典型極坐標(biāo)參數(shù)方程練習(xí)題帶答案

1、極坐標(biāo)參數(shù)方程練習(xí)題1在直角坐標(biāo)系xOy中，直線Ci： x= 2，圓C2： (x-1)2 + (y 2)2= 1,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極 點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1) 求 Ci, C的極坐標(biāo)方程；n(2) 若直線C3的極坐標(biāo)方程為 歸4(p R),設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M , ”，求厶C2MN的面 積.解：(1)因?yàn)閤= pcos 0 ， y= pin 0，所以Ci的極坐標(biāo)方程為pcos B= 2，C2 的極坐標(biāo)方程為 p2 2 pcos 0 4 psin 0 + 4 = 0.n(2)將 0= 4代入 p2 2 p cos 0 4 pin 0 + 4= 0，得 p2 3 2 p + 4=

2、0，解得 pi =2 2，p 2= 2故 p p= 2,即 |MN| = 2.1由于C2的半徑為1,所以 C2MN的面積為4. (2014遼寧，23, 10分，中)將圓x2 + y2= 1上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo) 變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C.(1) 寫出C的參數(shù)方程；(2) 設(shè)直線I: 2x + y 2 = 0與C的交點(diǎn)為P1,巨，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極 軸建立極坐標(biāo)系，求過線段 P1P2的中點(diǎn)且與I垂直的直線的極坐標(biāo)方程.x= X1,解：(1)設(shè)(X1, y1)為圓上的點(diǎn)，經(jīng)變換為C上點(diǎn)(x, y),依題意，得cy= 2y1,由 X1 + y2= 1 得 x2+ 2y2= 1

3、. 即曲線c的方程為x2+y4 = 1.x= cos t ,故C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).y=2sin t由y2x2+4 = 1,4 解得2x+ y 2 = 0x= 1, y= 0x= 0,y= 2.不妨設(shè)P1(1, 0), P2(0, 2),則線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)為 2 1，所求直線斜率為k =?,1 1于是所求直線方程為y 1 = 2 x2 化為極坐標(biāo)方程，并整理得2 p cos 9 4 psin 9 = 3,即 p=3.4sin 9 2cos 9（2015吉林長(zhǎng)春二模，23, 10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為n極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C的極坐標(biāo)方程為pcos 9=

4、1, M，N分別為曲線C與x 軸，y軸的交點(diǎn). 寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程，并求 M，N的極坐標(biāo)； 設(shè)M，N的中點(diǎn)為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程.【解析】將2pcos29 = sin 9兩邊同乘以p,得2（ pcos9 ）2=pin9，化為直角坐標(biāo)方程為2x2= y，C2： pcos 9 = 1化為直角坐標(biāo)方程為x= 1，x= 1，聯(lián)立可解得y= 2，所以曲線C與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（1，2）.n pos 9 -3-=1,np cos 9 - cosy +psin 9n siny = 1.x= pcos 9 ,11,又二 Zx+y= psin 9 ,2即曲線C的直角坐標(biāo)方程為x+，3y 2= 0.

5、令 y= 0,則 x= 2;令 x= 0,則 y = 23. M(2, 0), N 0,穿. M的極坐標(biāo)為(2, 0), N的極坐標(biāo)為3,專.M , N連線的中點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為1,身,n 直線0P的極坐標(biāo)方程為 歸(p R).注：極坐標(biāo)下點(diǎn)的坐標(biāo)表示不唯一.【點(diǎn)撥】解答題(1)的關(guān)鍵是掌握直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)的方法；題(2)先轉(zhuǎn)化為直角坐 標(biāo)問題求解，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo).x= 4+ 5cost,(2013課標(biāo)I, 23, 10分)已知曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐y= 5+ 5si n t標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為p= 2sin 9 .(1)把C1的參

6、數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)(p0 ow 9 V 2n ).x=4+ 5cos t,【解析】將消去參數(shù)t，化為普通方程為(x-4)2 + (y 5)2 = 25,y= 5+ 5s in t即 C1： x2 + y2 8x 10y+ 16= 0.x= pcos 9 ，小 c將代入 x2 + y2 8x 10y+ 16= 0，得y= psin 9p 2 8 pcos 9 10 psin 9 + 16 = 0.所以C1的極坐標(biāo)方程為p2 8 pcos 9 10 psin 9 + 16= 0. C2的普通方程為x2 + y2 2y= 0.聯(lián)立C1，C2的方程x2 + y2 8x 10

