半導(dǎo)體器件模擬

1、半導(dǎo)體器件模擬半導(dǎo)體器件模擬n一、器件模擬技術(shù)和概念與發(fā)展簡況一、器件模擬技術(shù)和概念與發(fā)展簡況 n二、與基本半導(dǎo)體方程組相關(guān)物理參數(shù)二、與基本半導(dǎo)體方程組相關(guān)物理參數(shù)n三、三、 半導(dǎo)體基本方程組的求解問題半導(dǎo)體基本方程組的求解問題 ( (一一) )、基本方程組因變量的選取、基本方程組因變量的選取 (二)、基本方程的歸一化 （三）基本方程的定義域及邊界條件（三）基本方程的定義域及邊界條件 ( (四四) )、基本方程的離散化、基本方程的離散化半導(dǎo)體器件模擬 n一、器件模擬技術(shù)和概念與發(fā)展簡況一、器件模擬技術(shù)和概念與發(fā)展簡況 器件模擬是根據(jù)器件的雜質(zhì)分布剖面結(jié)構(gòu)器件模擬是根據(jù)器件的雜質(zhì)分布剖面結(jié)構(gòu),

2、 ,利利用器件模型用器件模型, ,通過計算機(jī)模擬計算得到半導(dǎo)體通過計算機(jī)模擬計算得到半導(dǎo)體器件終端特性。器件終端特性。 器件模擬是一項模型的技術(shù)，器件的實際特性器件模擬是一項模型的技術(shù)，器件的實際特性能利用這種模型從理論上予以模擬，因此它是能利用這種模型從理論上予以模擬，因此它是一種可以在器件研制出來之前予示器件性能參一種可以在器件研制出來之前予示器件性能參數(shù)的重要技術(shù)。數(shù)的重要技術(shù)。半導(dǎo)體器件模擬 器件模擬有兩種方法：一種是器件模擬有兩種方法：一種是器件等效電路器件等效電路模擬法；另一種是模擬法；另一種是器件物理模擬法器件物理模擬法。 (1)(1)器件等效電路模擬法是依據(jù)半導(dǎo)體器件器件等效電

3、路模擬法是依據(jù)半導(dǎo)體器件的輸入、輸出特性建立模型分析它們在電路中的輸入、輸出特性建立模型分析它們在電路中的作用，而不關(guān)心器件內(nèi)部的微觀機(jī)理，在電的作用，而不關(guān)心器件內(nèi)部的微觀機(jī)理，在電路模擬中常用這種方法。路模擬中常用這種方法。 (2)(2)器件物理模擬法則從器件內(nèi)部載流子的器件物理模擬法則從器件內(nèi)部載流子的狀態(tài)及運動出發(fā)，依據(jù)器件的幾何結(jié)構(gòu)及雜質(zhì)狀態(tài)及運動出發(fā)，依據(jù)器件的幾何結(jié)構(gòu)及雜質(zhì)分布，建立嚴(yán)格的物理模型及數(shù)學(xué)模型，運算分布，建立嚴(yán)格的物理模型及數(shù)學(xué)模型，運算得到器件的性能參數(shù)，這種方法能深刻理解器得到器件的性能參數(shù)，這種方法能深刻理解器件內(nèi)部的工作原理、能定量分析器件性能參數(shù)件內(nèi)部的工

4、作原理、能定量分析器件性能參數(shù)與設(shè)計參數(shù)之間的關(guān)系與設(shè)計參數(shù)之間的關(guān)系. . 半導(dǎo)體器件模擬n器件物理模擬技術(shù)是器件物理模擬技術(shù)是7070年代以后發(fā)展起來的，年代以后發(fā)展起來的，多年來相繼出現(xiàn)了多種具體方法，主要有三種：多年來相繼出現(xiàn)了多種具體方法，主要有三種： 有限差分法有限差分法 有限元法有限元法 Monte CarloMonte Carlo法法 前二種是離散數(shù)值模擬法，是目前模擬常前二種是離散數(shù)值模擬法，是目前模擬常規(guī)半導(dǎo)體器件的主要方法，其中有限差分法是規(guī)半導(dǎo)體器件的主要方法，其中有限差分法是最早發(fā)展起來的，方法比較簡單，容易掌握，最早發(fā)展起來的，方法比較簡單，容易掌握，但是幾何邊界復(fù)

5、雜的半導(dǎo)體器件，用多維有限但是幾何邊界復(fù)雜的半導(dǎo)體器件，用多維有限差分法碰到較大的困難差分法碰到較大的困難; ;有限元法與有限差分有限元法與有限差分法相比，對區(qū)間的離散方法比較自由，容易適法相比，對區(qū)間的離散方法比較自由，容易適應(yīng)復(fù)雜的器件邊界。應(yīng)復(fù)雜的器件邊界。半導(dǎo)體器件模擬 第三種第三種Monte CarloMonte Carlo法是統(tǒng)計模擬法，它以載法是統(tǒng)計模擬法，它以載流子在器件中運動時的散射過程為基礎(chǔ)，逐個跟流子在器件中運動時的散射過程為基礎(chǔ)，逐個跟蹤每一載流子的運動。蹤每一載流子的運動。Monte CarbMonte Carb法的優(yōu)點是能法的優(yōu)點是能對器件的物理過程作深入了解，同時

6、不受器件維對器件的物理過程作深入了解，同時不受器件維數(shù)的限制，是目前模擬小尺寸半導(dǎo)體器件的最有數(shù)的限制，是目前模擬小尺寸半導(dǎo)體器件的最有力工具。它的缺點是計算冗繁，需要很多機(jī)時。力工具。它的缺點是計算冗繁，需要很多機(jī)時。 半半經(jīng)經(jīng)典方法典方法: :由于器件尺寸的小型化，出現(xiàn)了一些效由于器件尺寸的小型化，出現(xiàn)了一些效應(yīng)，這些效應(yīng)用經(jīng)典的方法處理已不可能，需要對傳應(yīng)，這些效應(yīng)用經(jīng)典的方法處理已不可能，需要對傳統(tǒng)的經(jīng)典理論作一些修正，所以稱半統(tǒng)的經(jīng)典理論作一些修正，所以稱半經(jīng)經(jīng)典方法。典方法。 量子理論模擬法量子理論模擬法: : 當(dāng)半導(dǎo)體器件的尺寸進(jìn)一步縮小當(dāng)半導(dǎo)體器件的尺寸進(jìn)一步縮小到小于到小于0

7、.1m0.1m時，需要考慮量子效應(yīng)，相應(yīng)的模擬方時，需要考慮量子效應(yīng)，相應(yīng)的模擬方法稱為量子理論模擬法。法稱為量子理論模擬法。 半導(dǎo)體器件模擬n 在離散數(shù)值模擬中，已經(jīng)給出了一個數(shù)學(xué)模型，它可在離散數(shù)值模擬中，已經(jīng)給出了一個數(shù)學(xué)模型，它可以精確分析一個任意的半導(dǎo)體，構(gòu)成這個數(shù)學(xué)模型的以精確分析一個任意的半導(dǎo)體，構(gòu)成這個數(shù)學(xué)模型的方程稱為方程稱為基本半導(dǎo)體方程基本半導(dǎo)體方程，可以從，可以從Max-wellMax-well方程組和方程組和半導(dǎo)體物理知識推出，它們是半導(dǎo)體物理知識推出，它們是 （3.1-13.1-1） （3.1-23.1-2） （3.1-33.1-3） （3.1-43.1-4） （3

