2.1導(dǎo)數(shù)的定義ppt課件

1、導(dǎo)數(shù)的概念 第二章導(dǎo)數(shù)與微分第二章導(dǎo)數(shù)與微分 引例引例 導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義 導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù) 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 Newton 16421727 英 國 物 理 學(xué) 家 和 數(shù) 學(xué) 家他在物理學(xué)上最主要的 成就是發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律. 數(shù)學(xué)上，他與德國萊布尼茲 創(chuàng)建了“微積分學(xué)” 費(fèi)爾馬阿基米德 Archimedes 前287前212 古希臘數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家在 數(shù)學(xué)上，他利用窮竭法解決了許 多復(fù)雜的曲線或曲面圍成的平面 圖形或立方體的求積問題 牛 頓 Pierre de Fermat 16011665 法國數(shù)學(xué)家律

2、師業(yè)余研究數(shù) 學(xué)解析幾何的創(chuàng)始人有著名的 “費(fèi)爾馬大定理” 1638年發(fā)現(xiàn)求 極值的方法，是微積分學(xué)的先驅(qū) 研究某個(gè)變量相對于另一個(gè)變量變化 導(dǎo)數(shù)研究的問題 的快慢程度 變化率問題 引例一變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度 時(shí)速度呢? 如：汽車記速器顯示的速度是瞬時(shí)速度，它能更準(zhǔn)確地 反映汽車每時(shí)刻的快慢程度那么，如何計(jì)算汽車行駛的瞬 設(shè)S是某一物體從某一選定時(shí)刻到時(shí)刻 t 所走過的 路程，的一個(gè)函數(shù)t現(xiàn)要求任一 0 t ，)(tSS 時(shí)刻 的瞬時(shí)速度. 則S是 t 很小時(shí)，以勻速代替變速， 那么，t 內(nèi)的平均速度為 , 00 ttt 00 tSttSS s O 0 tstts 0 t tSttS t S

3、 v 00 t 越小， 平均速度 v 就越接近于時(shí)刻 0 t的瞬時(shí)速度 0 tv 0 tvv t0 lim t S t 0 lim t tSttS t 00 0 lim 令 0t ，取極限，得到瞬時(shí)速度. 局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時(shí)速度，然后通過 取極限，從瞬時(shí)速度的近似值過渡到瞬時(shí)速度的精確值. 10, 0, 2 1 2 tgts 瞬時(shí)速度 2t )2(v 一小球做自由落體運(yùn)動(dòng)， 考察小球在 研究研究 其運(yùn)動(dòng)方程為 秒時(shí)的 . t s v t t 1.5,2 1.99,2 1.9999,2 0.5 0.01 0.0001 17.150 19.551 19.600 2 0 19.6

4、 2,2.001 0.001 19.605 2,2.01 0.01 19.649 22.050 0.5 2,2.5 其變化情況見下表 ： 從表上可以看出，不同時(shí)間段上的平均速度不相等，當(dāng)時(shí)間段 t v 很小時(shí)， 瞬時(shí)速度為 ./6 .19)2(smv 即 秒時(shí)的2t 很接近某一確定的值19.6 (m/s)， 平均速度 小球在 引例二 切線斜率 xfy 在點(diǎn) 0 x處的切線的斜率.求曲線 y x o xfy 0 xxx 0 x y T Q P ),(xfy 割線 PQ上點(diǎn) 沿曲線點(diǎn)，無限接近PQ的極限位置 對于曲線 割線 Q P 就是曲線在點(diǎn)的切線 P 曲線在 點(diǎn)處的切線的斜率就是割線 )( 0

