初中數(shù)學(xué)直線與圓的位置關(guān)系教案

1、-作者xxxx-日期xxxx初中數(shù)學(xué)直線與圓的位置關(guān)系教案【精品文檔】課 題直線與圓的位置關(guān)系教學(xué)目標(biāo)1.理解直線與圓的位置關(guān)系,明確直線與圓的三種位置關(guān)系的判定方法,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.2.會(huì)用點(diǎn)到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系及會(huì)利用直線與圓的位置關(guān)系解決相關(guān)的問題，讓學(xué)生通過觀察圖形,明確數(shù)與形的統(tǒng)一性和聯(lián)系性.重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系的幾何圖形及其判斷方法.教學(xué)難點(diǎn):用坐標(biāo)法判斷直線與圓的位置關(guān)系.考點(diǎn)及考試要求教 學(xué) 內(nèi) 容 4.2.1 直線與圓的位置關(guān)系整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析 中學(xué)習(xí)了解析幾何以后,要考慮的問題是如何掌握由直線和圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系的方

2、法.解決問題的方法主要是幾何法和代數(shù)法.其中幾何法應(yīng)該是在初中學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上,結(jié)合高中所學(xué)的點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心與直線的距離d后,比較與半徑r的關(guān)系從而作出判斷.適可而止地引進(jìn)用聯(lián)立方程組轉(zhuǎn)化為二次方程判別根的“純代數(shù)判別法”,并與“幾何法”欣賞比較,以決優(yōu)劣,從而也深化了基本的“幾何法”.含參數(shù)的問題、簡單的弦的問題、切線問題等綜合問題作為進(jìn)一步的拓展提高或綜合應(yīng)用,也適度地引入課堂教學(xué)中,但以深化“判定直線與圓的位置關(guān)系”為目的,要控制難度.雖然學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何了,但把幾何問題代數(shù)化無論是思維習(xí)慣還是具體轉(zhuǎn)化方法,學(xué)生仍是似懂非懂,因此應(yīng)不斷強(qiáng)化,逐漸內(nèi)化為學(xué)生的習(xí)慣和基本素質(zhì).課時(shí)安

3、排：2課時(shí)教學(xué)過程第1課時(shí)導(dǎo)入新課思路1.平面解析幾何是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容,每年的高考試題中有選擇題、填空題和解答題,考查的知識(shí)點(diǎn)比較廣泛，直線方程和圓的方程的建立、直線與圓的位置關(guān)系等也是必考內(nèi)容,本節(jié)主要學(xué)習(xí)直線與圓的關(guān)系.思路2.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)(1) 直線方程：Ax+By+C=0(A,B不同時(shí)為零).(2) 點(diǎn)到直線的距離公式：(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x-a)2+(y-b)2=r2,圓心為(a,b),半徑為r.(3)圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F0)，圓心為(-,-),半徑為.推進(jìn)新課新知探究提出問題初中學(xué)過的平面幾何中,直線與圓的位置關(guān)系有幾種？我們怎

4、樣判斷直線與圓的位置關(guān)系呢？如何結(jié)合解析幾何的相關(guān)知識(shí)深化（數(shù)字化）初中的判定方法？如何用直線與圓的方程判斷它們之間的位置關(guān)系呢？闡述方程的解與圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系。判斷直線與圓的位置關(guān)系有幾種方法？它們的特點(diǎn)是什么？討論結(jié)果：初中學(xué)過的平面幾何中,直線與圓的位置關(guān)系有直線與圓相離、直線與圓相切、直線與圓相交三種.直線與圓的三種位置關(guān)系的含義是-幾何法判斷:直線與圓的位置關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系圖形相交兩個(gè)dr相切只有一個(gè)d=r相離沒有dr：判斷直線l與圓的位置關(guān)系,就是看由它們的方程組成的方程組有無實(shí)數(shù)解；直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法：幾何方法步驟：1把直線方程化為一般