7、y+ 16= 0,x2 + y2 2y= 0,解得x= 1,y= 1x= 0, 或 y=2.所以C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為2, n， 2, n2 .【點(diǎn)撥】本題主要考查圓的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和標(biāo)準(zhǔn)方程以及圓與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是將參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程求解.（1）在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，分別寫出圓Ci,C2的極坐標(biāo)方程, 并求出圓Ci，C2的交點(diǎn)坐標(biāo)（用極坐標(biāo)表示）；（2）求圓G與C2的公共弦的參數(shù)方程.x= pos 0,解：（1 ）由y= pin 0 ,知圓G的極坐標(biāo)方程為2,圓C2的極坐標(biāo)方程為 尸4cos 0 . x2 + y2二 Pp= 2,

8、冗i inn故圓C1與圓C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為2, 3 , 2,.注：極坐標(biāo)系下點(diǎn)的表示不唯X= pos 0-（2）方法一：由得圓C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為（1,百），（1,書） y= pin 0X=1, L L 故圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程為（一3 t 3）.y=tx 1 ,L廠或參數(shù)方程寫成 3平3y y,x pcos 0 , 方法二：將x 1代入y pin 0 ,1得如01從而尸cos?.于是圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程為x 1,y tan 05. （2015河北邯鄲二模，23, 10分）已知圓C的極坐標(biāo)方程為 尸2cos 0，直線I的1 套x 2 + 2 t，逼 n參數(shù)方程為（t為

9、參數(shù)），點(diǎn)A的極坐標(biāo)為-7,，設(shè)直線l與圓C交于點(diǎn)P,1 1 2 4 y2+2tQ.(1)寫出圓C的直角坐標(biāo)方程；求|AP| |AQ的值.解：(1)因?yàn)閳AC的極坐標(biāo)方程為p= 2cos 9 , 所以2 pcos 9 ,將其轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為x2 + y2 = 2x,即(x 1)2+ y2= 1.由點(diǎn)a的極坐標(biāo)專,n得直角坐標(biāo)為a 2，1._ 1丄盟X 2 + 2 t，將直線I的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入圓C的直角坐標(biāo)方程(x 1)2+ y2 1,1 1y2+2t0.得t2設(shè)t1, t2為方程t2 32 11 2 0的兩個(gè)根，貝U t1t2 2，1所以 |AP| |AQ| | t1t2| .x

10、tcos a，2. (2015課標(biāo)U，23，10分，中)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線 0:(t為y tsin a，參數(shù)，t旳)，其中OWaVn .在以0為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線 C2: p2sin 9， C3: p 2 3cos 9 .(1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；若C1與C2相交于點(diǎn)A，C1與C3相交于點(diǎn)B，求|AB|的最大值.解：(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2+ y2 2y 0，曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2 + y2 2 3x 0.x2 + y2 2y 0， x2 + y2 2 3x 0，=0, x= 2， 解得或y= 03所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0, 0)

11、和 冷，2 .曲線G的極坐標(biāo)方程為0= a p R, pH 0,其中0Wx n . 因此A的極坐標(biāo)為(2sin a , a ), B的極坐標(biāo)為(2 3C0S a , a ).所以 | AB| = |2sin a 2 3cos a |n=4 sin a .5 n當(dāng)口=肓?xí)r，|AB|取得最大值，最大值為4.1 x= 3 + 2上,3. (2015陜西，23, 10 分,易)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線I的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，O C的極坐標(biāo)方程為p= 2 3 sin 0 .(1) 寫出O C的直角坐標(biāo)方程；(2) P為直線I上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P到圓心C的距離最

12、小時(shí)，求P的直角坐標(biāo).解：由p= 2.3sin 0，得p 2 = 2 寸3 p sin 0 ,從而有x2 +2 . 3y,所以 x2 + (y 3)2= 3.(2)設(shè) P3 +1,，又 C(0,3),故當(dāng)t = 0時(shí)，|pq取得最小值，此時(shí)，P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(3, 0).5. (2014課標(biāo)U, 23, 10分，中)在直線坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正n半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓 C的極坐標(biāo)方程為p= 2cos 9，9 0,(1) 求C的參數(shù)方程；設(shè)點(diǎn)D在C上, C在D處的切線與直線I: y= 3x+ 2垂直，根據(jù)中你得到的參 數(shù)方程，確定D的坐標(biāo).解：C的普通方程為(x1)2 +

13、 y2= 1(0手w 1)x= 1 + cos t,可得C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，owtn ).y= sin t(2) 設(shè)D(1 + cos t, sin t)由(1)知C是以G(1, 0)為圓心，1為半徑的上半圓因?yàn)?Cn 在點(diǎn)D處的切線與I垂直，所以直線GD與I的斜率相同，tan t =空，n n 3 1/3故D的直角坐標(biāo)為1 + cos , sin3，即2，.x= 2cost,7. (2013課標(biāo)U, 23, 10分，中)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P, Q都在曲線C:(t為參數(shù))y= 2s in t上，對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t =口與t = 2 o(0a2 n ), M為PQ的中點(diǎn).(1) 求 M的軌跡的參數(shù)方程

