東華大學(xué)電路分析PPT第8章 相量法

1、第第8 8章章 相量法相量法 2. 2. 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 3. 3. 電路定理的相量形式；電路定理的相量形式； l 重點(diǎn)：重點(diǎn)： 1. 1. 正弦量的表示、相位差；正弦量的表示、相位差； l 正弦電流電路正弦電流電路 激勵(lì)和響應(yīng)均為正弦量的電路稱為正弦電激勵(lì)和響應(yīng)均為正弦量的電路稱為正弦電 流電路或交流電路。流電路或交流電路。 8.1 8.1 正弦量的基本概念正弦量的基本概念 1. 1. 正弦量正弦量 瞬時(shí)值表達(dá)式：瞬時(shí)值表達(dá)式： i(t)=Imcos(w w t+y y) 波形：波形： t i O y y/ /w w T 周期周期T (period)和頻率和頻率f (fre

2、quency) : 頻率頻率f ：信號(hào)每秒變化的次數(shù)。：信號(hào)每秒變化的次數(shù)。 周期周期T ：信號(hào)變化一次所需的時(shí)間。：信號(hào)變化一次所需的時(shí)間。 單位：?jiǎn)挝唬篐z，赫，赫(茲茲) 單位：?jiǎn)挝唬簊，秒，秒 T f 1 幅值幅值 (amplitude) ( (振幅、振幅、 最大值最大值) )Im ： (2)(2)角頻率角頻率(angular frequency)w w ： 2. 2. 正弦量的三要素正弦量的三要素 (3)(3)初相位初相位(initial phase angle) y y ： T f w w 2 2 單位：?jiǎn)挝唬?rad/s ，弧度弧度 / 秒秒 反映正弦量變化幅度的大小。反映正弦量

3、變化幅度的大小。 相位變化的角速度，相位變化的角速度， 反映正弦量變化快慢。反映正弦量變化快慢。 正弦量在正弦量在t=0時(shí)刻的相位，反映正弦量的計(jì)時(shí)起點(diǎn)。時(shí)刻的相位，反映正弦量的計(jì)時(shí)起點(diǎn)。 i(t)=Imcos(w w t+y y)t i O y y/ /w w T Im 2 w wt 對(duì)于一個(gè)正弦量，如果計(jì)時(shí)起點(diǎn)不同，初相位是不同的。對(duì)于一個(gè)正弦量，如果計(jì)時(shí)起點(diǎn)不同，初相位是不同的。 t i O 通常規(guī)定通常規(guī)定：| | 。 i(t)=Imcos(w w t+y y) y y = /2 y y = /2 y y =0 例例 已知正弦電流波形如圖，已知正弦電流波形如圖，w w103rad/s，

4、 （1）寫出）寫出i(t)表達(dá)式；（表達(dá)式；（2）求最大值發(fā)生的時(shí)間）求最大值發(fā)生的時(shí)間t1 t i 0 100 50 t1 解：解： )10cos(100)( 3 tti cos100500 t 3 由于最大值發(fā)生在計(jì)時(shí)起點(diǎn)之后，取由于最大值發(fā)生在計(jì)時(shí)起點(diǎn)之后，取 3 ) 3 10cos(100)( 3 tti 有最大值有最大值當(dāng)當(dāng) 310 1 3 tmst047. 1 10 3 3 1 3. 同頻率正弦量的相位差同頻率正弦量的相位差 (phase difference)。 設(shè)設(shè) u(t)=Umcos(w w t+y y u), i(t)=Imcos(w w t+y y i) 信號(hào)的相位差用

5、信號(hào)的相位差用j j 表示。表示。 j j 0， u超前超前i ，或，或i 落后落后u ，( u 比比 i 先到達(dá)最大值先到達(dá)最大值) )； j j 0， i 超前超前 u，或或u 滯后滯后i ，( i 比比 u 先到達(dá)最大值先到達(dá)最大值) )。 等于初相位之差等于初相位之差 規(guī)定：規(guī)定： |j j | (180)。 j j = (w w t+y y u)- - (w w t+y y i)= y y u- -y y i w w t u, i u i y yuy yi j j O j j 0， 同相：同相： j j = ( 180o ) ，反相：反相： 特殊相位關(guān)系：特殊相位關(guān)系： w w t

