高數(shù)中的重要定理與公式及其證明(六)

1、 在這里，沒有考不上的研究生。高數(shù)中的重要定理與公式及其證明（六）考研數(shù)學(xué)中最讓考生頭疼的當(dāng)屬證明題，而征服證明題的第一關(guān)就是教材上種類繁多的定理證明。如果本著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶Υ龜?shù)學(xué)的態(tài)度，一切定理的推導(dǎo)過程都是應(yīng)該掌握的。但考研數(shù)學(xué)畢竟不是數(shù)學(xué)系的考試，很多時候要求沒有那么高。而有些定理的證明又過于復(fù)雜，硬要要求自己掌握的話很多時候可能是又費時又費力，最后還弄得自己一頭霧水。因此，在這方面可以有所取舍?，F(xiàn)將高數(shù)中需要掌握證明過程的公式定理總結(jié)如下。這些證明過程，或是直接的考點，或是蘊(yùn)含了重要的解題思想方法，在復(fù)習(xí)的初期，先掌握這些證明過程是必要的。7）二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在與可微的關(guān)系如果函數(shù)在點可微，

2、則函數(shù)在該點連續(xù)且兩個偏導(dǎo)數(shù)均存在，并且【點評】：學(xué)到多元函數(shù)時第一個困擾我們的就是多元函數(shù)的可微與可導(dǎo)不再等價，它們與連續(xù)性的關(guān)系也變得更為復(fù)雜了。下面希望能通過幾個定理與反例來將這個關(guān)系說清楚。證明：由可微的定義可知存在只與有關(guān)而與實數(shù)使得在點附近成立?，F(xiàn)證明，由偏導(dǎo)數(shù)定義可知，這等價于證明。由于成立，因此則。由高階無窮小的定義可知。因此，有。也即。同理，可證。 證畢注1：關(guān)于二元函數(shù)可微，偏導(dǎo)數(shù)存在、連續(xù)和偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的關(guān)系可以用下圖來表示：也就是說：偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的函數(shù)必然可微，可微的函數(shù)必然連續(xù)并且存在偏導(dǎo)數(shù)，但連續(xù)和偏導(dǎo)數(shù)存在這兩個概念本身是互不包含的（也就是說連續(xù)的函數(shù)不一定存在偏導(dǎo)數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)存在的函數(shù)也不一定連續(xù)）。注二：例如：1）函數(shù)，在連續(xù)，但偏導(dǎo)數(shù)不存在。2）又如函數(shù)，在（0，0）處的偏導(dǎo)數(shù)是存在的。因為，同理我們可以得到而也就說沿不同路徑趨于得到的極限值是不一樣的。因此二重極限不存在。進(jìn)而可得到在點處不連續(xù)。注三：如果二元函數(shù)的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在且偏導(dǎo)數(shù)作為二元函數(shù)是連續(xù)的，則該二元函數(shù)是可