系統(tǒng)運(yùn)動的穩(wěn)定性

1、5.1 內(nèi)部穩(wěn)定性與外部穩(wěn)定性內(nèi)部穩(wěn)定性與外部穩(wěn)定性 5.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義 5.3 李雅普諾夫第二法的主要定理李雅普諾夫第二法的主要定理 5.4 構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的規(guī)則化方法構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的規(guī)則化方法 5.5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 5.6 Matlab問題問題 本章小結(jié)本章小結(jié) 第五章 系統(tǒng)運(yùn)動的穩(wěn)定性 本本 章章 簡簡 介介 q本章討論李雅普諾夫穩(wěn)定性分析。 主要介紹 內(nèi)部穩(wěn)定性和李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義以及 分析系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定性的李雅普諾夫理論和方法; 著重討論 李雅普諾夫第二法及其在非線性系統(tǒng)的應(yīng)用、 李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造。 李雅普諾

2、夫 俄國數(shù)學(xué)家李雅普諾夫1892 年博士論文運(yùn)動穩(wěn)定性的 一般問題中創(chuàng)立的穩(wěn)定性 理論被引入到控制中。 其人： 1857年6月6日生于俄國； 1876年，李雅普諾夫考入圣彼得堡 大學(xué)數(shù)學(xué)系； 1880年大學(xué)畢業(yè)后留校； 1892年獲博士學(xué)位并成為教授； 1901年被選為科學(xué)院院士； 主要貢獻(xiàn)： 創(chuàng)立了特征函數(shù)法； 常微分方程運(yùn)動穩(wěn)定性理論 5.1 內(nèi)部穩(wěn)定性與外部穩(wěn)定性 （P213） q一個(gè)自動控制系統(tǒng)要能正常工作，必須首先是一個(gè)穩(wěn) 定的系統(tǒng)。 例如，電機(jī)自動調(diào)速系統(tǒng)中保持電機(jī)轉(zhuǎn)速為一定 的能力以及火箭飛行中保持航向?yàn)橐欢ǖ哪芰Φ取?具有穩(wěn)定性的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。 q穩(wěn)定性的定義為： 當(dāng)系統(tǒng)受

3、到外界干擾后，顯然它的平衡被破壞， 但在外擾去掉以后，它仍有能力自動地在平衡態(tài) 下繼續(xù)工作。 如果一個(gè)系統(tǒng)不具有上述特性，則稱為不穩(wěn)定 系統(tǒng) 實(shí)際上 ，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，通常有兩種定義方式： q 外部穩(wěn)定性：是指系統(tǒng)在零初始條件下通過其外部 狀態(tài)，即由系統(tǒng)的輸入和輸出兩者關(guān)系所定義的外 部穩(wěn)定性。 （書P213 定義5.1） 定義：稱一個(gè)系統(tǒng)的外部穩(wěn)定（BIBO）是指對 任何一個(gè)有界輸入u(t)，即滿足條件： 的任意輸入u(t)，對應(yīng)的輸出y(t)均為有界，即有 經(jīng)典控制理論討論的有界輸入有界輸出穩(wěn)定 (BIBO)即為外部穩(wěn)定性 。 在經(jīng)典控制理論中，許多穩(wěn)定性判據(jù)如勞斯- 赫爾維茨判據(jù)和奈奎

4、斯特判據(jù)等，都給出了 既實(shí)用又方便的判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。 10 ( ) ,)u ttt ),)( 02 ttty q 內(nèi)部穩(wěn)定性：是關(guān)于動力學(xué)系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)變化所 呈現(xiàn)穩(wěn)定性，即系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)穩(wěn)定性。（書P216 定義5.2） 設(shè)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變自治系統(tǒng) 定義：稱連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)在時(shí)刻t0為內(nèi)部 穩(wěn)定，是指由時(shí)刻t0任意非零初始狀態(tài)引起的零輸 入響應(yīng)xou(t)對tt0,+)有界，并滿足漸近屬性， 即： 線性系統(tǒng)的輸入輸出穩(wěn)定性取決于其特征方程 的根，與初始條件和擾動都無關(guān)，而非線性系 統(tǒng)則不然。 lim( )0 ou t xt ),)()( 000 ttxtxxtA x 結(jié)論5.4

