3|，當3x1時，原式1x(x3)2x2；當1x0)；(2)；(3) (b0)解(1)原式(2)原式.(3)原式.1根式和分數指數冪互化時應熟練應用a和a(a0，m，nn*，且n1)當所求根式含有多重根號時，要搞清被開方數，由里向外用分數指數冪寫出，然后再用性質進行化簡2分數指數冪不表示相同因式的乘積，而是根式的另一種寫法，但二者在應用時各有所側重，分數指數冪計算較為靈活，而根式求字母的范圍更常用跟進訓練2用分數指數冪表示下列各式(1)(a0，b0)；(2)(a0，b0)解

6、(1)1. 類型3分數指數冪的運算【例3】(1)計算：0.0640(2)3160.75|0.01|；(2)化簡：思路點撥將各個根式化成指數冪的形式，按照冪的運算性質進行運算解(1)原式(0.43)1(2)4(24)0.75(0.12)0.4110.1.指數冪與根式運算的技巧(1)有理數指數冪的運算技巧運算順序：有括號的，先算括號里面的，無括號的先做指數運算指數的處理：負指數先化為正指數底數的處理：底數是負數，先確定冪的符號；底數是小數，先化成分數；底數是帶分數，先化成假分數，然后再把底數盡可能用冪的形式表示(2)根式運算技巧各根式(尤其是根指數不同時)要先化成分數指數冪，再運算多重根式可以從內

7、向外逐層變換為分數指數冪跟進訓練3(1)化簡： (abc)(abc)_.(2)計算：0.008 12_.2212_.(1)ac(2)36.55(1)原式abcab0cac.(2)原式4(0.3)44936.5.原式(1)23(223)1231235. 類型4指數冪運算中的條件求值【例4】已知aa4，求下列各式的值：(1)aa1；(2)a2a2.a與a及a與a1之間有怎樣的關系？a、a及aa1 a2a2等于多少？提示平方關系，乘積為1.解(1)將aa4兩邊平方，得aa1216，故aa114.(2)將aa114兩邊平方，得a2a22196，故a2a2194.1(變結論)在本例條件不變的條件下，求a

8、a1的值解令aa1t，則兩邊平方得a2a2t22，t22194，即t2192，t8，即aa18.2(變結論)在本例條件不變的條件下，求a2a2的值解由上題可知，a2a2(aa1)(aa1)814112.3(變條件)已知xx，求x2x2.解將xx，兩邊平方，得xx125，則xx13，兩邊再平方，得x2x229，所以x2x27.條件求值問題的常用方法(1)整體代入：從已知條件中解出所含字母的值，然后再代入求值，這種方法一般是不可取的，而應設法從整體尋求結果與條件的聯系，進而整體代入求值(2)求值后代入：所求結果涉及的某些部分，可以作為一個整體先求出其值，然后再代入求最終結果1把根式a化成分數指數冪是()a(a)b(a)cadad由題意知a0，所以aaaa.2已知xx5，則的值為()a5b23c25d27b由xx5得xx123，所以xx123.3設5x4,5y2，則52xy_.852xy8.4計算：(1)_.(x3，則|2x|_.1|2x|2x|x3|2x|