第1章 運(yùn)動(dòng)學(xué) 楊宏春 (1)

1、力學(xué) 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué) 授課教師 楊宏春 研究對(duì)象：研究對(duì)象：描述描述物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及研究物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及研究物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變的原因改變的原因 適用條件：適用條件：宏觀物體；低速宏觀物體；低速 (牛頓力學(xué)牛頓力學(xué))，高速，高速 (相對(duì)論相對(duì)論) 重要概念重要概念 運(yùn)動(dòng)的絕對(duì)性與相對(duì)性觀念、參照系與坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)的絕對(duì)性與相對(duì)性觀念、參照系與坐標(biāo)系 (建立經(jīng)典力學(xué)前提建立經(jīng)典力學(xué)前提) 時(shí)間、空間、質(zhì)量、運(yùn)動(dòng)疊加原理、時(shí)空觀、對(duì)稱性等概念的理解時(shí)間、空間、質(zhì)量、運(yùn)動(dòng)疊加原理、時(shí)空觀、對(duì)稱性等概念的理解 知識(shí)體系知識(shí)體系 運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)體系的建立及各結(jié)構(gòu)之間的邏輯關(guān)系運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)知

2、識(shí)結(jié)構(gòu)體系的建立及各結(jié)構(gòu)之間的邏輯關(guān)系 方法體系方法體系 物理理論建立的方法：分類、模型、引入?yún)⒘?、建立理論、?shí)際應(yīng)用物理理論建立的方法：分類、模型、引入?yún)⒘?、建立理論、?shí)際應(yīng)用 初步體驗(yàn)應(yīng)用力學(xué)知識(shí)體系與方法體系解決實(shí)際問題初步體驗(yàn)應(yīng)用力學(xué)知識(shí)體系與方法體系解決實(shí)際問題 物理理論真?zhèn)涡耘袚?jù)：對(duì)稱性原理物理理論真?zhèn)涡耘袚?jù)：對(duì)稱性原理 1.1 運(yùn)動(dòng)的可認(rèn)知性運(yùn)動(dòng)的可認(rèn)知性絕對(duì)運(yùn)動(dòng)與相對(duì)靜止的辯證統(tǒng)一絕對(duì)運(yùn)動(dòng)與相對(duì)靜止的辯證統(tǒng)一 案例討論案例討論：關(guān)于物質(zhì)運(yùn)動(dòng)屬性的兩種哲學(xué)論斷：關(guān)于物質(zhì)運(yùn)動(dòng)屬性的兩種哲學(xué)論斷 赫拉克利特赫拉克利特：“人不能兩次踏進(jìn)同一條河流人不能兩次踏進(jìn)同一條河流” 克拉底魯克拉

3、底魯：“人不能同一次踏進(jìn)同一條河流人不能同一次踏進(jìn)同一條河流” 案例分析案例分析 赫拉克利特赫拉克利特 人可同一次踏進(jìn)同一條河流人可同一次踏進(jìn)同一條河流 人不可兩次次踏進(jìn)同一條河流人不可兩次次踏進(jìn)同一條河流 沒有靜止河流，沒有靜止河流，運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的 同一時(shí)刻河流存在同一時(shí)刻河流存在相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài) 河流是河流是可認(rèn)知可認(rèn)知、可描述的、可描述的 認(rèn)知的河流是認(rèn)知的河流是變化的變化的，有條件有條件的的 克拉底魯克拉底魯 人不可同一次踏進(jìn)同一條河流人不可同一次踏進(jìn)同一條河流 定量描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的物理學(xué)是不可能或無意義的定量描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的物理學(xué)是不可能或無意義的 沒有靜止河流，沒有靜

4、止河流，運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的同一時(shí)刻河流都不存在同一時(shí)刻河流都不存在相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài) 物質(zhì)運(yùn)動(dòng)是物質(zhì)運(yùn)動(dòng)是不可知不可知、不可描述不可描述的的 思辨物理學(xué)思辨物理學(xué)或思辨哲學(xué)或思辨哲學(xué) 物質(zhì)運(yùn)動(dòng)可描述的前提是承認(rèn)相對(duì)靜止的存在；物質(zhì)運(yùn)動(dòng)可描述的前提是承認(rèn)相對(duì)靜止的存在； 描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)是有前提、有條件的描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)是有前提、有條件的 (運(yùn)動(dòng)的絕對(duì)性要求運(yùn)動(dòng)的絕對(duì)性要求)； 1.2 參照物與參考系參照物與參考系 1.2.1 參照物與參考系的基本概念參照物與參考系的基本概念 參照物參照物：被選取、且能用來描述物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物體：被選取、且能用來描述物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物體 參考系參考系：固定在參

