大抽樣分布PPT課件

1、主要內容（主要內容（2學時）學時） 一、卡方分布一、卡方分布( 分布分布)。 二、二、t分布。分布。 三、三、F分布。分布。 四、正態(tài)總體的樣本均值、樣本方差的分布。四、正態(tài)總體的樣本均值、樣本方差的分布。 第四節(jié)第四節(jié) 抽樣分布（重點）抽樣分布（重點） 2 說明：說明： 統計量是樣本的函數，是統計量是樣本的函數，是隨機變量隨機變量，有其概率，有其概率 分布，統計量的分布稱為分布，統計量的分布稱為抽樣分布抽樣分布. 要求要求： 了解了解 分布分布、t 分布、分布、F 分布的定義，及來自分布的定義，及來自 正態(tài)總體正態(tài)總體X的樣本均值的分布等常見統計量的分布。的樣本均值的分布等常見統計量的分布。

2、 會會查查 分布分布、t 分布、分布、F 分布的上分布的上 分位數分位數。 2 2 一、卡方分布（一、卡方分布（ ） 12 ,(0 ,1) ni XXXXN( (1 1) ) 獨獨立立同同分分布布, ,且且 2 分布分布 22 1 22 1 2 2 2 222 ,(0 , ) .( ) 1 , n n XXX XXXN nn 設設是是來來自自標標準準正正態(tài)態(tài)總總體體 的的一一 個個樣樣本本，令令 則則稱稱服服從從自自由由度度為為的的分分布布記記為為 1、定義（重點）、定義（重點） 說明說明: 2 22 12 ,(,), (0,1) ,) ()( ni ii XXXXN X nN X n n i

3、 i= =1 1 ( (2 2) ) 如如果果獨獨立立同同分分布布, ,且且 則則此此時時 2 2 1 122 2( ) 0 ( ) 0 0 n n ny yey f y y 2 2分 分布布的的概概率率密密度度為為 .,)(其其值值可可以以查查表表求求得得函函數數稱稱為為其其中中 2 n 2、概率密度及其圖形、概率密度及其圖形 ( )f y 1 n 4 n 10 n y O5 10 15 20 2 分布圖形：分布圖形： 2222 ( ),(), ()2EnDnn ( (2 2) ) 若若則則 2222 121,., (0,1) nni XXXXNXX 證證明明: :. .其其中中獨獨立立,

4、,且且 (0,1) ()0, ()1 iii XNE XD X 由由 22 ()() ()1 iii E XD XE X 22 () i nE XEn 2 44/2 1 2 () x i E Xxedx 2 2/2 1 2 3 x xedx 22 () i nD XD 422 ()() 2 ii n E XE Xn 2 3 ()3 i E X 3、主要特征：、主要特征： 22 2 12 12 (),(), ) , ( ,XnYnX XYnn Y ( (1 1) )可可加加性性: : 如如果果并并且且相相 則則 互互獨獨立立 上分位數上分位數：CHIINV(p, n) 累計概率累計概率：CHID

5、IST(x, n) 2 2 1 2 45:2( )(21 ,1). (:(0,1)( )(21)nz nnNn zNn 似似 2 2 近近 ( (3 3) )當當時時， 費費歇歇證證明明 故故上上分分位位點點) ) 4、上側分位數（重點）、上側分位數（重點） 2 222 ( ) ( ) ( )Xn P Xnn 設設, ,對對給給定定的的正正數數( (0 0 1 1) ), ,稱稱滿滿足足條條件件: : 的的點點為為分分布布的的上上分分位位點點. . 說明：說明： 22 ( )( )(2505).nnP ( (2 2) )上上分分位位點點可可查查分分布布表表求求得得 見見附附表表 2 ( )Xn

6、 ( (1 1) )即即隨隨機機變變量量落落在在點點右右側側的的概概率率等等于于 的的點點. . ( )f y y O )( 2 n 222 0.10.010.05 (25),(30),(50) (6), : ()0.025XAP XA 2 2 2 2 例例1 1 ( (1 1) )求求分分布布上上分分位位點點: : ( (2 2) )求求 使使得得: 2 0.1 : (25): =0.1, 25,n 解解 2 0.1 :(25)34.382 查查表表 2 0.01(30) 50.892 2 0.05(50): 5045n 0.05 1.645z 2 1 0.050.052 (50)(2*50

