初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽教程初一教師版

1、 初 中 數(shù) 學(xué) 競(jìng) 賽 教 程 第1講 用字母表示數(shù) 在初中代數(shù)中指出：用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子，叫做代數(shù)式。 單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母，象-1,0，a，x也是代數(shù)式。 上述定義中的“數(shù)”，是我們學(xué)過的數(shù)或指定的數(shù)，其中的“字母”，必須是用來“表示數(shù)的字母”，一般英語書上的字母不是代數(shù)式，因?yàn)樵谑褂玫膱?chǎng)合沒約定它代表數(shù)。 “用運(yùn)算符號(hào)連接”，一般指加、減、乘、除、乘方、開方等運(yùn)算，當(dāng)然也可以是按一定意義規(guī)定的運(yùn)算。7第2講 圖形關(guān)系的代數(shù)表示 有些數(shù)量關(guān)系表現(xiàn)為圖形中的數(shù)量關(guān)系，如果能將這些關(guān)系表示為代數(shù)式，這樣就初步地實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形相結(jié)合，抽象與直觀相結(jié)合，對(duì)培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力是非

2、常重要的。 1 3 2 4 5第3講由代數(shù)式展開的推理 1 作為代數(shù)式基本功的訓(xùn)練，要學(xué)習(xí)一些利用代數(shù)式的運(yùn)算展開的推理。 3 2 6 5 4 7第4講 有理數(shù)的運(yùn)算 有理數(shù)范圍內(nèi)可以進(jìn)行加、減、乘、除（除數(shù)不為0）四則運(yùn)算，對(duì)于相同的有理數(shù)相乘，我們規(guī)定了簡(jiǎn)捷算法有理數(shù)的乘方運(yùn)算，除了要熟悉四則運(yùn)算的法則之外，還應(yīng)該注意到： 1、有理數(shù)對(duì)加、減、乘、除（除數(shù)不為0）四則運(yùn)算的結(jié)果是封閉的（仍是有理數(shù)）。 2、在有理數(shù)范圍內(nèi)、加法交換律、結(jié)合律、乘法交換律、結(jié)合律都成立，乘法對(duì)加法的分配律也成立。 3、由于有了正、負(fù)數(shù)，加法與減法的界限消失，加、減可以互相轉(zhuǎn)換，統(tǒng)一為代數(shù)和。如（-3）-7=（

3、-3）+（-7）。在有理數(shù)范圍內(nèi)，除法可以轉(zhuǎn)化為乘法，比如（-5）7=（-5）。 7 第5講 有理數(shù)的巧算 有理數(shù)運(yùn)算是中學(xué)數(shù)學(xué)中一切運(yùn)算的基礎(chǔ)它要求同學(xué)們?cè)诶斫庥欣頂?shù)的有關(guān)概念、法則的基礎(chǔ)上，能根據(jù)法則、公式等正確、迅速地進(jìn)行運(yùn)算不僅如此，還要善于根據(jù)題目條件，將推理與計(jì)算相結(jié)合，靈活巧妙地選擇合理的簡(jiǎn)捷的算法解決問題，從而提高運(yùn)算能力，發(fā)展思維的敏捷性與靈活性 （一）括號(hào)的使用 在代數(shù)運(yùn)算中，可以根據(jù)運(yùn)算法則和運(yùn)算律，去掉或者添上括號(hào)，以此來改變運(yùn)算的次序，使復(fù)雜的問題變得較簡(jiǎn)單1 計(jì)算：（2） 分析 中學(xué)數(shù)學(xué)中，由于負(fù)數(shù)的引入，符號(hào)“+”與“-”具有了雙重涵義，它既是表示加法與減法的運(yùn)算

4、符號(hào)，也是表示正數(shù)與負(fù)數(shù)的性質(zhì)符號(hào)因此進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算時(shí)，一定要正確運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算法則，尤其是要注意去括號(hào)時(shí)符號(hào)的變化注意 在本例中的乘除運(yùn)算中，常常把小數(shù)變成分?jǐn)?shù)，把帶分?jǐn)?shù)變成假分?jǐn)?shù)，這樣便于計(jì)算 2 計(jì)算下式的值：211555+445789+555789+211445分析 直接計(jì)算很麻煩，根據(jù)運(yùn)算規(guī)則，添加括號(hào)改變運(yùn)算次序，可使計(jì)算簡(jiǎn)單本題可將第一、第四項(xiàng)和第二、第三項(xiàng)分別結(jié)合起來計(jì)算解 原式=(211555+211445)+(445789+555789) =211(555+445)+(445+555)789 =2111000+1000789 =1000(211+789) =1 000 0

5、00說明 加括號(hào)的一般思想方法是“分組求和”，它是有理數(shù)巧算中的常用技巧3 計(jì)算：s=1-2+3-4+(-1)n+1n分析 不難看出這個(gè)算式的規(guī)律是任何相鄰兩項(xiàng)之和或?yàn)椤?”或?yàn)椤?1”如果按照將第一、第二項(xiàng)，第三、第四項(xiàng)，分別配對(duì)的方式計(jì)算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括號(hào)”的習(xí)慣，而取“添括號(hào)”之法解 s=(1-2)+(3-4)+(-1)n+1n下面需對(duì)n的奇偶性進(jìn)行討論：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，上式是n2個(gè)(-1)的和，所以有：s=（-1）*n/2當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，上式是(n-1)2個(gè)(-1)的和，再加上最后一項(xiàng)(-1)n+1n=n，所以有4 在數(shù)1，2，3，1998前添符號(hào)“+”和“-”，

