證明或判斷等差等比數(shù)列的常用方法

1、證明或判斷等差（等比）數(shù)列的常用方法湖北省 王衛(wèi)華玉芳翻看近幾年的高考題，有關(guān)證明、判斷數(shù)列是等差（等比）數(shù)列的題型比比皆是，如何 處理這些題目呢？且聽(tīng)筆者一一道來(lái).一、利用等差（等比）數(shù)列的定義在數(shù)列an中，若anan-1（d為常數(shù)）或anan-1q （ q 為常數(shù)），則數(shù)列an為等差（等比）數(shù)列.這是證明數(shù)列耳為等差（等比）數(shù)更最主要的方法如:例1 （2005北京卷）設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)a1 =:a =丄，且a41-an2 1 |a an 4n為偶數(shù)n為奇數(shù)記 bn猜想：bn是公比為一的等比數(shù)列.1,.所以b1（n）判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論.)a? = a1 4=a ；，a3

2、a?=-2 :* 1131a4 = a3=a，所以a5 =428211b2 =11=a1a -4*3 一 a1 43 42 .(i)求 a?, 83 ；解：（i1a 1 ；2 813a4 一 4a 16，14J a，4 .41 1證明如下：因?yàn)閎na2nV-a2n2n 42bn,(n N )11所以bn是首項(xiàng)為a ，公比為一的等比數(shù)列.42評(píng)析：此題并不知道數(shù)列bn的通項(xiàng)，先寫(xiě)出幾項(xiàng)然后猜測(cè)出結(jié)論，再用定義證明,這是常規(guī)做法。例2 （ 2005山東卷）已知數(shù)列an的首項(xiàng)ai =5 ,前n項(xiàng)和為Sn ,且Sn 1 =2Sn n 5（t N ）（i）證明數(shù)列an 1是等比數(shù)列；（n）略.解：由已知

3、Sn .1 =2Sn n 5(n N*)可得n _ 2時(shí)，&-n 4兩式相減得：Sn 1-Sn= 2(Sn-Sni)1，即 an1= 2an 1，從而an 1T = 2(an1),當(dāng) n =1 時(shí)，s2 =20 1 5，所以 a2 a2a1 6,又 q =5，所以 a2 =11，從而 a2 1 2(a1 1).a +1故總有 an仁 2(an 1), n N ”，又=5, a1 0，從而亠 2 .an +1所以數(shù)列an 1是等比數(shù)列.評(píng)析：這是常見(jiàn)題型，由依照含Sn的式子再類(lèi)似寫(xiě)出含 Sn的式子，得到anpan q的形式，再利用構(gòu)造的方法得到所要證明的結(jié)論.本題若是先求出通項(xiàng)an的表達(dá)式，則較

4、繁.注意事項(xiàng)：用定義法時(shí)常采用的兩個(gè)式子an an=d和an 4 -an = d有差別，前者必a須加上“ n 2 ”否則n=1時(shí)a0無(wú)意義，等比中一樣有：n 2時(shí)，有亠才| = q (常an數(shù)式0 )；nw N州時(shí)，有(常數(shù)=0).二運(yùn)用等差或等比中項(xiàng)性質(zhì)an an 2 - 2an1 ：=an是等差數(shù)列，anan 2 - an 1(an0) ：=an是等比數(shù)列，這是證明數(shù)列坯為等差(等比)數(shù)列的另一種主要方法.例3. (2005江蘇卷)設(shè)數(shù)列an的前項(xiàng)為Sn，已知a1 =1, a2 = 6, a3 = 11，且(5n -8)Sn 1 -(5n 2)Sn=An B, n =1,2,3,|,其中

5、A, B 為常數(shù).(1 )求A與B的值；(2)證明數(shù)列an為等差數(shù)列；(3)略.解：(1 )由印=1, a2 =6, a3 =11，得 S =1, S2 = 7, S3 = 18 .A B 二-28,把 n =1,2 分別代入(5n-8)S1-(5n 2)S=An B，得 2A B =-48L解得，A = -20 , B = -8 .(n )由(I )知，5n(Sn 1Sn) -8Sn 1 2 = -20n -8，即5nan i . 8Sn i. -2Sh = _20n -8 ,又 5(n l)an 2 -8S 2 -2Sn i = -20(n 1) 8 .-得，5(n 1)an 2 -5na

6、n 彳-8an 2 -2an * - -20 ,即(5n -3間 2 -(5n 2)a. 1 = -20 .又(5n 2)an 3 -(5n 7)% 2 - -20 .-得，(5n 2)(an 3 2a. .2 a. .J =0 ,二兔 3 2a. .2 a. 1 =0 ,an 3一an 2 =2一1| = a3 玄2 =5，又玄2 玄1 =5 ,因此，數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為5的等差數(shù)列.評(píng)析：此題對(duì)考生要求較高，通過(guò)挖掘Sn的意義導(dǎo)出遞推關(guān)系式，靈活巧妙地構(gòu)造得到中項(xiàng)性質(zhì)，這種處理大大簡(jiǎn)化了計(jì)算.例4.(高考題改編)正數(shù)數(shù)列 an和bn滿(mǎn)足：對(duì)任意自然數(shù) n, an, bn, an.成等差