6、u, i u i 0w w t u, i u i 0 j= /2/2，正交：正交： w w t u, i u i 0 相位關(guān)系表達(dá)：相位關(guān)系表達(dá)： u 領(lǐng)先領(lǐng)先 i 相位相位 /2/2, 不說(shuō)不說(shuō) u 落落 后后 i 相位相位 3 /2； i 落后落后 u 相位相位 /2/2, 不說(shuō)不說(shuō) i 領(lǐng)領(lǐng) 先先 u 相位相位 3 /2。 例例 計(jì)算下列兩正弦量的相位差。計(jì)算下列兩正弦量的相位差。 )15 100sin(10)( )30 100cos(10)( )2( 0 2 0 1 tti tti )2 100cos(10)( )43 100cos(10)( )1( 2 1 tti tti )45 2

7、00cos(10)( )30 100cos(10)( )3( 0 2 0 1 ttu ttu )30 100cos(3)( )30 100cos(5)( )4( 0 2 0 1 tti tti 解：解： j j 45)2(43 4/324/5j 000 135)105(30 j j 000 120)150(30 j j )105100cos(10)( 0 2 tti 不能比較相位差不能比較相位差 21 w ww w )150100cos(3)( 0 2 tti 兩個(gè)正弦量進(jìn)行相位比較時(shí)應(yīng)滿足同頻率、同函數(shù)、同符兩個(gè)正弦量進(jìn)行相位比較時(shí)應(yīng)滿足同頻率、同函數(shù)、同符 號(hào)，且在主值范圍比較。號(hào)，且在主

8、值范圍比較。 4. 4. 周期性電流、電壓的有效值周期性電流、電壓的有效值 周期性電流、電壓的瞬時(shí)值隨時(shí)間而變，為了衡量其大周期性電流、電壓的瞬時(shí)值隨時(shí)間而變，為了衡量其大 小工程上采用有效值來(lái)表示。小工程上采用有效值來(lái)表示。 l 周期電流、電壓有效值周期電流、電壓有效值(effective value)定義定義 ttiRW T d)( 2 0 TRIW 2 電流有效電流有效 值定義為值定義為 T tti T I 0 2 def d)( 1 有效值也稱均方根值有效值也稱均方根值 (root-mean-square) 物物 理理 意意 義義 R 直流直流I R 交流交流i 同樣，電壓有效值定義為

9、：同樣，電壓有效值定義為： T ttu T U 0 2 def d)( 1 l 正弦電流、電壓的有效值正弦電流、電壓的有效值 設(shè)設(shè) i(t)=Imcos(w w t+ ) ttI T I T d ) (cos 1 0 22 m w w Ttt t tt T TT 2 1 2 1 d 2 ) (2cos1 d ) (cos 0 00 2 w w w w m m2 m 707. 0 22 1 I IT I T I ) cos(2) cos()( m tItIti w ww w II2 m 同理，可得正弦電壓有效值與最大值的關(guān)系：同理，可得正弦電壓有效值與最大值的關(guān)系： UUUU2 2 1 mm 或

10、或 若一交流電壓有效值為若一交流電壓有效值為U=220V，則其最大值為，則其最大值為Um 311V； （1）工程上說(shuō)的正弦電壓、電流一般指有效值，如設(shè)備銘）工程上說(shuō)的正弦電壓、電流一般指有效值，如設(shè)備銘 牌額定值、電網(wǎng)的電壓等級(jí)等。但絕緣水平、耐壓值牌額定值、電網(wǎng)的電壓等級(jí)等。但絕緣水平、耐壓值 指的是最大值。因此，在考慮電器設(shè)備的耐壓水平時(shí)指的是最大值。因此，在考慮電器設(shè)備的耐壓水平時(shí) 應(yīng)按最大值考慮。應(yīng)按最大值考慮。 （2）測(cè)量中用的電磁式交流電壓、電流表讀數(shù)均為有效值。）測(cè)量中用的電磁式交流電壓、電流表讀數(shù)均為有效值。 （3 3）區(qū)分電壓、電流的瞬時(shí)值、最大值、有效值的符號(hào)。）區(qū)分電壓、

