[專升本(地方)考試密押題庫與答案解析]河南省專升本考試高等數(shù)學(xué)真題2011年(1)

1、專升本(地方)考試密押題庫與答案解析河南省專升本考試高等數(shù)學(xué)真題2011年(1)專升本(地方)考試密押題庫與答案解析河南省專升本考試高等數(shù)學(xué)真題2011年(1)河南省專升本考試高等數(shù)學(xué)真題2011年(1)一、單項選擇題在每小題的四個備選答案中選出一個正確答案.問題:1. 函數(shù)的定義域是_a.(-，2)b.(-2，+)c.(-2，2)d.(0，2)答案:c解析 2-x0，x+20-2x2，故函數(shù)f(x)的定義域是(-2，2)問題:2. 設(shè)f(x+1)=x2+2x+2，則f(x)=_a.x2b.x2+1c.x2-5x+6d.x2-3x+2答案:b解析 f(x+1)=x2+2x+2=(x+1)2+1

2、，故f(x)=x2+1問題:3. 設(shè)函數(shù)f(x)(-x+)為奇函數(shù)，g(x)(-x+)為偶函數(shù)，則下列函數(shù)必為奇函數(shù)的是_a.f(x)g(x)b.fg(x)c.gf(x)d.f(x)+g(x)答案:a解析 因為f(x)，g(x)在r上分別為奇函數(shù)和偶函數(shù)，由于奇函數(shù)與偶函數(shù)的乘積為奇函數(shù)，故f(x)g(x)為奇函數(shù)問題:4.a.-1b.1c.0d.不存在答案:c解析 當(dāng)x0時，x為無窮小量，為有界函數(shù)，由于無窮小量與有界函數(shù)的乘積仍為無窮小量，故問題:5. 設(shè)f(x)=1，則a.4b.5c.2d.1答案:b解析問題:6. 當(dāng)x0時，下列無窮小量與x不等價的是_ a bex-2x3-1 c ds

3、in(x+sinx) 答案:d解析 當(dāng)x0時，故sin(x+sinx)與x不等價問題:7. 設(shè)函數(shù)則x=0是f(x)的_a.可去間斷點b.跳躍間斷點c.連續(xù)點d.第二類間斷點答案:b解析 由于f(x)在x=0處左、右極限存在但不相等，故x=0是f(x)的跳躍間斷點問題:8. 函數(shù)sinx的三階導(dǎo)數(shù)是_a.sinxb.-sinxc.cosxd.-cosx答案:d解析 (sinx)=cosx，(sinx)=(cosx)=-sinx，(sinx)=(-sinx)=-cosx問題:9. 設(shè)x-1，1則arcsin+arccosx=_ a b c0 d1 答案:a解析 故arcsinx+arccosx為

4、常數(shù). 利用特殊值代入，令，可得 問題:10. 若f(x0)=0，f(x)0，則下列表述正確的是_a.x0是函數(shù)f(x)的極大值點b.x0是函數(shù)f(x)的極小值點c.x0不是函數(shù)f(x)的極值點d.無法確定x0是否為函數(shù)f(x)的極值點答案:b解析 因為f(x)在x0處二價可導(dǎo)，由極值的判定定理知，當(dāng)f(x)=0，f(x)0時，x0是f(x)的極小值點問題:11. 方程所表示的曲線_a.僅有水平漸近線b.僅有鉛直漸近線c.既有水平漸近線，又有鉛直漸近線d.既無水平漸近線，又無鉛直漸近線答案:a解析 函數(shù)定義域為(-，-11，+)，則故只有水平漸近線.問題:12.a.0b.2c.-2d.以上都不

5、對答案:d解析 積分值不存在，故選d。問題:13. 方程sinx+x-1=0在區(qū)間(0，1)內(nèi)根的個數(shù)是_a.0b.1c.2d.3答案:b解析 令f(x)=sin+x-1，f(x)=cosx+10，所以f(x)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞增，f(0)=-10，f(1)=sin10，故sinx+x-1=0在區(qū)間(0，1)內(nèi)只有一個根問題:14. 設(shè)f(x)是cosx的一個原函數(shù)，則df(x)=_a.sinx+cb.-sinx+cc.-cosx+cd.cosx+c答案:a解析 由于f(x)是cosx的一個原函數(shù)，故f(x)=sinx+c1，df(x)=sinx+c.問題:15. 設(shè)則f(x)_a.為正

