5.5 數(shù)值微分

1、120001)2)12(2)1(21)(kjkkabjafabkTkTnkknknxfCabI0)()()()()(2)0(0bfafabTbadxxfA)(, 3 ,2 , 1k第五章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 5.5 數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分 在實(shí)際問題中，往往會遇到某函數(shù)在實(shí)際問題中，往往會遇到某函數(shù)f f( (x x) ) 是用表格是用表格表示的表示的, ,用通常的導(dǎo)數(shù)定義無法求導(dǎo)用通常的導(dǎo)數(shù)定義無法求導(dǎo), ,因此要尋求其他因此要尋求其他方法近似求導(dǎo)。常用的數(shù)值微分方法有方法近似求導(dǎo)。常用的數(shù)值微分方法有: :一一. . 運(yùn)用差商求數(shù)值微分運(yùn)用差商求數(shù)值微分運(yùn)用插值函數(shù)求數(shù)值微分運(yùn)用插值函數(shù)求數(shù)值微

2、分三三. . 運(yùn)用樣條插值函數(shù)求數(shù)值微分運(yùn)用樣條插值函數(shù)求數(shù)值微分四四. . 運(yùn)用數(shù)值積分求數(shù)值微分運(yùn)用數(shù)值積分求數(shù)值微分 5.5 數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分一一. . 運(yùn)用差商求數(shù)值微分運(yùn)用差商求數(shù)值微分最簡單直接的數(shù)值微分方法就是用差商代替微商最簡單直接的數(shù)值微分方法就是用差商代替微商. .可可用用差差商商來來逼逼近近導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)充充分分小小時時當(dāng)當(dāng),h處在點(diǎn)根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義x,hhxfhxfhhxfxfhxfhxfxfhhh2)()(lim)()(lim)()(lim)( 000000()()()f xhf xfxh由Taylor展開hxxfhxhfxfhxf002000),( ! 2)( )()(因此，

3、有誤差)()( ! 2)()()( )(000hOfhhxfhxfxfxR向前差商hhxfxfxf)()()( 000由Taylor展開hxxfhxhfxfhxf002000),( ! 2)( )()(因此，有誤差)()( ! 2)()()( )(000hOfhhhxfxfxfxR向后差商hhxfhxfxf2)()()( 000由Taylor展開23000010102300002020()()()()( ),2!3!()()()()(),2!3!hhf xhf xhfxfxfxxhhhf xhf xhfxfxfxhx因此，有誤差)()( 6)( )( 12 2)()()( )(22212000

4、hOfhffhhhxfhxfxfxR中心差商由誤差表達(dá)式，h越小，誤差越小，但同時舍入誤差增大，所以，有個最佳步長我們可以用事后誤差估計的方法來確定設(shè)D(h),D(h/2)分別為步長為h,h/2的差商公式。則)2()(hDhD時的步長h/2就是合適的步長( )( )( )( )( /2)( /2)fxD hO hfxD hO h( )( )( )2( )( /2)( /2)fxD hO hfxD hO h( )( )2( )2 ( /2)fxD hfxD h( )( /2)( )( /2)fxD hD hD hf(x)=exp(x)hf(1.15)R(x)hf(1.15)R(x)0.103.1

5、630-0.00480.05 3.1590 -0.00080.093.1622-0.00400.04 3.1588 -0.00060.083.1613-0.00310.03 3.1583 -0.00010.073.1607-0.00250.02 3.1575 -0.00070.063.1600-0.00180.01 3.1550 -0.0032例：二、插值型求導(dǎo)公式在節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值但知道不一定給出設(shè)函數(shù))(,)(xfxfbxxxan10nkfxfkk, 1 ,0,)(插值有則由階導(dǎo)數(shù)存在的如果Lagrangenxf,1)()()!1()()()(1)1(xnfxLxfnnn有關(guān)并與xba,nj