11、電流的瞬時(shí)值、最大值、有效值的符號(hào)。 說(shuō)明說(shuō)明: VUUVU5372 380 m i 瞬時(shí)值；瞬時(shí)值；I有效值；有效值；Im最大值。最大值。 l 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)A的表示形式的表示形式) 1(j為虛數(shù)單位為虛數(shù)單位 A b Re Im a0 A=a+jb A b Re Im a0 |A| jbajAeAA j )sin(cos| 8.2 8.2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 1. 1. 復(fù)數(shù)及運(yùn)算復(fù)數(shù)及運(yùn)算 jbaA |AeAA j j eAA| 兩種表示法的關(guān)系：兩種表示法的關(guān)系： A=a+jb A=|A|ej =|A| 直角坐標(biāo)表示直角坐標(biāo)表示 極坐標(biāo)表示極坐標(biāo)表示 a b baA arctg

12、 | 22 或或 A b |A|a sin| cos l 復(fù)數(shù)運(yùn)算復(fù)數(shù)運(yùn)算 則則 A1A2=(a1a2)+j(b1b2) (1)(1)加減運(yùn)算加減運(yùn)算 采用代數(shù)形式采用代數(shù)形式 若若 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 A1 A2 Re Im 0 A b Re Im a0 |A| 圖解法圖解法 (2) (2) 乘除運(yùn)算乘除運(yùn)算 采用極坐標(biāo)形式采用極坐標(biāo)形式 )( | | e | | e| e| | | 21 2 1 )j( 2 1 2j 2 j 1 22 11 2 1 21 1 A A A A A A A A A A 除法：模相除，除法：模相除，輻輻角相減。角相減。 例例1. 乘法：模相

13、乘，輻角相加。乘法：模相乘，輻角相加。 則則: )( 2121 )( 212121 2121 AA eAAeAeAAA jjj ?2510475 )226. 4063. 9()657. 341. 3(2510475jj 569. 047.12j 61. 248.12 解解 若若 222 | AA 111 | AA 例例2. ? 5 j20 j6)(4 j9)(17 35 220 (3) (3) 旋轉(zhuǎn)因子：旋轉(zhuǎn)因子： 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) ej =cos +jsin =1 A ej 相當(dāng)于相當(dāng)于A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度 ， 而模不變，故把而模不變，故把 ej 稱為稱為旋轉(zhuǎn)因旋轉(zhuǎn)因 子子。 解解

14、2 .126j2 .180 原式原式 04.1462.20 3 .56211. 79 .2724.19 16.70728. 62 .126j2 .180 329. 6j238. 22 .126j2 .180 365 .2255 .132j5 .182 A Re Im 0 A ej jje j 2 sin 2 cos , 2 2 jje j ) 2 sin() 2 cos(, 2 2 1)sin()cos(, je j 故故 +j, j, -1 都可以看成旋轉(zhuǎn)因子。都可以看成旋轉(zhuǎn)因子。 幾種不同幾種不同 值時(shí)的旋轉(zhuǎn)因子值時(shí)的旋轉(zhuǎn)因子 Re Im 0 I I j I j I 兩個(gè)正弦量的相加兩個(gè)正

15、弦量的相加 因同頻的正弦量相加仍得到同頻的正弦量，所以，只因同頻的正弦量相加仍得到同頻的正弦量，所以，只 要確定初相位和有效值要確定初相位和有效值( (或最大值或最大值) )就行了。因此，就行了。因此， 2. 2. 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 正弦量正弦量復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) ) cos(2 111 y yw w tIi ) cos(2 222 y yw w tIi 實(shí)際是變實(shí)際是變 換的思想換的思想 i1 I1I2I3 w ww ww w i1+i2 i3i2 1 2 3 角頻率：角頻率： 有效值：有效值： 初相位：初相位： i3 w w t i i1 i2 0 l 正弦量的相量表示正弦量的相量表

