向量組的線性表示PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1 向量組的線性表示向量組的線性表示 ),( 21n T aaaa n a a a a 2 1 維向量寫成一行，稱為維向量寫成一行，稱為行向量行向量，也就是行，也就是行 矩陣，通常用等表示，如：矩陣，通常用等表示，如： T TTT ba , n 維向量寫成一列，稱為維向量寫成一列，稱為列向量列向量，也就是列，也就是列 矩陣，通常用等表示，如：矩陣，通常用等表示，如： ,ba n n 第1頁/共23頁 注意注意 行向量和列向量總被看作是行向量和列向量總被看作是兩個不同的兩個不同的 向量向量； 行向量和列向量都按照行向量和列向量都按照矩陣的運算法則矩陣的運算法則 進(jìn)行運算；進(jìn)行運算； 當(dāng)沒有

2、明確說明是行向量還是列向量時，當(dāng)沒有明確說明是行向量還是列向量時， 都當(dāng)作都當(dāng)作列向量列向量. 第2頁/共23頁 向量向量 )3( n 解析幾何解析幾何線性代數(shù)線性代數(shù) 既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量有次序的實數(shù)組成的數(shù)組有次序的實數(shù)組成的數(shù)組 幾何形象：可隨意幾何形象：可隨意 平行移動的有向線段平行移動的有向線段 代數(shù)形象：向量的代數(shù)形象：向量的 坐標(biāo)表示式坐標(biāo)表示式 ),( 21n T aaaa 第3頁/共23頁 空間空間 )3( n 解析幾何解析幾何線性代數(shù)線性代數(shù) 點空間點空間：點的集合：點的集合 向量空間向量空間：向量的集合：向量的集合 代數(shù)形象：向量空代數(shù)形象：向量空 間

3、中的平面間中的平面 dczbyaxzyxr T ),( 幾何形象：空間幾何形象：空間 直線、曲線、空間直線、曲線、空間 平面或曲面平面或曲面 dczbyaxzyx ),( ),(zyxP),(zyxr T 一一對應(yīng)一一對應(yīng) 第4頁/共23頁 R xxxxxx x Rnn n T ,),( 2121 b xaxaxaxxx x nnn T 22 1121 ),( 叫做叫做 維向量空間維向量空間n 時，時， 維向量沒有直觀的幾何形象維向量沒有直觀的幾何形象n3 n 叫做叫做 維向量空間維向量空間 中的中的 維超平面維超平面Rn n 1 n 第5頁/共23頁 確定飛機(jī)的狀態(tài)，需確定飛機(jī)的狀態(tài)，需 要

4、以下要以下6個參數(shù)：個參數(shù)： 飛機(jī)重心在空間的位置參數(shù)飛機(jī)重心在空間的位置參數(shù)P(x,y,z) 機(jī)身的水平轉(zhuǎn)角機(jī)身的水平轉(zhuǎn)角 )20( 機(jī)身的仰角機(jī)身的仰角 ) 22 ( 機(jī)翼的轉(zhuǎn)角機(jī)翼的轉(zhuǎn)角 )( 所以，確定飛機(jī)的狀態(tài)，需用所以，確定飛機(jī)的狀態(tài)，需用6維向量維向量 ),( zyxa 維向量的實際意義維向量的實際意義n 第6頁/共23頁 向量相等：向量相等： = (a1, a2, , an), =(b1, b2, , bn) 零向量：零向量： 第7頁/共23頁 ; )(); ,0; ,()0; 容易驗證向量的線性運算滿足下面的運算規(guī)律: (1) 向量加法滿足 1) 交換律 2) 結(jié)合律 ( 3

5、) 對任一向量有 4) 對任一向量有 (2) 向量的數(shù)乘運算滿足 1) 1= ; ()()() ; (3) ; 2); , , k ll kkl k klkl nk l 2) 向量的線性運算成立分配律 1) k()=k () = 上述均為 維向量均為實數(shù). 第8頁/共23頁 若干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量若干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量 ）所組成的集合叫做向量組）所組成的集合叫做向量組 例如例如維列向量維列向量個個有有矩陣矩陣mnaijA nm )( aaaa aaaa aaaa A mnmjmm nj nj 21 222221 111211 a1 . , , 的列向量組的列向量

6、組稱為矩陣稱為矩陣向量組向量組A a1a2an a2ajana1a2ajan 第9頁/共23頁 維行向量維行向量個個又有又有矩陣矩陣類似地類似地nm ij a A nm )( , aaa aaa aaa aaa A mnmm inii n n 21 21 22221 11211 T 1 T 2 T i T m T 1 T 2 T i T m 向量組向量組 , , ， 稱為矩陣稱為矩陣A的行向量組的行向量組 T 1 T 2 T m 第10頁/共23頁 反之，由有限個向量所組成的向量組可以反之，由有限個向量所組成的向量組可以 構(gòu)成一個矩陣構(gòu)成一個矩陣. 矩陣構(gòu)成一個 組維列向量所組成的向量個 mn