7、1)z 1 2 (1.64599)67.221 (2) ()10.0250.975P XA 2 0.975(6) A 1.237 2 1210 10 2 1 ,.,(0,0.3 ) 1.44 i i XXXN PX 例例2 2 設設為為總總體體的的一一個個樣樣本本, , 求求 2 1210 ,.,(0,0.3 )XXXN解解: : : 10 2 1 1.44 i i PX 1012 (0,1), ,., 0.30.30.30.3 i XXXX N且且相相 互互 獨獨 立立 . .: 10 2222 1012 1 1 ()(). () 0.30.30.30.09 i i XXX yX 令令2 (

8、10)y 則則 : 10 2 1 1.44 0.09 1 0.09 i i PX 16 0.1P y 二、二、t分布（分布（student分布）分布） 1、定義（重點）、定義（重點） 2 (0,1),( ), , ( ). / XYXNYn nt X TnTt Y n 設設隨隨機機變變量量與與相相互互獨獨立立，且且則則稱稱 統統計計量量服服從從自自由由度度為為的的 分分布布 記記作作 1 1 2 2 2 2 () () ( )(1) () n n n x n n f xxR 概概率率密密度度: : 2 /2 1 2 : lim () ( x n f xexR 可可以以證證明明 即即n充分大時，

9、充分大時，t分布以標準正態(tài)分布為極限分布分布以標準正態(tài)分布為極限分布. ( )f t O t 10 n 4 n 1 n 321123 . （1）圖形特征）圖形特征 . ( ),af t概概率率密密度度是是偶偶函函數數 關關于于縱縱軸軸對對稱稱 . 45, (0,1)bntN 近近似似 當當時時分分布布 2、主要特征：、主要特征： （2）數字特征）數字特征 ( )0, ( ), ( ) 2 2 n E tDttn n tn 若若則則 3、上側分位點（重點）、上側分位點（重點） 說明：說明： ( )(45, (4).)ntntztn ( (2 2) )上上 分分位位點點可可查查 分分布布表表 附附

10、時時表表 ( ) ( ) ( ),(01),P ttt nt t n tn 設設對對給給定定的的正正數數稱稱滿滿足足: : 的的點點為為 分分布布的的上上 分分位位點點. . )(tf Ot )(nt ( )ttn ( (1 1) )即即隨隨機機變變量量 落落在在點點右右側側的的概概率率等等于于 的的點點. . 1 ( )( )tnntt ( (3 3) )由由 分分布布圖圖形形的的對對稱稱性性: : 雙側上分位數雙側上分位數：TINV(p, n) 累計概率累計概率：TDIST(t, n,tails) 0.050.010.1 (25),(45),(50). (10), ,: ()0.05,()

11、0.95 tttt ttA BP tAP tB 例例3 3 ( (1 1) )求求 分分布布上上分分位位點點: : ( (2 2) )求求使使得得: 0.05 : (25): =0.05, 25,tn 解解 0.05 :(25)1.708t 查查表表 0.01(45) 2.4121t 0.05(10) 1.8125At (10), ()0.95ttP tB : 0.050.025.B 為為的的雙雙側側分分位位數數, ,或或= =的的上上分分位位數數 0.10.1 (50)1.29(1.298tz 真真實實值值: :) ) (10), ()0.05ttP tA ( (2 2) ) : 0.05

12、2 0.025 (10)(10)2.2281Btt 三、三、F分布分布 22 12 12 2 1 1 2 / (),(), (,), / (,) U n F V n UnVnUV nnFFF nn 若若且且與與相相互互獨獨立立， 則則稱稱統統計計量量 服服從從自自由由度度為為的的分分布布 記記 1、定義（重點）、定義（重點） )( xf xO 20, 12 nn 25 2 n 10 2 n (概率密度見概率密度見P123) 2、主要性質、主要性質 1212 (,), 1 ) (,FF nF n n F n( (1 1) ) 若若 則則 2 (1 ( ), ) tFntt n( (2 2) )

13、若若 ( (P P1 1則則 3 30 0- -習習8 8) ) 2 ( ) (0,1), ( ), / X tt nXNYnt Y n 簡簡證證: : 使使: 2 2222 , (1), ( ), / X tXYnF Y n 分分布布定定義義: 22 1212 1 2 (,), (), / / (),F U n FF nnUn V n Vn 簡簡證證: :使使 2 21 1 /1 (, / ) V n FU n F nn 3、上側分位點（重點）、上側分位點（重點） 說明：說明： 1212 12 (,), (,)(,) (01), P FFn FF n nFnn n F 設設對對給給定定的的正

