【公開課】橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1、-1- 2 2.1 1.1 1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò) 1.理解并掌握橢圓的定義; 2.掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,了 解其推導(dǎo)過(guò)程; 3.掌握求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的 基本方法. 課前篇自主預(yù)習(xí) 【思考1】給你兩個(gè)圖釘、一根無(wú)彈性的細(xì)繩、一張紙板,一支鉛 筆,如何畫出一個(gè)橢圓? 提示:在紙板上固定兩個(gè)圖釘,繩子的兩端固定在圖釘上,繩長(zhǎng)大于 兩圖釘間的距離,筆尖貼近繩子,將繩子拉緊,移動(dòng)筆尖即可畫出橢 圓. 課前篇自主預(yù)習(xí) 名師點(diǎn)撥 橢圓的定義中,常數(shù)2a|F1F2|0不能少,這是根據(jù)三角形 中的兩邊之和大于第三邊得出來(lái)的.否則, (1)當(dāng)2a=|F1F2|時(shí),動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段F1F2

2、; (2)當(dāng)2a|F1F2| 課前篇自主預(yù)習(xí) 【做一做1】 (1)下列說(shuō)法中正確的是() A.到點(diǎn)M(-3,0),N(3,0)的距離之和等于4的點(diǎn)的軌跡是橢圓 B.到點(diǎn)M(0,-3),N(0,3)的距離之和等于6的點(diǎn)的軌跡是橢圓 C.到點(diǎn)M(-3,0),N(3,0)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是橢圓 D.到點(diǎn)M(0,-3),N(0,3)的距離相等的點(diǎn)的軌跡是橢圓 點(diǎn)F1(0,-2)與F2(0,2)的距離之和等于10,且|F1F2|=4b,ac,且 a2=b2+c2(如圖所示). 課前篇自主預(yù)習(xí) 相同點(diǎn):它們的形狀、大小都相同,都有ab0,a2=b2+c2; 不同點(diǎn):兩橢圓的位置不同,它們的焦點(diǎn)坐

3、標(biāo)也不同. 3.給出橢圓方程 =1(m0,n0,mn),判斷該方程所表示的橢圓 的焦點(diǎn)位置的方法 橢圓的焦點(diǎn)在x軸上標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項(xiàng)的分母較大;橢圓的焦點(diǎn)在y 軸上標(biāo)準(zhǔn)方程中y2項(xiàng)的分母較大,這是判斷橢圓焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸 的重要方法. 課前篇自主預(yù)習(xí) 【做一做2】 (1)橢圓方程4y2+9x2=36中,長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為, 短半軸長(zhǎng)為,半焦距長(zhǎng)為. (2)若橢圓方程為 ,則其焦點(diǎn)在軸上,焦點(diǎn)坐標(biāo) 為. (3)已知a=5,c=2,焦點(diǎn)在y軸上,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 . 課前篇自主預(yù)習(xí) 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè) 對(duì)橢圓定義的理解對(duì)橢圓定義的理解 例1已知在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(-3

4、,0),B(3,0),點(diǎn)P為一動(dòng)點(diǎn),且 |PA|+|PB|=2a(a0),給出下列說(shuō)法: 當(dāng)a=2時(shí),點(diǎn)P的軌跡不存在; 當(dāng)a=4時(shí),點(diǎn)P的軌跡是橢圓,且焦距為3; 當(dāng)a=4時(shí),點(diǎn)P的軌跡是橢圓,且焦距為6; 當(dāng)a=3時(shí),點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓. 其中正確的說(shuō)法是.(填序號(hào)) 分析按照橢圓的定義進(jìn)行判斷. 解析:當(dāng)a=2時(shí),2a=4|AB|,故點(diǎn)P的軌跡是橢圓,且焦距為|AB|=6,錯(cuò)誤,正確; 當(dāng)a=3時(shí),點(diǎn)P的軌跡為線段AB,錯(cuò)誤. 答案: 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè) 反思感悟由橢圓定義知,點(diǎn)的集合P=M|MF1|+|MF2|=2a(其中 |F1F2|=2c)

5、表示的軌跡有以下三種情況: (1)當(dāng)ac時(shí),集合P為橢圓; (2)當(dāng)a=c時(shí),集合P為線段F1F2; (3)當(dāng)a0,n0,mn)直接進(jìn) 行求解. 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè) 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè) 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè) 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè) 反思感悟橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解方法 (1)利用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟如下: 先確定焦點(diǎn)位置;設(shè)出方程;尋求a,b,c的等量關(guān)系;求a,b的 值,代入所設(shè)方程. (2)當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí),可設(shè)橢圓方程為 mx2+ny2=1(mn,m0,n0

6、).此時(shí)焦點(diǎn)位置包括焦點(diǎn)在x軸上(mn)兩種情況,可以避免分類討論,從而簡(jiǎn)化運(yùn)算. 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè) 變式訓(xùn)練2寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程: (1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-2,0),(2,0),橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距 離之和等于6; (2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,-3),且與橢圓9x2+4y2=36有共同的焦點(diǎn). 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè) 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè) 相關(guān)點(diǎn)法在求解橢圓方程中的應(yīng)用 典例如圖,在圓x2+y2=4上任取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PD,D為 垂足.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求線段PD的中點(diǎn)M

7、的軌跡. 解:設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0), 又M為PD的中點(diǎn), 所以點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓. 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè) 方法點(diǎn)睛 代入法求軌跡方程的基本步驟 (1)設(shè)點(diǎn):設(shè)所求軌跡上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為P(x,y),已知曲線上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為 Q(x1,y1); (2)求關(guān)系式:用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo); (3)代換:將上述關(guān)系式代入已知曲線方程得到所求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方 程,并把所得方程化簡(jiǎn)即可. 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè) 變式訓(xùn)練若本例中“過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PD”,改為“過(guò)點(diǎn)P作y軸的 垂線段PD”.那么線段PD的中點(diǎn)M的軌跡又是什么? 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè) 答案:A 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè) A.(5,0)B.(0,5) C.(0,12)D.(12,0) 解析:因?yàn)閏2=a2-b2=169-25=122,所以 c=12,又焦點(diǎn)在y軸上,故焦點(diǎn) 坐標(biāo)為(0,12). 答案:C 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè) 3.“1m2”是“方程 表示的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓” 的() A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案:C 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