6、并依次運(yùn)算，所得可能的最小非負(fù)數(shù)是多少？分析與解 因?yàn)槿舾蓚€(gè)整數(shù)和的奇偶性，只與奇數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān)，所以在1，2，3，1998之前任意添加符號(hào)“+”或“-”，不會(huì)改變和的奇偶性在1，2，3，1998中有19982個(gè)奇數(shù)，即有999個(gè)奇數(shù)，所以任意添加符號(hào)“+”或“-”之后，所得的代數(shù)和總為奇數(shù)，故最小非負(fù)數(shù)不小于1現(xiàn)考慮在自然數(shù)n，n+1，n+2，n+3之間添加符號(hào)“+”或“-”，顯然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0這啟發(fā)我們將1，2，3，1998每連續(xù)四個(gè)數(shù)分為一組，再按上述規(guī)則添加符號(hào)，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+(1993-1994-1995+1996)-1997+1

7、998=1所以，所求最小非負(fù)數(shù)是1說明 本例中，添括號(hào)是為了造出一系列的“零”，這種方法可使計(jì)算大大簡(jiǎn)化（二）用字母表示數(shù)我們先來計(jì)算(100+2)(100-2)的值：(100+2)(100-2)=100100-2100+2100-4=1002-22這是一個(gè)對(duì)具體數(shù)的運(yùn)算，若用字母a代換100，用字母b代換2，上述運(yùn)算過程變?yōu)?a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2于是我們得到了一個(gè)重要的計(jì)算公式(a+b)(a-b)=a2-b2 這個(gè)公式叫平方差公式，以后應(yīng)用這個(gè)公式計(jì)算時(shí)，不必重復(fù)公式的證明過程，可直接利用該公式計(jì)算5 計(jì)算 30012999的值解 30012999=(300

8、0+1)(3000-1)=30002-12=8 999 9996 計(jì)算 1039710 009的值解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 9197 計(jì)算：分析與解 直接計(jì)算繁仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)分母中涉及到三個(gè)連續(xù)整數(shù)：12 345，12 346，12 347可設(shè)字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母變?yōu)閚2-(n-1)(n+1)應(yīng)用平方差公式化簡(jiǎn)得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 6908 計(jì)算：(2+1)(22+1)(24+1)(2

9、8+1)(216+1)(232+1)分析 式子中2，22，24，每一個(gè)數(shù)都是前一個(gè)數(shù)的平方，若在(2+1)前面有一個(gè)(2-1)，就可以連續(xù)遞進(jìn)地運(yùn)用(a+b)(a-b)=a2-b2了解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) =(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)= =(232-1)(232+1) =264-1 9 計(jì)算：分析 在前面的例題中，應(yīng)用過公式(a+b)(a-b)=a2-b2這個(gè)公式也可以反著使用，即a2-b2=(a+b)(a

10、-b)本題就是一個(gè)例子通過以上例題可以看到，用字母表示數(shù)給我們的計(jì)算帶來很大的益處下面再看一個(gè)例題，從中可以看到用字母表示一個(gè)式子，也可使計(jì)算簡(jiǎn)化 10 計(jì)算：我們用一個(gè)字母表示它以簡(jiǎn)化計(jì)算 （三）觀察算式找規(guī)律例11 某班20名學(xué)生的數(shù)學(xué)期末考試成績(jī)?nèi)缦?，?qǐng)計(jì)算他們的總分與平均分87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88分析與解 若直接把20個(gè)數(shù)加起來，顯然運(yùn)算量較大，粗略地估計(jì)一下，這些數(shù)均在90上下，所以可取90為基準(zhǔn)數(shù)，大于90的數(shù)取“正”，小于90的數(shù)取“負(fù)”，考察這20個(gè)數(shù)與90的差，這樣會(huì)大大簡(jiǎn)化運(yùn)算所以

11、總分為9020+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分為 90+(-1)20=89.95例12 計(jì)算1+3+5+7+1997+1999的值 分析 觀察發(fā)現(xiàn)：首先算式中，從第二項(xiàng)開始，后項(xiàng)減前項(xiàng)的差都等于2；其次算式中首末兩項(xiàng)之和與距首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和都等于2000，于是可有如下解法解 用字母s表示所求算式，即s=1+3+5+1997+1999 再將s各項(xiàng)倒過來寫為s=1999+1997+1995+3+1 將，兩式左右分別相加，得2s=(1+1999)+(3+199

12、7)+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+2000+2000(500個(gè)2000)=2000500從而有 s=500 000說明 一般地，一列數(shù)，如果從第二項(xiàng)開始，后項(xiàng)減前項(xiàng)的差都相等(本題3-1=5-3=7-5=1999-1997，都等于2)，那么，這列數(shù)的求和問題，都可以用上例中的“倒寫相加”的方法解決13 計(jì)算 1+5+52+53+599+5100的值分析 觀察發(fā)現(xiàn)，上式從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是它前面一項(xiàng)的5倍如果將和式各項(xiàng)都乘以5，所得新和式中除個(gè)別項(xiàng)外，其余與原和式中的項(xiàng)相同，于是兩式相減將使差易于計(jì)算解 設(shè)s=1+5+52+599+5100， 所以5s=5+52+5

