特征函數(shù)性質(zhì)及其在數(shù)學中的應用學士學位論文

1、摘要 在求兩個或多個隨機變量和的分布時，需要用到卷積公式，如果要求相互獨立的隨機變量和的分布時，就要算次卷積，這是一件比較麻煩的事情，經(jīng)過不斷地探索和研究，終于發(fā)現(xiàn)特征函數(shù)這個工具，它在解決獨立隨機變量和的分布時，顯得銳利有力。本文系統(tǒng)總結(jié)了隨機變量特征函數(shù)的性質(zhì)，研究了各種常見分布的特征函數(shù)，并給出了利用特征函數(shù)計算數(shù)字特征的方法，并進行了實例計算。另外根據(jù)特征函數(shù)的反演公式與唯一性定理，討論了特征函數(shù)在證明辛欽定律及強大數(shù)定律中的應用，同時利用特征函數(shù)的性質(zhì)推出兩種常見的重要分布。另外，本文利用特征函數(shù)還解決了一些非概率問題，如在實變函數(shù)中的應用和在數(shù)學分析中的應用等，即特征函數(shù)是很常見的

2、，且是很好用的工具，能夠幫助我們在解決復雜問題中找到捷徑。關(guān)鍵詞：隨機變量；分布函數(shù)；概率密度函數(shù)；特征函數(shù)；再生性AbstractWhen solve the problem of the distribution of two or more variables, we need use the convolution formula. If we need to solve the problem of the sum of the mutually independent random variables, we need work out the convolution, and t

3、hat will be vary inconvenient. Through continuous exploration and research, finally we find the Eigen function. It is special sharp and strong when solves the problem of the sum of mutually independent random variables. This paper summarizes the property of the characteristic function systematically

4、, studies the characteristic function of a variety of common distribution，and giving the calculation of numerical characteristic with the characteristic functionOtherwise， with the inversion formula and the uniqueness theorem of the characteristic function，I discussed the application in Khintchines

5、law and strong law of large numbers，at the same time，with the characteristic function，I give two important probability distributions. This paper also solves some problems on non probability, such as in the application of real variables function and the application of mathematical analysis. So the Ei

6、gen function is vary common and useful because it help us find the easy way when solve the hard problem. Key words: random variable；distribution function；probability density function；characteristic function；reproducing property 目錄一、 緒論-1 1.1 研究背景-1 1.2特征函數(shù)的重要性來源-1二、 預備知識-1 2.1特征函數(shù)定義-2 2.2 特征函數(shù)的性質(zhì)-2

7、2.3特征函數(shù)的相關(guān)定理-4 2.4反演公式與唯一性定理-4三、 特征函數(shù)的應用-5 3.1幾種常見隨機變量的特征函數(shù)-5 3.2特征函數(shù)在某些大數(shù)定律中應用-6 3.2.1特征函數(shù)在證明辛欽大數(shù)定律中的應用- 63.2.2特征函數(shù)在強大數(shù)定理中的應用-7 3.3特征函數(shù)在恒等式證明中的應用-8 3.4利用特征函數(shù)求隨機變量的期望和方差-9 3.5特征函數(shù)在數(shù)學分析中的應用-10 3.6.1在求定積分中的應用-10 3.6.2在級數(shù)求和中的應用-10 3.6特征函數(shù)在實變函數(shù)中的應用-12 3.7.1聯(lián)系集合的極限運算與函數(shù)極限運算-12 3.7.2特征函數(shù)與可測函數(shù)的聯(lián)系-12 3.7 特征

8、函數(shù)的逆轉(zhuǎn)公式的應用-12 3.8 特征函數(shù)在證明隨機變量序列的極限的分布上的應用-14 3.8.1證明幾何分布在一定條件下收斂于指數(shù)分布-14 3.8.2證明伽瑪分布在一定條件下收斂于正態(tài)分布- 15四、 隨機變量的再生性-15 4.1 再生性概念及例子研究-15 4.2再生性的推廣-16結(jié)論-18參考文獻-19ContentChapter 1 introduction -1 1.1 background of the research-1 1.2imprtant reasons of the Eigen function -1Chapter 2 Preliminaries-1 2.1 De