14、正數數稱稱滿滿足足 的的點點為為分分布布上上 分分位位點點. . 12 (,)FFn n ( (1 1) )即即隨隨機機變變量量落落在在點點右右側側的的概概率率等等于于 . . 112 21 ( 1 12(,) 4) ( ,) Fn n Fn P n ( (2 2) )證證明明見見 )(tf tO ),( 21 nnF 上分位數上分位數：FINV(p, n) 累計概率累計概率：FDIST(F, n) 0.050.1 (15,20),(50,120). (6,8), ,: ()0.05, ()0.05 FFF FFA BP FAP FB 例例4 4 ( (1 1) )求求 分分布布上上分分位位點

15、點: : ( (2 2) )求求使使得得: 0.0512 : (15,20): =0.05, 15, 20Fnn 解解 0.05(6,8) 3.58AF (2) (6,8), ()0.05FFP FA : 0.95(6,8) BF 0.05(15,20) 2.2F 0.1(50,120) (1.371.32)/21.345F (6,8), ()0.05FFP FB : 1 0.950.05 (8,6) 11 (8,6)FF 1 0.241 4.15 四、正態(tài)總體的樣本均值樣本方差的分布四、正態(tài)總體的樣本均值樣本方差的分布(重點重點) 1、一般總體的樣本均值、樣本方差的性質、一般總體的樣本均值、

16、樣本方差的性質 2 2 2 12 2 2 (),(),., , . (2(), ()()() n n XE XD XXXX X E X X S D XE SD X 設設總總體體分分布布未未知知, ,但但 是是來來自自總總體體的的一一個個樣樣本本, ,是是樣樣本本均均值值和和樣樣本本方方差差, , 則則: :( (1 1) ) 22 1 1 : () 1 n i i SXX n 證證明明 22 1 1 () 1 n i i XnX n 1 1 222 ()()()() n i i E XEESnX 2 1 2 1 ()()()() n i ii D XE Xn D XE X 2 22 1 1 2

17、 ()() n i n n 2 2、正態(tài)總體的樣本均值、方差的分布、正態(tài)總體的樣本均值、方差的分布 2 1 2 2 2 2 2 2 2 12,.,( ,) (1) . (2) (,)(0,1) / (1) (1 (.) ( ) 3) n T X XNN nn n HXXX X S n N S S 設設是是來來自自正正態(tài)態(tài)總總體體的的樣樣本本, ,則則 樣樣本本均均值值或或 其其中中為為樣樣本本方方差差 與與相相互互獨獨立立. . ( (即即樣樣本本均均值值與與樣樣本本方方差差獨獨立立) ) 22 1 1 : () 1 n i i SXX n 說說明明 22 1 ( 1)() n i i nSX

18、X 2 2 2 1 ( 1) () n i i XXnS 2 12 3,.,( ,) (1) / . n T X H t n XXXN XS Sn 設設是是來來自自正正態(tài)態(tài)總總體體的的樣樣本本, , , , 分分別別為為樣樣本本均均值值與與樣樣本本標標準準差差, ,則則 2 (0,1) / : ( ,) XN n X N n 證證明明由由T TH H1 1- -2 2, , : 2 2 2 ( 1) (1) nS n 又又 且且兩兩者者獨獨立立. .: 2 2 ( 1) (1) (1)/ XnS t n nn 由由t t分分布布定定義義, , : (1) / X t n Sn 即即 : 1 1

19、 2 2 22 11 12 22 22 2 1211 2 122 22 12 121 11 2 22 12 4 ,.,(,) ,.,(,), , (1,1) () , ( ,.: (1) (2) n n wnn THXXXXN Y YYYNXY X S F nn S XY t SX n S YY n S 設設是是來來自自正正態(tài)態(tài)總總體體的的樣樣本本, , 樣樣本本來來自自正正態(tài)態(tài)總總體體且且與與相相互互獨獨立立. . 分分別別表表示示樣樣本本均均值值分分別別表表示示, , 的的樣樣本本方方差差 當當時時 則則 22 1122 12 2 (1)(1) 2 ( 2) ) nSnS wnn S 其其