5、, 0 yxP PQ 的斜率 為 x y x xfxxf )()( 00 時(shí)的極限 0 x當(dāng) x xfxxf x )()( lim 00 0 y x o xfy T Q 0 xxx 0 x y P 割線 的斜率 tg x y tgk x 0 lim 先以割線代替切線，算出割線的斜率，然后通過取極限， 從割線過渡到切線，求得切線的斜率. 此二例中，均勻變化與非均勻變化，局部以均勻代替非均勻 平均變化率 x y 一般地, , 0 x(1)xx 0 (2) x y x 0 lim (3) x xfxxf x 00 0 lim 00 xfxxfy 瞬時(shí)變化率 x y x 0 lim x y 設(shè)函數(shù) x

6、fy 在 0 x的某一鄰域內(nèi)有定義. 當(dāng)自變量x在 0 x 取得增量 x (點(diǎn)xx 0 仍在該鄰域內(nèi))時(shí), 因變量y也取得增量 00 xfxxfy 假如 y 與 x 之比當(dāng) 0 x 時(shí)的極限存在，則稱函數(shù) xfy 在點(diǎn) 0 x處可導(dǎo)， 并稱這個(gè)極限值為 xfy 在點(diǎn) 0 x處的導(dǎo)數(shù)， 記作 , 0 x f 即 , 0 xx y , 0 xx dx dy . 0 xx dx xdf 二、 概念和公式的引出 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) 00 00 ()() limlim xx f xxf xy xx 0 x f 也可記作 說明一： 假如 x y x 0 lim存在， ,lim 0 x y x 處導(dǎo)數(shù)為無窮大 0 x

7、在 處不可導(dǎo) 則稱 可導(dǎo)與不可導(dǎo)可導(dǎo)與不可導(dǎo) 假如 x y x 0 lim不存在， 0 x xfy 在 處可導(dǎo) 則稱 假如 xfy 則稱 0 x在 xfy 說明二： 如果函數(shù) f x( ) 在區(qū)間 ba, ba, 導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù) 內(nèi)每一點(diǎn)都有導(dǎo)數(shù)， 1 x 1 x f 2 x 2 x f x x f 函數(shù) 在區(qū)間 ba, y ， x y d d x xf d )(d f x( ) 導(dǎo)函數(shù)，即導(dǎo)函數(shù)，即 內(nèi)有一 也可記作 x xfxxf xf x 0 lim ， 導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系 區(qū)別： 0 ()fx 是一常數(shù). x f 是一函數(shù). 聯(lián)絡(luò)： 即 函數(shù) ( )f x在點(diǎn) x0處的導(dǎo)數(shù) 0 (

8、)fx 就是導(dǎo)函數(shù) x f 在 0 xx 處的值， 0 ()fx 0 x x fx 說明三： 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義 x y o T xfy 0 M 0 xxx 0 M x y 函數(shù) xf在點(diǎn) 0 x處的導(dǎo)數(shù) 0 x f 就是函數(shù)所表示的 曲線在點(diǎn) 00, y x 處切線 的斜率)( 0 xfk y x o 0 x xfy 0 0 xfk y x o 0 x xfy 0 xf 2 平行于x軸的切線垂直于x軸的切線 tgk y x o 3 xy 0 x x軸切線 說明四： )(tss 0 t 若物體的運(yùn)動(dòng)方程為 則物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度 )( )( 00 tstv 為路程關(guān)于時(shí)間的變化率，即

9、 速度、加速度的表示法速度、加速度的表示法 ， 00 00 ()() limlim xx f xxf xy xx 0 x f 0 tv t S t 0 lim t tSttS t 00 0 lim 0 tv 00 00 ()() limlim xx f xxf xy xx 0 x f 時(shí)間的變化率，物體在時(shí)刻的加速度為 加速度是速度v(t)關(guān)于 00 tvta 0 t 0 ta t v t 0 lim t tvttv t 00 0 lim 三、案例 圖中所顯示的是某地某年中 每天最高溫度的函數(shù)曲線， 指出大概什么時(shí)候溫度的變 化率為零. 15t211t 天天 案例1 溫度曲線 從某一時(shí)刻開始到