7、數(shù)列，bn, an i, bn.成等比數(shù)列.證明：數(shù)列Jbn為等差數(shù)列.證明：依題意，an0,bn0,2bn=anan 1，且an d= 、bnbn1 ,an = bnbn(n 2).2bn 二.bnbnbnbn 1 .由此可得2 m=.昭bn?.即._昭-m - bn -兀(門(mén) 2).數(shù)列.,0為等差數(shù)列.評(píng)析：本題依據(jù)條件得到 an與bn的遞推關(guān)系，通過(guò)消元代換構(gòu)造了關(guān)于f. bj的等差數(shù)列，使問(wèn)題得以解決.三.運(yùn)算數(shù)學(xué)歸納法這種方法關(guān)鍵在于猜想要正確，用數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟要熟練，從“n = k時(shí)命題成立”到“ n = k 1時(shí)命題成立”要會(huì)過(guò)渡.例5 . (2004全國(guó)高考題)數(shù)列的前

8、n項(xiàng)和記為& ,已知a1 ,n 亠 2i S Ia* 1 =Sn(n =1,21().證明：數(shù)列-n是等比數(shù)列.nL n J證明：由 a1 -1, an 1 =Sn (n - 1,2j H)，知 a? S = 3a1, 1 = 2 ,1 2 2勺=1，猜測(cè) Sn是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.1 nS下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：令 bSn .n（1）當(dāng) n =2時(shí)，b2 =2b，成立.當(dāng) n = 3時(shí)，S3 = a1 a2 a3 =13 2(1 3) = 12,0 = 4 = 2b2，成立. 假設(shè)n =k時(shí)命題成立，即bk =2bk.c k 22& = 2bk,命題成立.kS S +2那么當(dāng) n =

9、k 1 時(shí)，bk j =汪1 二 Sk ak 1Jk+1k+1k+1綜上知 n是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.In J例6. （2005浙江卷）設(shè)點(diǎn) 代（人,0, Pn（Xn,2n）和拋物線(xiàn)2 * 1G ： y =x-anXbn（nN）,其中a. = -2 -4n - nJ,Xn由以下方法得到：花=1,點(diǎn)P（x2,2）在拋物線(xiàn)G 注仝 a1x b上，點(diǎn)a （x1,0）到p的距離是 A到G上點(diǎn)的最短距離，點(diǎn)Pn 1（Xn 1,2）在拋物線(xiàn)Cn ： y = X2 * anX * bn上，點(diǎn)A （綣0）到Pn 1的距離是A到Cn上點(diǎn)的最短距離.(1 )求X2及C1的方程.(2)證明 Xn 是等差數(shù)列

10、.解：(I)由題意得：A(1,0), G : y =x2-7x d .設(shè)點(diǎn) P(x, y)是 C1 上任意一點(diǎn)，貝U |AP|(x-1)2 y2(x-1)2 (x2-7x bj2 令 f (x) =(x -1) (x -7x bi),則 f (x) =2(x -1)2(x -7x bi)(2x _7).由題意：f，(x2) =0,即 2( x2 -1) 2(x22 -7x2 bj(2x2 _7) =0.又 F2(x2,2)在 C1 上，2=x22-7x2 d,解得：x2 =3,3 =14.，故 C1 方程為 y =x2 -7x 14.(II)設(shè)點(diǎn) P(x, y)是 Cn 上任意一點(diǎn)，則 I A

11、nPF .(X-Xn)2 (X2 anX bn)2令 g(x) =(x -Xn)2 (X2 anX bn)2,則 g(x) =2(x -Xn) 2(X2 anX bn)(2x an).由題意得 g(Xn=O，即 2(Xn卑Xn)+2(Xnf +anXn申 +bn)(2Xn出 +an)=O 又；2n =Xn +anXn 卑 +g,(Xn1-Xn)2n(2Xni a. 0(n 一 1).即(121)Xni-Xn2匕=0(* )F面用數(shù)學(xué)歸納法證明xn =2n -1當(dāng)n二1時(shí)，X- =1,等式成立.假設(shè)當(dāng)n =k時(shí)，等式成立,即 xk=2k-1,則當(dāng)n二k T時(shí)，由（* ）知k山1k(12 風(fēng) 1