16、示 造一個(gè)復(fù)函數(shù)造一個(gè)復(fù)函數(shù) )j( e2)( w w t ItA 對(duì)對(duì)A(t)取實(shí)部：取實(shí)部： ) cos(2)(RetItAw 對(duì)于任意一個(gè)正弦時(shí)間函數(shù)都有唯一與其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)函數(shù)對(duì)于任意一個(gè)正弦時(shí)間函數(shù)都有唯一與其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)函數(shù) ) j( 2)( ) (c2 t IetAtosIi w w w w A(t)包含了三要素：包含了三要素：I、 、w w ，復(fù)常數(shù)包含了復(fù)常數(shù)包含了I I , 。 A(t)還可以寫成還可以寫成 tt eIItA j j 2ee2)( j 復(fù)常數(shù)復(fù)常數(shù) ) sin(2j) cos(2tItI w w w w 無(wú)物理意義無(wú)物理意義 是一個(gè)正弦量是一個(gè)正弦量 有物理意義

17、有物理意義 ) cos(2)(UUtUtu w w ) cos(2)(IItIti w w 稱稱 為正弦量為正弦量 i(t) 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)的相量。的相量。 II 相量的模表示正弦量的有效值相量的模表示正弦量的有效值 相量的輻角表示正弦量的初相位相量的輻角表示正弦量的初相位 同樣可以建立正弦電壓與相量的對(duì)應(yīng)關(guān)系：同樣可以建立正弦電壓與相量的對(duì)應(yīng)關(guān)系： 已知已知例例1 1試用相量表示試用相量表示i, u . )V6014t311.1cos(3 A)30314cos(4 .141 o o u ti 解解 V60220 A30100 o o U I 在復(fù)平面上用向量表示相量的圖在復(fù)平面上用向量表示相量的圖

18、 IItosIti ) (c2)( UUtosUtu ) (c2)(w w 例例2 試寫出電流的瞬時(shí)值表達(dá)式。試寫出電流的瞬時(shí)值表達(dá)式。 解解 A)15314cos(250 ti . 50Hz A,1550 fI 已已知知 l 相量圖相量圖 U I +1 +j 3. 3. 相量法的應(yīng)用相量法的應(yīng)用 (1) (1) 同頻率正弦量的加減同頻率正弦量的加減 同頻正弦量相加減運(yùn)算變成對(duì)應(yīng)相量的相加減運(yùn)算。同頻正弦量相加減運(yùn)算變成對(duì)應(yīng)相量的相加減運(yùn)算。 )2(R) cos(2)( )2(R) cos(2)( j 2 222 j 1 111 t t eUetUtu eUetUtu w w w w w w

19、w w )(2(R)22(R )2(R)2(R)()( )( j 21 j 2 j 1 j 2 j 1 21 ttt tt eUUeeUeUe eUeeUetututu w ww ww w w ww w U 21 UUU 可得其相量關(guān)系為：可得其相量關(guān)系為： 321321 IIIiii 321321 UUUuuu 因此：因此： 例例 V )60314cos(24)( V )30314cos(26)( o 2 1 ttu ttu 也可借助相量圖計(jì)算也可借助相量圖計(jì)算 V604 V 306 o 2 o 1 U U V )9 .41314cos(264. 9)()()( o 21 ttututu 6

20、04306 21 UUU 30 1 U 9 .41 U Re Im 9 .41 30 1 U 60 2 U U 46. 32319. 5jj 46. 619. 7j V 9 .4164. 9 o 60 2 U 首尾相接首尾相接 Re Im 2 . 2 . 正弦量的微分、積分運(yùn)算正弦量的微分、積分運(yùn)算 ) cos(2 ii IItIiy yy yw w 2Re 2Re tj tj ejI eI dt d dt di w w w w w w tj tj e j I teIti 2Re d 2Red w w w w w w 微分運(yùn)算微分運(yùn)算:積分運(yùn)算積分運(yùn)算: 2 y yw ww w i IIj d