9、finition of the Eigen function-2 2.2 Properties of the Eigen function-2 2.3 Correlation theorems of the Eigen function-4 2.4 Inversion formula and uniqueness theorem-4Chapter 3 Application of the Eigen function-5 3.1 Several common characteristic function of randomvariable-5 3.2 Application of chara

10、cteristic function in law of large numbers 3.2.1 Characteristic function in proving the application of the law of large numbers of Khintchine-6 3.2.2 Application of characteristic function in the strong law of large numbers-7 3.4 Application of characteristic function in proving the identities-8 3.5

11、 Using the characteristic function to work out the variables expectation and variance-9 3.6 The application of the characteristic function in the mathematical analysis-10 3.6.1 Application in solving the definite integral-10 3.6.2 Application in solving the series summation-10 3.7 characteristic fun

12、ction in the application of the real variable function-12 3.7.1 Link set limit operations and function limit operations -12 3.7.2 Contact of measurable function characteristic function-12 3.8 Application of reversing the formula of characteristic function-12 3.9 Application in distribution that rand

13、om variable sequence limit-14 3.9.1 The proving of geometric distribution converge to exponential distribution under certain conditions-14 3.9.2 The proving of gamma distribution converge to normal distribution-15Chapter 4 Reproducibility of z random variable-15 4.1 Regeneration concept and case stu

14、dies-15 4.2 Promotion of the regeneration-16Summary-18References-19一、 緒論1.1 研究背景概率論是一門研究事情發(fā)生的可能性的學問，是研究和探索客觀世界中隨機現(xiàn)象的科學，其理論和方法在金融、經(jīng)濟和企業(yè)管理、保險、醫(yī)學、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、軍事、災害預報甚至社會科學領(lǐng)域中有著廣泛的應用。許多邊緣學科，如信息論、決策理論、生物統(tǒng)計、金融數(shù)學以及精算理論等都是運用了概率論的理論和方法。如今科學迅猛的在發(fā)展，概率論的指導在尋求隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性，檢驗、分析和預測隨機現(xiàn)象、發(fā)展和變化等中的地位越來越重要。 由我們所學習的概率論課程可知，概率論

15、中的描述隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律的隨機變量的分布函數(shù)是相對比較全面的，同時以分布函數(shù)為基礎，隨機變量的數(shù)字特征，運算性質(zhì)等問題得到細致的討論。但是，我們也會不約而同地發(fā)現(xiàn)有些工具，比如分布函數(shù)或者分布密度等，在部分問題上不能方便地使用。例如，在論述隨機變量和的分布問題上，用分布函數(shù)是求卷積，而用特征函數(shù)就會被化成是簡單的乘法計算；矩的計算問題上，用分布函數(shù)是計算積分，然而用特征函數(shù)是求微分；在極限定理的研究問題中，特征函數(shù)的重要作用顯得尤為重要。特征函數(shù)不僅能夠完全確定分布函數(shù)，同時，特征函數(shù)在對待獨立隨機變量和的分布和計算數(shù)字特征等地方都比分布函數(shù)方便許多，所以更有必要深入細致地研究清楚特征函數(shù)的

16、性質(zhì)和作用。1.2特征函數(shù)的重要性來源首先，特征函數(shù)跟分布函數(shù)是一一對應關(guān)系，通過特征函數(shù)的某些性質(zhì)，可以推知分布函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，去除隨機變量的特征函數(shù)，分布函數(shù)便容易得到。其次，獨立隨機變量及相關(guān)問題是概率論中的重點問題，用特征函數(shù)來研究這些問題比用分布函數(shù)簡單和方便的多。最后，特征函數(shù)是有界連續(xù)的函數(shù)類別，在分析方面還是比分布函數(shù)好的。 二、 預備知識2.1 特征函數(shù)定義設在概率空間上我們定義了隨機變量，是它的分布函數(shù)，的特征函數(shù)是的數(shù)學期望，其中，記作，即 總是存在的，因為對于任意，是單調(diào)有界的，所以說，任意的隨機變量，它的特征函數(shù)總是存在的，而且，特征函數(shù)是實變量復值函數(shù)，同時， 故