10、時(shí)刻 0 t 通過該導(dǎo)線橫截面的電量為那么Q為t的函數(shù) .tQQ 設(shè)有非穩(wěn)恒電流通過導(dǎo)線 案例2 電流強(qiáng)度 求時(shí)刻 0 t的電流強(qiáng)度 . 0 tI 00 tQtI 0 tI t tQttQ 00 t Q 0 lim t0 lim t ,Q 案例3 冷卻速度 當(dāng)物體的溫度高于周圍介質(zhì)的溫度時(shí)，物體就會(huì)不斷冷卻. 若物體的溫度T與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為 ).(tTT 請表示出物 體在時(shí)刻 0 t的冷卻速度？ 00) (tTtv 0 tv t tTttT 00 t T 0 lim t0 lim t 案例4 非均勻桿的線密度 設(shè)有一細(xì)棒，取棒的一端作為原點(diǎn)，棒上任意點(diǎn)的坐標(biāo)為 于是分布在區(qū)間x, 0上的質(zhì)

11、量m是x的函數(shù) ).(xmm 對于 均勻細(xì)棒來說，單位長度細(xì)棒的質(zhì)量叫做這細(xì)棒的線密度。如 果細(xì)棒是不均勻的，如何確定細(xì)棒在點(diǎn) 0 x線密度 . x . l 0 xml 總總 結(jié)結(jié) 1、導(dǎo)數(shù)的概念 00 00 ()() limlim xx f xxf xy xx 0 x x y 2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù) xf在點(diǎn) 0 x處的導(dǎo)數(shù) 0 x f 就是函數(shù)所表示的 曲線在點(diǎn) 00, y x處切線斜率)( 0 xfk 3、導(dǎo)數(shù)的概念的應(yīng)用 電流強(qiáng)度 、 冷卻速度等 導(dǎo)數(shù)在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 一、導(dǎo)數(shù)在初等代數(shù)中的應(yīng)用一、導(dǎo)數(shù)在初等代數(shù)中的應(yīng)用 例1 已知函數(shù)， （）求函數(shù)的最大值；

12、 （）設(shè)，證明： （2019年全國高考 ） ( )ln(1)f xxx lngxxx ( )f x 0ab0 ( )( ) 2 () ()ln2 2 a b g ag bgb a 例2 （1設(shè)函數(shù) （0 1，求函數(shù) 的最 （2設(shè)正數(shù) 滿足 證明： (2019年全國) 22 ( )log(1)log (1)f xxxxxx ( )f x 12 2 , n ppp 12 2 1 n ppp 1212223232 22 loglogloglog nn ppppppppn 小值 例3 已知函數(shù) （）設(shè) 0，討論 的單調(diào)性； （）若對任意 恒有 1，求 的取值范圍 （2019年全國套第21題，14分）

13、1 ( ) 1 ax x f xe x a( )yf x (0,1)x( )f xa 1 x 2 x 例4 已知函數(shù) （ 0）， 的導(dǎo)函數(shù)是 ，對任意兩個(gè)不相 （）當(dāng) 時(shí)， （）當(dāng) 時(shí)， （2019年四川理22題 ） 2 2 ( )lnf xxa x x x( )f x( )f x 0a 4a 等的正數(shù) 、 ，證明： 1212 ()() 22 fxfxxx f 1212 ()()fxfxxx 二、導(dǎo)數(shù)在幾何中的應(yīng)用 例1 設(shè)曲線 （ ）在點(diǎn) 處的切線 與 軸、 軸圍成的三角形面積 為 （）求切線 的方程； （）求 的最大值 （2019年浙江 ） x y e 0 x ( ,) t M t el