8、.1-53.1-5） UGJdivqtpp1UGJdivqtnn1pgradqgradpqDJpppngradqgradnqDJnnn)(npNNqdivgradad半導(dǎo)體器件模擬n其中（其中（3.1-13.1-1）（）（3.1-23.1-2）為半導(dǎo)體連續(xù)性方程；）為半導(dǎo)體連續(xù)性方程；（3.1-33.1-3）（）（3.1-43.1-4）為半導(dǎo)體電流傳輸方程；）為半導(dǎo)體電流傳輸方程； （3.1-53.1-5）為泊松方程。在一維情況上方程組可寫為：）為泊松方程。在一維情況上方程組可寫為： （3.1-63.1-6） （3.1-73.1-7） （3.1-83.1-8） （3.1-93.1-9） （3.

9、1-103.1-10） UGxJqtpp1UGxJqtnn1xpqxpqDJpppxnqxnqDJnpn)(22npNNqxad半導(dǎo)體器件模擬n如果是一維模擬軟件，只需解上方程組即可，如果是一維模擬軟件，只需解上方程組即可，如方程中不含如方程中不含t t，即為零，則為，即為零，則為穩(wěn)態(tài)分析穩(wěn)態(tài)分析，含，含時間時間t t的方程求解為的方程求解為瞬態(tài)分析瞬態(tài)分析。當(dāng)然也能相應(yīng)。當(dāng)然也能相應(yīng)地求解二、三維方程組。地求解二、三維方程組。 MEDICI 就是二維就是二維器件模擬軟件器件模擬軟件.隨著器件尺寸的不斷縮小，三維隨著器件尺寸的不斷縮小，三維效應(yīng)也愈來愈突出，所以三維模擬軟件也應(yīng)運效應(yīng)也愈來愈突

10、出，所以三維模擬軟件也應(yīng)運而生。本章涉及的器件模擬定義為而生。本章涉及的器件模擬定義為n 由工藝模擬得到或自定義的雜質(zhì)濃度分布由工藝模擬得到或自定義的雜質(zhì)濃度分布輸入到器件模擬程序，從電子和空穴的輸運方輸入到器件模擬程序，從電子和空穴的輸運方程、連續(xù)性方程、泊松方程出發(fā)，解出器件中程、連續(xù)性方程、泊松方程出發(fā)，解出器件中的電勢分布和載流子分布，從而得到器件的電勢分布和載流子分布，從而得到器件I IV V等電特性。等電特性。半導(dǎo)體器件模擬n為了設(shè)計分析功率器件，除了求解半導(dǎo)體基本為了設(shè)計分析功率器件，除了求解半導(dǎo)體基本方程組外，通常還要模擬熱電現(xiàn)象的相互作用，方程組外，通常還要模擬熱電現(xiàn)象的相互

11、作用，因為在器件內(nèi)溫度及其分布的變化會顯著地影因為在器件內(nèi)溫度及其分布的變化會顯著地影響器件的電特性為此還需解熱流方程。響器件的電特性為此還需解熱流方程。其中，其中，和和c c分別為材料的質(zhì)量密度和比熱，在考慮實際分別為材料的質(zhì)量密度和比熱，在考慮實際器件應(yīng)用時，可假定器件應(yīng)用時，可假定和和c c對溫度的依賴關(guān)系小到可以忽對溫度的依賴關(guān)系小到可以忽略；略；K K（T T）和）和H H表示熱導(dǎo)和局部產(chǎn)生的熱，這些參量需要表示熱導(dǎo)和局部產(chǎn)生的熱，這些參量需要通過物理模型確定。如果對熱的瞬態(tài)不感興趣，可以假通過物理模型確定。如果對熱的瞬態(tài)不感興趣，可以假定溫度對時間的偏微分為零。定溫度對時間的偏微分

12、為零。 gradTTdivKHtTc)(半導(dǎo)體器件模擬n 基本半導(dǎo)體方程組（包括連續(xù)性、泊松等基本半導(dǎo)體方程組（包括連續(xù)性、泊松等方程）的理論基礎(chǔ)是方程）的理論基礎(chǔ)是漂移擴(kuò)散理論漂移擴(kuò)散理論模型，這是模型，這是目前器件物理的主流，已在常規(guī)器件的模擬或目前器件物理的主流，已在常規(guī)器件的模擬或CADCAD設(shè)計中達(dá)到實用化，本模型的基本假設(shè)有：設(shè)計中達(dá)到實用化，本模型的基本假設(shè)有： 多次碰撞假設(shè)：多次碰撞假設(shè)：載流子在外電場的漂移用漂移遷移載流子在外電場的漂移用漂移遷移率表示，載流子運動平均行為偏離用擴(kuò)散系數(shù)表示。率表示，載流子運動平均行為偏離用擴(kuò)散系數(shù)表示。它們都是電場它們都是電場E E的函數(shù)。這

13、里的含義是：無論電場變化的函數(shù)。這里的含義是：無論電場變化多快，載流子都能在新的電場值上達(dá)到新的平衡態(tài)，多快，載流子都能在新的電場值上達(dá)到新的平衡態(tài)，從而具有新的平均漂移速度和擴(kuò)散系數(shù)，這就只有通從而具有新的平均漂移速度和擴(kuò)散系數(shù)，這就只有通過載流子經(jīng)受多次碰撞才能實現(xiàn)。過載流子經(jīng)受多次碰撞才能實現(xiàn)。半導(dǎo)體器件模擬n多次碰撞假設(shè)要求載流子在器件特征尺寸之內(nèi)（如多次碰撞假設(shè)要求載流子在器件特征尺寸之內(nèi)（如MOSMOS柵長，柵長，PNPN結(jié)耗盡層寬度等）經(jīng)受多次隨機(jī)的碰撞。目結(jié)耗盡層寬度等）經(jīng)受多次隨機(jī)的碰撞。目前的超大規(guī)模前的超大規(guī)模ICIC、超高速、超高速ICIC和微波技術(shù)發(fā)展，已把器和微波技

14、術(shù)發(fā)展，已把器件的特征尺寸推到深亞微米乃至納米級，件的特征尺寸推到深亞微米乃至納米級，電子渡越電子渡越MOSFETMOSFET柵下溝道的時間可與電子平均自由時間比擬，柵下溝道的時間可與電子平均自由時間比擬，這時電子經(jīng)多次碰撞達(dá)到動態(tài)平衡的條件就不成立。這時電子經(jīng)多次碰撞達(dá)到動態(tài)平衡的條件就不成立。n 低場條件：低場條件：在漂移擴(kuò)散模型中，在漂移擴(kuò)散模型中，J Jn n、J Jp p的表達(dá)式和的表達(dá)式和愛因斯坦關(guān)系實際上是玻爾茲曼方程在低場假設(shè)條件愛因斯坦關(guān)系實際上是玻爾茲曼方程在低場假設(shè)條件下采用微擾法所得的近似解。如果器件有很強(qiáng)的不均下采用微擾法所得的近似解。如果器件有很強(qiáng)的不均勻電場、時間