6、常數(shù)b.為負常數(shù)c.恒為零d.不為常數(shù)答案:c解析問題:16.a.-xexb.xexc.eb-exd.beb-xex答案:a解析問題:17. 由曲線y=sinx(0x)與x軸所圍成的區(qū)域的面積為_ a0 b2 c d 答案:b解析問題:18. 關(guān)于二階常微分方程的通解，下列說法正確的是_a.一定含有兩個任意常數(shù)b.通解包含所有解c.一個方程只有一個通解d.以上說法都不對答案:a解析 微分方程的解中所含任意常數(shù)相互獨立，且個數(shù)與方程的階數(shù)相同，這樣的解稱為微分方程的通解，由通解的定義可得a正確問題:19. 微分方程y+3y=x的通解是_ ay=2x+ce2x+1 by=xex+cx-1 c d

7、答案:d解析 通解為：c為任意常數(shù).問題:20. 已知向量a=i+j+k，則垂直于a且垂直于y軸的向量是_a.i-j+kb.i-j-kc.i+kd.i-k答案:d解析 設(shè)y軸方向向量j=0，1，0,而與a，j都垂直的向量是c=l(i-k)故選d問題:21. 對任意兩向量a，b，下列等式不恒成立的是_a.a+b=b+ab.ab=bac.ab=bad.(ab)2+(ab)2=a2b2答案:c解析 由向量積運算法則知，ab=-ba，故選c問題:22. 直線與平面x+y-z=2的位置關(guān)系是_a.平行b.直線在平面內(nèi)c.垂直d.相交但不垂直答案:a解析 1，-1，01，1，-1=0，得直線的方向向量與平

8、面的法向量垂直，在直線上取一點(0，0，0)，該點不在平面x+y-z=2上，故直線與平面平行問題:23. 的值為_ a0 b1 c d不存在 答案:c解析問題:24. 函數(shù)f(x，y)在(x0，y0)處兩個偏導(dǎo)數(shù)fx(x0，y0)，fy(x0，y0)都存在是f(x,y)在該點連續(xù)的_a.充要條件b.必要非充分條件c.充分非必要條件d.既非充分亦非必要條件答案:d解析問題:25. 函數(shù)在點(1，1)處的全微分 a0 b cdx-dy d 答案:b解析問題:26. 設(shè)則交換積分次序后_ a b c d 答案:c解析 由知積分區(qū)域d如圖所示： 交換積分次序： 問題:27. 設(shè)l為三個頂點分別為(-1

9、，0)，(0，0)和(0，1)的三角形區(qū)域的邊界，l的方向為順時針方向，則l(3x-y)dx+(x-2y)dy=_a.0b.1c.2d.-1答案:d解析 設(shè)p=3x-y，q=x-2y， 問題:28. 設(shè) a b0 c d 答案:b解析 由于ycos(2xy)是關(guān)于y的奇函數(shù)，故其關(guān)于y在-1，1上的積分為0，故 問題:29. 若級數(shù)都發(fā)散，則下列表述必正確的是_ a發(fā)散 b發(fā)散 c發(fā)散 d發(fā)散 答案:c解析 如果收斂，則由|an|an|+|bn|，|bn|an|+|bn| 可知級數(shù)都收斂，與題設(shè)矛盾，故發(fā)散 問題:30. 若級數(shù)在x=-2處收斂，則此級數(shù)在x=4處_a.發(fā)散b.條件收斂c.絕對

10、收斂d.收斂性不能確定答案:c解析 由于級數(shù)在x=-2處收斂，由阿貝爾定理知，對于所有滿足 |x-2|-2-2|的點x，即-2x6，冪級數(shù)絕對收斂，故此級數(shù)在x=4處絕對收斂 二、填空題問題:1.答案:e-1解析問題:2. 設(shè)f(x)為奇函數(shù)，則f(x0)=3時，f(-x0)=_答案:3解析 由于f(x)為奇函數(shù)，故f(x)為偶函數(shù)，所以f(-x0)=f(x0)=3問題:3. 曲線y=lnx上點(1，0)處的切線方程為_答案:y=x-1解析 故切線方程為：y-0=x-1，即y=x-1問題:4.答案:解析問題:5. 以c1e-2x+c2xe-2x為通解的二階常系數(shù)齊次線性微分方程為_答案:y+4