20、中中 2 2 11 1 2 1 ( 1) (1) nS n 證證明明: :( (1 1) )根根據據T TH H1 1- -2 2, , : 2 2 22 2 2 2 ( 1) (1) nS n 又又 且且兩兩者者相相互互獨獨立立: 22 1122 1222 1212 (1)(1 ( 1)( 1) () ) 1,1 nSnS FFnn nn 由由 分分布布定定義義, , : 22 11 12 22 22 (1,1) S F nn S 即即為為 : 22 22 1212 12 (2) (,) (,) XNYN nn 當當= =時時, , : 22 12 12 (,)XYX YN nn 又又相相互

21、互獨獨立立, , 因因此此: 12 12 11 ()() : U=(0,1) nn XY N 標標準準化化后后得得: 22 22 1122 12 22 ( 1)( 1) (1), (1) nSnS nn 又又: 22 22 1122 12 22 ( 1)( 1) , V=(2) nSnS nn 由由的的可可加加性性: 12 12 (2) /2 U t nn V nn 由由t t分分布布定定義義, , : 12 22 121122 122 11 12 ()()( 1)( (2) 1) (2) nn XYnSnS nn t nn 即即: 12 12 12 11 ()() (2) wnn XY t

22、nn S 即即 : 22 1122 12 ( 1)( 1) (2) w nSnS S nn 其其中中 2 100,100, /1nn 解解: :( (1 1) ) 已已知知 2 (,)(,1).XNN n 于于是是 (1)P X 所所求求概概率率 2(1) 10.6826 2 2 5( 1271) (,), (1) 100, 1; (2)20.05. . PXN XX P Xn 例例例例某某種種燈燈泡泡的的壽壽命命其其中中 未未知知 =100.=100.隨隨機機取取只只燈燈泡泡 以以 記記樣樣本本均均值值, ,求求 與與 的的偏偏差差小小 于于 的的概概率率若若要要求求問問 至至少少等等于于多

23、多少少 ( 11)PX 11 ()() /nn 11 () / P nn X n (2)0.95P X ( (2 2) )按按題題意意要要求求 96.04, 97nn 取取 ( 22)0.95PX 即即 2222 ()()( / ) / X n P nnnn 右右端端為為 2 2 () 10.95 / n 2 ()0.975(1.96) /n 2 , 1.96 /n 從從而而 1.96 5 n 126 6 2 1 22 121 2222 21212 128,2,.,(2,3) (2)0.95. (2), 12,18,61, 31,/1.16 i i PV VVN bPVbX Y X Yn nS

24、SP SS 例例6 6( (例例 ) ) ( (1 1) )設設是是來來自自正正記記總總體體的的 樣樣本本, ,求求 使使設設兩兩正正態(tài)態(tài)總總體體的的方方差差 分分別別為為在在中中分分別別取取出出樣樣本本容容量量為為 的的樣樣本本 兩兩樣樣本本獨獨立立, ,樣樣本本方方差差為為求求 2 (0,1) (1,2,.,6) 3 i V Ni 解解: :( (1 1) ) 且且相相互互獨獨立立: 6 2 1 0.95(2) i i PVb 6 2 1 2 () 33 i i Vb P 22 2 () 3 1) i V : 6 22 1 2 ()( ) 3 6 i i V : 2 (6)1 3 b P

25、22 2211 1222 22 1.16 /1.161.74 12 18 S P SSP S 222 111 222 222 12 (2) (611,311)(60,30) 18 SS FF SS 2 (6)0.05 3 b P 即即 2 (612.5920.0)5P 查查表表知知, , 12.592 37.776 3 b b 0.05 , (60,30)1.74F 查查表表知知 22 12 /1.160.05P SS 本節(jié)重點總結本節(jié)重點總結 2 22 2 2 2 . . . (1) (,)(1), (1 ,) / tF nS tF X XNnt n nSn 一一 二二 查查找找分分布布、 分分布布、分分布布的的上上 分分位位數數 三三 正正態(tài)態(tài)總總體體樣樣本本均均值值, ,樣樣本本方方差差的的分分布布( ( 分分布布、 分分布布、分分布布的的 ) ) 定定義義 T TH H1 1- -4 4 雙側上分位數雙側上分位數：TINV(p, n) 累計概率累計概率：TDIST(t, n,tails) 補充：雙側分位點補充：雙側分位點 說明：說明： 22 2 ( )( )tntn ( (2 2) )雙雙側側分分位位點點單單側側上上分分位位點點 22 ( ),(01), ( ):)( )P tt nt tttntn 設設對對給給定定的的正正數數由由于于 分分布布具具有有對對稱稱性性， 稱