5、：設(shè)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變自治系統(tǒng) 本節(jié)討論的李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性即為內(nèi) 部穩(wěn)定性。 ),)()( 000 ttxtxxtA x 系統(tǒng)在t0時(shí)刻內(nèi)部穩(wěn)定的充分必要條件為：狀態(tài)轉(zhuǎn) 移矩陣(t, t0)對所有tt0,+為有界，并滿足： 0),(lim 0 tt t 結(jié)論5.5：對n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變自治系統(tǒng) 0)0( 0 txxAx x 內(nèi)部穩(wěn)定的充分必要條件為 或矩陣A所有特征值均具有負(fù)實(shí)部，即： Rei(A)0和任意初始時(shí)刻 t0， 都對應(yīng)存在一個(gè)實(shí)數(shù)(,t0)0， 使得對于任意位于平衡態(tài)xe的球 域S(xe,)的初始狀態(tài)x0， 2. 李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性 ( P221) 當(dāng)從此初始狀

6、態(tài)x0出發(fā)的狀態(tài)方程的解x都位于球 域S(xe,)內(nèi)，則稱系統(tǒng)的平衡態(tài)xe是李雅普諾夫意 義下穩(wěn)定的。 定義定義：李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定 稱自治系統(tǒng) ),)(),( 000 ttxtxtxf x 的孤立平衡狀態(tài)Xe=0在時(shí)刻t0為李亞普諾夫意義下穩(wěn) 定，如果對任給一個(gè)實(shí)數(shù)0，都對應(yīng)存在另一位賴于 和t0的實(shí)數(shù)(,t0)0，使得滿足不等式X0-Xe(,t0)的 任一初始狀態(tài)x0出發(fā)的受擾運(yùn)動(t;x0,t0)都滿足不等式： (t；x0,t0)-Xe 0 tt q上述定義說明，對應(yīng)于平衡態(tài)xe的每一個(gè)球域S(xe,), 一定存在一個(gè)有限的球域S(xe,)，使得t0時(shí)刻從 S(xe,)出發(fā)的系統(tǒng)狀態(tài)

7、軌線總不離開S(xe,), 則系統(tǒng)在初始時(shí)刻t0的平衡態(tài)xe為在李雅普諾夫意 義下穩(wěn)定的。 q對于李雅普諾夫穩(wěn)定性，還有如下說明： 李雅普諾夫穩(wěn)定性針對平衡狀態(tài)而言，反映的是 平衡狀態(tài)鄰域的局部穩(wěn)定性，即小范圍穩(wěn)定性。 系統(tǒng)做等幅振蕩時(shí)，在平面上描出一條封閉曲線， 只要不超過S(xe,)，就是李雅普諾夫穩(wěn)定的，而 經(jīng)典控制理論則認(rèn)為不穩(wěn)定。 q對于定常系統(tǒng)來說，上述定義中的實(shí)數(shù)(,t0)與初始 時(shí)刻t0必定無關(guān)，故其穩(wěn)定性與一致穩(wěn)定性兩者等價(jià)。 但對于時(shí)變系統(tǒng)來說，則這兩者的意義很可能不 同。 q定義5-3(李雅普諾夫漸近穩(wěn)定性) 若狀態(tài)方程 x=f(x,t) 所描述的系統(tǒng)在初始時(shí)刻t0的平

8、衡態(tài)xe是李雅普諾夫意義下穩(wěn) 定的，且系統(tǒng)狀態(tài)最終趨近于 系統(tǒng)的平衡態(tài)xe，即 Limt x(t)=xe x2 x1 x(0) 則稱平衡態(tài)xe是李雅普諾夫意義下漸近穩(wěn)定的。 若(,t0)與初始時(shí)刻t0無關(guān)，則稱平衡態(tài)xe是李雅 普諾夫意義下一致漸近穩(wěn)定的。 圖5-2 3. 漸近穩(wěn)定性 （P222） 定義定義：李亞普諾夫漸進(jìn)穩(wěn)定 稱自治系統(tǒng) ),)(),( 000 ttxtxtxf x 的孤立平衡狀態(tài)Xe=0在時(shí)刻t0為漸進(jìn)穩(wěn)定，如果： ) Xe=0在時(shí)刻t0為李亞普諾夫意義下穩(wěn)定； ）對實(shí)數(shù)(,t0)0和任給實(shí)數(shù)0，都存在實(shí)數(shù) T(,t0)0使得滿足不等式X0-Xe(,t0)的任一初始狀 態(tài)x

