【公開課】橢圓及其標準方程

1、-1- 2 2.1 1.1 1橢圓及其標準方程橢圓及其標準方程 課標闡釋思維脈絡(luò) 1.理解并掌握橢圓的定義; 2.掌握橢圓的標準方程,了 解其推導(dǎo)過程; 3.掌握求橢圓標準方程的 基本方法. 課前篇自主預(yù)習(xí) 【思考1】給你兩個圖釘、一根無彈性的細繩、一張紙板,一支鉛 筆,如何畫出一個橢圓? 提示:在紙板上固定兩個圖釘,繩子的兩端固定在圖釘上,繩長大于 兩圖釘間的距離,筆尖貼近繩子,將繩子拉緊,移動筆尖即可畫出橢 圓. 課前篇自主預(yù)習(xí) 名師點撥 橢圓的定義中,常數(shù)2a|F1F2|0不能少,這是根據(jù)三角形 中的兩邊之和大于第三邊得出來的.否則, (1)當2a=|F1F2|時,動點軌跡為線段F1F2

2、; (2)當2a|F1F2| 課前篇自主預(yù)習(xí) 【做一做1】 (1)下列說法中正確的是() A.到點M(-3,0),N(3,0)的距離之和等于4的點的軌跡是橢圓 B.到點M(0,-3),N(0,3)的距離之和等于6的點的軌跡是橢圓 C.到點M(-3,0),N(3,0)的距離之和等于8的點的軌跡是橢圓 D.到點M(0,-3),N(0,3)的距離相等的點的軌跡是橢圓 點F1(0,-2)與F2(0,2)的距離之和等于10,且|F1F2|=4b,ac,且 a2=b2+c2(如圖所示). 課前篇自主預(yù)習(xí) 相同點:它們的形狀、大小都相同,都有ab0,a2=b2+c2; 不同點:兩橢圓的位置不同,它們的焦點坐

3、標也不同. 3.給出橢圓方程 =1(m0,n0,mn),判斷該方程所表示的橢圓 的焦點位置的方法 橢圓的焦點在x軸上標準方程中x2項的分母較大;橢圓的焦點在y 軸上標準方程中y2項的分母較大,這是判斷橢圓焦點所在坐標軸 的重要方法. 課前篇自主預(yù)習(xí) 【做一做2】 (1)橢圓方程4y2+9x2=36中,長半軸長為, 短半軸長為,半焦距長為. (2)若橢圓方程為 ,則其焦點在軸上,焦點坐標 為. (3)已知a=5,c=2,焦點在y軸上,則橢圓的標準方程為 . 課前篇自主預(yù)習(xí) 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測 對橢圓定義的理解對橢圓定義的理解 例1已知在平面直角坐標系中,點A(-3

4、,0),B(3,0),點P為一動點,且 |PA|+|PB|=2a(a0),給出下列說法: 當a=2時,點P的軌跡不存在; 當a=4時,點P的軌跡是橢圓,且焦距為3; 當a=4時,點P的軌跡是橢圓,且焦距為6; 當a=3時,點P的軌跡是以AB為直徑的圓. 其中正確的說法是.(填序號) 分析按照橢圓的定義進行判斷. 解析:當a=2時,2a=4|AB|,故點P的軌跡是橢圓,且焦距為|AB|=6,錯誤,正確; 當a=3時,點P的軌跡為線段AB,錯誤. 答案: 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測 反思感悟由橢圓定義知,點的集合P=M|MF1|+|MF2|=2a(其中 |F1F2|=2c)

5、表示的軌跡有以下三種情況: (1)當ac時,集合P為橢圓; (2)當a=c時,集合P為線段F1F2; (3)當a0,n0,mn)直接進 行求解. 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測 反思感悟橢圓標準方程的求解方法 (1)利用待定系數(shù)法求橢圓標準方程的一般步驟如下: 先確定焦點位置;設(shè)出方程;尋求a,b,c的等量關(guān)系;求a,b的 值,代入所設(shè)方程. (2)當焦點位置不確定時,可設(shè)橢圓方程為 mx2+ny2=1(mn,m0,n0

6、).此時焦點位置包括焦點在x軸上(mn)兩種情況,可以避免分類討論,從而簡化運算. 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測 變式訓(xùn)練2寫出適合下列條件的橢圓的標準方程: (1)兩個焦點的坐標分別是(-2,0),(2,0),橢圓上一點P到兩焦點的距 離之和等于6; (2)經(jīng)過點(2,-3),且與橢圓9x2+4y2=36有共同的焦點. 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測 相關(guān)點法在求解橢圓方程中的應(yīng)用 典例如圖,在圓x2+y2=4上任取一點P,過點P作x軸的垂線段PD,D為 垂足.當點P在圓上運動時,求線段PD的中點M

7、的軌跡. 解:設(shè)點M的坐標為(x,y),點P的坐標為(x0,y0), 又M為PD的中點, 所以點M的軌跡是一個焦點在x軸上的橢圓. 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測 方法點睛 代入法求軌跡方程的基本步驟 (1)設(shè)點:設(shè)所求軌跡上動點坐標為P(x,y),已知曲線上動點坐標為 Q(x1,y1); (2)求關(guān)系式:用點P的坐標表示出點Q的坐標; (3)代換:將上述關(guān)系式代入已知曲線方程得到所求動點軌跡的方 程,并把所得方程化簡即可. 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測 變式訓(xùn)練若本例中“過點P作x軸的垂線段PD”,改為“過點P作y軸的 垂線段PD”.那么線段PD的中點M的軌跡又是什么? 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測 答案:A 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測 A.(5,0)B.(0,5) C.(0,12)D.(12,0) 解析:因為c2=a2-b2=169-25=122,所以 c=12,又焦點在y軸上,故焦點 坐標為(0,12). 答案:C 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測 3.“1m2”是“方程 表示的曲線是焦點在y軸上的橢圓” 的() A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案:C 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當堂