15、上快速的場強(qiáng)變化，就使之與低場假設(shè)勻電場、時間上快速的場強(qiáng)變化，就使之與低場假設(shè)不相容。不相容。 半導(dǎo)體器件模擬n單能谷假設(shè)：單能谷假設(shè)：在漂移擴(kuò)散模型中，使用平均漂移在漂移擴(kuò)散模型中，使用平均漂移和擴(kuò)散的概念描述電荷輸運，沒有涉及多能谷半導(dǎo)和擴(kuò)散的概念描述電荷輸運，沒有涉及多能谷半導(dǎo)體的考慮。對于象體的考慮。對于象GaAsGaAs之類器件，多能谷輸運現(xiàn)象之類器件，多能谷輸運現(xiàn)象往往對器件的工作特性起決定性作用，以此模型就往往對器件的工作特性起決定性作用，以此模型就很難處理。很難處理。n 鑒于上述的局限性，目前發(fā)展了更高級理論及鑒于上述的局限性，目前發(fā)展了更高級理論及相應(yīng)的模型，例如相應(yīng)的模型

16、，例如玻爾茲曼輸運理論玻爾茲曼輸運理論，基于此理論，基于此理論的器件模型已構(gòu)成迄今所有較精確的器件模擬研究的器件模型已構(gòu)成迄今所有較精確的器件模擬研究的概念性框架，并派生出器件的蒙特卡羅模擬，動的概念性框架，并派生出器件的蒙特卡羅模擬，動量能量守恒，動量能量平衡模型等。更嚴(yán)格地處理量能量守恒，動量能量平衡模型等。更嚴(yán)格地處理超小器件的量子輸運理論，仍是當(dāng)前器件物理工作超小器件的量子輸運理論，仍是當(dāng)前器件物理工作者探索研究的課題。者探索研究的課題。半導(dǎo)體器件模擬n二、與基本半導(dǎo)體方程組相關(guān)物理參二、與基本半導(dǎo)體方程組相關(guān)物理參數(shù)數(shù)n 為了模擬器件內(nèi)部性能，我們必須求解為了模擬器件內(nèi)部性能，我們必

17、須求解上述的半導(dǎo)體基本方程組，為此首先要考慮上述的半導(dǎo)體基本方程組，為此首先要考慮與基本方程組聯(lián)系的幾個附加參數(shù)，例如遷與基本方程組聯(lián)系的幾個附加參數(shù)，例如遷移率移率pp、nn，由于電流同遷移率有正比的，由于電流同遷移率有正比的依賴關(guān)系，為了進(jìn)行模擬，需要通過建立物依賴關(guān)系，為了進(jìn)行模擬，需要通過建立物理參數(shù)模型，定量確定適用的、精確的遷移理參數(shù)模型，定量確定適用的、精確的遷移率值。實際上，半導(dǎo)體器件任何定量的，甚率值。實際上，半導(dǎo)體器件任何定量的，甚至定性的模擬，都取決于這些參數(shù)可適用的至定性的模擬，都取決于這些參數(shù)可適用的模型。為此本節(jié)將討論最重要的物理參數(shù)模模型。為此本節(jié)將討論最重要的物

18、理參數(shù)模型問題。型問題。半導(dǎo)體器件模擬1 1、載流子遷移率模型、載流子遷移率模型n 我們知道，載流子的遷移率涉及到晶格我們知道，載流子的遷移率涉及到晶格的熱振動，離化雜質(zhì)、中性雜質(zhì)、定位、填的熱振動，離化雜質(zhì)、中性雜質(zhì)、定位、填隙原子、位錯，表面以及電子和空穴自身引隙原子、位錯，表面以及電子和空穴自身引起的散射等微觀機(jī)理。由于它們的相互作用起的散射等微觀機(jī)理。由于它們的相互作用是極其復(fù)雜的，因而給出精確的模型是困難是極其復(fù)雜的，因而給出精確的模型是困難的。從另一方面講，為了模擬的目的也不必的。從另一方面講，為了模擬的目的也不必基于更復(fù)雜理論模型的更精確的公式，這樣基于更復(fù)雜理論模型的更精確的公

19、式，這樣可能導(dǎo)致計算機(jī)時的大幅度膨脹，失去模擬可能導(dǎo)致計算機(jī)時的大幅度膨脹，失去模擬的經(jīng)濟(jì)價值。所以目前已發(fā)表的用唯象表示的經(jīng)濟(jì)價值。所以目前已發(fā)表的用唯象表示式作為各種各樣實驗上觀察到的遷移率現(xiàn)象式作為各種各樣實驗上觀察到的遷移率現(xiàn)象的模型可以使用。的模型可以使用。 半導(dǎo)體器件模擬n 當(dāng)然應(yīng)根據(jù)不同的器件結(jié)構(gòu)和工作環(huán)境當(dāng)然應(yīng)根據(jù)不同的器件結(jié)構(gòu)和工作環(huán)境有選擇性的使用。甚至還可以在一定條件下有選擇性的使用。甚至還可以在一定條件下進(jìn)行進(jìn)一步簡化，這樣可以在能基本反映器進(jìn)行進(jìn)一步簡化，這樣可以在能基本反映器件性能的前提下節(jié)省運算時間。下面我們介件性能的前提下節(jié)省運算時間。下面我們介紹一些常用的遷移

20、率模型公式。紹一些常用的遷移率模型公式。 （1 1）在純晶體中，載流子散射的最基本過程）在純晶體中，載流子散射的最基本過程是載流子同晶體中原子熱振動之間的相互作是載流子同晶體中原子熱振動之間的相互作用。這些晶格振動是溫度的函數(shù)，由所謂用。這些晶格振動是溫度的函數(shù)，由所謂“聲畸變勢晶格散射聲畸變勢晶格散射”引起的遷移率的理論引起的遷移率的理論結(jié)果為：結(jié)果為：半導(dǎo)體器件模擬n （3.2-1)n n (3.2-2)n其中：其中：C C1 1是半導(dǎo)體的平均縱向彈性常數(shù)；它的數(shù)值為是半導(dǎo)體的平均縱向彈性常數(shù)；它的數(shù)值為10105 5VAScmVAScm-3-3量級；量級；EacEac和和EavEav分別

21、是導(dǎo)帶和價帶的畸變勢分別是導(dǎo)帶和價帶的畸變勢常數(shù)，它們的數(shù)值是幾個常數(shù)，它們的數(shù)值是幾個evev。因為硅和鍺有多谷帶結(jié)。因為硅和鍺有多谷帶結(jié)構(gòu)，所以在晶格散射中有光學(xué)聲子參加（在砷化鎵中構(gòu)，所以在晶格散射中有光學(xué)聲子參加（在砷化鎵中這個效應(yīng)甚至起支配作用），遷移率的性能不能由這個效應(yīng)甚至起支配作用），遷移率的性能不能由（3.2-13.2-1）（）（3.2-23.2-2）式正確地描）式正確地描寫寫能能帶結(jié)構(gòu)和光學(xué)聲帶結(jié)構(gòu)和光學(xué)聲子引起附加的散射結(jié)構(gòu)。這些效應(yīng)的詳細(xì)討論已超出子引起附加的散射結(jié)構(gòu)。這些效應(yīng)的詳細(xì)討論已超出本講義范圍。本講義范圍。 2/322/5*14)()(322KTEmCqhac