9、0出發(fā)的受擾運(yùn)動(t；x0,t0)滿足不等式： (t；x0,t0)-Xe ),( 00 tTtt q對于線性定常系統(tǒng)來說，上述定義中的實(shí)數(shù)(,t0) 可與初始時(shí)刻t0無關(guān)，故其漸近穩(wěn)定性與一致漸近 穩(wěn)定性等價(jià)。 但對于時(shí)變系統(tǒng)來說不同。 q對于李雅普諾夫漸近穩(wěn)定性，還有如下說明： 經(jīng)典控制理論的BIBO穩(wěn)定性，就是李雅普諾夫意 義下的漸近穩(wěn)定。 穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定，兩者有很大的不同。 對于穩(wěn)定而言，只要求狀態(tài)軌跡永遠(yuǎn)不會跑出 球域S(xe,)，至于在球域內(nèi)如何變化不作任何 規(guī)定。 而對漸近穩(wěn)定，不僅要求狀態(tài)的運(yùn)動軌跡不能 跑出球域，而且還要求最終收效或無限趨近平 衡狀態(tài)xe。 v大范圍漸近穩(wěn)定性

10、（全局漸進(jìn)穩(wěn)定） 對于n維狀態(tài)空間中的所有狀態(tài)，如果由這些狀態(tài) 出發(fā)的狀態(tài)軌線都具有漸近穩(wěn)定性，那么平衡態(tài)xe稱 為李雅普諾夫意義下大范圍漸近穩(wěn)定的。 換句話說，若狀態(tài)方程在任意初始狀態(tài)下的解， 當(dāng)t無限增長時(shí)都趨于平衡態(tài)，則該平衡態(tài)為大范 圍漸近穩(wěn)定的。 顯然，大范圍漸近穩(wěn)定性的必要條件是系統(tǒng)在整 個(gè)狀態(tài)空間中只有一個(gè)平衡態(tài)。 對于線性系統(tǒng)，如果其平衡態(tài)是漸近穩(wěn)定的， 則一定是大范圍漸近穩(wěn)定的。 但對于非線性系統(tǒng)則不然，漸近穩(wěn)定性是一個(gè) 局部性的概念，而非全局性的概念。 4. 不穩(wěn)定性 q定義5-4 若狀態(tài)方程 x=f(x,t) 描述的系統(tǒng)在初始時(shí)刻t0, 對于某個(gè)給定實(shí)數(shù)0和任意一 個(gè)實(shí)數(shù)

11、0, x2 x1 x(0) 總存在一個(gè)位于平衡態(tài)xe的鄰域S(xe,)的初始狀 態(tài)x0， 使得從x0出發(fā)的狀態(tài)方程的解x(t)將脫離球域 S(xe,)，則稱系統(tǒng)的平衡態(tài)xe是李雅普諾夫意義 下不穩(wěn)定的。 圖5-3 定義定義：不穩(wěn)定稱自治系統(tǒng) ),)(),( 000 ttxtxtxf x 的孤立平衡狀態(tài)Xe=0在時(shí)刻t0為不穩(wěn)定，如果不管取 實(shí)數(shù)0為多么大，都不存在對應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)(,t0)0， 使得滿足不等式X0-Xe(,t0)的任一初始狀態(tài)x0出發(fā)的 受擾運(yùn)動(t；x0,t0)滿足不等式： (t；x0,t0)-Xe 0 tt q李雅普諾夫第二法它是在用能量觀點(diǎn)分析穩(wěn)定性的 基礎(chǔ)上建立起來的。 若

12、系統(tǒng)平衡態(tài)漸近穩(wěn)定，則系統(tǒng)經(jīng)激勵(lì)后，其 儲存的能量將隨著時(shí)間推移而衰減。當(dāng)趨于平 衡態(tài)時(shí)，其能量達(dá)到最小值。 反之，若平衡態(tài)不穩(wěn)定，則系統(tǒng)將不斷地從外 界吸收能量，其儲存的能量將越來越大。 基于這樣的觀點(diǎn)，只要能找出一個(gè)能合理描述動 態(tài)系統(tǒng)的n維狀態(tài)的某種形式的能量正性函數(shù)，通 過考察該函數(shù)隨時(shí)間推移是否衰減，就可判斷系 統(tǒng)平衡態(tài)的穩(wěn)定性。 5.3 李雅普諾夫第二法 （1） 實(shí)函數(shù)的正定性 q實(shí)函數(shù)正定性問題亦稱為函數(shù)定號性問題。 它主要討論該函數(shù)的值在什么條件下恒為正,什 么條件下恒為負(fù)的。 下面先給出n維向量x的標(biāo)量實(shí)函數(shù)V(x)的正定性 定義。 q定義5-5 設(shè)xRn，是Rn中包含原點(diǎn)的

