點(diǎn)到平面距離的幾種求法

1、點(diǎn)到平面距離的幾種求法通過對立體幾何中空間的距離的學(xué)習(xí)，不難發(fā)現(xiàn)：直線與平面間的距離、兩平行平面間的距離，都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離來解決。為此，我總結(jié)了幾種點(diǎn)到平面距離的求法，歸納如下：一、 直接法，通常有兩種情況：1、 利用空間圖形的性質(zhì)尋求垂足的位置，直接向平面引垂線，構(gòu)造三角形求解。例1 已知，。所在平面外一點(diǎn)到此三角形三個頂點(diǎn)的距離都是14，求點(diǎn)到的距離。分析：由題意知，點(diǎn)在內(nèi)的射影為的外心。然后利用外心的性質(zhì)就比較容易解決問題。解：如圖1，過點(diǎn)作于， ， 點(diǎn)為的外心，連結(jié) 的長度為外接圓的半徑。 ， 由正弦定理得，。在中，即點(diǎn)到的距離為7。2、種用垂面尋求垂足的位置。即“找”或“作

2、”出一個經(jīng)過該點(diǎn)和已知平面垂直的平面。然后，過該點(diǎn)作交線的垂線，則得到點(diǎn)到平面的垂線段。例2 已知中，等腰中，求點(diǎn)到面的距離。解： ， 又。 ，。交線為，過作于， 則，則的長為點(diǎn)到面的距離。 在中， 則。 在等腰中， 在中， 則點(diǎn)到面的距離為。二、轉(zhuǎn)移法 當(dāng)直接由點(diǎn)向平面引垂線較困難時，可利用直線（或平面）與平面的距離，轉(zhuǎn)移到直線（或平面）上其它點(diǎn)到平面的距離。例3 是邊長為的正方形，分別是的中點(diǎn)，求點(diǎn)到面的距離。分析 如圖3，若過點(diǎn)作平面的垂線，垂足難以確定，不易用直接法求解。由/平面，知上的點(diǎn)到該平面的距離都相等，從而將點(diǎn)到面的距離轉(zhuǎn)化為特殊點(diǎn)到平面的距離，使問題易于解決。解法略。三、等體積法 即利用三棱錐換底的做法，達(dá)到求點(diǎn)到平面的距離的目的。例4 將邊長為的正方形沿對角線折起，使二面角為直二面角。求點(diǎn)到平面的距離。分析 如圖4為翻折后的圖形。易求三棱錐的體積，且，所以的面積易求，為，所以可以利用等體積法求點(diǎn)到平面的距離。解：取的中點(diǎn)，連結(jié)，則為三棱錐的高，且，則。 ，則點(diǎn)到平面的距離。例5 已知三棱柱的體積為，截面的面積為，求點(diǎn)到平面的距離。分析 只須求點(diǎn)到平面的距離，由題意可將三棱柱分割成等體積的三部分。三棱錐就是其中的一部分，由等體積法易求出點(diǎn)到平面的距離。解題過程略。以上三種方法都不是孤立的，而是緊密相關(guān)的。最終都是