5、照物之上的數(shù)學(xué)坐標(biāo)系：固定在參照物之上的數(shù)學(xué)坐標(biāo)系 討論討論：數(shù)學(xué)點(diǎn)能否作為參照物？：數(shù)學(xué)點(diǎn)能否作為參照物？ 羅列常見的數(shù)學(xué)坐標(biāo)系羅列常見的數(shù)學(xué)坐標(biāo)系 1.2.2 數(shù)學(xué)知識(shí)復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)復(fù)習(xí)矢量及其運(yùn)算法則矢量及其運(yùn)算法則 矢量矢量：有大小、方向，且滿足確定：有大小、方向，且滿足確定加法加法、乘法乘法運(yùn)算的物理量運(yùn)算的物理量 (物理學(xué)物理學(xué)) (1) 矢量的相關(guān)定義矢量的相關(guān)定義 矢量的直角坐標(biāo)表示矢量的直角坐標(biāo)表示 zzyyxx eaeaeaa 矢量的摸矢量的摸 222 zyx aaaa (直角坐標(biāo)系表示直角坐標(biāo)系表示) 矢量的方向矢量的方向 zyxa eeee )(cos)(cos)(cos

6、 1coscoscos 222 矢量加法運(yùn)算矢量加法運(yùn)算 滿足平行四邊形法則滿足平行四邊形法則 矢量減法運(yùn)算矢量減法運(yùn)算)( baba 矢量數(shù)乘運(yùn)算矢量數(shù)乘運(yùn)算 a eakak 矢量標(biāo)積運(yùn)算矢量標(biāo)積運(yùn)算),cos(bababa 矢量矢積運(yùn)算矢量矢積運(yùn)算 zyx zyx zyx bbb aaa eee bababa ),sin( abba (交換律交換律) )()()()(dbcadcba (結(jié)合律結(jié)合律) 加法加法運(yùn)算，四邊形法則運(yùn)算，四邊形法則 (2) 矢量運(yùn)算法則矢量運(yùn)算法則 abba (標(biāo)積交換律標(biāo)積交換律) cabacba )(標(biāo)積分配律標(biāo)積分配律) cabacba )(矢積分配律矢積

7、分配律) )()()(acbbaccba (標(biāo)量三重積標(biāo)量三重積) )()()(baccabcba (矢量三重積矢量三重積) 乘法乘法運(yùn)算法則運(yùn)算法則 解：解：因因 t B E )()(B t E 上式左邊上式左邊EEE 2 )()( )()()(baccabcba 0 E EE 2 )( 上式右邊上式右邊 2 2 002 2 0 )( t E t D B t HB 0 t D H ED 0 0 1 2 00 2 2 E t E 例例1.2.1 已知：已知： ， ， ，0 E 0 B t B E t D H 其中其中 ， HB 0 ED 0 證明：證明： 0 1 2 00 2 2 E t E

8、(3) 矢量微分運(yùn)算法則矢量微分運(yùn)算法則 t b t a ba td d d d )( d d t a tfa t tf atf td d )( d )(d )( d d t b ab t a ba td d d d )( d d t b ab t a ba td d d d )( d d (4) 矢量積分運(yùn)算法則矢量積分運(yùn)算法則 i i t t i t t i ii etatea 3 1 3 1 dd 2 1 2 1 zayaxara zyx dddd 例例1.2.2 矢量矢量 ，計(jì)算，計(jì)算 aa eaeaa ? d d t a 解解 t ea t a a d )d( d d t a tfa

9、 t tf atf td d )( d )(d )( d d t e ae t a t ea a a a d d d d d )d( t e ae t a t ea a a a d d d d d )d( 討論討論 A 徑向變化率：徑向變化率：沿矢量原方向的伸縮變化率沿矢量原方向的伸縮變化率 a e t a d d B 切向變化率：切向變化率：沿矢量原切向的方向變化率沿矢量原切向的方向變化率 e tt ea d d d d e t e t e t tette t e a t aa t a d d lim )()( lim d d 00 四邊形法則四邊形法則導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)數(shù)定義 問題：問題：A 如果

10、矢量如果矢量 表示位移，則徑向、橫向變化率表示什么物理量？表示位移，則徑向、橫向變化率表示什么物理量？ B 如果單位矢量如果單位矢量 不隨時(shí)間發(fā)生旋轉(zhuǎn)不隨時(shí)間發(fā)生旋轉(zhuǎn)(如直角坐標(biāo)如直角坐標(biāo))，切向變化率為？，切向變化率為？ C 圓周運(yùn)動(dòng)中速度矢量可寫為圓周運(yùn)動(dòng)中速度矢量可寫為 ，則單位矢量切向變化率指？，則單位矢量切向變化率指？ a a e e vv 1.2.3 典型參考系典型參考系 (1) 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 定義定義：由三條共點(diǎn)：由三條共點(diǎn)(原點(diǎn)原點(diǎn))且兩兩互相垂直的射線構(gòu)成的坐標(biāo)系且兩兩互相垂直的射線構(gòu)成的坐標(biāo)系 矢量表示矢量表示 zzyyxx eaeaeaa 矢量的摸矢量的摸 222