13、3+5100+5101 得4s=5101-1，說明 如果一列數(shù)，從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比都相等(本例中是都等于5)，那么這列數(shù)的求和問題，均可用上述“錯(cuò)位相減”法來解決14 計(jì)算：分析 一般情況下，分?jǐn)?shù)計(jì)算是先通分本題通分計(jì)算將很繁，所以我們不但不通分，反而利用如下一個(gè)關(guān)系式來把每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，然后再計(jì)算，這種方法叫做拆項(xiàng)法 解 由于所以說明 本例使用拆項(xiàng)法的目的是使總和中出現(xiàn)一些可以相消的相反數(shù)的項(xiàng)，這種方法在有理數(shù)巧算中很常用第6講 對(duì)稱式一.定義1. 在含有多個(gè)變量的代數(shù)式f (x,y,z)中，如果變量x,y,z任意交換兩個(gè)后，代數(shù)式的值不變，則稱這個(gè)代數(shù)式為絕對(duì)對(duì)稱式，簡(jiǎn)稱對(duì)稱

14、式.例如：代數(shù)式x+y，xy，x3+y3+z33xyz,x5+y5+xy, ，.都是對(duì)稱式.其中x+y和xy叫做含兩個(gè)變量的基本對(duì)稱式.2. 在含有多個(gè)變量的代數(shù)式f (x,y,z)中，如果變量x,y,z循環(huán)變換后代數(shù)式的值不變，則稱這個(gè)代數(shù)式為輪換對(duì)稱式，簡(jiǎn)稱輪換式.例如：代數(shù)式 a2(bc)+b2(ca)+c2(ab), 2x2y+2y2z+2z2x,，（xy+yz+zx）(， .都是輪換式.顯然，對(duì)稱式一定是輪換式,而輪換式不一定是對(duì)稱式.二.性質(zhì)1. 含兩個(gè)變量x和y的對(duì)稱式，一定可用相同變量的基本對(duì)稱式來表示.這將在下一講介紹.2. 對(duì)稱式中，如果含有某種形式的一式，則必含有，該式由

15、兩個(gè)變量交換后的一切同型式，且系數(shù)相等.例如：在含x,y,z的齊二次對(duì)稱多項(xiàng)式中，如果含有x2項(xiàng)，則必同時(shí)有y2,z2兩項(xiàng)；如含有xy項(xiàng)，則必同時(shí)有yz,zx兩項(xiàng)，且它們的系數(shù)，都分別相等.故可以表示為：m(x2+y2+z2)+n(xy+yz+zx) 其中m,n是常數(shù).3. 輪換式中，如果含有某種形式的一式，則一定含有，該式由變量字母循環(huán)變換后所得的一切同型式，且系數(shù)相等.例如：輪換式a3(bc)+b3(ca)+c3(ab)中，有因式ab一項(xiàng),必有同型式bc和ca兩項(xiàng).4. 兩個(gè)對(duì)稱式（輪換式）的和，差，積，商（除式不為零），仍然是對(duì)稱式（輪換式）.例如：x+y, xy都是對(duì)稱式，x+yxy，

16、（x+y）xy，等也都是對(duì)稱式.xy+yz+zx和都是輪換式，xy+yz+z，（）（xy+yz+z）. 也都是輪換式.1.計(jì)算：（xy+yz+zx）(xyz(.分析：（xy+yz+zx）(是關(guān)于x,y,z的輪換式，由性質(zhì)2，在乘法展開時(shí)，只要用xy分別乘以，連同它的同型式一齊寫下.解：原式（）（z+xy）+(y+z+x)()2x+2y+2z.2、已知：a+b+c=0, abc0.求代數(shù)式的值 分析：這是含a, b, c 的輪換式，化簡(jiǎn)第一個(gè)分式后，其余的兩個(gè)分式，可直接寫出它的同型式.解：，0.3、計(jì)算：（a+b+c）3分析：展開式是含字母a,b,c的三次齊次的對(duì)稱式，其同型式的系數(shù)相等，可用

17、待定系數(shù)法.4、解：設(shè)（a+b+c）3m(a3+b3+c3)+n(a2b+a2c+b2c+b2a+c2a+c2b)+pabc.（m,n,p是待定系數(shù)） 令a=1,b=0,c=0 . 比較左右兩邊系數(shù)得m=1；令a=1,b=1,c=0 比較左右兩邊系數(shù)得2m+2n=8；令a=1,b=1,c=1 比較左右兩邊系數(shù)得 3m+6n+p=27.解方程組得（a+b+c）3a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2c+3b2a+3c2a+3c2b+6abc.第7講 絕對(duì)值 絕對(duì)值是初中代數(shù)中的一個(gè)基本概念，在求代數(shù)式的值、化簡(jiǎn)代數(shù)式、證明恒等式與不等式，以及求解方程與不等式時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到含有絕對(duì)值符號(hào)的問

18、題，同學(xué)們要學(xué)會(huì)根據(jù)絕對(duì)值的定義來解決這些問題 下面我們先復(fù)習(xí)一下有關(guān)絕對(duì)值的基本知識(shí)，然后進(jìn)行例題分析一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；零的絕對(duì)值是零即絕對(duì)值的幾何意義可以借助于數(shù)軸來認(rèn)識(shí)，它與距離的概念密切相關(guān)在數(shù)軸上表示一個(gè)數(shù)的點(diǎn)離開原點(diǎn)的距離叫這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值結(jié)合相反數(shù)的概念可知，除零外，絕對(duì)值相等的數(shù)有兩個(gè)，它們恰好互為相反數(shù)反之，相反數(shù)的絕對(duì)值相等也成立由此還可得到一個(gè)常用的結(jié)論：任何一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)1 a，b為實(shí)數(shù)，下列各式對(duì)嗎？若不對(duì)，應(yīng)附加什么條件？(1)a+b=a+b；(2)ab=ab；(3)a-b=b-a；(4)若a=b，則a=b；(5)若