14、xy ( )S t l ( )S t 小結(jié) 一、導(dǎo)數(shù)的定義及其教學(xué) 二、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 例例 1 1 求函數(shù)求函數(shù) f (x) = x2 f (x) = x2 在在 x0 = 1 x0 = 1 處的導(dǎo)數(shù)，處的導(dǎo)數(shù)， 即即 f f (1).(1). 解解 第一步求第一步求 y y ： y = f (1+ x) - f (1) = (1+ x)2 - 12= 2x +(x)2 . ).0(2 )(2 2 xx x xx x y 第三步求極限：第三步求極限： . 2)2(limlim 00 x x y xx 所以，所以， f (1) = 2. 第二步求第二步求 ： x y 由定義求導(dǎo)數(shù)三步法）由定義求導(dǎo)

15、數(shù)三步法） 步驟步驟:);()()1(xfxxfy 求增量求增量 ; )()( )2( x xfxxf x y 算算比比值值 .lim)3( 0 x y y x 求求極極限限 例例.)()(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為常數(shù)為常數(shù)求函數(shù)求函數(shù)CCxf 解解 h xfhxf xf h )()( lim)( 0 h CC h 0 lim. 0 . 0)( C即即 例例 2 2求函數(shù)求函數(shù) y = x2 y = x2 在任意點(diǎn)在任意點(diǎn) x0 x0 ( ( , , ) )處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù). . 解解 y = f (x0 + x) - f (x0) = (x0 + x)2 - x02 = 2x0 x + (x) 2.

16、.2 )(2 0 2 0 xx x xxx x y 第二步求第二步求 ： x y 求法與例求法與例 1 1 一樣一樣. . 第一步求第一步求 y y： 第三步取極限：第三步取極限： .2)2(limlim 00 00 xxx x y xx 即即.2|)( 0 2 0 xx xx 有了上式，求具體某一點(diǎn)，如有了上式，求具體某一點(diǎn)，如 x0 = 1 x0 = 1 處導(dǎo)處導(dǎo) 數(shù)，就很容易了，只要將數(shù)，就很容易了，只要將 x0 = 1 x0 = 1 代入即得代入即得 . 2 |)( 1 2 0 x x 例例 3 3 說明，給定了說明，給定了 x0 x0 就對應(yīng)有函數(shù)就對應(yīng)有函數(shù) f (x) f (x)

17、 = x2= x2的導(dǎo)數(shù)值的導(dǎo)數(shù)值, ,這樣就形成了一個(gè)新的函數(shù)，這樣就形成了一個(gè)新的函數(shù)， f (x) = x2 的導(dǎo)函數(shù)，它的表達(dá)式就是的導(dǎo)函數(shù)，它的表達(dá)式就是 (x2) = 2x . 一般地，函數(shù)一般地，函數(shù) f (x) f (x) 的導(dǎo)函數(shù)記作的導(dǎo)函數(shù)記作 f f (x)(x)， 它的它的 計(jì)算公式是：計(jì)算公式是： . )()( lim)( 0 x xfxxf xf x 叫做函數(shù)叫做函數(shù) 類似例類似例 3 3，我們可以得，我們可以得 xn (nxn (n為整數(shù)為整數(shù)) ) 的導(dǎo)函的導(dǎo)函 數(shù)，數(shù)， 當(dāng)當(dāng) n 為任意實(shí)數(shù)為任意實(shí)數(shù) 時(shí)，上式仍成立，即時(shí)，上式仍成立，即 (xn)= nxn-

18、1 . (x ) = x -1 . 2 1 2 1 )( 2 1 xxx例如例如 . 11 2 21 x xx x ， x2 1 例例 4 4求求 f (x) = sin x f (x) = sin x 的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) ( x ( x ( ( ， ).). x xfxxf x y xf xx )()( limlim)( 00 解解 x xxx x sin)sin( lim 0 x xx x x 2 sin 2 cos2 lim 0 x x x x x x cos 2 2 sin 2 coslim 0 即即(sin x) = cos x. (cos x) = - sin x.類似可得類似可得