17、如果是離散隨機變量，概率分布為故， 如果是連續(xù)性隨機變量，概率密度函數(shù)是，故， 跟隨機變量的數(shù)學期望、方差和各階矩一樣，特征函數(shù)只依賴于隨機變量的分布，分布相同那么特征函數(shù)也相同，所以我們常稱為某分布的特征函數(shù).2.2特征函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1： 在上是一致連續(xù)的，同時有， 和 成立（是的共軛.） 性質(zhì)2： 設的特征函數(shù)是，那么的特征函數(shù)為，即 性質(zhì)3： 任意，任意個實數(shù)，以及各復數(shù)，有 性質(zhì)4： 設和的特征函數(shù)分別為，又和相互獨立，那么的特征函數(shù)為 因為此性質(zhì)，特征函數(shù)才能在概率論中魅力十足，由此可以用各自的特征函數(shù)相乘可求得獨立隨機變量和的特征函數(shù).相比獨立和的分布函數(shù)計算復雜性，使得特征函數(shù)更

18、加處于優(yōu)勢地位.性質(zhì)5：分布函數(shù)的特征函數(shù)是實的偶函數(shù)的充要條件是分布函數(shù)對稱（即）.性質(zhì)6：設這個隨機變量有階矩存在，那么，它的特征函數(shù)可以微分次，并且，故有推論：如果隨機變量有階矩存在，那么它的特征函數(shù)可以作出下面的展開： .該性質(zhì)的逆命題：特征函數(shù)在0點可微分次，即但是階矩未必存在，其中隨機變量有階矩存在.2.3特征函數(shù)的相關(guān)定理定理1：若是特征函數(shù)，那么（1）；（2）；（3）（是正整數(shù)）；（4）也是特征函數(shù).定理2：特征函數(shù)的凸組合仍然是特征函數(shù).（補充定義：凸組合：假設，是一列特征函數(shù)，是離散分布列，所以有，那么稱是特征函數(shù)的凸組合.）定理3： 如果函數(shù)和.都是同一個特征函數(shù)，充要條

19、件是.定理4：假設特征函數(shù)的模是可積的，即 那么特征函數(shù)所對應的分布函數(shù)屬于連續(xù)型的，同時它的密度是 （2.3.4）定理5：相互獨立的隨機變量之和的特征函數(shù)等于它們的特征函數(shù)之積。2.4 反演公式與唯一性定理（反演公式）：假設隨機變量的分布函數(shù)是，特征函數(shù)是，那么當選取分布函數(shù)中的兩個任意的連續(xù)點，記作，并且有，則 . （2.4.1）當時，按照連續(xù)性延拓性定義有 （唯一性定理）隨機變量的分布函數(shù)由它的特征函數(shù)唯一確定.證明：假定表示分布函數(shù)的連續(xù)點集，的特征函數(shù)是，那么如果，反演公式（2.4.1）成為 上面的公式中令在中趨于，于是在每個上被唯一確定：任意 定理證明完畢.到此處，我們通過給出的特

20、征函數(shù)的定義與反演公式（逆傅里葉變換函數(shù)）建立了隨機變量的分布函數(shù)和特征函數(shù)的一一對應關(guān)系，使得特征函數(shù)成為概率分布分析的又一重要工具. 三、 特征函數(shù)的應用3.1 幾種常見隨機變量的特征函數(shù)分布分布列或分布密度特征函數(shù)單點分布分布二項分布泊松分布均勻分布正態(tài)分布指數(shù)分布伽瑪分布卡方分布3.2 特征函數(shù)在證明大數(shù)定律中的應用3.21 利用特征函數(shù)證明辛欽大數(shù)定律定理3.2.1 設獨立同分布的隨機變量序列，同時那么就有.證明：是獨立同分布的，故它們具有相同的特征函數(shù)，記作，由于存在，所以有.又因為是獨立的，同時由特征函數(shù)的性質(zhì)知道的特征函數(shù)是 是任意給定的， 因為是退化分布的特征函數(shù)，分布函數(shù)是