19、ab，則ab；(6)若ab，則ab解 (1)不對(duì)當(dāng)a，b同號(hào)或其中一個(gè)為0時(shí)成立(2)對(duì)(3)對(duì)(4)不對(duì)當(dāng)a0時(shí)成立(5)不對(duì)當(dāng)b0時(shí)成立(6)不對(duì)當(dāng)ab0時(shí)成立2 設(shè)有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖1-1所示，化簡(jiǎn)b-a+a+c+c-b解 由圖1-1可知，a0，b0，c0，且有cab0根據(jù)有理數(shù)加減運(yùn)算的符號(hào)法則，有b-a0，ac0，c-b0再根據(jù)絕對(duì)值的概念，得b-a=a-b，a+c=-(a+c)，c-b=b-c于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c 3 已知x-3，化簡(jiǎn)：3+2-1+x分析 這是一個(gè)含有多層絕對(duì)值符號(hào)的問題，可從里往外一層一層

20、地去絕對(duì)值符號(hào)解 原式=3+2+(1+x)(因?yàn)?+x0) =3+3+x =3-(3+x)(因?yàn)?+x0) =-x=-x解 因?yàn)?abc0，所以a0，b0，c0(1)當(dāng)a，b，c均大于零時(shí)，原式=3；(2)當(dāng)a，b，c均小于零時(shí)，原式=-3；(3)當(dāng)a，b，c中有兩個(gè)大于零，一個(gè)小于零時(shí)，原式=1；(4)當(dāng)a，b，c中有兩個(gè)小于零，一個(gè)大于零時(shí)，原式=-1說明 本例的解法是采取把a(bǔ)，b，c中大于零與小于零的個(gè)數(shù)分情況加以解決的，這種解法叫作分類討論法，它在解決絕對(duì)值問題時(shí)很常用5 若x=3，y=2，且x-y=y-x，求x+y的值解 因?yàn)閤-y0，所以y-x0，yx由x=3，y=2可知，x0，即

21、x=-3(1)當(dāng)y=2時(shí)，x+y=-1；(2)當(dāng)y=-2時(shí)，x+y=-5所以x+y的值為-1或-56 若a，b，c為整數(shù)，且a-b19+c-a99=1，試計(jì)算c-a+a-b+b-c的值解 a，b，c均為整數(shù)，則a-b，c-a也應(yīng)為整數(shù)，且a-b19，c-a99為兩個(gè)非負(fù)整數(shù)，和為1，所以只能是 a-b19=0且c-a99=1， 或a-b19=1且c-a99=0 由有a=b且c=a1，于是b-c=c-a=1；由有c=a且a=b1，于是b-c=a-b=1無論或都有b-c=1且a-b+c-a=1，所以c-a+a-b+b-c=2解 依相反數(shù)的意義有x-y+3=-x+y-1999因?yàn)槿魏我粋€(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值

22、是非負(fù)數(shù)，所以必有x-y+3=0且x+y-1999=0即由有x-y=-3，由有x+y=1999-得2y=2002， y=1001，所以8 化簡(jiǎn)：3x+1+2x-1分析 本題是兩個(gè)絕對(duì)值和的問題解題的關(guān)鍵是如何同時(shí)去掉兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)若分別去掉每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)，則是很容易的事例如，化簡(jiǎn)3x+1，只要考慮3x+1的正負(fù)，即可去掉絕對(duì)值符號(hào)這里我們?yōu)槿齻€(gè)部分(如圖12所示)，即這樣我們就可以分類討論化簡(jiǎn)了原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2； 原式=(3x+1)+(2x-1)=5x即說明 解這類題目，可先求出使各個(gè)絕對(duì)值等于零的變數(shù)字母的值，即先求出各個(gè)分界

23、點(diǎn)，然后在數(shù)軸上標(biāo)出這些分界點(diǎn)，這樣就將數(shù)軸分成幾個(gè)部分，根據(jù)變數(shù)字母的這些取值范圍分類討論化簡(jiǎn)，這種方法又稱為“零點(diǎn)分段法”9 已知y=2x+6+x-1-4x+1，求y的最大值分析 首先使用“零點(diǎn)分段法”將y化簡(jiǎn)，然后在各個(gè)取值范圍內(nèi)求出y的最大值，再加以比較，從中選出最大者解 有三個(gè)分界點(diǎn)：-3，1，-1(1)當(dāng)x-3時(shí)，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，由于x-3，所以y=x-1-4，y的最大值是-4(2)當(dāng)-3x-1時(shí)，y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，由于-3x-1，所以-45x+116，y的最大值是6(3)當(dāng)-1x1時(shí)，y=(2x+6)-(

24、x-1)-4(x+1)=-3x+3，由于-1x1，所以0-3x+36，y的最大值是6(4)當(dāng)x1時(shí)，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，由于x1，所以1-x0，y的最大值是0綜上可知，當(dāng)x=-1時(shí)，y取得最大值為610 設(shè)abcd，求x-a+x-b+x-c+x-d的最小值分析 本題也可用“零點(diǎn)分段法”討論計(jì)算，但比較麻煩若能利用x-a，x-b，x-c，x-d的幾何意義來解題，將顯得更加簡(jiǎn)捷便利解 設(shè)a，b，c，d，x在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為a，b，c，d，x，則x-a表示線段ax之長(zhǎng)，同理，x-b，x-c，x-d分別表示線段bx，cx，dx之長(zhǎng)現(xiàn)要求x-a，x-b，x-c，x-