11、 zyx aaaa 矢量方向矢量方向 zyxa eeee )(cos)(cos)(cos 矢量求導(dǎo)矢量求導(dǎo) z z y y x x e t a e t a e t a t a d d d d d d d d 0 d d d d d d t e t e t e z y x (2) 自然坐標(biāo)系自然坐標(biāo)系 定義定義：在已知運(yùn)動(dòng)軌跡上任取原點(diǎn)：在已知運(yùn)動(dòng)軌跡上任取原點(diǎn) o，質(zhì)點(diǎn)距原點(diǎn)長度，質(zhì)點(diǎn)距原點(diǎn)長度 s 來確定質(zhì)點(diǎn)位置來確定質(zhì)點(diǎn)位置 p1 p2 O s n 軌道軌道 曲率園曲率園 矢量表示矢量表示 eaa n e t ae t a t ea d d d d d )d( 矢量求導(dǎo)矢量求導(dǎo)參例題參例題

12、1.2.2，并獨(dú)立推導(dǎo)，并獨(dú)立推導(dǎo) P1點(diǎn)曲率點(diǎn)曲率 ss k s d d lim 0 P1點(diǎn)曲率半徑點(diǎn)曲率半徑 d d1s k v 獨(dú)立推導(dǎo)獨(dú)立推導(dǎo) P1點(diǎn)曲率圓點(diǎn)曲率圓：過：過 P1點(diǎn)、且半徑等于曲率半徑的切線圓點(diǎn)、且半徑等于曲率半徑的切線圓 (3) 極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系 定義定義：由共點(diǎn)于原點(diǎn)：由共點(diǎn)于原點(diǎn)o的固定直線、射線構(gòu)成的坐標(biāo)系，稱射線為的固定直線、射線構(gòu)成的坐標(biāo)系，稱射線為極軸極軸 er o e 矢量表示矢量表示 rre aa 矢量求導(dǎo)矢量求導(dǎo) e t ae t a t ea rr rrr d d d d d )d( o a s ar(t) ar(t+ t) a ar 課后作業(yè)課后

13、作業(yè) A 參例參例1.2.2，推導(dǎo)自然坐標(biāo)和極坐標(biāo)矢量求導(dǎo)部分內(nèi)容，推導(dǎo)自然坐標(biāo)和極坐標(biāo)矢量求導(dǎo)部分內(nèi)容 B 當(dāng)矢量代表不同物理意義時(shí)，求導(dǎo)結(jié)果表示物理圖像當(dāng)矢量代表不同物理意義時(shí)，求導(dǎo)結(jié)果表示物理圖像 C 在球坐標(biāo)、柱坐標(biāo)中討論矢量表示及求導(dǎo)在球坐標(biāo)、柱坐標(biāo)中討論矢量表示及求導(dǎo) D 在極坐標(biāo)下推導(dǎo)圓周運(yùn)動(dòng)的法向、切向加速度在極坐標(biāo)下推導(dǎo)圓周運(yùn)動(dòng)的法向、切向加速度 1.3 運(yùn)動(dòng)疊加原理與機(jī)械運(yùn)動(dòng)分類運(yùn)動(dòng)疊加原理與機(jī)械運(yùn)動(dòng)分類 1.3.1 運(yùn)動(dòng)疊加原理運(yùn)動(dòng)疊加原理 A 同時(shí)參與多個(gè)矢量運(yùn)動(dòng)的物體，將按矢量同時(shí)參與多個(gè)矢量運(yùn)動(dòng)的物體，將按矢量合成合成法則運(yùn)動(dòng)法則運(yùn)動(dòng) B 物體的任意矢量運(yùn)動(dòng)，總可按

14、平行四邊形法則物體的任意矢量運(yùn)動(dòng)，總可按平行四邊形法則分解分解為多方向矢量運(yùn)動(dòng)為多方向矢量運(yùn)動(dòng) C 物體同時(shí)參與多個(gè)矢量運(yùn)動(dòng)，其任意分矢量運(yùn)動(dòng)互相物體同時(shí)參與多個(gè)矢量運(yùn)動(dòng)，其任意分矢量運(yùn)動(dòng)互相獨(dú)立獨(dú)立 例例1.3.1：質(zhì)點(diǎn)從如圖所示位置：質(zhì)點(diǎn)從如圖所示位置 A 開始做勻速圓周運(yùn)動(dòng)開始做勻速圓周運(yùn)動(dòng) 求解求解：(1) 請(qǐng)將二維圓周運(yùn)動(dòng)分解為沿請(qǐng)將二維圓周運(yùn)動(dòng)分解為沿 x、y 方向的矢量運(yùn)動(dòng)方向的矢量運(yùn)動(dòng) (2) 由由x、y 方向的矢量運(yùn)動(dòng)得到質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程方向的矢量運(yùn)動(dòng)得到質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程 (3) 如果質(zhì)點(diǎn)還參與如果質(zhì)點(diǎn)還參與 z 方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)，寫出方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)，寫出 t 時(shí)刻位置矢量