5、式,求出圓心和半徑.2利用點(diǎn)到直線的距離公式求圓心到直線的距離.3作判斷：當(dāng)dr時(shí),直線與圓相離；當(dāng)d=r時(shí),直線與圓相切;當(dāng)dr時(shí),直線與圓相交.代數(shù)方法步驟：1將直線方程與圓的方程聯(lián)立成方程組.2利用消元法,得到關(guān)于另一個(gè)元的一元二次方程.3求出其判別式的值.4比較與0的大小關(guān)系,若0,則直線與圓相離；若=0,則直線與圓相切;若0,則直線與圓相交.反之也成立.應(yīng)用示例例1 已知直線l：3x+y-6=0和圓C的方程：x2+y2-2y-4=0,判斷直線l與圓的位置關(guān)系.如果相交,求出它們的交點(diǎn)坐標(biāo).活動(dòng):學(xué)生思考或交流,回顧判斷的方法與步驟,教師引導(dǎo)學(xué)生考慮問題的思路,必要時(shí)提示,對學(xué)生的思維

6、作出評價(jià);方法一,判斷直線l與圓的位置關(guān)系,就是看由它們的方程組成的方程組有無實(shí)數(shù)解；方法二,可以依據(jù)圓心到直線的距離與半徑長的關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系.解法一:由直線l與圓的方程,得消去y,得x2-3x+2=0,因?yàn)?(-3)2-412=10,所以直線l與圓相交,有兩個(gè)公共點(diǎn).解法二：圓x2+y2-2y-4=0可化為x2+(y-1)2=5,其圓心C的坐標(biāo)為(0,1),半徑長為,圓心C到直線l的距離d=.所以直線l與圓相交,有兩個(gè)公共點(diǎn).由x2-3x+2=0,得x1=2,x21=2代入方程,得y1=0;把x2=1代入方程,得y2=3.所以直線l與圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn),它們的坐標(biāo)分別是(2,0)

7、和(1,3).點(diǎn)評:比較兩種解法,我們可以看出,幾何法判斷要比代數(shù)法判斷快得多,但是若要求交點(diǎn),仍需聯(lián)立方程組求解.例2 已知圓的方程是x2+y2=2,直線y=x+b,當(dāng)b為何值時(shí),圓與直線有兩個(gè)公共點(diǎn),只有一個(gè)公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn).活動(dòng):學(xué)生思考或交流,教師引導(dǎo)學(xué)生考慮問題的思路,必要時(shí)提示,對學(xué)生的思維作出評價(jià).我們知道,判斷直線l與圓的位置關(guān)系,就是看由它們的方程組成的方程組有無實(shí)數(shù)解,或依據(jù)圓心到直線的距離與半徑長的關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系.反過來,當(dāng)已知圓與直線的位置關(guān)系時(shí),也可求字母的取值范圍,所求曲線公共點(diǎn)問題可轉(zhuǎn)化為b為何值時(shí),方程組有兩組不同實(shí)數(shù)根、有兩組相同實(shí)根、無實(shí)根的問題

8、.圓與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)、只有一個(gè)公共點(diǎn)、沒有公共點(diǎn)的問題,可轉(zhuǎn)化為b為何值時(shí)圓心到直線的距離小于半徑、等于半徑、大于半徑的問題.解法一:若直線l：y=x+b和圓x2+y2=2有兩個(gè)公共點(diǎn)、只有一個(gè)公共點(diǎn)、沒有公共點(diǎn),則方程組有兩個(gè)不同解、有兩個(gè)相同解、沒有實(shí)數(shù)解,消去y,得2x2+2bx+b2-2=0,所以=(2b)2-42(b2-2)=16-4b2.所以,當(dāng)=16-4b20,即-2b2時(shí),圓與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)=16-4b2=0,即b=2時(shí),圓與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)=16-4b20,即b2或b-2時(shí),圓與直線沒有公共點(diǎn).解法二：圓x2+y2=2的圓心的坐標(biāo)為(0,0),半徑長為2,圓心到