25、d之和的值最小，就是要在數(shù)軸上找一點(diǎn)x，使該點(diǎn)到a，b，c，d四點(diǎn)距離之和最小因?yàn)閍bcd，所以a，b，c，d的排列應(yīng)如圖13所示：所以當(dāng)x在b，c之間時(shí)，距離和最小，這個(gè)最小值為ad+bc，即(d-a)+(c-b)11 若2x+4-5x+1-3x+4的值恒為常數(shù)，求x該滿足的條件及此常數(shù)的值分析與解 要使原式對(duì)任何數(shù)x恒為常數(shù)，則去掉絕對(duì)值符號(hào)，化簡(jiǎn)合并時(shí)，必須使含x的項(xiàng)相加為零，即x的系數(shù)之和為零故本題只有2x-5x+3x=0一種情況因此必須有4-5x=4-5x且1-3x=3x-1 故x應(yīng)滿足的條件是此時(shí)原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7第8講 求代數(shù)式的值 用具體的數(shù)代替代數(shù)

26、式里的字母進(jìn)行計(jì)算，求出代數(shù)式的值，是一個(gè)由一般到特殊的過程具體求解代數(shù)式值的問題時(shí)，對(duì)于較簡(jiǎn)單的問題，代入直接計(jì)算并不困難，但對(duì)于較復(fù)雜的代數(shù)式，往往是先化簡(jiǎn)，然后再求值下面結(jié)合例題初步看一看代數(shù)式求值的常用技巧 1 求下列代數(shù)式的值：分析 上面兩題均可直接代入求值，但會(huì)很麻煩，容易出錯(cuò)我們可以利用已經(jīng)學(xué)過的有關(guān)概念、法則，如合并同類項(xiàng)，添、去括號(hào)等，先將代數(shù)式化簡(jiǎn)，然后再求值，這樣會(huì)大大提高運(yùn)算的速度和結(jié)果的準(zhǔn)確性=0-4a3b2-a2b-5=-413(- 2)2- 12(-2)-5=-16+2-5=-19(2)原式=3x2y-xyz+(2xyz-x2z)+4x2z3x2y-(xyz-5x

27、2z) =3x2y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5x2z) =(3x2y-3x2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2z-5x2z) =2xyz-2x2z =2(-1)2(-3)-2(-1)2(-3) =12+6=18說明 本例中(1)的化簡(jiǎn)是添括號(hào)，將同類項(xiàng)合并后，再代入求值；(2)是先去括號(hào)，然后再添括號(hào)，合并化簡(jiǎn)后，再代入求值去、添括號(hào)時(shí)，一定要注意各項(xiàng)符號(hào)的變化2 已知a-b=-1，求a3+3ab-b3的值分析 由已知條件a-b=-1，我們無法求出a，b的確定值，因此本題不能像例1那樣，代入a，b的值求代數(shù)式的值下面給出本題的五種解法解法1

28、 由a-b=-1得a=b-1，代入所求代數(shù)式化簡(jiǎn)a3+3ab-b3=(b-1)3+3(b-1)b-b3 =b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3 =-1說明 這是用代入消元法消去a化簡(jiǎn)求值的解法2 因?yàn)閍-b=-1，所以 原式=(a3-b3)+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab=-1(a2+ab+b2)+3ab=-a2-ab-b2+3ab=-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2=-(-1)2=-1說明 這種解法是利用了乘法公式，將原式化簡(jiǎn)求值的解法3 因?yàn)閍-b=-1，所以原式=a3-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3 =a3-3a2b+3ab2-b3=(a-

29、b)3 =(-1)3=-1說明 這種解法巧妙地利用了-1=a-b，并將3ab化為-3ab(-1)=-3ab(a-b)，從而湊成了(a-b)3解法4 因?yàn)閍-b=-1，所以(a-b)3=(-1)3=1，即 a3+3ab2-3a2b-b3=-1，a3-b3-3ab(a-b)=-1，所以 a3-b3-3ab(-1)=-1，即 a3-b3+3ab=-1說明 這種解法是由a-b=-1，演繹推理出所求代數(shù)式的值解法 5a3+3ab-b3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab=(a-b)3+3ab(a-b)+3ab=(-1)3+3ab(-1)+3ab=-1說明 這種解法是添項(xiàng)，湊出(a

30、-b)3，然后化簡(jiǎn)求值通過這個(gè)例題可以看出，求代數(shù)式的值的方法是很靈活的，需要認(rèn)真思考，才能找到簡(jiǎn)便的算法在本例的各種解法中，用到了幾個(gè)常用的乘法公式，現(xiàn)總結(jié)如下：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2；(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 ；a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)解 由已知，xy=2(x+y)，代入所求代數(shù)式中，消去xy，然后化簡(jiǎn)所以解 因?yàn)閍=3b，所以c=5a=5(3b)=15b將a，c代入所求代數(shù)式，化簡(jiǎn)得解 因?yàn)?x-5)2，m都是非負(fù)數(shù)，