13、一個(gè)區(qū)域，若 實(shí)函數(shù)V(x)對任意n維非零向量x都有V(x)0；當(dāng) 且僅當(dāng)x=0時(shí)，才有V(x)=0， 則稱函數(shù)V(x)為區(qū)域上的正定函數(shù)。 1. 數(shù)學(xué)預(yù)備知識 q定義5-6 設(shè)xRn，是Rn中包含原點(diǎn)的一個(gè)區(qū)域， 若實(shí)函數(shù)V(x)對任意n維非零向量x，都有 V(x)0，Pt0時(shí)不恒為零，那么 該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的， 否則將僅是一致穩(wěn)定而非一致漸近穩(wěn)定。 此時(shí)，隨著|x|,有V(x,t)，則該系統(tǒng)在原 點(diǎn)處的一致漸近穩(wěn)定平衡態(tài)是大范圍一致漸近 穩(wěn)定的。 v 定理5-4中要求選擇的李雅普諾夫函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為負(fù)定函數(shù)， 這給尋找適宜的李雅普諾夫函數(shù)帶來一定困難。下面給出一 個(gè)補(bǔ)充定理

14、，以減弱判別條件。 q例例5-5 試確定例5-4的系統(tǒng)的平衡態(tài)穩(wěn)定性。 解解： 前面已經(jīng)定義例5-4的系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)。 該函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)分別為 由于V(x)是負(fù)半定函數(shù),由定理5-5的1)可知，系 統(tǒng)為一致穩(wěn)定的。 0222)( )( 2 22211 2 2 2 1 xxxxxxV xxxV 212 21 xxx xx q對例5-5，選取李雅普諾夫函數(shù)為 則 是負(fù)定的，系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。 2 2 2 1 2 21 2)( 2 1 ),(xxxxtVx )(),( 2 2 2 1 xxtVx 結(jié)論結(jié)論5.13 小范圍漸近穩(wěn)定性定理 對連續(xù)時(shí)間非線性 時(shí)變自治系統(tǒng)，若可構(gòu)造對

15、x和t具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù) 的一個(gè)標(biāo)量函數(shù)V(x,t)，V(0,t)=0，以及圍繞狀態(tài)空間 原點(diǎn)的一個(gè)吸引區(qū)，使對所有非零狀態(tài)x和所有 tt0,)滿足如下條件： 1)V(x,t)為正定且有界； dttxdVtxV/ ),(),( 2) 為負(fù)定且有界； 則系統(tǒng)原點(diǎn)平衡狀態(tài)x=0在域內(nèi)為一致漸近穩(wěn)定。 結(jié)論結(jié)論5.14小范圍漸近穩(wěn)定性定理 對連續(xù)時(shí)間非線性 時(shí)不變自治系統(tǒng)，若可構(gòu)造對x具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù) 的一個(gè)標(biāo)量函數(shù)V(x)，V(0)=0，以及圍繞狀態(tài)空間原 點(diǎn)的一個(gè)吸引區(qū)，使對所有非零狀態(tài)x滿足如下 條件： 1)V(x)為正定； dtxdVxV/ )()( 2） 為負(fù)定 則系統(tǒng)原點(diǎn)平衡狀態(tài)x=0

16、在域內(nèi)為漸近穩(wěn)定 結(jié)論結(jié)論5.15 小范圍漸近穩(wěn)定性定理對連續(xù)時(shí)間非線性 時(shí)不變自治系統(tǒng)，若可構(gòu)造對x具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的 一個(gè)標(biāo)量函數(shù)V(x)，V(0)=0，以及圍繞狀態(tài)空間原點(diǎn) 的一個(gè)吸引區(qū)，使對所有非零狀態(tài)x滿足如下條 件： 1)V(x)為正定； 3）對任意非零x0， 0)0 ,;( 0 xtV 則原點(diǎn)平衡狀態(tài)x=0在域內(nèi)為漸近穩(wěn)定 dtxdVxV/ )()( 2） 為負(fù)半定 q定理定理5-6 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 x=f(x,t) 其中xe=0為其平衡態(tài)。 （P231 結(jié)論5.17） 若存在一個(gè)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的正定函數(shù)V(x,t)， V(0,t)=0，滿足下述條件: 若V(x,t)為負(fù)