15、時(shí)刻位置矢量 R t x y o A 解解：(1) yx etRetRtr )sin()cos()( (2) 依運(yùn)動(dòng)疊加原理中的矢量合成原理，可得軌跡方程依運(yùn)動(dòng)疊加原理中的矢量合成原理，可得軌跡方程 222 Ryx (3) 依運(yùn)動(dòng)疊加原理中的獨(dú)立性原理依運(yùn)動(dòng)疊加原理中的獨(dú)立性原理 zzyx etetRetRtr )()sin()cos()(v R t x y o A 課后作業(yè)課后作業(yè) 已知質(zhì)點(diǎn)參與已知質(zhì)點(diǎn)參與x、y 方向的矢量運(yùn)動(dòng)，且時(shí)刻方向的矢量運(yùn)動(dòng)，且時(shí)刻 t 的位置矢量可表為的位置矢量可表為 (1) 給出質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程；給出質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程； (2) 通過計(jì)算機(jī)編程，動(dòng)態(tài)演示質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程

16、通過計(jì)算機(jī)編程，動(dòng)態(tài)演示質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程 yx etAetAtr )cos()cos()( 2211 1.3.2 機(jī)械運(yùn)動(dòng)的分類機(jī)械運(yùn)動(dòng)的分類 物體任意復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)，原則上總可以分解為幾種典型運(yùn)動(dòng)的疊加物體任意復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)，原則上總可以分解為幾種典型運(yùn)動(dòng)的疊加 物體參與任意多種的機(jī)械運(yùn)動(dòng)，總可以通過合成的方法求出其軌跡物體參與任意多種的機(jī)械運(yùn)動(dòng)，總可以通過合成的方法求出其軌跡 物體任一方向的矢量運(yùn)動(dòng)，不影響其它方向的矢量運(yùn)動(dòng)物體任一方向的矢量運(yùn)動(dòng)，不影響其它方向的矢量運(yùn)動(dòng) 機(jī)械運(yùn)動(dòng)機(jī)械運(yùn)動(dòng) 質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)簡諧振動(dòng)簡諧振動(dòng)簡諧波動(dòng)簡諧波動(dòng) (1) 運(yùn)動(dòng)疊加原理對(duì)運(yùn)動(dòng)描述的啟示運(yùn)動(dòng)疊加

17、原理對(duì)運(yùn)動(dòng)描述的啟示 (2) 機(jī)械運(yùn)動(dòng)的分類機(jī)械運(yùn)動(dòng)的分類 1.4 典型機(jī)械運(yùn)動(dòng)的物理模型典型機(jī)械運(yùn)動(dòng)的物理模型 1.4.1 理想模型化方法理想模型化方法 定義定義：忽略影響物理對(duì)象運(yùn)動(dòng)的次要因素，抽象得到近似實(shí)際物理模型方法：忽略影響物理對(duì)象運(yùn)動(dòng)的次要因素，抽象得到近似實(shí)際物理模型方法 單擺運(yùn)動(dòng)單擺運(yùn)動(dòng) O A C B 物體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)物體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng) O A B A B C O 平面機(jī)械波模型平面機(jī)械波模型 A 1 t 2 o 案例案例 1.4.2 幾種典型運(yùn)動(dòng)學(xué)模型幾種典型運(yùn)動(dòng)學(xué)模型 質(zhì)點(diǎn)模型質(zhì)點(diǎn)模型：當(dāng)物體的線度、形狀對(duì)其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響可忽略，用一個(gè)集中：當(dāng)物體的線度、形狀對(duì)其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影

18、響可忽略，用一個(gè)集中 了物體所有質(zhì)量的數(shù)學(xué)點(diǎn)來代表物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，該點(diǎn)稱質(zhì)點(diǎn)了物體所有質(zhì)量的數(shù)學(xué)點(diǎn)來代表物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，該點(diǎn)稱質(zhì)點(diǎn) 剛體模型剛體模型：當(dāng)物體的形變對(duì)其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響可以忽略不計(jì)時(shí)，將物體看：當(dāng)物體的形變對(duì)其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響可以忽略不計(jì)時(shí)，將物體看 作為一個(gè)不發(fā)生形變的幾何體作為一個(gè)不發(fā)生形變的幾何體 諧振子模型諧振子模型：當(dāng)物體收受合外力可以近似為：當(dāng)物體收受合外力可以近似為F=-kx 時(shí)，稱該物體的運(yùn)動(dòng)為時(shí)，稱該物體的運(yùn)動(dòng)為 簡諧振動(dòng)簡諧振動(dòng) 簡諧波模型簡諧波模型：不考慮色散與損耗的簡諧波傳播模型：不考慮色散與損耗的簡諧波傳播模型 1.5 描述運(yùn)動(dòng)的物理參量描述運(yùn)動(dòng)的物理參量