22、nLn2/322/5*14)()(322KTEmCqhavpLP半導(dǎo)體器件模擬n 為了模擬目的，人們通常用一個簡單乘方律，它為了模擬目的，人們通常用一個簡單乘方律，它的系數(shù)由擬合實驗遷移率值得到：的系數(shù)由擬合實驗遷移率值得到：n (3.2-3)(3.2-3)n (3.2-4) (3.2-4)n已發(fā)表的（已發(fā)表的（3.2-33.2-3）、（）、（3.2-43.2-4）式中的常數(shù)數(shù)值）式中的常數(shù)數(shù)值 、n n、p p顯示出若干分散，這些不同來源的系數(shù)匯編在顯示出若干分散，這些不同來源的系數(shù)匯編在 S.S.賽爾勃赫奧編的賽爾勃赫奧編的Analysis and Simulation Analysis

23、and Simulation of Semiconductor Devicesof Semiconductor Devices的表的表4.1-14.1-1晶格遷移率常晶格遷移率常數(shù)中，使用時可查找，這些數(shù)據(jù)的評價和推薦是相當(dāng)數(shù)中，使用時可查找，這些數(shù)據(jù)的評價和推薦是相當(dāng)困難的。困難的。nKTnLn)300(0pKTpLp)300(00n0p半導(dǎo)體器件模擬nSahSah等人已經(jīng)發(fā)表了一個不同的模型，據(jù)稱該等人已經(jīng)發(fā)表了一個不同的模型，據(jù)稱該模型能可靠地估計在模型能可靠地估計在4.24.2到到600K600K溫度范圍內(nèi)溫度范圍內(nèi)SiSi的遷移率值：的遷移率值：n (3.2-5)(3.2-5) (3

24、.2-6)(3.2-6)這個模型用簡單的這個模型用簡單的MathiessenMathiessen規(guī)則，將由聲學(xué)聲子引起規(guī)則，將由聲學(xué)聲子引起的理論上晶格遷移率同由光學(xué)以及谷間聲子引起的遷的理論上晶格遷移率同由光學(xué)以及谷間聲子引起的遷移率分量結(jié)合起來。移率分量結(jié)合起來。13.325 .12)300(21531)300(419511KTVscmKTVscmLn25.325 .12)300(5911)300(250211KTVscmKTVscmLp半導(dǎo)體器件模擬(2)(2)作為遷移率模型，我們將考慮的下一個散射機(jī)構(gòu)是離作為遷移率模型，我們將考慮的下一個散射機(jī)構(gòu)是離化雜質(zhì)散射。為此也提出了許多不同的模

25、型公式，值化雜質(zhì)散射。為此也提出了許多不同的模型公式，值得一提的是得一提的是CaugheyCaughey和和ThomasThomas提出的描述結(jié)合晶格和提出的描述結(jié)合晶格和離化雜質(zhì)遷移率的一個更實用的方法，他們用一個類離化雜質(zhì)遷移率的一個更實用的方法，他們用一個類費米函數(shù)或雙曲正切去擬合實驗數(shù)據(jù)：費米函數(shù)或雙曲正切去擬合實驗數(shù)據(jù)： (3.2-7)(3.2-7)其中、其中、 、N Nrefn,prefn,p為遷移率參數(shù)，數(shù)值可在上提到的為遷移率參數(shù)，數(shù)值可在上提到的S.S.賽爾勃赫書中表賽爾勃赫書中表4.1-24.1-2，表，表4.1-34.1-3中查到，在不同資料中查到，在不同資料中，這些數(shù)據(jù)

26、依然存在著若干分散性。由（中，這些數(shù)據(jù)依然存在著若干分散性。由（3.2-73.2-7）式可）式可以看出，這時的遷移率與離化雜質(zhì)濃度以看出，這時的遷移率與離化雜質(zhì)濃度 N N 有關(guān)。有關(guān)。pnprefnpnLpnpnLIpnNNI,)(,min,min,min,pn半導(dǎo)體器件模擬AroraArora等已發(fā)表了一個同等已發(fā)表了一個同CangheyCanghey和和ThomasThomas表達(dá)式表達(dá)式 （3.2-3.2-5 5）、（）、（3.2-63.2-6）具有十分相似結(jié)構(gòu)的公式。作為硅，）具有十分相似結(jié)構(gòu)的公式。作為硅，這個公式具有同溫度有關(guān)的系數(shù)。這個公式具有同溫度有關(guān)的系數(shù)。 (3.2-8)

27、(3.2-8) (3.2-9) (3.2-9)這些公式在這些公式在250250，500500K K溫度范圍內(nèi)以及在溫度范圍內(nèi)以及在10101313，10102020cmcm-3-3離化雜質(zhì)濃度范圍內(nèi)，最大誤差不超過離化雜質(zhì)濃度范圍內(nèi)，最大誤差不超過13%13%。 546. 231733. 2257. 02)300(10432. 11)300(1252)300(88KTcmNKTVcmKTVscmsLIn546.231733.2257.02)300(1067.21)300(407)300(3 .54KTcmNKTVcmKTVscmsLIp半導(dǎo)體器件模擬(3)(3)在器件模型中，我們應(yīng)該考慮的另一

28、種散射機(jī)構(gòu)是載在器件模型中，我們應(yīng)該考慮的另一種散射機(jī)構(gòu)是載流子一載流子散射。特別是開態(tài)的功率器件中。這個流子一載流子散射。特別是開態(tài)的功率器件中。這個效應(yīng)變得很顯著，由于此時自由載流子濃度可增加到效應(yīng)變得很顯著，由于此時自由載流子濃度可增加到遠(yuǎn)大于摻雜濃度。遠(yuǎn)大于摻雜濃度。n AdlerAdler提出了一個簡單的方法，他在提出了一個簡單的方法，他在CangheyCanghey和和ThomasThomas公式，即（公式，即（3.2-73.2-7）分母上加一個附加項：）分母上加一個附加項：n (3.2-10)(3.2-10)pnpnprefnprefnpnLpnpnLICpnNnpNNI,)14

29、()(,min,min,半導(dǎo)體器件模擬在在AdlerAdler另一篇文章中又提出一個更為精確的處理方另一篇文章中又提出一個更為精確的處理方法，法，這里，由載流子一載流子散射引起的遷移率分量采用以這里，由載流子一載流子散射引起的遷移率分量采用以下模型公式：下模型公式： (3.2-11)(3.2-11)這個分量同（這個分量同（3.2-73.2-7）式用簡單的）式用簡單的MathiessenMathiessen規(guī)則相結(jié)合，規(guī)則相結(jié)合，即即: : (3.2-12)(3.2-12)(1054. 41ln(110428. 12121120pncmpncmVsccLIpnLICpn111,半導(dǎo)體器件模擬如果