31、所以由(1)有由(2)得y+1=3，所以y=2下面先化簡(jiǎn)所求代數(shù)式，然后再代入求值=x2y+5m2x+10xy2=522+0+10522=250 6 如果4a-3b=7，并且3a+2b=19，求14a-2b的值分析 此題可以用方程組求出a，b的值，再分別代入14a-2b求值下面介紹一種不必求出a，b的值的解法解 14a-2b=2(7a-b) =2(4a+3a)+(-3b+2b)=2(4a-3b)+(3a+2b)=2(7+19)=52x+x-1+x-2+x-3+x-4+x-5的值 分析 所求代數(shù)式中六個(gè)絕對(duì)值的分界點(diǎn)，分別為：0，1，2，據(jù)絕對(duì)值的意義去掉絕對(duì)值的符號(hào)，將有3個(gè)x和3個(gè)-x，這樣

32、將抵消掉x，使求值變得容易原式=x+(x-1)+(x-2)-(x-3)-(x-4)-(x-5) =-1-2+3+4+5=9說明 實(shí)際上，本題只要x的值在2與3之間，那么這個(gè)代數(shù)式的值就是9，即它與x具體的取值無關(guān)8 若x:y:z=3:4:7，且2x-y+z=18，那么x+2y-z的值是多少？分析 x:y:z=3:4:7可以寫成的形式，對(duì)于等比，我們通常可以設(shè)它們的比值為常數(shù)k，這樣可以給問題的解決帶來便利 x=3k，y=4k，z=7k因?yàn)?x-y+z=18，所以23k-4k+7k=18，所以k=2，所以x=6，y=8，z=14，所以x+2y-z=6+16-14=8例9 已知x=y=11，求(x

33、y-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)的值 分析 本題是可直接代入求值的下面采用換元法，先將式子改寫得較簡(jiǎn)潔，然后再求值解 設(shè)x+y=m，xy=n原式=(n-1)2+(m-2)(m-2n) =(n-1)2+m2-2m-2mn+4n =n2-2n+1+4n-2m-2mn+m2 =(n+1)2-2m(n+1)+m2 =(n+1-m)2 =(1111+1-22)2 =(121+1-22)2 =1002=10000說明 換元法是處理較復(fù)雜的代數(shù)式的常用手法，通過換元，可以使代數(shù)式的特征更加突出，從而簡(jiǎn)化了題目的表述形式 第9講 一元一次方程方程是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的內(nèi)容最簡(jiǎn)單的方程是一元一次方程，

34、它是進(jìn)一步學(xué)習(xí)代數(shù)方程的基礎(chǔ)，很多方程都可以通過變形化為一元一次方程來解決本講主要介紹一些解一元一次方程的基本方法和技巧 用等號(hào)連結(jié)兩個(gè)代數(shù)式的式子叫等式如果給等式中的文字代以任何數(shù)值，等式都成立，這種等式叫恒等式一個(gè)等式是否是恒等式是要通過證明來確定的如果給等式中的文字(未知數(shù))代以某些值，等式成立，而代以其他的值，則等式不成立，這種等式叫作條件等式條件等式也稱為方程使方程成立的未知數(shù)的值叫作方程的解方程的解的集合，叫作方程的解集解方程就是求出方程的解集只含有一個(gè)未知數(shù)(又稱為一元)，且其次數(shù)是1的方程叫作一元一次方程任何一個(gè)一元一次方程總可以化為ax=b(a0)的形式，這是一元一次方程的標(biāo)

35、準(zhǔn)形式(最簡(jiǎn)形式)解一元一次方程的一般步驟：(1)去分母；(2)去括號(hào)；(3)移項(xiàng)；(4)合并同類項(xiàng)，化為最簡(jiǎn)形式ax=b；(5)方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)，得出方程的解 一元一次方程ax=b的解由a，b的取值來確定： (2)若a=0，且b=0，方程變?yōu)?x=0，則方程有無數(shù)多個(gè)解；(3)若a=0，且b0，方程變?yōu)?x=b，則方程無解1 解方程解法1 從里到外逐級(jí)去括號(hào)去小括號(hào)得去中括號(hào)得去大括號(hào)得解法2 按照分配律由外及里去括號(hào)去大括號(hào)得化簡(jiǎn)為去中括號(hào)得去小括號(hào)得 2 已知下面兩個(gè)方程3(x+2)=5x，4x-3(a-x)=6x-7(a-x) 有相同的解，試求a的值分析 本題解題思路是從方程

36、中求出x的值，代入方程，求出a的值解 由方程可求得3x-5x=-6，所以x=3由已知，x=3也是方程的解，根據(jù)方程解的定義，把x=3代入方程時(shí)，應(yīng)有43-3(a-3)=63-7(a-3)，7(a-3)-3(a-3)=18-12，3 已知方程2(x+1)=3(x-1)的解為a+2，求方程22(x+3)-3(x-a)=3a的解解 由方程2(x+1)=3(x-1)解得x=5由題設(shè)知a+2=5，所以a=3于是有22(x+3)-3(x-3)=33，-2x=-21，4 解關(guān)于x的方程(mx-n)(m+n)=0分析 這個(gè)方程中未知數(shù)是x，m，n是可以取不同實(shí)數(shù)值的常數(shù)，因此需要討論m，n取不同值時(shí)，方程解的