9、直線l:y=x+b的距離d=.當(dāng)dr時(shí),即,即|b|2,即b2或b-2時(shí),圓與直線沒有公共點(diǎn);當(dāng)d=r時(shí),即=,即|b|=2,即b=2時(shí),圓與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)dr時(shí),即,即|b|2,即-2b2時(shí),圓與直線有兩個(gè)公共點(diǎn).點(diǎn)評：由于圓的特殊性,判斷圓與直線的位置關(guān)系,多采用圓心到直線的距離與半徑的大小進(jìn)行比較的方法,而以后我們將要學(xué)習(xí)的圓錐曲線與直線位置關(guān)系的判斷,則需要利用方程組解的個(gè)數(shù)來判斷.變式訓(xùn)練 已知直線l過點(diǎn)P(4,0),且與圓O：x2+y2=8相交,求直線l的傾斜角的取值范圍.解法一：設(shè)直線l的方程為y=k(x-4),即kx-y-4k=0,因?yàn)橹本€l與圓O相交,所以圓心O到直線

10、l的距離小于半徑,即2,化簡得k21,所以-1k1,即-1tan1.（注意傾斜角的范圍）當(dāng)0tan1時(shí),0；當(dāng)-1tan0時(shí),.所以的取值范圍是0,)(,).解法二：設(shè)直線l的方程為y=k(x-4),由,消去y得(k2+1)x2-8k2x+16k2-8=0.因?yàn)橹本€l與圓O相交,所以=(-8k2)2-4(k2+1)(16k2-8)0,化簡得k21.(以下同解法一)點(diǎn)評:涉及直線與圓的位置關(guān)系的問題,?？蛇\(yùn)用以上兩種方法.本題若改為選擇題或填空題,也可利用圖形直接得到答案.思路2例1 已知圓的方程是x2+y2=r2,求經(jīng)過圓上一點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程.活動(dòng):學(xué)生思考討論,教師提示學(xué)生解題的

11、思路,引導(dǎo)學(xué)生回顧直線方程的求法,既考慮通法又考慮圖形的幾何性質(zhì).此切線過點(diǎn)(x0,y0),要確定其方程,只需求出其斜率k,可利用待定系數(shù)法(或直接求解).直線與圓相切的幾何特征是圓心到切線的距離等于圓的半徑,切線與法線垂直.解法一:當(dāng)點(diǎn)M不在坐標(biāo)軸上時(shí),設(shè)切線的斜率為k,半徑OM的斜率為k1,因?yàn)閳A的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑,所以k=-.因?yàn)閗1=所以k=-.所以經(jīng)過點(diǎn)M的切線方程是y-y0=-(x-x0).整理得x0x+y0y=x02+y02.又因?yàn)辄c(diǎn)M(x0,y0)在圓上,所以x02+y02=r2.所以所求的切線方程是x0x+y0y=r2.當(dāng)點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上時(shí),可以驗(yàn)證上面的方程同樣適用.解

12、法二:設(shè)P(x,y)為所求切線上的任意一點(diǎn),當(dāng)P與M不重合時(shí),OPM為直角三角形,OP為斜邊,所以O(shè)P2=OM2+MP2,即x2+y2=x02+y02+(x-x0)2+(y-y0)2.整理得x0x+y0y=r2.可以驗(yàn)證,當(dāng)P與M重合時(shí)同樣適合上式,故所求的切線方程是x0x+y0y=r2.解法三:設(shè)P(x,y)為所求切線上的任意一點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M不在坐標(biāo)軸上時(shí),由OMMP得kOMkMP=-1,即=-1,整理得x0x+y0y=r2.可以驗(yàn)證,當(dāng)點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上時(shí),P與M重合,同樣適合上式,故所求的切線方程是x0x+y0y=r2.點(diǎn)評:如果已知圓上一點(diǎn)的坐標(biāo),我們可直接利用上述方程寫出過這一點(diǎn)的切線方程.