19、例例 5 5求求 f (x) = ln x (x f (x) = ln x (x (0, (0, ) ) ) ) 的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù). . x xfxxf x y xf xx )()( limlim)( 00 解解 x xxx x ln)ln( lim 0 x x x x 1ln lim 0 x x x x 0 lim. 1 x 即即 . 1 )(ln x x . ln 1 )(log ax x a 類似可得類似可得 解解 例例 6 6求求 f (x) = ex (x f (x) = ex (x (- (- , , ) ) ) ) 的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) . . x xfxxf x y xf xx )

20、()( limlim)( 00 x xxx x ee lim 0 即即(ex) = ex. 類似可得類似可得(ax) = ax lna . x x x x 1e elim 0 .e x x x x x 0 lime 函數(shù)函數(shù) y = f (x) y = f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 x0 處的導(dǎo)數(shù)的幾何意處的導(dǎo)數(shù)的幾何意 義義 就是曲線就是曲線 y = f (x) y = f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) (x0 (x0 ，f (x0) f (x0) 處的處的 切線的斜率切線的斜率, ,即即 tan = f (x0). y Ox y = f (x) x0 P 五、導(dǎo)數(shù)的幾何意義五、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 法線方程為

21、法線方程為 ).0)()( )( 1 00 0 0 xfxx xf yy 其中其中 y0 = f ( x0). y - y0 = f ( x0)(x - x0) . 由此可知曲線由此可知曲線 y = f (x)上點(diǎn)上點(diǎn) P0 處的切線方程為處的切線方程為 例例 2 2求曲線求曲線 y = x2 y = x2 在點(diǎn)在點(diǎn) (1, 1) (1, 1) 處的切處的切 線和法線方程線和法線方程. . 解從例解從例 1 1 知知 (x2) (x2) |x=1 = 2 , |x=1 = 2 , 即點(diǎn)即點(diǎn) (1, 1) (1, 1) 處的切線斜率為處的切線斜率為 2 2 ， 所以所以, 切線方程為切線方程為

22、y 1 = 2(x - 1). 即即 y = 2 x - 1. 法線方程為法線方程為).1( 2 1 1 xy 即即. 2 3 2 1 xy 定理如果函數(shù)定理如果函數(shù) y = f (x) y = f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 x0 處可導(dǎo)處可導(dǎo), , 那么那么 f (x) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 x0 處連續(xù)，其逆不真處連續(xù)，其逆不真. . 證證,lim 0 存在存在因?yàn)橐驗(yàn)?x y x 其中其中 y = f (x0 + y = f (x0 + x) - x) - f (x0)f (x0)，所以所以 x x y y xx00 limlim. 0limlim 00 x x y xx 六、可導(dǎo)與

23、連續(xù)的關(guān)系六、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 即函數(shù)即函數(shù) f (x) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 x0 處連處連 續(xù)續(xù). . 但其逆不真，即函數(shù)但其逆不真，即函數(shù) f ( x ) f ( x ) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 x0 處處 連續(xù)，連續(xù)， 而函數(shù)而函數(shù) f ( x ) f ( x ) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 x0 處不一定處不一定 可導(dǎo)可導(dǎo). . 例例 7 7 討論函數(shù)討論函數(shù) y = | x | y = | x | 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 = 0 x0 = 0 處處 的連續(xù)性與可導(dǎo)性的連續(xù)性與可導(dǎo)性. . 解解 y = f (0 + y = f (0 + x ) - f (0) x ) - f (0) .0 |limlim 00 xy xx = | 0 + x | - | 0 | = | x |， 即即 f ( x ) = | x | f ( x ) = | x | 在在 x0 = 0 x0 = 0 處連續(xù)，處連續(xù)， 卻卻不不然然而而 x y x 0 lim 存在，存在， , 1limlim 00 x x x y xx . 1limlim 00 x x x y xx 在在 x0 = 0 處左、右導(dǎo)數(shù)不相等，所以在處左、右導(dǎo)數(shù)不相等，所以在 x = 0 處函處函 數(shù)數(shù) y = | x | 不可導(dǎo)不可導(dǎo). 因?yàn)橐驗(yàn)?在點(diǎn)在點(diǎn) 0 x的某