37、情況解 把原方程化為m2x+mnx-mn-n2=0，整理得 m(m+n)x=n(m+n)當(dāng)m+n0，且m=0時(shí)，方程無解；當(dāng)m+n=0時(shí)，方程的解為一切實(shí)數(shù)說明 含有字母系數(shù)的方程，一定要注意字母的取值范圍解這類方程時(shí)，需要從方程有唯一解、無解、無數(shù)多個(gè)解三種情況進(jìn)行討論 5 解方程(a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2分析 本題將方程中的括號(hào)去掉后產(chǎn)生x2項(xiàng)，但整理化簡(jiǎn)后，可以消去x2，也就是說，原方程實(shí)際上仍是一個(gè)一元一次方程解 將原方程整理化簡(jiǎn)得(a-b)2-x2=a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2， 即 (a2-b2)x=(a-b)2(1)當(dāng)a2-b20

38、時(shí)，即ab時(shí)，方程有唯一解(2)當(dāng)a2-b2=0時(shí)，即a=b或a=-b時(shí)，若a-b0，即ab，即a=-b時(shí)，方程無解；若a-b=0，即a=b，方程有無數(shù)多個(gè)解6 已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是關(guān)于x的一元一次方程，求代數(shù)式199(m+x)(x-2m)+m的值解 因?yàn)?m2-1)x2-(m+1)x+8=0是關(guān)于x的一元一次方程，所以m2-1=0，即m=1(1)當(dāng)m=1時(shí)，方程變?yōu)?2x+8=0，因此x=4，代數(shù)式的值為199(1+4)(4-21)+1=1991；(2)當(dāng)m=-1時(shí)，原方程無解所以所求代數(shù)式的值為19917 已知關(guān)于x的方程a(2x-1)=3x-2無解，試求a的值解

39、將原方程變形為2ax-a=3x-2，即 (2a-3)x=a-2由已知該方程無解，所以8 k為何正數(shù)時(shí)，方程k2x-k2=2kx-5k的解是正數(shù)？來確定： (1)若b=0時(shí)，方程的解是零；反之，若方程ax=b的解是零，則b=0成立(2)若ab0時(shí)，則方程的解是正數(shù)；反之，若方程ax=b的解是正數(shù)，則ab0成立(3)若ab0時(shí)，則方程的解是負(fù)數(shù)；反之，若方程ax=b的解是負(fù)數(shù)，則ab0成立解 按未知數(shù)x整理方程得(k2-2k)x=k2-5k要使方程的解為正數(shù)，需要(k2-2k)(k2-5k)0看不等式的左端(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5)因?yàn)閗20，所以只要k5或k2時(shí)上式大

40、于零，所以當(dāng)k2或k5時(shí)，原方程的解是正數(shù)，所以k5或0k2即為所求9 若abc=1，解方程解 因?yàn)閍bc=1，所以原方程可變形為化簡(jiǎn)整理為化簡(jiǎn)整理為說明 像這種帶有附加條件的方程，求解時(shí)恰當(dāng)?shù)乩酶郊訔l件可使方程的求解過程大大簡(jiǎn)化例10 若a，b，c是正數(shù)，解方程解法1 原方程兩邊乘以abc，得到方程ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得abx-(a+b+c)+bcx-(a+b+c)+acx-(a+b+c)=0，因此有x-(a+b+c)(ab+bc+ac)=0因?yàn)閍0，b0，c0，所以ab+bc+ac0，所以x-(a+b+c)=0，即x=a+b

41、+c為原方程的解解法2 將原方程右邊的3移到左邊變?yōu)?3，再拆為三個(gè)“-1”，并注意到其余兩項(xiàng)做類似處理設(shè)m=a+b+c，則原方程變形為所以即x-(a+b+c)=0所以x=a+b+c為原方程的解說明 注意觀察，巧妙變形，是產(chǎn)生簡(jiǎn)單優(yōu)美解法所不可缺少的基本功之一 11 設(shè)n為自然數(shù)，x表示不超過x的最大整數(shù)，解方程：分析 要解此方程，必須先去掉 ，由于n是自然數(shù)，所以n與(n+1)，nx都是整數(shù)，所以x必是整數(shù)解 根據(jù)分析，x必為整數(shù)，即x=x，所以原方程化為合并同類項(xiàng)得故有所以x=n(n+1)為原方程的解12 已知關(guān)于x的方程 且a為某些自然數(shù)時(shí)，方程的解為自然數(shù)，試求自然數(shù)a的最小值 解 由

42、原方程可解得a最小，所以x應(yīng)取x=160所以所以滿足題設(shè)的自然數(shù)a的最小值為2第10講 識(shí)圖 幾何學(xué)是研究物體形狀、大小、位置的學(xué)科。 幾何圖形就是點(diǎn)，線，面，體的集合。點(diǎn)是組成幾何圖形的基本元素。 平面幾何學(xué)只研究在同一平面內(nèi)的圖形的形狀、大小和相互位置。 幾何里的點(diǎn)、線、面、體實(shí)際上是不能脫離物體而單獨(dú)存在的。因此單獨(dú)研究點(diǎn)、線、面、體，要靠正確的想像點(diǎn)：只表示位置，沒有大小，不可再分。線：只有長(zhǎng)短，沒有粗細(xì)。線是由無數(shù)多點(diǎn)組成的，即“點(diǎn)動(dòng)成線”。面：只有長(zhǎng)、寬，沒有厚薄。面是由無數(shù)多線組成的，“線動(dòng)成面”。 因?yàn)槿魏螐?fù)雜的圖形，都是由若干基本圖形組合而成的，所以識(shí)別圖形的組合關(guān)系是學(xué)好幾