17、半定的， 則該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡態(tài)是李雅普諾夫意義下的 穩(wěn)定性。 (2)李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性定理 例例5-6 試確定用如下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的平衡態(tài)穩(wěn) 定性。 為李雅普諾夫函數(shù),那么沿任意軌跡x(t)，V(x)的全導(dǎo)數(shù) 12 21 0 xx kkxx 解解： 顯然，原點(diǎn)(0,0)是給定系統(tǒng)的唯一平衡態(tài),如果我 們選擇正定函數(shù) 2 2 2 1 )(kxxxV 02222)( 21212211 xkxxkxxxxxxV 由于V(x)非正定,由定理5-5的1)可知，系統(tǒng)為一 致穩(wěn)定的。 由于V(x)對任意的x0恒為零，因此由定理5-5中 2)可知，該系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定，但 非漸近穩(wěn)定。

18、 q定理定理5-7 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x=f(x,t)，其中xe=0為 其平衡態(tài)。若存在一個(gè)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的正定函 數(shù)V(x,t)，V(0,t)=0，滿足下述條件: （P232 結(jié)論5.19） 1) V(x,t)為正定的，則該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡態(tài)是 不穩(wěn)定的; 2) 若V(x,t)為非負(fù)定的，且對任意的t0和任意的 x(t0)0，V(x,t)在tt0時(shí)不恒為零，那么該平衡態(tài) xe亦是不穩(wěn)定的 (3) 不穩(wěn)定性定理 例例5-7 試確定用如下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的平衡態(tài)穩(wěn) 定性。 解：解： 顯然，原點(diǎn)(0,0)是給定系統(tǒng)的唯一平衡態(tài)，如果 我們選擇李雅普諾夫函數(shù)為 2 2 2 1 )(xxxV 則

19、 由于V(x)正定，因此由定理5-7可知，系統(tǒng)的該平衡態(tài) 為不穩(wěn)定的。 212 211 xxx xxx 02222)( 2 2 2 12211 xxxxxxxV q下面將前面討論的李雅普諾夫穩(wěn)定性的判定方法 作一小結(jié) V(x) V(x)結(jié)論 正定(0)負(fù)定(0) 負(fù)半定(0)且不恒為0 (對任意非零的初始狀態(tài)的解) 該平衡態(tài)漸近穩(wěn)定 正定(0) 負(fù)半定(0)且恒為0 (對某一非零的初始狀態(tài)的解) 該平衡態(tài)穩(wěn)定 但非漸近穩(wěn)定 正定(0)正定(0)該平衡態(tài)不穩(wěn)定 正定(0) 正半定(0)且不恒為0 (對任意非零的初始狀態(tài)的解) 該平衡態(tài)不穩(wěn)定 5.4 構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的規(guī)則化方法 q對于非線性系

20、統(tǒng)，李雅普諾夫第二法雖然可應(yīng)用于 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定，但其只是一個(gè)充分條件, 并沒有給出建立李雅普諾夫函數(shù)的一般方法。 而只能針對具體的非線性系統(tǒng)進(jìn)行具體分析。 針對各類非線性系統(tǒng)的特性，分門別類地構(gòu)造適 宜的Lyapunov函數(shù)。如, 通過特殊函數(shù)來構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的克拉索 夫斯基法(也叫雅克比矩陣法) 針對特殊函數(shù)的變量梯度構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的 變量梯度法(也叫舒爾茨-吉布生法) 針對特殊非線性系統(tǒng)進(jìn)行線性近似處理的阿依 捷爾曼法(也叫線性近似法)、魯立葉法等。 1.克拉索夫斯基法 q設(shè)非線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 對該系統(tǒng)有如下假設(shè): 1) 所討論的平衡態(tài)xe=0; 2)

21、f(x)對狀態(tài)變量x是連續(xù)可微的，即存在雅可 比矩陣 )()(xfxt 對上述非線性系統(tǒng)，有如下判別漸近穩(wěn)定性的 克拉索夫斯基定理。 nnn n T xxfxxf xxfxxf x xf xF )()( )()( )( )( 1 111 為負(fù)定的矩陣函數(shù)，且 為該系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。 更進(jìn)一步，當(dāng)|x|時(shí)，有|f(x)|，則該平衡 態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。 11 22 01 27 xx xx ( )( ) ( ) TT Vxx xfx f x q在應(yīng)用克拉索夫斯基定理時(shí)，還應(yīng)注意下面幾點(diǎn)。 克拉索夫斯基定理只是漸近穩(wěn)定的一個(gè)充分條件， 不是必要條件。 如對于漸近穩(wěn)定的線性定常連續(xù)系統(tǒng) q定

