幅相頻率特性

1、5.2 幅相頻率特性（Nyquist圖）開環(huán)系統(tǒng)的幅相特性曲線是系統(tǒng)頻域分析的依據(jù)，掌握典型環(huán)節(jié)的幅相特性是繪制開環(huán)系統(tǒng)幅相特性曲線的基礎(chǔ)。在典型環(huán)節(jié)或開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)中，令，即得到相應(yīng)的頻率特性。令由小到大取值，計算相應(yīng)的幅值和相角，在平面描點畫圖，就可以得到典型環(huán)節(jié)或開環(huán)系統(tǒng)的幅相特性曲線。5.2.1 典型環(huán)節(jié)的幅相特性曲線1.比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為圖5-8 比例環(huán)節(jié)的幅相頻率特性 （5-22）其頻率特性為 （5-23）比例環(huán)節(jié)的幅相特性是平面實軸上的一個點，如圖5-8所示。表明比例環(huán)節(jié)穩(wěn)態(tài)正弦響應(yīng)的振幅是輸入信號的倍，且響應(yīng)與輸入同相位。2. 微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 （5-

2、24）其頻率特性為 （5-25）微分環(huán)節(jié)的幅值與成正比，相角恒為。當(dāng)時，幅相特性從平面的原點起始，一直沿虛軸趨于處，如圖5-9曲線所示。3. 積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 （5-26）其頻率特性為圖5-9 微、積分環(huán)節(jié)幅相特性曲線 （5-27）積分環(huán)節(jié)的幅值與成反比，相角恒為-。當(dāng)時，幅相特性從虛軸處出發(fā)，沿負虛軸逐漸趨于坐標(biāo)原點，如圖5-9曲線所示。4. 慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 （5-28）其頻率特性為 （5-29）當(dāng)時，幅值，相角；當(dāng)時，?？梢宰C明，慣性環(huán)節(jié)幅相特性曲線是一個以(12，j0)為圓心、12為半徑的半圓。如圖5-10所示。證明如下：設(shè) 其中 （5-30） （5-31）由式

3、（5-31）可得 （5-32）將式（5-32）代入式（5-30）整理后可得 （5-33）圖5-10 Matlab程序g=tf(1,1 1);nyquist(g);axis(square);grid; 圖5-10 慣性環(huán)節(jié)的極點分布和幅相特性曲線式(5-33)表明：慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性符合圓的方程，圓心在實軸上12處，半徑為1/2。從式(5-31)還可看出，為正值時，只能取負值，這意味著曲線限于實軸的下方，只是半個圓。例5-1 已知某環(huán)節(jié)的幅相特性曲線如圖5-11所示，當(dāng)輸入頻率的正弦信號時，該環(huán)節(jié)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的相位遲后，試確定環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。解 根據(jù)幅相特性曲線的形狀，可以斷定該環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)形式

4、為依題意有 因此得 ， 圖5-11 環(huán)節(jié)幅相特性曲線所以 慣性環(huán)節(jié)是一種低通濾波器，低頻信號容易通過，而高頻信號通過后幅值衰減較大。對于不穩(wěn)定的慣性環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為其頻率特性為 （5-34）當(dāng)時，幅值，相角；當(dāng)時，。 圖5-12 程序g=tf(1,1 -1);nyquist(g);axis(square);grid; 圖5-12 不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)的極點分布和幅相特性分析平面復(fù)向量（由 指向 ）隨增加時其幅值和相角的變化規(guī)律，可以確定幅相特性曲線的變化趨勢。如圖5-12 (a)、()所示。可見，與穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)的幅相特性相比，不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)的幅值不變，但相角不同。5. 一階復(fù)合微分環(huán)節(jié)一階復(fù)合微分

5、環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 （5-35）其頻率特性為 （5-36）一階復(fù)合微分環(huán)節(jié)幅相特性的實部為常數(shù)1，虛部與成正比，如圖5-13曲線所示。不穩(wěn)定一階復(fù)合微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 （5-37）其頻率特性為（5-38）圖5-13 一階微分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性幅相特性的實部為-1，虛部與成正比，如圖5-13曲線所示。不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的頻率特性都是非最小相角的。6. 二階振蕩環(huán)節(jié)二階振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 （5-39）式中，為環(huán)節(jié)的無阻尼自然頻率；為阻尼比，。相應(yīng)的頻率特性為 （5-40） （5-41）當(dāng)時 當(dāng)時 當(dāng)時 分析二階振蕩環(huán)節(jié)極點分布以及當(dāng)變化時，向量、的模和相角的變化規(guī)律，可以繪出的幅相曲線。二階振蕩環(huán)節(jié)幅相

6、特性的形狀與值有關(guān)，當(dāng)值分別取0.4、0.6和0.8時，幅相曲線如圖5-14所示。圖5-14 Matlab程序ks=0.4 0.6 0.8;om=10;for i=1:3 num=om*om; den=1 2*ks(i)*om om*om; nyquist(num,den); axis(square);hold on;end 圖5-14 振蕩環(huán)節(jié)極點分布和幅相頻率特性（1）諧振頻率和諧振峰值由圖5-14可看出，值較小時，隨變化，的幅值先增加然后再逐漸衰減直至。達到極大值時對應(yīng)的幅值稱為諧振峰值，記為，對應(yīng)的頻率稱為諧振頻率，記為。以下推導(dǎo)、的計算公式，因為 （5-42）圖5-15 二階系統(tǒng)與的