7、 nm m , 21 矩矩陣陣構(gòu)構(gòu)成成一一個個 的的向向量量組組 維維行行向向量量所所組組成成個個 nm nm T m TT , 21 T m T T B 2 1 ),( 21m A 第11頁/共23頁 b xaxaxa nn 2211 線性方程組的向量表示線性方程組的向量表示 . , , 2211 22222121 11212111 bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa mnmnmm nn nn 方程組與增廣矩陣的列向量組之間方程組與增廣矩陣的列向量組之間一一對應(yīng)一一對應(yīng) 第12頁/共23頁 ，組實數(shù)組實數(shù) ，對于任何一，對于任何一給定向量組給定向量組 m m kkk A , ,:

8、 21 21 定義定義 . , 21 個線性組合的系數(shù)個線性組合的系數(shù) 稱為這稱為這， m kkk，稱為向量組的一個稱為向量組的一個 向量向量 2211mm kkk 線性組合線性組合 1234 1234 1110 :, 1201 1110 2323 1201 A aaaa Aaaaa 向量組 向量組 的一個線性組合： 例例 第13頁/共23頁 mm b 2211 ，使，使，一組數(shù)一組數(shù) 如果存在如果存在和向量和向量給定向量組給定向量組 m m bA , ,: 21 21 . 2211 有解有解 即線性方程組即線性方程組 bxxx mm 的線性組合，這時稱的線性組合，這時稱是向量組是向量組則向量

9、則向量Ab 向量向量 能能 由向量組由向量組 線性表示線性表示 b A 第14頁/共23頁 1234 1234 11106 :, 12017 23 A aaaab aaaab 123 124 6 27 xxx xxx 方程組方程組 有解有解. 例例 11223344 bx ax ax ax a 第15頁/共23頁 定義定義 . .,:,: 2121 這兩個這兩個能相互線性表示，則稱能相互線性表示，則稱量組量組 與向與向若向量組若向量組稱稱 線性表示，則線性表示，則向量組向量組組中的每個向量都能由組中的每個向量都能由若若 及及 設(shè)有兩個向量組設(shè)有兩個向量組 B A AB BA sm 向量組向量組

10、 能由向量組能由向量組 線性表示線性表示 向量組等價向量組等價 BA 第16頁/共23頁 例例 設(shè)有兩個向量組設(shè)有兩個向量組A : : 及及B : : 112212 112212 ,2, 2, ,2, 2, baabaa abbabb 12 10 , 01 aa 12 11 , 12 bb 則稱向量組向量組A與向量組與向量組B等價等價. 第17頁/共23頁 使使在數(shù)在數(shù) 存存量量線性表示，即對每個向線性表示，即對每個向能由能由 （和和（若記若記 , ), 2 , 1( ).,), 21 2121 mjjj j sm kkk sjbA BbbbBA mmjjjj kkkb 2211 ,), 2

11、1 21 mj j j m k k k （ 第18頁/共23頁 ), 21s bbb（ 從而從而 msmm s s m kkk kkk kkk 21 22221 11211 21 ), （ . )(數(shù)數(shù)矩矩陣陣稱稱為為這這一一線線性性表表示示的的系系矩矩陣陣 ijsm kK 第19頁/共23頁 矩陣：矩陣： 為這一表示的系數(shù)為這一表示的系數(shù)的列向量組線性表示，的列向量組線性表示，矩陣矩陣 的列向量組能由的列向量組能由，則矩陣，則矩陣若若 BA CBAC nssmnm snss n n sn bbb bbb bbb ccc 21 22221 11211 2121 ),),（ 第20頁/共23頁 T s T T msmm s s T m T T aaa aaa aaa 2 1 21 22221 11211 2 1 ：為為這這一一表表示示的的系系數(shù)數(shù)矩矩陣陣 的的行行向向量量組組線線性性表表示示的的行行向向量量組組能能由由同同時時，ABC, 第21頁/共23頁 . . 的行向量組等價的行向量組等價的行向量組與的行向量組與于是于是 的行向量組線性表示，的行向量組線性表示，的行向量組能由的行向量組能由可知，可知， 由初等變換可逆性由初等變換可逆性的行向量組線性表示的行向量組線性表示組能由組能由 的行向量的行向量，即，即的行向量