12、- Xk 2 % 蘭1又 ak = -2 -4k -2 肓Xk 1kXk _ 2 a- 廠(chǎng)占=2k 1 .1 2k 1即當(dāng)n =k T時(shí)，等式成立.由知，等式對(duì) n N成立.xn是等差數(shù)列.評(píng)析：例5是常規(guī)的猜想證明題， 考查學(xué)生掌握猜想證明題的基本技能、 掌握數(shù)列前n項(xiàng)和 這個(gè)概念、用數(shù)學(xué)歸納法證明等差數(shù)列的方法； 例6是個(gè)綜合性比較強(qiáng)的題目， 通過(guò)求二次 函數(shù)的最值得到遞推關(guān)系式，再直接猜想然后用歸納法證明， 解法顯得簡(jiǎn)潔明了， 如果直接 利用遞推關(guān)系式找通項(xiàng)，反而不好作.經(jīng)過(guò)一系列的推 這時(shí)可從反面去四.反證法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維過(guò)程，一般總是從正面入手，即從已知條件出發(fā)， 理和運(yùn)算，最后

13、得到所要求的結(jié)論， 但有時(shí)會(huì)遇到從正面不易入手的情況， 考慮.如：例7.（2000年全國(guó)高考（理）設(shè)a.，bn是公比不相等的兩等比數(shù)列, 明數(shù)列Cn不是等比數(shù)列.證明：設(shè)an bn的公比分別為p, q , p = q , c an bn，為證q不是等比數(shù) 列只需證 c；工 gLc3 .事實(shí)上， c2 =（ai p bq）2 二a： p2 b2q2 2aib pq二佝 bOG b?） = （ab）（4 p2 dq2） =aip2 b2q2 a1b1（p2 q2）Tpq, p2+q2 2pq，又a, b不為零，二cf Lc3，故cj不是等比數(shù)列.評(píng)析：本題主要考查等比數(shù)列的概念和基本性質(zhì)、推理和運(yùn)

14、算能力， 對(duì)邏輯思維能力有較高要求.要證cn不是等比數(shù)列，只要由特殊項(xiàng)（如cf =6“）就可否定.一般地講,否定性的命題常用反證法證明， 其思路充分說(shuō)明特殊化的思想方法與正難則反的思維策略的五看通項(xiàng)與前n項(xiàng)和法若數(shù)列通項(xiàng) a能表示成an = a nb ( a, b為常數(shù))的形式，則數(shù)列是等差數(shù)列； 右通項(xiàng)an能表示成an - cq (c, q均為不為0的常數(shù)，n N ) 的形式，則數(shù)列 n? 是等比 數(shù)列.若數(shù)列：anf的前n項(xiàng)和Sn能表示成& = an2 bn(a,b為常數(shù))的形式，則數(shù)列：anf 等差數(shù)列；若Sn能表示成Sn =Aqn-A(A, q均為不等于0的常數(shù)且1)的形式，則數(shù) 列是

15、公比不為1的等比數(shù)列這些結(jié)論用在選擇填空題上可大大節(jié)約時(shí)間.例8 (2001年全國(guó)題)若Sn是數(shù)列 牯的前n項(xiàng)和，Sn = n2,則aj是().A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列B .等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C.等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列解析：用到上述方法，一下子就知道答案為B,大大節(jié)約了時(shí)間，同時(shí)大大提高了命中率.六熟記一些常規(guī)結(jié)論，有助于解題若數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，則(1) 數(shù)列an an ( 為不等于零的常數(shù))仍是公比為q的等比數(shù)列；(2) 若bn是公比為q 的等比數(shù)列，則數(shù)列anLbn是公比為qq 的等比數(shù)列；11(3) 數(shù)列丄是公比為1的等比數(shù)列；冃Jq

16、(4) an是公比為q的等比數(shù)列；(5) 在數(shù)列an中，每隔k(kN )項(xiàng)取出一項(xiàng)，按原來(lái)順序排列，所得新數(shù)列仍為等比 數(shù)列且公比為qk 1 ；(6) anan1 an an 1a2n4a2n, ga2a3,a4a5a6,a?p等都是等比數(shù)列；(7) 若m , n , p(m n, p N )成等差數(shù)列時(shí)，am, a. , ap成等比數(shù)列；(8) Sn ,S2n_Sn ,S3_ S2n均不為零時(shí)，則S ,Sn,3 S2n成等比數(shù)列;(9) 若log b an是一個(gè)等差數(shù)列，則正項(xiàng)數(shù)列an是一個(gè)等比數(shù)列.若數(shù)列an是公差為d等差數(shù)列，則(1) kan b成等差數(shù)列，公差為 kd (其中k = 0, k, b是實(shí)常數(shù))；(2)S(n i)k -Skn , ( k N , k為常數(shù))，仍成等差數(shù)列，其公差為k2d ；(3) 若an bn都是等差數(shù)列，公差分別為 di, d2，則an二bn是等差數(shù)列，公差為 dd2;(4) 當(dāng)數(shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列時(shí)，數(shù)列l(wèi)g an是公差為lgq的等差數(shù)列；(5) m, n, p(m, n, p N )成等差數(shù)列時(shí)，a