21、t di 2 y y w ww w i I j I idt 例例 ) cos(2)( i tItiy yw w 1 )( idt Cdt di LRitu 相量表達(dá)式運(yùn)算：相量表達(dá)式運(yùn)算： Cj I ILjIRU w w w w 相量法的優(yōu)點(diǎn)：相量法的優(yōu)點(diǎn)： （1）將時(shí)域問(wèn)題變?yōu)閺?fù)數(shù)問(wèn)題；）將時(shí)域問(wèn)題變?yōu)閺?fù)數(shù)問(wèn)題； （2）將微積分方程的運(yùn)算變?yōu)閺?fù)數(shù)方程運(yùn)算；）將微積分方程的運(yùn)算變?yōu)閺?fù)數(shù)方程運(yùn)算； （3）可以將直流電路的分析方法直接用于交流電路；）可以將直流電路的分析方法直接用于交流電路； 已知電流為正弦波，試寫出端口電壓的相量表達(dá)式。已知電流為正弦波，試寫出端口電壓的相量表達(dá)式。 L R i(

22、t) u(t) + - - C 向量法應(yīng)用原理及場(chǎng)合向量法應(yīng)用原理及場(chǎng)合 （2） 相量法只適用于激勵(lì)為同頻正弦量的非時(shí)變線性電路。相量法只適用于激勵(lì)為同頻正弦量的非時(shí)變線性電路。 （3） 相量法用于分析線性電路正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。相量法用于分析線性電路正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 N 線性線性 N 線性線性 w w1 w w2 非非 線性線性 w w 不適用不適用 （1）正弦量）正弦量相量相量 時(shí)域時(shí)域 頻域頻域 正弦波形圖正弦波形圖相量圖相量圖 8.3 8.3 電路定律的相量形式電路定律的相量形式 1. 1. 電阻元件電阻元件VCR的相量形式的相量形式 時(shí)域形式：時(shí)域形式： 相量形式：相量形式： uR i RI

23、U II 相量模型相量模型 )cos(2)( i tIti w w )cos(2)()( iR tRItRitu w w uR(t) i(t) R + - - 有效值關(guān)系有效值關(guān)系 相位關(guān)系相位關(guān)系 R + - - RU I 相量關(guān)系：相量關(guān)系： UR=RI u= i )cos(2 uR tU w w 時(shí)域模型時(shí)域模型 IRU R 瞬時(shí)功率：瞬時(shí)功率：iup RR 波形圖及相量圖：波形圖及相量圖： i w w t O uR pRR U I u= i URI 瞬時(shí)功率以瞬時(shí)功率以2w w交變。始終大于零，表明電阻始終吸收功率交變。始終大于零，表明電阻始終吸收功率 ) (cos22 i 2 tIU

24、 R ) (2cos1 i tIU R 同同 相相 位位 時(shí)域形式：時(shí)域形式： i(t) uL(t) L + - - 相量形式：相量形式： ) cos(2)( i tIti w w 相量模型相量模型 jw w L + - - LU I 相量關(guān)系：相量關(guān)系： 2. 2. 電感元件電感元件VCR的相量形式的相量形式 2 w w iL i LIU II 時(shí)域模型時(shí)域模型 ) sin(2 d )(d )( iL tIL t ti Ltu w ww w ) 2 cos( 2 i tILw ww w ) cos(2 uL tU w w UL=w w L I 有效值關(guān)系有效值關(guān)系 u= i +90相位關(guān)系相

25、位關(guān)系 IjX ILjU L L w w 感抗的物理意義：感抗的物理意義： (1) (1) 表示限制電流的能力；表示限制電流的能力；(2) (2) 感抗和頻率成正比；感抗和頻率成正比； w w XL 相量表達(dá)式相量表達(dá)式: XL=w w L=2 fL，稱為感抗，單位為稱為感抗，單位為 ( (歐姆歐姆) ) BL=1/w w L =1/2 fL，感納，單位為感納，單位為S (S (西門子西門子) ) 感抗和感納感抗和感納: ,ILjIjXU L w w ; , , ; , 0 ),(0 開路開路 短路短路直流直流 w w w w L L X X U Lj U L jUjBI L w w w w