19、1.5.1 時(shí)間參量時(shí)間參量 (1) 時(shí)間的概念與度量標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間的概念與度量標(biāo)準(zhǔn) 時(shí)間時(shí)間：描述物質(zhì)：描述物質(zhì)持續(xù)性持續(xù)性、順序性順序性的物理參量的物理參量 度量度量：銫：銫133原子基態(tài)兩個(gè)超精細(xì)結(jié)構(gòu)間躍遷輻射周期的原子基態(tài)兩個(gè)超精細(xì)結(jié)構(gòu)間躍遷輻射周期的9192631770倍為倍為1秒秒 (2) 同時(shí)性的相對(duì)性問題同時(shí)性的相對(duì)性問題 A 邁克爾遜邁克爾遜莫雷實(shí)驗(yàn)?zāi)讓?shí)驗(yàn) 光在真空中的傳播的速率均為光在真空中的傳播的速率均為c c，與信號(hào)源的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無關(guān)，與信號(hào)源的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無關(guān) B 同時(shí)性的相對(duì)性問題分析同時(shí)性的相對(duì)性問題分析 同時(shí)性的相對(duì)性同時(shí)性的相對(duì)性 (分析分析s系、系、s系觀察光到達(dá)時(shí)間

20、的時(shí)間間隔系觀察光到達(dá)時(shí)間的時(shí)間間隔) 相對(duì)時(shí)間相對(duì)時(shí)間：不同坐標(biāo)系下測量到的時(shí)間間隔：不同坐標(biāo)系下測量到的時(shí)間間隔 存在相對(duì)時(shí)間的根源存在相對(duì)時(shí)間的根源 C 絕對(duì)時(shí)間絕對(duì)時(shí)間 無限大光速假設(shè)無限大光速假設(shè) 絕對(duì)宇宙時(shí)鐘絕對(duì)宇宙時(shí)鐘 絕對(duì)時(shí)間觀念絕對(duì)時(shí)間觀念 D 時(shí)間的含義時(shí)間的含義 物質(zhì)、時(shí)間、空間、物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的辯證統(tǒng)一物質(zhì)、時(shí)間、空間、物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的辯證統(tǒng)一 y y u S S z O O p2 p1 x x z (3) 文獻(xiàn)查閱與小班討論文獻(xiàn)查閱與小班討論 時(shí)間概念的內(nèi)涵時(shí)間概念的內(nèi)涵 同時(shí)性的相對(duì)性問題同時(shí)性的相對(duì)性問題 地方時(shí)間、慣性系時(shí)間與時(shí)間測量和技術(shù)地方時(shí)間、慣性系時(shí)間與時(shí)間測量和技

21、術(shù) 對(duì)稱性原理與洛倫茲變換對(duì)稱性原理與洛倫茲變換 辯證唯物主義時(shí)空觀辯證唯物主義時(shí)空觀 1.5.2 描述運(yùn)動(dòng)的線參量描述運(yùn)動(dòng)的線參量 (1) 位置矢量與運(yùn)動(dòng)方程位置矢量與運(yùn)動(dòng)方程 位置矢量位置矢量：時(shí)刻：時(shí)刻t，由坐標(biāo)原點(diǎn)指向質(zhì)點(diǎn)的有向線段，由坐標(biāo)原點(diǎn)指向質(zhì)點(diǎn)的有向線段 位置矢量特征位置矢量特征：相對(duì)性：相對(duì)性參考系，瞬時(shí)性參考系，瞬時(shí)性時(shí)刻時(shí)刻 t，矢量性，矢量性 zzyyxx eaeaeaa 運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程：位置矢量的時(shí)間函數(shù)：位置矢量的時(shí)間函數(shù) zzyyxx etaetaetata )()()()( 軌道方程軌道方程 ：質(zhì)點(diǎn)在空間運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌跡方程：質(zhì)點(diǎn)在空間運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌跡方程 例例 ：運(yùn)

22、動(dòng)學(xué)方程與軌跡方程求解：運(yùn)動(dòng)學(xué)方程與軌跡方程求解 (參參例例1.3.1，略，略) (2) 位移與路程位移與路程 位移位移：在時(shí)間：在時(shí)間t內(nèi)，由初始位矢指向末位矢的有向線段內(nèi)，由初始位矢指向末位矢的有向線段 )()(trttrra o a s ar(t) ar(t+ t) a ar 222 zyxra 路程路程：在時(shí)間：在時(shí)間 t 內(nèi)，物體運(yùn)動(dòng)軌跡的長度內(nèi)，物體運(yùn)動(dòng)軌跡的長度 注意注意：路程與位移的區(qū)別、聯(lián)系：路程與位移的區(qū)別、聯(lián)系(略略) (3) 速度與速率速度與速率 平均速度平均速度 z z y y x x zyxeeee t z e t y e t x t r vvvv 速度速度 z z