22、理定理5-8 非線性定常連續(xù)系統(tǒng)的平衡態(tài)xe=0為漸近穩(wěn) 定的充分條件為 （P237 結(jié)論5.20） )()()( xFxFxF T 不是負(fù)定矩陣，故由克拉索夫斯基定理判別不出該 系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的。 可見，該定理僅是一個(gè)充分條件判別定理。 141 10 )()()( xFxFxF T 若V(x)=fT(x)f(x)正定，為Lyapunov函數(shù)，則說明只 有當(dāng)x=0時(shí)，才有V(x)=0，即原點(diǎn)是唯一的平衡態(tài)。 因此，只有原點(diǎn)是系統(tǒng)的唯一平衡態(tài)，才能用克 拉索夫斯基定理判別漸近穩(wěn)定性，并且由該定理 判別出的漸近穩(wěn)定的平衡態(tài)一定是大范圍漸近穩(wěn) 定的。 由克拉索夫斯基定理可知，系統(tǒng)的平衡態(tài)xe=0是漸

23、 近穩(wěn)定的條件是FT(x)+F(x)為負(fù)定矩陣函數(shù)。 由于 q將克拉索夫斯基定理推廣到線性定常連續(xù)系統(tǒng)可知: 對稱矩陣對稱矩陣A+AT負(fù)定，則系統(tǒng)的原點(diǎn)是大范圍漸近穩(wěn)負(fù)定，則系統(tǒng)的原點(diǎn)是大范圍漸近穩(wěn) 定的。定的。 （P237 結(jié)論5.21） 例例5-8 試確定如下非線性系統(tǒng)的平衡態(tài)的穩(wěn)定性: 解解 由于f(x)連續(xù)可導(dǎo)且 可取作李雅普諾夫函數(shù)，因此，有 2 1222 2 62 60,3680 226 x x 3 221 21 3 )( xxx xx xf x 0)()3()()( 23 221 2 21 xxxxxxfxf 由塞爾維斯特準(zhǔn)則有 故矩陣函數(shù) 負(fù)定，所以由克拉索夫斯基定理可 知，平

24、衡態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定的。 2 2 311 13 )( )( x x xf xF T 2 2 622 26 )()()( x xFxFxF T )( xF 5.5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù) q設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 x=Ax， x(0)=x0 狀態(tài)空間原點(diǎn)即xe=0為系統(tǒng)的一個(gè)平衡態(tài)。 特征值判據(jù)是:（P238） 1. 若系統(tǒng)矩陣A的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部，則系 統(tǒng)的平衡態(tài)xe為漸近穩(wěn)定。 2. 若系統(tǒng)矩陣A的特征值中至少有一個(gè)具有正實(shí)部， 則系統(tǒng)的平衡態(tài)xe不穩(wěn)定。 3. 若系統(tǒng)矩陣A除有實(shí)部為零的特征值外，其余特 征值都具有負(fù)實(shí)部，則系統(tǒng)的平衡態(tài)xe為李雅普 諾夫意義下的穩(wěn)定，且零實(shí)部

25、特征值只能為A的 最小多項(xiàng)式的單根。 q李雅普諾夫判據(jù) 定理定理5-9 線性定常連續(xù)系統(tǒng) （P239 結(jié)論5.24） x=Ax 的平衡態(tài)xe=0為漸近穩(wěn)定的充要條件充要條件為: 對給定的任意正定矩陣Q ，李雅普諾夫方程 PA+ATP=-Q 存在唯一的正定矩陣解P，并且正定函數(shù)V(x)=xTPx 即為系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。 v運(yùn)用此方法判定系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性時(shí)，最方便的是 選取Q為單位矩陣，即Q=I。于是，矩陣P的元素可 按如下李雅普諾夫代數(shù)方程: PA+ATP=-I 求解，然后根據(jù)P的正定性來判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 例例5-9 確定如下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的平衡態(tài)穩(wěn)定性。 2 1 2 1 11 10 x x x x 解解: 設(shè)選取的李雅普諾夫函數(shù)為 V(x)=xTPx 由定理5-7可知，上式中的正定矩陣P滿足李雅普 諾夫方程 PA+ATP=-I 于是，令對稱矩陣P為 2212 1211 pp pp P 將P代入李雅普諾夫方程，可得 10 01 11 10 11 10 2212 1211 2212 1211 pp pp pp pp 展開后得,有: 10 01 22 2 2212221211 22121112 pppp