14、；將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為a的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn).解：(1)依題意有 P(2cos a , 2sin a ), Q(2cos 2a , 2sin 2a ),因此 M(cos a + cos 2a , sin a + sin 2a ).M的軌跡的參數(shù)方程為X= cos a + cos 2a , .c (a為參數(shù)，0a 2n ).y= sin a + sin 2a(2) M點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d = i；： x2 + y2 =育 2 + 2cos a (0 a2 n ).當(dāng)a=n時(shí)，d= 0,故M的軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn).x2 y2x= 2 +1,（2014課標(biāo)I, 23, 10分）已知

15、曲線C: 7 +專二1直線I: （t為參數(shù)）y= 2 2t（1）寫出曲線C的參數(shù)方程，直線I的普通方程；過曲線C上任意一點(diǎn)P作與I夾角為30的直線，交I于點(diǎn)A，求|PA的最大值與最小值.【思路導(dǎo)引】（1 ）由基本關(guān)系式可消參求出普通方程；（2）把|PA用參數(shù)9來表示，從而求其最值.x= 2cos 9，【解析】（1）曲線C的參數(shù)方程為門（9為參數(shù)）.y= 3sin 9直線I的普通方程為2x+ y 6 = 0.曲線C上任意一點(diǎn)P（2cos 9，3sin 9 ）到I的距離為d= 5|4cos 9 + 3sin 9 6|._d_sin 302.55|5sin( 9+ M 6|，其中a為銳角，且tan4

16、3.當(dāng)sin（9+ a）= 1時(shí)，I PA取得最大值，最大值為22 55當(dāng) sin(9+1 時(shí),|PA取得最小值，最小值為2、55（2013遼寧，23，10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，以0為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極 坐標(biāo)系.圓G，直線C2的極坐標(biāo)方程分別為p= 4sin 9， p cos 9 亍=2 2.（1）求Ci與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)；設(shè)P為C的圓心，Q為C1與C2交點(diǎn)連線的中點(diǎn)，已知直線 PQ的參數(shù)方程為 x=t3+ a，b 3 （t R為參數(shù)），求a，b的值.y=尹+1【解析】（1）圓G的直角坐標(biāo)方程為x2+ （y 2）2=4, 直線C2的直角坐標(biāo)方程為x+ y 4 = 0.x2+( y

17、 2) 2= 4,x+y4=0xi= 0, yi = 4,X2= 2,y2= 2.ntn所以Ci與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為4,，2 2,4 .注：極坐標(biāo)系下點(diǎn)的表示不唯一.(2)由(1)可得，P點(diǎn)與Q點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(0, 2)，(1, 3).故直線PQ的直角坐標(biāo)方 程為 x y+ 2= 0.由參數(shù)方程可得 y= b(x a) + 1 = |x ab + 1,所以b=2=1,-ab+1=2,解得 a= 1, b= 2.【點(diǎn)撥】 解答本題的關(guān)鍵是明確轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，即把極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，把參 數(shù)方程化為普通方程求解問題.x= 2COS a ,2011課標(biāo)全國(guó)，23,10分)在直角坐標(biāo)系xOy 中,

18、曲線C1的參數(shù)方程為y= 2+2sin a (a為參數(shù)),M是C上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)滿足OP= 2OM , P點(diǎn)的軌跡為曲線C2.(1)求C2的方程;n ,在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線B=E與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A,與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B,求|AB|. 解:設(shè) P(x, y), 則由條件知M 2, 2 .由于M點(diǎn)在C1上，所以2 = 2COS a ,2 = 2 + 2sin a ,x = 4COS a , 即y=4 + 4sin a .X = 4C0S a ,從而Q的參數(shù)方程為尸4+ 4sin a (a為參數(shù))(2)Ci化為普通方程為x2 + (y2)2 = 4,故曲線Ci的極坐標(biāo)方程為p= 4sin B ,同理可 得曲線C2的極坐標(biāo)方程為 尸8sin 9 .n射線與Ci的交點(diǎn)A的極徑為2 3,n射線0=3與C2的交點(diǎn)B的極徑為8sin = 4 3.所以 | AB| = | p pi| = 2 3.n5. (2014遼寧錦州一模，23, 10分)已知圓的極坐標(biāo)方程為p24 2 pcos( 9 4)+ 6 =0.(1) 將極坐標(biāo)方程化為普通方程；(2) 若點(diǎn)P(x, y)在該圓上，求x+ y的最大值和最小值.解：(1)原方程變形為 p2 4pcos 9 4 psin 9 + 6 = 0,化直角坐標(biāo)方程為 x2 + y2 4x