30、考慮溫度的因素，與（如果考慮溫度的因素，與（3.2-113.2-11）等效的表達(dá)）等效的表達(dá)式為：式為： (3.2-13)(3.2-13)(3.2-13)(3.2-13)可與上述的可與上述的 由由MathiessenMathiessen規(guī)則合成。規(guī)則合成。)()300(1045. 71ln()300(11004.nKTcmpnKTcmVsCLIpn,半導(dǎo)體器件模擬(4)(4)作為遷移率模型，下一個效應(yīng)將考慮高電場作為遷移率模型，下一個效應(yīng)將考慮高電場下漂移速度的飽和。由載流子加熱對漂移速度下漂移速度的飽和。由載流子加熱對漂移速度因而對遷移率影響廣泛使用的表示式為：因而

31、對遷移率影響廣泛使用的表示式為： (3.2-14)(3.2-14)其中硅在其中硅在300K300K時的臨界電場時的臨界電場 以及指數(shù)以及指數(shù)n,pn,p可在有關(guān)文獻(xiàn)中找到。詳見可在有關(guān)文獻(xiàn)中找到。詳見S.S.塞塞爾勃赫書中爾勃赫書中表表4.1-44.1-4。pnpncritpnpnLICpnpnEE,/1,)(1(critpnE,半導(dǎo)體器件模擬更精確的公式為更精確的公式為 (3.2-15)(3.2-15)其中：其中： 表示電子和空穴的飽和速度值。對于電表示電子和空穴的飽和速度值。對于電子子n n=2=2，對于空穴對于空穴p p=1=1， 由下式可求得由下式可求得 (3.2-16)(3.2-16

32、) (3.2-17) (3.2-17) pnpnsatpnpnLICpnLICpnpnVE,/1,)(1(satpnV,satpnV,87.07)300(10KTscmVsatn52. 06)300(/1037. 8KTscmVsatp半導(dǎo)體器件模擬2 2、載流子產(chǎn)生一復(fù)合模型、載流子產(chǎn)生一復(fù)合模型q在基本方程組中的連續(xù)性方程里，我們看到了在基本方程組中的連續(xù)性方程里，我們看到了電子和空穴的產(chǎn)生率電子和空穴的產(chǎn)生率GnGn和和GpGp以及電子和空穴的以及電子和空穴的復(fù)合率復(fù)合率UnUn和和UpUp這四個物理參數(shù)，這樣的參數(shù)需這四個物理參數(shù)，這樣的參數(shù)需要用一定的模型公式來確定。要用一定的模型公

33、式來確定。q半導(dǎo)體電子和空穴的復(fù)合，大致分為直接復(fù)合半導(dǎo)體電子和空穴的復(fù)合，大致分為直接復(fù)合和間接復(fù)合。直接復(fù)合是電子在導(dǎo)帶和價帶間和間接復(fù)合。直接復(fù)合是電子在導(dǎo)帶和價帶間的直接躍遷。一般地說，帶寬度小的材料直接的直接躍遷。一般地說，帶寬度小的材料直接復(fù)合起主要作用。間接復(fù)合是非平衡載流子通復(fù)合起主要作用。間接復(fù)合是非平衡載流子通過復(fù)合中心的復(fù)合，稱為過復(fù)合中心的復(fù)合，稱為SRHSRH（Shockley-Shockley-Read-HallRead-Hall）復(fù)合。實驗表明，硅、鍺等半導(dǎo)）復(fù)合。實驗表明，硅、鍺等半導(dǎo)體材料間接復(fù)合起主要作用。體材料間接復(fù)合起主要作用。 半導(dǎo)體器件模擬q當(dāng)材料中

34、只有一種復(fù)合中心能級時，其凈復(fù)合當(dāng)材料中只有一種復(fù)合中心能級時，其凈復(fù)合率為：率為： (3.2-18)(3.2-18)其中：其中：r rn n、r rp p分別為雜質(zhì)能級的電子俘獲系數(shù)分別為雜質(zhì)能級的電子俘獲系數(shù)和空穴俘獲系數(shù)，反映它們俘獲電子、空穴的能和空穴俘獲系數(shù)，反映它們俘獲電子、空穴的能力。力。N Nt t是復(fù)合中心濃度，是復(fù)合中心濃度，n n1 1及及p p1 1為：為：n n1 1=n=ni iexpexpE Et t-E-Ei i/KT/KTp p1 1= n= ni iexpexpE Ei i-E-Et t/KT/KT其中其中E Et t是雜質(zhì)能級。是雜質(zhì)能級。)()()(11

35、2pprnnrnpnrrNUUUpnipntpnSRH半導(dǎo)體器件模擬q在小注入情況，在小注入情況，n n型材料少子壽命型材料少子壽命p p及及p p型材型材料中少子壽命料中少子壽命n n可分別近似為：可分別近似為：分別代入（分別代入（3.2-183.2-18）式可得小注入）式可得小注入SRHSRH復(fù)合率：復(fù)合率： (3.2-19)(3.2-19)一般來說一般來說, ,復(fù)合中心濃度復(fù)合中心濃度N Nt t與摻雜無關(guān)，所以與摻雜無關(guān)，所以與摻雜濃度無關(guān)。與摻雜濃度無關(guān)。 ptprN1ntnrN1)()(112ppnnnpnUnpiSRH半導(dǎo)體器件模擬q在高摻雜情況下，重?fù)诫s會通過增生晶格產(chǎn)生在高摻

36、雜情況下，重?fù)诫s會通過增生晶格產(chǎn)生新的復(fù)合中心。這時新的復(fù)合中心。這時與摻雜濃度有關(guān)。模擬與摻雜濃度有關(guān)。模擬時可采用以下公式：時可采用以下公式： (3.2-20)(3.2-20)其中參數(shù)其中參數(shù) 、 、 N Nn nrefref N Np prefref通過實驗確定，也通過實驗確定，也可在有關(guān)資料中查到?？稍谟嘘P(guān)資料中查到。refnADnonNNN1refpADpopNNN1nopo半導(dǎo)體器件模擬q在重?fù)诫s半導(dǎo)體材料中，還有一種重要的復(fù)合在重?fù)诫s半導(dǎo)體材料中，還有一種重要的復(fù)合形式，稱為俄歇（形式，稱為俄歇（AugerAuger）復(fù)合。它對大功率）復(fù)合。它對大功率器件特性有重要的影響。這種復(fù)

37、合是電子和空器件特性有重要的影響。這種復(fù)合是電子和空穴的直接復(fù)合。在其復(fù)合過程中，將多余的能穴的直接復(fù)合。在其復(fù)合過程中，將多余的能量釋放給另一載流子。俄歇復(fù)合率為：量釋放給另一載流子。俄歇復(fù)合率為：式中，式中，EE是因為摻雜引起有效禁帶寬度的窄縮是因為摻雜引起有效禁帶寬度的窄縮量；量；n nieie是考慮了禁帶變窄效應(yīng)后的本征載流子是考慮了禁帶變窄效應(yīng)后的本征載流子濃度；濃度；C Cn n和和C Cp p稱為俄歇俘獲系數(shù)。它們的數(shù)值稱為俄歇俘獲系數(shù)。它們的數(shù)值在不同的文獻(xiàn)中存在著明顯的分散性在不同的文獻(xiàn)中存在著明顯的分散性. . )(2iepnAnnppCnCU)exp(22KTEnniie