43、何的重要基礎(chǔ)。識(shí)別圖形包括靜止?fàn)顟B(tài)的數(shù)一數(shù)，量一量，比一比，算一算；運(yùn)動(dòng)狀態(tài)中的位置、數(shù)量的變化，圖形的旋轉(zhuǎn)，摺疊，割補(bǔ)，并合，比較等。還要注意一般圖形和特殊圖形的差別。 1.數(shù)一數(shù)甲圖中有幾個(gè)角（小于平角）？乙圖中有幾個(gè)等腰三角形？丙圖中有幾全等三角形？丁圖中有幾對(duì)等邊三角形？ 解：甲圖中有10個(gè)角：aob, aoc,boc,bod,cod,coe,doe,doa,eoa,eob.如果oa和oc成一直線，則少一個(gè)aoc，余類推。乙圖中有5個(gè)等腰三角形：abc，abd，bdc，bde，dec丙圖中有全等三角形4對(duì)：(設(shè)ac和db相交于o)aobcod，aodboc，abccda，bcddab。

44、丁圖中共有等邊三角形48個(gè)：邊長(zhǎng)1個(gè)單位：頂點(diǎn)在上的個(gè)數(shù)有1234515頂點(diǎn)在下的個(gè)數(shù)有123410邊長(zhǎng)2個(gè)單位：頂點(diǎn)在上的個(gè)數(shù)有123410頂點(diǎn)在下的個(gè)數(shù)有123邊長(zhǎng)3個(gè)單位：頂點(diǎn)在上的個(gè)數(shù)有1236邊長(zhǎng)4個(gè)單位：頂點(diǎn)在上的個(gè)數(shù)有123邊長(zhǎng)5個(gè)單位：頂點(diǎn)在上的個(gè)數(shù)有1以上要注意數(shù)一數(shù)的規(guī)律 2.設(shè)平面內(nèi)有6個(gè)點(diǎn)a1，a2，a3，a4，a5，a6，其中任意3個(gè)點(diǎn)都不在同一直線上，如果每?jī)牲c(diǎn)都連成一條線，那么共有線段幾條？如果要使圖形不出現(xiàn)有4個(gè)點(diǎn)的兩兩連線，那么最多可連成幾條線段？試畫出圖形。（1989年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題） 解：從點(diǎn)a1與其他5點(diǎn)連線有5條，從點(diǎn)a2與其他4點(diǎn)（a1除外）連線

45、有4條，從a3與其他3點(diǎn)連線有3條（a1，a2除外）以此類推，6個(gè)點(diǎn)兩兩連線共有線段1234515（條），或用每點(diǎn)都與其他5點(diǎn)連線共56再除以2（因重復(fù)計(jì)算）。要使圖形不出現(xiàn)有4個(gè)點(diǎn)的兩兩連線，那么每點(diǎn)只能與其他4個(gè)點(diǎn)連線，共有（64）212（條）如下圖：其中有3對(duì)點(diǎn)不連線：a1a4，a2a5，a3a6a5a4a6a3a1a2 3.如圖水平線與鉛垂線相交于o，某甲沿水平線，某乙鉛垂線同時(shí)勻速前進(jìn)，當(dāng)甲在o點(diǎn)時(shí)，乙離點(diǎn)o為500米，2分鐘后，甲、乙離點(diǎn)o相等；又過8分鐘，甲、乙再次離點(diǎn)o相等。求甲和乙的速度比。解：如圖設(shè)甲0，乙0為開始位置，甲1，乙1為前進(jìn)2分鐘后位置，甲2，乙2乙2為再前進(jìn)8

46、分鐘的位置。再設(shè)甲，乙的速度分別為每分鐘x,y米，根據(jù)題意得甲o(hù)甲1甲2解得12x=8y 乙1xy=23乙0答甲和乙的速度比是2比3。 4.在三角形內(nèi)（不在邊上）有3個(gè)點(diǎn)，連同原三角形三個(gè)頂點(diǎn)，共6個(gè)點(diǎn)，以這6個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，作出所有不重迭的三角形共有幾個(gè)？（1989年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）解：如圖abc中一個(gè)點(diǎn)d，與a，b，c各點(diǎn)連結(jié)可得3個(gè)不重迭的三角形；再增加1個(gè)點(diǎn)e，這時(shí)可連結(jié)不重迭的三角形共5個(gè)，再增加1個(gè)點(diǎn)f，又可增加2個(gè)不重迭的三角形，共有7個(gè)。一般規(guī)律是每增加1個(gè)點(diǎn)，可增加不重迭的三角形2個(gè)aaafdeebcddbcbc 21第11講 線段與角的推理計(jì)算3 5 4 6 9 8710第12講 相交線與平行線 2 1 5 4 3 7 6 9810第13講 平行線問題 平行線是我們?nèi)粘Ｉ钪蟹浅３Ｒ姷膱D形練習(xí)本每一頁中的橫線、直尺的上下兩邊、人行橫道上的“斑馬線”以及黑板框的對(duì)邊、桌面的對(duì)邊、教室墻壁的對(duì)邊等等均是互相平行的線段 正因?yàn)槠叫芯€在生活中的廣泛應(yīng)用，因此有關(guān)它的基本知識(shí)及性質(zhì)成為中學(xué)幾何的基本知識(shí) 正因?yàn)槠叫芯€在幾何理論中的基礎(chǔ)性，平行線成為古往今來很多數(shù)學(xué)家非常重視的研究對(duì)象歷史上關(guān)于平行公理的三種假設(shè)，產(chǎn)生了三種不同的幾何(羅巴切