11、y+4y=0解析 由通解y=c1e-2x+c2xe-2x的形式知，r=-2為二階常系數(shù)齊次線性微分方程所對應(yīng)的特征方程的二重根，滿足特征方程r2+4r+4=0，故所求方程為y+4y+4y=0問題:6. 點(1，2，3)關(guān)于y軸的對稱點為_答案:(-1，2，-3)解析 點(1，2，3)關(guān)于y軸的對稱點，即y不變，x，z取其相反數(shù)，故點(1，2，3)的對稱點為(-1，2，-3)問題:7. 函數(shù)z=ex+y在點(0，0)處的全微分dz|(0,0)=_答案:dx+dy解析問題:8. 由x+y+xy=1所確定的隱函數(shù)y=y(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)為_答案:解析 令f(x，y)=x+y+xy-1，fx=1+

12、y，fy=1+x， 當(dāng)x=1時，代入方程x+y+xy=1求得y=0，故 問題:9. 函數(shù)z=x2+y2在點(1，2)處沿從點(1，2)到點(2，2+)方向的方向?qū)?shù)等于_答案:解析 設(shè)點a(1，2)，點b(2，2+)，則 所以函數(shù)z=x2+y2在點(1，2)處沿從點(1，2)到點(2，2+)方向的方向?qū)?shù)為： 問題:10. 冪級數(shù)的收斂區(qū)間為_.答案:(-1，1)解析 所以收斂區(qū)間為(-1，1).三、計算題(每小題5分，共50分)問題:1. 用夾逼準(zhǔn)則求極限的值.答案:解析 因為 所以 注意到 由夾逼準(zhǔn)則知， 問題:2. 討論函數(shù)在x=0處的可導(dǎo)性答案:解析 因為 所以函數(shù)f(x)在x=0處可

13、導(dǎo) 問題:3. 求不定積分答案:解析問題:4. 求定積分答案:解析問題:5. 求微分方程y+3y+2y=ex的通解答案:解析 解特征方程2+3+2=0得1=-1，2=-2，=1不是特征方程的根， 可設(shè)y=kex為方程的一個特解，則kex+3kex+2kex=ex，于是 故方程的通解為其中c1，c2為任意的常數(shù) 問題:6. 設(shè)z=(x+y，x2)，且具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求答案:解析 因為z=(x+y，x2)，且具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，所以 從而 問題:7. 求曲面ez-z+xy=3在點(2，1，0)處的切平面方程答案:解析 令f(x，y，z)=ez-z+xy-3， 則fx(x，y，z)=y，fy(x

14、，y，z)=x，fz(x，y，z)=ez-1， 所以fx(2，1，0)=1，fy(2，1，0)=2，fz(2，1，0)=0， 從而所求切平面的方程為(x-2)+2(y-1)=0，即x+2y-4=0 問題:8. 計算二重積分，其中d是由直線x+y=1和兩條坐標(biāo)軸所圍成的閉區(qū)域答案:解析 這里d=(x，y)|0x1，0y1-x， 所以 問題:9. 計算lxdx+ydy+(x+y-1)dz，l是從點(1，1，1)到點b(1,1,4)的直線段答案:解析 l的參數(shù)方程為x=1，y=1，z=1+3t(0t1)， 所以 問題:10. 將展開成(x+1)的冪級數(shù)答案:解析 由于 所以 四、應(yīng)用題(每小題6分，

15、共12分)問題:1. 求點(0，1)到拋物線y=x2上的點的距離的平方的最小值答案:解析 方法一 令點(0，1)到拋物線y=x2上的點的距離為d(x,y)， 則 d(x，y)2=x2+(y-1)2 令 f(x，y，)=x2+(y-1)2+(x2-y)， 則 fx(x，y，)=2x+2x，fy(x，y，)=2(y-1)-， f(x，y，)=x2-y 所以點(0，1)到拋物線y=x2上的點的距離的平方的最小值為. 方法二 令點(0，1)到拋物線y=x2上的點的距離為d(x，y)，則 結(jié)合y的取值范圍0，+)，立即可知所求最小值為 問題:2. 求幾何體x2+y2+4z44的體積答案:解析 方法一 令d=(x，y)|x2+y24， 則幾何體x2+y2+4z44的體積為 方法二 易見幾何體x2+y2+4z44被平面z=h(-1h1)所截而得的截面 是一個半徑為的圓面，其面積為sh=4(1-h4) 因此幾何體的體積為 五、證明題(8分)問題:1. 設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)均在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，f(a)=g(b)，f(b)=g(a)，且f(a)f(b)，證明存在(a，b)，使f()=g()答案:證明 令f(x)=f(x