7、關(guān)系求的極大值相當(dāng)于求的極小值，令推導(dǎo)可得 () （5-43）將式（5-43）代入（5-42）可得 （5-44）圖5-15 二階系統(tǒng)與的關(guān)系 圖5-15 Matalb程序ks=0.04:0.01:0.707;for i=1:length(ks) Mr(i)=1/(2*ks(i)*sqrt(1-ks(i)*ks(i);endplot(ks,Mr,b-);grid;xlabel(阻尼比),ylabel(Mr);與的關(guān)系如圖5-15所示。當(dāng)時，對應(yīng)的振蕩環(huán)節(jié)存在和；當(dāng)減小時，增加，趨向于值，則越來越大，趨向于；當(dāng)時，這對應(yīng)無阻尼系統(tǒng)的共振現(xiàn)象。(2) 不穩(wěn)定二階振蕩環(huán)節(jié)的幅相特性不穩(wěn)定二階振蕩環(huán)節(jié)的

8、傳遞函數(shù)為其頻率特性為不穩(wěn)定二階振蕩環(huán)節(jié)的相角從連續(xù)變化到。不穩(wěn)定振蕩環(huán)節(jié)的極點分布與幅相曲線如圖5-16所示。（3）由幅相曲線確定例5-2 由實驗得到某環(huán)節(jié)的幅相特性曲線如圖5-17所示，試確定環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，并確定其、。解 根據(jù)幅相特性曲線的形狀可以確定的形式 圖5-16 不穩(wěn)定振蕩環(huán)節(jié)的極點分布與幅相曲線圖 圖5-17 幅相特性曲線圖其頻率特性為 （5-45） （5-46） 將圖中條件代入式（5-45）得 將代入式（5-46）得 代入式（5-45）有由式（5-43）由式（5-44）7. 二階復(fù)合微分環(huán)節(jié)二階復(fù)合微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為頻率特性為 二階復(fù)合微分環(huán)節(jié)的零點分布以及幅相特性曲線如圖

9、5-18所示。圖5-18 二階復(fù)合微分環(huán)節(jié)的零點分布及幅相特性不穩(wěn)定二階復(fù)合微分環(huán)節(jié)的頻率特性為 圖5-19 不穩(wěn)定二階復(fù)合微分環(huán)節(jié)的幅相特性零點分布及幅相特性曲線如圖5-19所示。8. 延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為頻率特性為 圖5-20 延遲環(huán)節(jié)幅相特性其幅相特性曲線是圓心在原點的單位圓（如圖5-20所示），值越大，其相角遲后量越大。5.2.2 開環(huán)系統(tǒng)的幅相特性曲線如果已知開環(huán)頻率特性，可令由小到大取值，算出和相應(yīng)值，在平面描點繪圖可以得到準(zhǔn)確的開環(huán)系統(tǒng)幅相特性。實際系統(tǒng)分析過程中，往往只需要知道幅相特性的大致圖形即可，并不需要繪出準(zhǔn)確曲線?？梢詫㈤_環(huán)系統(tǒng)在平面的零極點分布圖畫出來，令沿虛

10、軸變化，當(dāng)時，分析各零極點指向的復(fù)向量的變化趨勢，就可以概略畫出開環(huán)系統(tǒng)的幅相特性曲線。概略繪制的開環(huán)幅相曲線應(yīng)反映開環(huán)頻率特性的三個重要因素：（1） 開環(huán)幅相曲線的起點（）和終點（）。（2） 開環(huán)幅相曲線與實軸的交點設(shè)時，的虛部為 （5-47）或 （5-48）稱為相角交界頻率，開環(huán)頻率特性曲線與實軸交點的坐標(biāo)值為 （5-49）（3） 開環(huán)幅相曲線的變化范圍（象限、單調(diào)性）。例5-3 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為分別概略繪出當(dāng)系統(tǒng)型別時的開環(huán)幅相特性。解 討論時的情形。在平面中畫出的零極點分布圖，如圖5-21（）所示。系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為在s平面原點存在開環(huán)極點的情況下，為避免時相角不確定，我們

11、取作為起點進行討論。(到距離無限小，如圖5-21所示。) 當(dāng)由逐漸增加時，三個矢量的幅值連續(xù)增加；除外，均由連續(xù)增加，分別趨向于。當(dāng)時由此可以概略繪出的幅相曲線如圖5-21（）中曲線所示。同理，討論時的情況，可以列出表5-2，相應(yīng)概略繪出幅相曲線分別如圖5-21（）中所示。圖5-21 例5-3圖 （） 時的零極點圖 （） 對應(yīng)不同型別幅頻曲線表5-2 例5-3結(jié)果列表零極點分布當(dāng)系統(tǒng)在右半s平面不存在零、極點時，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)一般可寫為開環(huán)幅相曲線的起點完全由，確定，而終點則由來確定。而過程中的變化趨勢，可以根據(jù)各開環(huán)零點、極點指向的矢量之模、相角的變化規(guī)律概略繪出。例5-4 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試概略繪出系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線。解 系統(tǒng)型別，零點極點分布圖如圖5-22(a)所示。顯然（