38、半導(dǎo)體器件模擬q通常用在模擬程序中的是通常用在模擬程序中的是DziewiorDziewior以及以及SchmidSchmid的數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)綜合在下表中的數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)綜合在下表中溫度溫度K K CnCncmcm6 6S S-1-1 C CP Pcmcm6 6S S-1-177 2.877 2.81010-31-31 7.8 7.81010-32-32300 2.8300 2.81010-31-31 9.9 9.91010-32-32400 2.8400 2.81010-31-31 1.2 1.21010-31-31半導(dǎo)體器件模擬q影響連續(xù)性方程中載流子產(chǎn)生率的因素有多種。影響連續(xù)性方程中載流

39、子產(chǎn)生率的因素有多種。例如，高能光子注入產(chǎn)生的光激發(fā)，或強(qiáng)電場例如，高能光子注入產(chǎn)生的光激發(fā)，或強(qiáng)電場下產(chǎn)生的碰撞電離等外界因素。下產(chǎn)生的碰撞電離等外界因素。n 當(dāng)強(qiáng)電場產(chǎn)生碰撞電離而引起雪崩倍增效應(yīng)當(dāng)強(qiáng)電場產(chǎn)生碰撞電離而引起雪崩倍增效應(yīng)時，產(chǎn)生率的公式可表示為：時，產(chǎn)生率的公式可表示為：其中其中nn和和pp是電子和空穴的電離率，可表示為是電子和空穴的電離率，可表示為)(ppnnpnJJGGG)exp(,mpnEbA半導(dǎo)體器件模擬式中的式中的A A、b b、m m是電離率參數(shù)，對于是電離率參數(shù)，對于SiSi，它們的，它們的數(shù)值可由下表給出：數(shù)值可由下表給出： A A（cmcm-1-1） b b

40、（v/cmv/cm） m m電子電子 3.83.810106 6 1.75 1.7510106 6 1.0 1.0空穴空穴 2.252.2510107 7 3.26 3.2610106 6 1.0 1.0半導(dǎo)體器件模擬 三、三、 半導(dǎo)體基本方程組的求解問題半導(dǎo)體基本方程組的求解問題q 為了定量描述器件的物理過程，建立起適用為了定量描述器件的物理過程，建立起適用于一定區(qū)間，并有一定邊界條件及初始條件的于一定區(qū)間，并有一定邊界條件及初始條件的基本半導(dǎo)體方程組。它們的形式實際是常微分基本半導(dǎo)體方程組。它們的形式實際是常微分或偏微分方程。微分方程的建立僅僅確定了數(shù)或偏微分方程。微分方程的建立僅僅確定了

41、數(shù)學(xué)模型，實際應(yīng)用中還需得到微分方程的解，學(xué)模型，實際應(yīng)用中還需得到微分方程的解，從而才能反映器件的電特性。解的理想形式是從而才能反映器件的電特性。解的理想形式是解析式，但求微分方程的解析解通常是很困難解析式，但求微分方程的解析解通常是很困難的。的。半導(dǎo)體器件模擬q為了克服這一困難，數(shù)學(xué)上發(fā)展了數(shù)值形式解為了克服這一困難，數(shù)學(xué)上發(fā)展了數(shù)值形式解的方法的方法,求出區(qū)間上某點函數(shù)的近似值或相鄰點求出區(qū)間上某點函數(shù)的近似值或相鄰點之間的近似解。如果區(qū)間上的點取得很密，近之間的近似解。如果區(qū)間上的點取得很密，近似程度好，則其數(shù)值解同樣能描述實際過程。似程度好，則其數(shù)值解同樣能描述實際過程。因這種方法是

42、對函數(shù)所在區(qū)間分離成小區(qū)間后因這種方法是對函數(shù)所在區(qū)間分離成小區(qū)間后求值。故稱求值。故稱離散值解法離散值解法。離散數(shù)值解法的計算離散數(shù)值解法的計算工作量很大，尤其當(dāng)函數(shù)在區(qū)間中變化急劇時，工作量很大，尤其當(dāng)函數(shù)在區(qū)間中變化急劇時，離散點必須取得很密，其計算工作量往往非人離散點必須取得很密，其計算工作量往往非人力所能，借助于計算機(jī)，上述困難能夠克服。力所能，借助于計算機(jī)，上述困難能夠克服。這是數(shù)十年來，數(shù)值分析解法隨著計算機(jī)的發(fā)這是數(shù)十年來，數(shù)值分析解法隨著計算機(jī)的發(fā)展而迅速發(fā)展的原因。展而迅速發(fā)展的原因。半導(dǎo)體器件模擬n在討論基本半導(dǎo)體方程組的數(shù)值解法前，首先考慮方在討論基本半導(dǎo)體方程組的數(shù)值

43、解法前，首先考慮方程求解的穩(wěn)定性和收劍速度問題程求解的穩(wěn)定性和收劍速度問題. .那么在模擬中首先會那么在模擬中首先會遇到變量選取問題。也就是說，變量選取適當(dāng)與否對遇到變量選取問題。也就是說，變量選取適當(dāng)與否對方程求解的穩(wěn)定性、收劍速度等都有很大的影響。方程求解的穩(wěn)定性、收劍速度等都有很大的影響。n( (一一) )、基本方程組因變量的選取、基本方程組因變量的選取 幾個常見的因變量選取的方法：幾個常見的因變量選取的方法：1 1、選用（、選用（u u、v v、 ）的方法：）的方法： 其中：其中：U Ut t=KT/q,=KT/q,然后將上兩式代入基本方程組進(jìn)行變量然后將上兩式代入基本方程組進(jìn)行變量代

44、換。代換。)exp(tiUnnu)exp(tiUnpv半導(dǎo)體器件模擬q這種變量選取的好處可將電流連續(xù)性方程轉(zhuǎn)變這種變量選取的好處可將電流連續(xù)性方程轉(zhuǎn)變?yōu)闉閡 u、v v的線性偏微分方程，而數(shù)學(xué)上這種方程的線性偏微分方程，而數(shù)學(xué)上這種方程的解法較成熟。也就是說從解析研究的角度來的解法較成熟。也就是說從解析研究的角度來看很多情況下選（看很多情況下選（u u、v v、 ）優(yōu)于其它變量。）優(yōu)于其它變量。這種選法的弱點可從上兩式看出，當(dāng)溫度為這種選法的弱點可從上兩式看出，當(dāng)溫度為300K300K時，時，Ut0.026vUt0.026v，這時兩式的指數(shù)項，當(dāng)，這時兩式的指數(shù)項，當(dāng)-1-1，1 1V V變化