26、11 功率：功率： ) (2sin ) sin()cos( m iL iimLLL tIU ttIUiup w w w ww w w w t i O uL pL 2 瞬時(shí)功率以瞬時(shí)功率以2w w交變，有正有負(fù)，一周期內(nèi)剛好互相抵消交變，有正有負(fù)，一周期內(nèi)剛好互相抵消 L U I i 波形圖及相量圖：波形圖及相量圖： 電壓超前電電壓超前電 流流900 時(shí)域形式：時(shí)域形式： 相量形式：相量形式： )cos(2)( u tUtu w w 相量模型相量模型 相量關(guān)系：相量關(guān)系： 3. 3. 電容元件電容元件VCR的相量形式的相量形式 )2 ( w w u C u CUI UU iC(t) u(t)C

27、+ - - 時(shí)域模型時(shí)域模型 U C I Cjw w 1 + - - ) 2 cos(2 u tCUw ww w ) sin(2 d )(d )( uC tCU t tu Cti w ww w ) cos(2 iC tI w w IC=w w C U 有效值關(guān)系有效值關(guān)系 i= u +90相位關(guān)系相位關(guān)系 CC C IjX I Cj U 1 w w XC=1/w w C， 稱為容抗，單位為稱為容抗，單位為 ( (歐姆歐姆) ) B B C = w w C， 稱為容納，單位為稱為容納，單位為 S S (西門子西門子) 容抗和頻率成反比；容抗和頻率成反比； w0， |XC| 直流開路直流開路( (

28、隔直隔直) ) w w ，|XC|0 0 高頻短路高頻短路( (旁路作用旁路作用) )w w |XC| 容抗與容納：容抗與容納： 相量表達(dá)式相量表達(dá)式: UCjUjBI I C jIjXU C C w w w w 1 功率：功率： )(2sin )sin()cos(2 uC uuC CC tUI ttUI uip w w t iC O u pC 2 瞬時(shí)功率以瞬時(shí)功率以2w w交變，有正有負(fù)，一周期內(nèi)剛好互相抵消交變，有正有負(fù)，一周期內(nèi)剛好互相抵消 U C I u 波形圖及相量圖：波形圖及相量圖： 電流超前電電流超前電 壓壓900 4. 4. 基爾霍夫定律的相量形式基爾霍夫定律的相量形式 0)

29、(ti 同頻率的正弦量加減可以用對(duì)應(yīng)的相量形式來(lái)進(jìn)行同頻率的正弦量加減可以用對(duì)應(yīng)的相量形式來(lái)進(jìn)行 計(jì)算。因此，在正弦電流電路中，計(jì)算。因此，在正弦電流電路中，KCL和和KVL可用相應(yīng)可用相應(yīng) 的相量形式表示：的相量形式表示： 上式表明：流入某一節(jié)點(diǎn)的所有正弦電流用相量表上式表明：流入某一節(jié)點(diǎn)的所有正弦電流用相量表 示時(shí)仍滿足示時(shí)仍滿足KCL；而任一回路所有支路正弦電壓用相量；而任一回路所有支路正弦電壓用相量 表示時(shí)仍滿足表示時(shí)仍滿足KVL。 02Re)( 21 tj eIIti w w 0I 0)(tu 0U )5(Cj I U C C w w 例例1 1試判斷下列表達(dá)式的正、誤：試判斷下列表達(dá)式的正、誤： Liju )1(w w 0 05 cos5 )2( tiw w m CUjI )3( m w w L L I U X L )4( L ILjU )6( L w w dt di Cu )7( m U m m I U I U Cjw w 1 L U I 例例2 2 A1A2 A0 Z1Z2 U 已知電流表讀數(shù)：已知電流表讀數(shù)：A18A A2 6A C jXZRZ 21 , 1 ）（若若A0? 為為何何參參數(shù)數(shù)）（ 21 , 2 ZRZ A0I0max=?