23、 y y x x zyxeeee t z e t y e t x t r vvvv d d d d d d d d 平均速率平均速率 t s v 即時(shí)速率即時(shí)速率 t s d d vv 注意注意 即時(shí)速度不一定等于平均速度，只有在勻速直線運(yùn)動(dòng)情形下兩者相等即時(shí)速度不一定等于平均速度，只有在勻速直線運(yùn)動(dòng)情形下兩者相等 平均速率不一定等于即時(shí)速率平均速率不一定等于即時(shí)速率 即時(shí)速率與即時(shí)速度的大小相等即時(shí)速率與即時(shí)速度的大小相等 v t r t s tt00 limlimv 例例1.5.1 已知一質(zhì)點(diǎn)沿已知一質(zhì)點(diǎn)沿 x 軸作直線運(yùn)動(dòng)，軸作直線運(yùn)動(dòng)，t 時(shí)刻的坐標(biāo)為時(shí)刻的坐標(biāo)為 x=4.5t2-2t

24、3 求求：(1) 第二秒內(nèi)的平均速度、平均速率第二秒內(nèi)的平均速度、平均速率 (2) 第二秒末的即時(shí)速度第二秒末的即時(shí)速度 解解：(1) 第二秒內(nèi)的第二秒內(nèi)的平均速度平均速度 ) s/m(5 . 0 12 )1()2( xxx ee xx e t x v 第二秒內(nèi)的第二秒內(nèi)的平均速率平均速率 由平均速率定義由平均速率定義 ，需考慮速度方向是否發(fā)生改變，需考慮速度方向是否發(fā)生改變，令令 t s v 5 . 10)69( d d 2 tett t x x v ) s /m(25. 2 1 )5 . 1()2()1()5 . 1( xxxx t s v (2) 第二秒末的第二秒末的即時(shí)速度即時(shí)速度 x

25、x ette t x )69( d d2 v 當(dāng)當(dāng) t=2 s 時(shí)，時(shí)，v=6 (m/s) (4) 平均加速度與加速度平均加速度與加速度 平均加速度平均加速度 zzyyxxz z y y x x eaeaeae t e t e t t a vvv v 加速度加速度 zzyyxxz z y y x x eaeaeae t e t e t t a d d d d d d d d vvv v 說明說明：加速度與速度改變量的方向一致，與速度本身方向無關(guān)：加速度與速度改變量的方向一致，與速度本身方向無關(guān) 加速度方向總指向軌跡曲線的凹側(cè)加速度方向總指向軌跡曲線的凹側(cè) (由高數(shù)二階導(dǎo)數(shù)知識(shí)由高數(shù)二階導(dǎo)數(shù)知識(shí)

26、) 例例1.5.2 給出自然坐標(biāo)系下速度、加速度表示給出自然坐標(biāo)系下速度、加速度表示 解解：在自然坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的：在自然坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度速度 P1 P2 O s n 軌道軌道 曲率園曲率園 (t+ t) (t) ee t s t s t vv d d lim 0 自然坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的自然坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度加速度 t e t s e t s ae t s tt a d d d d d d d d d d d d 2 2 v 利用利用速率速率的定義得的定義得 t e e t a d d d d v v 因因 n t n t e t e t e tt d d limlim

27、d d 00 v t s std d d d d d P1 P2 O s n 軌道軌道 曲率園曲率園 (t+ t) (t) nnn eaeaee t a 2 vv d d 討論討論 t a d dv 切向加速度切向加速度，代表質(zhì)點(diǎn)在切線方向，代表質(zhì)點(diǎn)在切線方向速率速率變化的快慢變化的快慢 2 v n a法向加速度法向加速度， 表示質(zhì)點(diǎn)速度方向變化的快慢表示質(zhì)點(diǎn)速度方向變化的快慢 22 n aaa 加速度大小加速度大小加速度方向加速度方向 a a tg n 例例1.5.3 給出極坐標(biāo)系下速度、加速度表示給出極坐標(biāo)系下速度、加速度表示 解解：在極坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的：在極坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度速

28、度 er o e t e re t r er t r rr d d d d )( d d v 因因 ee tt er d d d d eeere t r er t rrr vvv r d d )( d d 討論討論 t r d d r v 徑向速度徑向速度，代表質(zhì)點(diǎn)在徑向方向，代表質(zhì)點(diǎn)在徑向方向矢量模矢量模變化的快慢變化的快慢 r v切向速度切向速度，代表質(zhì)點(diǎn)，代表質(zhì)點(diǎn)徑向方向徑向方向變化的快慢變化的快慢 極坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的極坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度加速度 )( d d )( d d d d e t e tt a r vv v r rr ee t ee t v v v v r r d d