21、，由連續(xù)性定理可得的分布函數(shù)弱收斂到，是常數(shù)，那么就會有.3.2.2特征函數(shù)在強大數(shù)定律中的應用強大數(shù)定律：設隨機變量序列，如果有常數(shù)序列，使得，稱滿足強大數(shù)定律. 定理3.3.1：設是一系列獨立同分布的隨機變量，其中，那么弱收斂于標準正態(tài)分布.證明：由于的二階導函數(shù)存在且有界，故有連續(xù)的二階導函數(shù)，將在0點泰勒展開，即 當時，所以 又當， 所以 故由特征函數(shù)的唯一性定理可以得出弱收斂到標準正態(tài)分布.3.3特征函數(shù)在恒等式證明中的應用例3.3.1：試證：證明：設二項分布： 那么會有 所以 但是 取 有 例3.3.2：證明：證明：利用傅里葉變換計算是很復雜的，據(jù)分析，恒等式左邊的被積函數(shù)類似柯西

22、分布的密度函數(shù)，右邊類似柯西分布的特征函數(shù)，所以用特征函數(shù)相關(guān)性質(zhì)進行證明.設，那么 故，只需要證明，便可以了.由于，令，即證，此式右邊是柯西分布的特征函數(shù)，左邊是柯西分布的密度函數(shù)，根據(jù)特征函數(shù)的性質(zhì)和定義知道， 故有 3.4利用特征函數(shù)求隨機變量的期望和方差例 3.4.1: 隨機變量的分布函數(shù)是 ，求隨機變量的期望和方差.解：根據(jù)隨機變量的分布函數(shù)可以求出該隨機變量的密度函數(shù)是， 所以分布的特征函數(shù)是 又由于 所以 3.5特征函數(shù)在數(shù)學分析中的應用3.5.1在求定積分中的應用 定積分的求解過程中，如果定積分的某一部分正好是某一隨機變量的密度函數(shù)或者能夠通過部分拼湊能夠使得被積函數(shù)的一部分轉(zhuǎn)

23、化成為某一隨機變量的密度函數(shù)，我們能夠假設對應的隨機變量，進一步可以把求積分的問題轉(zhuǎn)化成為求隨機變量的特征數(shù)的問題，接著我們便能夠利用特征函數(shù)求出隨機變量的對應的特征數(shù)，進而求得積分值，我們也可以根據(jù)常用分布的期望和方差直接帶進方程求解.例3.5.1.1：求積分.（利用特征函數(shù)）解：設是服從的隨機變量，是它的密度函數(shù)，那么它的特征函數(shù)是所以 故 由特征函數(shù)的性質(zhì)知道， 又 所以 即 3.5.2特征函數(shù)在級數(shù)求和中的應用在此，解決問題的邏輯思維與上面是相似的，只是在下面構(gòu)造的隨機變量只能是離散的而不能是連續(xù)的.例3.5.2.1： 求級數(shù)和級數(shù)解：設幾何分布的隨機變量，且，那么 所以，根據(jù)特征函數(shù)

24、的性質(zhì)得到， 又 所以 取,整理得到： 取，整理得到： 3.6特征函數(shù)在實變函數(shù)中的應用通過實際的例子討論了如何利用特征函數(shù)實現(xiàn)集合和函數(shù)之間，以及測度與積分之間的轉(zhuǎn)換問題.實變中的特征函數(shù)是以集合定義的函數(shù)，利用特征函數(shù)可以把集合之間的關(guān)系轉(zhuǎn)換為數(shù)量關(guān)系，它溝通了測度與積分之間的聯(lián)系，使得實變中某些測度和積分問題化難為易，在實變中起到很重要的作用.下面我們分兩個部分探討了特征函數(shù)在實變中的重要應用.3.6.1特征函數(shù)聯(lián)系集合的極限運算與函數(shù)極限運算. 如下的定理特征函數(shù)架起了集合極限運算與函數(shù)運算的橋梁.定理：設是一集合列，那么（1），（2）.定理表明通過特征函數(shù)能夠很巧妙地把集合的極限和函