45、時，將變化劇烈約為變化時，將變化劇烈約為3232個數(shù)量個數(shù)量級以上，所以采用（級以上，所以采用（u u、v v、 ）進(jìn)行計算只限）進(jìn)行計算只限于低壓情況，如果在高壓的功率器件的模擬中于低壓情況，如果在高壓的功率器件的模擬中容易引起計算的上溢，很不實用容易引起計算的上溢，很不實用。半導(dǎo)體器件模擬2 2、選用（、選用（ 、 、 ）的方法：）的方法：這里這里 、 是半導(dǎo)體的準(zhǔn)費米勢，它們與是半導(dǎo)體的準(zhǔn)費米勢，它們與n n、p p的的關(guān)系為：關(guān)系為：這種變量選取方法的優(yōu)點：使變量這種變量選取方法的優(yōu)點：使變量 、 、 具有具有相同的數(shù)量級，從而緩和了變量數(shù)值動態(tài)變化范相同的數(shù)量級，從而緩和了變量數(shù)值動

46、態(tài)變化范圍太大的矛盾。這種方法的缺點是變量代換后使圍太大的矛盾。這種方法的缺點是變量代換后使電流的關(guān)系式，連續(xù)性方程電流的關(guān)系式，連續(xù)性方程與與 n n、 p p呈指數(shù)非線呈指數(shù)非線性形式，方程的形式變復(fù)雜了。性形式，方程的形式變復(fù)雜了。npnp)exp(tniUnn)exp(tpiUnpnp半導(dǎo)體器件模擬3 3、選用（、選用（ 、n n、p p）的方法：）的方法： 這時基本方程組沒有什么變形，但是變量這時基本方程組沒有什么變形，但是變量 、n n、p p各自數(shù)值的數(shù)量級有較大的懸殊，在半導(dǎo)體各自數(shù)值的數(shù)量級有較大的懸殊，在半導(dǎo)體結(jié)附近的層區(qū)和中性的緩區(qū)。它們會表現(xiàn)出極結(jié)附近的層區(qū)和中性的緩區(qū)

47、。它們會表現(xiàn)出極大的行為差別。大的行為差別。半導(dǎo)體器件模擬 (二)、基本方程的歸一化n由于基本方程中因變量（由于基本方程中因變量（ 、n n、p p）的數(shù)量級）的數(shù)量級差別很大，而且在小的和大的空間電荷區(qū)，其差別很大，而且在小的和大的空間電荷區(qū)，其特性也不相同，對于基本方程結(jié)構(gòu)分析的第一特性也不相同，對于基本方程結(jié)構(gòu)分析的第一步應(yīng)適當(dāng)?shù)亩?biāo)（即歸一化），從計算的觀點步應(yīng)適當(dāng)?shù)亩?biāo)（即歸一化），從計算的觀點看，歸一化后的方程是很有吸引力的。也就是看，歸一化后的方程是很有吸引力的。也就是在求值中不涉及常數(shù)運算?？捎行У亟档瓦\算在求值中不涉及常數(shù)運算?？捎行У亟档瓦\算量。若未歸一化的方程組寫為以下形

48、式：量。若未歸一化的方程組寫為以下形式：半導(dǎo)體器件模擬其中：其中：C= NC= Nd d N NA A為凈雜質(zhì)濃度；為凈雜質(zhì)濃度；R=G-UR=G-U為凈產(chǎn)生為凈產(chǎn)生/ /復(fù)復(fù)合率合率 0)(CpnqdivgradtnpnRngradgradnDdivnn),()(tppnRpgradgradpDdivpp),()(ngradqgradnqDJnnnpgradqugradpqDJppp半導(dǎo)體器件模擬De MariDe Mari給出了定標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)方法，定標(biāo)因子綜合在下表中：給出了定標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)方法，定標(biāo)因子綜合在下表中： 量量 符號符號 值值 x x0 0 KT/q KT/q n,p,c c n,p,

49、c c0 0 n ni i Dn,Dp D Dn,Dp D0 0 1cm 1cm2 2s s-1-1 n,n,p Dp D0 0/ / 0 0 R D R D0 0C C0 0/x/x0 02 2 t x t x0 02 2/D/D0 0 表中表中x x表示獨立空間變量。表示獨立空間變量。 )/(2inqTKX0半導(dǎo)體器件模擬定標(biāo)（歸一化）后的基本方程就寫為：定標(biāo)（歸一化）后的基本方程就寫為： (1)(1) (2) (2) (3) (3) (4) (4) (5) (5)0)(cpndivgradtnpnRgradngradnDdivnn),()(tppnRgradpgradpDdivpp),(

50、)(gradnDgradpnJnnngradpDgradpJppp半導(dǎo)體器件模擬這時方程中所用的微分算子是關(guān)于定標(biāo)后的獨立這時方程中所用的微分算子是關(guān)于定標(biāo)后的獨立變量的，為了簡明起見，一個明確的指標(biāo)（即變量的，為了簡明起見，一個明確的指標(biāo)（即下標(biāo)）已被省去。還應(yīng)注意方程中已倍乘了定下標(biāo)）已被省去。還應(yīng)注意方程中已倍乘了定標(biāo)因子的組合。標(biāo)因子的組合。即：對于方程（即：對于方程（1 1）乘了）乘了 對于方程（對于方程（2 2）和（）和（3 3）乘了）乘了 對于方程（對于方程（4 4）和（）和（5 5）乘了）乘了020 x0020CDx0020CDqx半導(dǎo)體器件模擬n定標(biāo)或者說歸一化因子也不是唯一

51、的，下面介紹一種定標(biāo)或者說歸一化因子也不是唯一的，下面介紹一種從數(shù)學(xué)觀點看更為嚴(yán)格的定標(biāo)，定標(biāo)因子如下表：從數(shù)學(xué)觀點看更為嚴(yán)格的定標(biāo)，定標(biāo)因子如下表： 量量 符號符號 值值 x x0 0 max(x-y),x max(x-y),x、y Dy D KT/q KT/q n n、p p、c cc c0 0 D Dn n、D Dp p D D0 0 n n、p p D D0 0/ / R D R D0 0C C0 0/x/x0 02 2 t x t x0 02 2/D/D0 0X0Dxxc,)(maxDxxDxDpn),(),(max(0半導(dǎo)體器件模擬用這種定標(biāo)，基本方程變?yōu)椋河眠@種定標(biāo)，基本方程變?yōu)?/p>

52、： (6)(6) (7) (7) (8) (8) (9) (9)定標(biāo)后的電流方程形式與（定標(biāo)后的電流方程形式與（4 4）、（）、（5 5）式相同，類似地，）式相同，類似地，定標(biāo)后的連續(xù)性方程形式也與（定標(biāo)后的連續(xù)性方程形式也與（2 2）、（）、（3 3）式一樣，然）式一樣，然而有些定標(biāo)因子的數(shù)量級不一樣。而有些定標(biāo)因子的數(shù)量級不一樣。0)(2cpndivgradtnpnRgradngradnDdivnn),()(tppnRgradpgradpDdivpp),()(02002Cqx半導(dǎo)體器件模擬方程（方程（6 6）至（）至（8 8）以及電流關(guān)系式也已倍乘定標(biāo)）以及電流關(guān)系式也已倍乘定標(biāo)因子的組合