29、 d d e t e t r r r v v v v d d d d e aea rr 討論討論 er o e v vr t ar d d 徑向加速度徑向加速度，徑向方向，徑向方向速度速度變化的快慢變化的快慢 r v v t a d d 切向加速度切向加速度，切向方向，切向方向速度速度變化的快慢變化的快慢 例例1.5.4：質(zhì)點(diǎn)從如圖所示位置：質(zhì)點(diǎn)從如圖所示位置 A 開始做勻速圓周運(yùn)動(dòng)開始做勻速圓周運(yùn)動(dòng) 求解求解：(1) 描述質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)描述質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài) (2) 證明速度方向沿圓周切向，加速度指向圓心證明速度方向沿圓周切向，加速度指向圓心 R t x y o A 解解：(1) 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程運(yùn)動(dòng)

30、學(xué)方程 yx etRetRtr )sin()cos()( 軌跡方程軌跡方程 222 Ryx 速度速度 yx e tRe tRt cossin)( v 加速度加速度 re tRe tRta xx 222 sincos)( (2) 速度方向速度方向 0 r v 方向沿圓周切向方向沿圓周切向 加速度方向加速度方向 rta )(方向指向圓心方向指向圓心 例例1.5.5 如圖，燈距地面高度如圖，燈距地面高度h1，身高，身高h(yuǎn)2 的人在燈下以勻速率的人在燈下以勻速率 v 水平直線行走水平直線行走 求求：他的頭頂在地面上的影子：他的頭頂在地面上的影子M點(diǎn)沿地面的移動(dòng)速度點(diǎn)沿地面的移動(dòng)速度 o M h1 h2

31、 v x1 x2 C D A 解解：建立圖示坐標(biāo)系，建立圖示坐標(biāo)系，由三角形由三角形MCD與三角形與三角形MAO相似相似 1 2 2 12 h h x xx 21 11 2 hh xh x t x t x M d d d d 12 vv，注意到注意到 21 1 hh h M v v 故影子故影子M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度為點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度為 例例1.5.6 質(zhì)點(diǎn)沿質(zhì)點(diǎn)沿 x 軸運(yùn)動(dòng)，已知軸運(yùn)動(dòng)，已知 a =-kv，k為常量，為常量，t=0 時(shí)，時(shí)， x =x 0 ，v =v0 求求：質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程：質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程 kt e 0 vv完成積分得完成積分得 t tk 0 d)(d 1 0 v v v v ta t a

32、dd d d v v 解解: t x d d v 又由又由tex kt x x t dd 0 0 0 v )1( 0 0 kt e k xx v 1.5.3 描述運(yùn)動(dòng)的角參量描述運(yùn)動(dòng)的角參量 (1) 描述剛體運(yùn)動(dòng)的角參量描述剛體運(yùn)動(dòng)的角參量 角位移角位移：物體時(shí)間：物體時(shí)間t 內(nèi)繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過的角度內(nèi)繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過的角度 ，規(guī)定，規(guī)定逆時(shí)針逆時(shí)針方向角位移為正方向角位移為正 )()(ttt 角速度角速度：時(shí)刻：時(shí)刻 t，角位移隨時(shí)間的變化率，角位移隨時(shí)間的變化率 td d 角加速度角加速度：時(shí)刻：時(shí)刻 t，角速度隨時(shí)間的變化率，角速度隨時(shí)間的變化率 td d 思考題思考題：上述角參量中，是矢量的參量有

33、哪些？：上述角參量中，是矢量的參量有哪些？ (2) 線參量與角參量的定量關(guān)系線參量與角參量的定量關(guān)系 2 2 r r an v r v ra 1.6 一般曲線運(yùn)動(dòng)的描述一般曲線運(yùn)動(dòng)的描述 知道物體的運(yùn)動(dòng)方程，通過知道物體的運(yùn)動(dòng)方程，通過微分微分運(yùn)算，求解出物體的速度與加速度運(yùn)算，求解出物體的速度與加速度 由物體的速度由物體的速度(加速度加速度)及其初始狀態(tài)，由及其初始狀態(tài)，由積分積分運(yùn)算確定物體運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)算確定物體運(yùn)動(dòng)方程 (1) 描述一般曲線運(yùn)動(dòng)的兩類問題描述一般曲線運(yùn)動(dòng)的兩類問題 (2) 一般曲線運(yùn)動(dòng)描述的應(yīng)用舉例一般曲線運(yùn)動(dòng)描述的應(yīng)用舉例 例例1.6.1 如圖，在離水面高度如圖，在離水面

34、高度 h 的岸邊上用繩子拉船靠岸，收繩的速度恒的岸邊上用繩子拉船靠岸，收繩的速度恒 為為v0，求船在離岸邊的距離為，求船在離岸邊的距離為 s 時(shí)的速度和加速度時(shí)的速度和加速度 s l h v0 x y o 解解：建立圖示坐標(biāo)系，以：建立圖示坐標(biāo)系，以l表示從船到定滑輪的繩長表示從船到定滑輪的繩長 t l d d 0 v且且 22 hls s l h v0 x y o 船的速度船的速度 0 22 22 d d d d vv s hs t l hl l t s 船的加速度船的加速度 3 2 0 2 0 22 d d d d d d s h t l hl l lt a v v v 例例1.6.2 質(zhì)