25、數(shù)的極限聯(lián)系起來.3.6.2特征函數(shù)與可測函數(shù)的聯(lián)系首先，可測函數(shù)是積分的積分函數(shù)，用可測集表示，連續(xù)函數(shù)一定是可測的，反之不然?？蓽y函數(shù)式連續(xù)函數(shù)的推廣?？蓽y集上的特征函數(shù)是可測的函數(shù)。其次，特征函數(shù)能夠表示一類特殊的可測函數(shù)簡單函數(shù)，特征函數(shù)的線性組合就是簡單函數(shù)。最后，簡單函數(shù)可以表示任何的可測函數(shù)。特征函數(shù)和可測函數(shù)的關(guān)系圖： 特征函數(shù)（線性組合）簡單函數(shù)可測函數(shù)3.7特征函數(shù)的逆轉(zhuǎn)公式的應用 例：設是連續(xù)隨機變量，密度函數(shù)是（1） 證明特征函數(shù)；（2） 利用上述結(jié)果和逆轉(zhuǎn)定理證明 證明：（1）的特征函數(shù)是 故 （3） 設連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)是，那么它的逆轉(zhuǎn)公式是 那么 所以 取，

26、帶進去，得到 3.8 特征函數(shù)在證明隨機變量序列的極限的分布上的應用3.8.1 特征函數(shù)在證明幾何分布在一定條件下收斂于指數(shù)分布上的應用 例：設隨機變量服從幾何分布，參數(shù)，證明依分布收斂于，其中服從指數(shù)分布.證明：隨機變量的特征函數(shù) 的特征函數(shù)是 當時，上式收斂于.根據(jù)連續(xù)性定理，依分布收斂于，其中服從參數(shù)為的指數(shù)分布.3.8.2 用特征函數(shù)證明伽瑪分布在一定條件下收斂于正態(tài)分布 用特征函數(shù)證明其它分布收斂于正態(tài)分布是非常方便的，比如概率課本上的中心極限定理、辛欽大數(shù)定律，都是用特征函數(shù)來證明的。例：設隨機變量，試證當時，隨機變量按分布收斂于標準正態(tài)變量. 證明： 令，那么由的特征函數(shù)，兩邊取

27、對數(shù)，并將展開為級數(shù)形式，可得 所以 然而是的特征函數(shù).由特征函數(shù)唯一性定理及判斷弱收斂的方法知結(jié)論成立。 四、 特征函數(shù)的再生性通過利用隨機變量的特征函數(shù)對隨機變量的再生性問題記性了進一步討論，再生性問題實際上是兩個獨立隨機變量的卷積問題，通過特征函數(shù)可以簡化再生性問題，通過幾種常見分布再生性問題的研究，對我們掌握隨機變量的性質(zhì)、分布函數(shù)、分布函數(shù)和特征函數(shù)的相互關(guān)系意義重大。4.1 再生性概念及例子研究如果隨機變量滿足如下性質(zhì)：個獨立的具有相同分布的之和的分布類型不變，那么就稱隨機變量具有“可加性”或“再生性”。例4.1.1：證明二項分布關(guān)于有再生性。證明：設有個相互獨立的隨機變量 ，分別

28、服從， 它們的特征函數(shù)分別是：. 當時，即，由定理5知道，故 又分布函數(shù)是由特征函數(shù)唯一決定的，即兩個不同的分布函數(shù)是不可能有相同的特征函數(shù)的，因為的特征函數(shù)是，那么一定服從二項分布。當時，即，那么服從的二項分布，當時，即，有定理5知道，和是相互獨立的，由得結(jié)果知道， 由性定理得到，一定服從二項分布由再生性定義知道，二項分布關(guān)于參數(shù)有再生性4.2 再生性的推廣定理4.2.1 ：是個相互獨立的隨機變量，都服從同一分布 ，如果它們的特征函數(shù)形式是： 是的線性函數(shù)，是的線性函數(shù)，如果，且的分布函數(shù)是，那么這個分布同時關(guān)于這三個參數(shù)具有再生性。證明：個分布的特征函數(shù)分別為： 故 因為和都是線性的，故 所以 由定理的唯一性定理知道，服從分布，由再生性的定義知道，分布關(guān)于參數(shù)同時具有再生性。 結(jié)論特征函數(shù)雖然不如分布函數(shù)直觀，但是它的的分析性質(zhì)是很棒的，在處理獨立隨機變量的問題上起到很重要的作用，而且可以完全決定分布函數(shù)，與分布