13、變式訓(xùn)練 求過圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2上一點(diǎn)M(x0,y0)的圓的切線方程.解:設(shè)x0a,y0b,所求切線斜率為k,則由圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑,得k=,所以所求方程為y-y0=(x-x0),即(y-b)(y0-b)+(x-a)(x0-a)=(x0-a)2+(y0-b)2.又點(diǎn)M(x0,y0)在圓上,則有(x0-a)2+(y0-b)2=r2.代入上式,得(y-b)(y0-b)+(x-a)(x0-a)=r2.當(dāng)x0=a,y0=b時(shí)仍然成立,所以過圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2上一點(diǎn)M(x0,y0)的圓的切線方程為(y-b)(y0-b)+(x-a)(x0-a)=r2.例2

14、從點(diǎn)P(4,5)向圓(x2)2y2=4引切線,求切線方程.活動(dòng):學(xué)生思考交流,提出解題的方法,回想直線方程的求法,先驗(yàn)證點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,再利用幾何性質(zhì)解題.解:把點(diǎn)P(4,5)代入(x2)2y2=4,得(42)252=294,所以點(diǎn)P在圓(x2)2y2=4外.設(shè)切線斜率為k,則切線方程為y5=k(x4),即kxy54k=0.又圓心坐標(biāo)為(2,0),r=2.因?yàn)閳A心到切線的距離等于半徑,即=2,k=.所以切線方程為21x20y16=0.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)還有一條切線是x=4.點(diǎn)評:過圓外已知點(diǎn)P(x,y)的圓的切線必有兩條,一般可設(shè)切線斜率為k,寫出點(diǎn)斜式方程,再利用圓心到切線的距離等于半徑

15、,寫出有關(guān)k的方程.求出k,因?yàn)橛袃蓷l,所以應(yīng)有兩個(gè)不同的k值,當(dāng)求得的k值只有一個(gè)時(shí),說明有一條切線斜率不存在,即為垂直于x軸的直線,所以補(bǔ)上一條切線x=x1.變式訓(xùn)練 求過點(diǎn)M(3,1),且與圓(x-1)2+y2=4相切的直線l的方程.解:設(shè)切線方程為y-1=k(x-3),即kx-y-3k+1=0,因?yàn)閳A心(1,0)到切線l的距離等于半徑2,所以=2,解得k=-.所以切線方程為y-1=-(x-3),即3x+4y-13=0.當(dāng)過點(diǎn)M的直線的斜率不存在時(shí),其方程為x=3,圓心(1,0)到此直線的距離等于半徑2,故直線x=3也符合題意.所以直線l的方程是3x+4y-12=0或x=3.例3 (1)

16、已知直線l：y=x+b與曲線C：y=有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(2)若關(guān)于x的不等式x+b解集為R,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.圖1解:(1)如圖1(數(shù)形結(jié)合),方程y=x+b表示斜率為1,在y軸上截距為b的直線l；方程y=表示單位圓在x軸上及其上方的半圓,當(dāng)直線過B點(diǎn)時(shí),它與半圓交于兩點(diǎn),此時(shí)b=1,直線記為l1；當(dāng)直線與半圓相切時(shí),b=,直線記為l2.直線l要與半圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),必須滿足l在l1與l2之間(包括l1但不包括l2),所以1b,即所求的b的取值范圍是1,).(2)不等式x+b恒成立,即半圓y=在直線y=x+b上方,當(dāng)直線l過點(diǎn)(1,0)時(shí),b=-1,所以所求的b的取值范圍是(-,-1).點(diǎn)評:利用數(shù)形結(jié)合解題,有時(shí)非常方便直觀.知能訓(xùn)練拓展提升圓x2+y2=8內(nèi)有一點(diǎn)P0(-1,2),AB為過點(diǎn)P0且傾斜角為的弦.(1)當(dāng)=時(shí),求AB的長；(2)當(dāng)AB的長最短時(shí),求直線AB的方程.解:(1)當(dāng)=時(shí),直線AB的斜