53、，即：因子的組合，即：n對于（對于（6 6）乘了）乘了n對于（對于（7 7）和）和(8)(8)乘了乘了n對于電流表達(dá)式乘了對于電流表達(dá)式乘了0Cq 002CDx000CDqx半導(dǎo)體器件模擬n（三）基本方程的定義域及邊界條件（三）基本方程的定義域及邊界條件q半導(dǎo)體基本方程適用于表征器件幾何圖形的半導(dǎo)體基本方程適用于表征器件幾何圖形的一個受限制的定義域一個受限制的定義域DDR Rn n(n=1,2,3)(n=1,2,3)內(nèi)。原內(nèi)。原則上，所有半導(dǎo)體器件均為三維結(jié)構(gòu)。然而則上，所有半導(dǎo)體器件均為三維結(jié)構(gòu)。然而在許多情況下，被考慮的器件本質(zhì)坐標(biāo)是二在許多情況下，被考慮的器件本質(zhì)坐標(biāo)是二維甚至是一維的，

54、于是可以假設(shè)參數(shù)的偏導(dǎo)維甚至是一維的，于是可以假設(shè)參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)以及基本方程中垂直于平面數(shù)以及基本方程中垂直于平面( (線線) )的因變量的因變量之偏導(dǎo)數(shù)為零。由此，問題就變?yōu)橐恢珜?dǎo)數(shù)為零。由此，問題就變?yōu)橐? (二二) )維維空間的，從而大大地簡化了數(shù)值解?？臻g的，從而大大地簡化了數(shù)值解。半導(dǎo)體器件模擬n對于二維或三維問題，對于二維或三維問題，D D的邊界的邊界D D是分段光是分段光滑的滑的; ;對于一維問題，常以兩點來表示。原對于一維問題，常以兩點來表示。原則上，邊界可以分離為兩部分：則上，邊界可以分離為兩部分： D DP P表示對應(yīng)于真實的表示對應(yīng)于真實的“物理物理”邊界的部分，邊界的部

55、分，就象就象接觸以及與絕緣材料的界面。接觸以及與絕緣材料的界面。 D DA A由由必須引入的人為邊界組成，例如在集成電路必須引入的人為邊界組成，例如在集成電路中為分離相鄰器件而引入的邊界。因此，第中為分離相鄰器件而引入的邊界。因此，第二類邊界并不對應(yīng)于物理意義的邊界。二類邊界并不對應(yīng)于物理意義的邊界。n半導(dǎo)體器件模擬q為了描述這種分類可參考圖為了描述這種分類可參考圖5.1-15.1-1，該圖表示了平面，該圖表示了平面MOSMOS晶體管理想化二維模擬幾何圖形?？偟哪M定義域晶體管理想化二維模擬幾何圖形?？偟哪M定義域以多邊形以多邊形A-B-C-D-E-F-G-H-AA-B-C-D-E-F-G-H

56、-A為界。要注意的是，基本為界。要注意的是，基本方程方程(6)(6)(8)(8)僅僅在子域人僅僅在子域人A-B-C-D-E-F-G-H-AA-B-C-D-E-F-G-H-A上形成。上形成。對于絕緣層對于絕緣層( (由由B-C-D-E-BB-C-D-E-B為界的為界的 子域子域) )，通常用靜電勢的，通常用靜電勢的LaplaceLaplace 方程表示特性，此處忽略了任何方程表示特性，此處忽略了任何 可動載流子的存在?？蓜虞d流子的存在。 應(yīng)該明白，用應(yīng)該明白，用(5.1-2)(5.1-2)及及(5.1-3)(5.1-3) 式不能計算柵極電流，而且還忽式不能計算柵極電流，而且還忽 略了氧化層電容的

57、影響。物理的略了氧化層電容的影響。物理的 考慮已超出我們討論的范圍?？紤]已超出我們討論的范圍。半導(dǎo)體器件模擬q邊界邊界A-B,E-F,C-DA-B,E-F,C-D以及以及B-EB-E可以分別看作表示三個理可以分別看作表示三個理想想 接觸以及半導(dǎo)體與絕緣層之間界面的物理邊界。這接觸以及半導(dǎo)體與絕緣層之間界面的物理邊界。這些邊界形成些邊界形成D DP P。qA-HA-H，B-CB-C，D-ED-E，F(xiàn)-GF-G以及以及G-HG-H可以認(rèn)為是人為邊界?？梢哉J(rèn)為是人為邊界。這些邊界在實際器件中并不存在，只是為了模擬而這些邊界在實際器件中并不存在，只是為了模擬而引入。顯然，這些邊界的引入并非完全是任意的

58、。引入。顯然，這些邊界的引入并非完全是任意的。q人為邊界引入法則：人為邊界引入法則：1 1）根據(jù)根據(jù)器件功能的信息，定器件功能的信息，定義某些自然邊界，這些邊界可將結(jié)構(gòu)完整的器件從義某些自然邊界，這些邊界可將結(jié)構(gòu)完整的器件從其周圍分離出來。其周圍分離出來。2 2）人為邊界的引入有時也是為）人為邊界的引入有時也是為了簡化基本方程的數(shù)值解。了簡化基本方程的數(shù)值解。 半導(dǎo)體器件模擬 邊界邊界G-HG-H就代表了這種邊界段。當(dāng)考慮班就代表了這種邊界段。當(dāng)考慮班MOSMOS晶體管晶體管的實際尺寸時，我們知道界面的實際尺寸時，我們知道界面B-EB-E的長度為的長度為l lm m的量的量級，而晶片的厚度，即

59、界面與基體之間的距離約為級，而晶片的厚度，即界面與基體之間的距離約為500500m m。于是，實際的幾何圖形是一個長的小條形，。于是，實際的幾何圖形是一個長的小條形，對于基本方程的許多經(jīng)典數(shù)值解方法；這會帶來災(zāi)對于基本方程的許多經(jīng)典數(shù)值解方法；這會帶來災(zāi)難性的影響。根據(jù)對于班難性的影響。根據(jù)對于班MOSMOS晶體管工作的理解，晶體管工作的理解，我們可以推論，從距離界面我們可以推論，從距離界面G-HG-H較遠(yuǎn)處切割后的模較遠(yuǎn)處切割后的模擬幾何圖形，在擬幾何圖形，在M0SM0S晶體管的大多數(shù)工作條件下僅晶體管的大多數(shù)工作條件下僅引入很小的誤差，特別是引入很小的誤差，特別是G-HG-H與基體接觸之間

60、的電與基體接觸之間的電壓降以及沿壓降以及沿G-HG-H的勢能分布確使人為邊界的勢能分布確使人為邊界G-HG-H是一個是一個可接受的簡化?？山邮艿暮喕?。半導(dǎo)體器件模擬D DO O由物理意義形成的邊界可以大致分為三類：由物理意義形成的邊界可以大致分為三類：D DO O表示對應(yīng)于歐姆接觸的邊界部分；表示對應(yīng)于歐姆接觸的邊界部分； D DS S是表征是表征SckottySckotty接觸的邊界部分；而接觸的邊界部分；而D DI I是與絕緣材料是與絕緣材料的界面。的界面。半導(dǎo)體器件模擬q歐姆接觸對于靜電勢的邊界條件歐姆接觸對于靜電勢的邊界條件: :通常有一個通常有一個靜電勢與總電流密度之間的函數(shù)關(guān)系。此