35、點(diǎn)在水平面內(nèi)從靜止開始沿半徑質(zhì)點(diǎn)在水平面內(nèi)從靜止開始沿半徑 r=2 m 的圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)的圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè) 計(jì)時(shí)起點(diǎn)計(jì)時(shí)起點(diǎn) 0=0，質(zhì)點(diǎn)角速度：，質(zhì)點(diǎn)角速度： =kt2，k為常數(shù)，第為常數(shù)，第2s末質(zhì)點(diǎn)線速度為末質(zhì)點(diǎn)線速度為 32 m/s 求求：t=0.5 s 時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的線速度、加速度、角位移時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的線速度、加速度、角位移 解：解：(1) t=0.5 s 時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的線速度線速度 由由 22 2ktrktr vv 考慮到第考慮到第 2 s 末的線速度為末的線速度為 32 m/s k=4 于是于是 28 5 . 0 2 t tvv(m/s) (2) t=0.5 s 時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的加速

36、度加速度包含切向加速度和向心加速度包含切向加速度和向心加速度 由由 2 nn a r a 2 v (m/s2) 8 d d a t a v (m/s2) 6 .13tantan 1 a a a a nn 25. 828 2222 n aaa (m/s2) (3) t=0.5 s 時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的角位移角位移 167. 0 3 4 d4d 5 . 0 0 3 5 . 0 0 2 2 1 t t t t tttt (rad) 例例1.6.3 一半徑一半徑 r=1 m 的飛輪，角坐標(biāo)的飛輪，角坐標(biāo) =2 +12 t- t3 (SI) 求求：(1)飛輪邊緣上一點(diǎn)在第飛輪邊緣上一點(diǎn)在第 1 s 末的

37、法向加速度和切向加速度；末的法向加速度和切向加速度； (2) 經(jīng)多少時(shí)間經(jīng)多少時(shí)間、轉(zhuǎn)幾圈飛輪將停止轉(zhuǎn)動(dòng)？轉(zhuǎn)幾圈飛輪將停止轉(zhuǎn)動(dòng)？ 2 312 d d t t t t 6 d d 解解: (1) an=r 2=(12 -3 t2)2 , a =r =-6 t 代入代入 t=1 s , an=81 2 , a = -6 (SI) (2) 停止轉(zhuǎn)動(dòng)條件：停止轉(zhuǎn)動(dòng)條件： =12 -3 t2=0, 求出：求出：t=2s。 t=0, 0=2 , 而而 t=2s, 2=18 ， 所以轉(zhuǎn)過角度：所以轉(zhuǎn)過角度： = 2- 0=16 =8 圈圈 例例1.6.4 質(zhì)點(diǎn)由靜止開始沿半徑為質(zhì)點(diǎn)由靜止開始沿半徑為 r 的

38、圓周運(yùn)動(dòng)，角加速度的圓周運(yùn)動(dòng)，角加速度 為常量為常量 求求：(1) 該質(zhì)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)一周又回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)，經(jīng)歷的時(shí)間？該質(zhì)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)一周又回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)，經(jīng)歷的時(shí)間？ (2) 此時(shí)它的加速度的大小是多少？此時(shí)它的加速度的大小是多少？ 解解：由角加速度由角加速度 為常量，為常量， 0=0 ，于是，于是 22 00 2 1 2 2 1 )1(ttt 4 t 4 0 t (2) an=r 2=4 r ，a = r 。故加速度的大小為故加速度的大小為 2 22 161 raaa n 1.7 相對(duì)運(yùn)動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng) 1.7.1伽利略變換伽利略變換 (1) 物理模型物理模型 s s o x y z x y z r

39、s o rss rs p 各對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸在運(yùn)動(dòng)中始終保持平行各對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸在運(yùn)動(dòng)中始終保持平行 參考系參考系 s 和和 s之間只沿一個(gè)坐標(biāo)軸方向恒速運(yùn)動(dòng)之間只沿一個(gè)坐標(biāo)軸方向恒速運(yùn)動(dòng) 絕對(duì)參量絕對(duì)參量 (rs、vs、as ) 相對(duì)參量相對(duì)參量 (rs 、vs 、as ) 牽連參量牽連參量 (rss 、vss 、ass ) (2) 伽利略變換公式伽利略變換公式 s s o x y z x y z rs o rss rs p 由矢量合成法則由矢量合成法則 s sss rrr 對(duì)時(shí)間分別求一次、二次導(dǎo)數(shù)對(duì)時(shí)間分別求一次、二次導(dǎo)數(shù) s sss vvv s sss aaa 伽利略伽利略坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換關(guān)系可以寫為關(guān)系可以寫為 tt zz yy txx s s v (3) 伽利略變換與牛頓絕對(duì)時(shí)空觀伽利略變換與牛頓絕對(duì)時(shí)空觀 絕對(duì)時(shí)間觀絕對(duì)時(shí)間觀 絕對(duì)空間觀絕