6、jnxxx01)()(插值多項(xiàng)式次的為LagrangenxfxLn)()(-(1)對(1)式兩邊求導(dǎo),有)()!1()()()!1( )()()(1)1(1)1(xnfxnfxLxfnnnnn將很難確定有關(guān)與由于 )( ,)1(nfx可以求出時但是當(dāng))(,kkxfxx)()!1()()()!1( )()()(1)1(1)1(knnknnknkxnfxnfxLxf)()!1()()(1)1(knnknxnfxLnkjjjknknxxnfxL0)1()()!1()()(-(2)nk, 1 , 0nkjjjknknxxnfxE0)1()()!1()()(-(2)-(3)(2)式稱為插值型求導(dǎo)公式,(

7、3)式為相應(yīng)產(chǎn)生的誤差由于公式(2)采取的是n次Lagrange插值多項(xiàng)式,而高次插值會產(chǎn)生Runge現(xiàn)象,因此實(shí)際應(yīng)用中多采用低次插值型求導(dǎo)公式nk, 1 , 0)()()(knknkxExLxf低階插值型求導(dǎo)公式時1n)()()(11kkkxExLxf1.兩點(diǎn)公式1 , 0k)(1xL)(1xL)(2)()()2(1jkkxxfxEkjk, 1 ,0則若令,01xxh1010 xxxxf0101xxxxf01110011xxfxxf)()()(01010 xExLxf)(101ffh)(2)2(fh)()()(11111xExLxf)(101ffh)(2)2(fh-(4)-(5)(1)()

8、(0110ffhxfxf(4)(5)式稱為帶余項(xiàng)的兩點(diǎn)求導(dǎo)公式即精度1階)(hoE 由于2.三點(diǎn)公式時2n)()()(22kkkxExLxf2 , 1 ,0k)()()()()()()(1202102210120120102102xxxxxxxxfxxxxxxxxfxxxxxxxxfxL)()()()()()()()()()(1202102210120120102102xxxxxxxxfxxxxxxxxfxxxxxxxxfxL20)3(2)(! 3)()(kjjjkkxxfxE，則為等距節(jié)點(diǎn)，即若1201210,xxxxhxxx222120022223)(hhfhhfhhfxL)(! 3)()

9、(2010)3(02xxxxfxE)43(21210fffh2221201222)(hhfhhhfhhfxL)(2120ffh222120222322)(hhfhhfhhfxL)34(21210fffh)(3)3(2fh)(! 3)()(2101)3(12xxxxfxE)(6)3(2fh)(! 3)()(1202)3(22xxxxfxE)(3)3(2fh)43(21210fffh)(2120ffh)34(21210fffh)(3)3(2fh)(6)3(2fh)(3)3(2fh)(0 xf )(1xf )(2xf -(6)-(7)-(8)(6)(7)(8)式稱為帶余項(xiàng)的三點(diǎn)求導(dǎo)公式其中(7)式又

10、稱為中點(diǎn)公式,其精度稍高在分段求導(dǎo)公式中有著重要的地位精度2階)(2hoE 由于)(21)(201ffhxf*3.五點(diǎn)公式)(5)316364825(121)()5(4432100fhfffffhxf時4n)()()(44kkkxExLxf4 , 3 ,2 , 1 , 0k)(20)618103(121)()5(4432101fhfffffhxf)(30)88(121)()5(443102fhffffhxf)(20)310186(121)()5(4432103fhfffffhxf)(5)254836163(121)()5(4432104fhfffffhxf-(9)組(9)稱為帶余項(xiàng)的五點(diǎn)求導(dǎo)公

11、式精度4階綜合考慮上述三種公式,可知五點(diǎn)公式的精度最高并且當(dāng)步長h越小時,誤差會越小但是不是h越小公式越好呢?)(4hoE 由于三、樣條求導(dǎo)公式Lagrange插值型求導(dǎo)公式構(gòu)造比較簡單但由于誤差的原因，只能求出節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)作為節(jié)點(diǎn)必須將處的導(dǎo)數(shù)在某一點(diǎn)即若求函數(shù)uuxf,)(其缺點(diǎn)顯而易見有根據(jù)三次樣條插值若,)(4baCxf)(|)()(|max4)()(kkkbxahoxSxf2 , 1 ,0k-(13)()()()(xSxfkk2 , 1 ,0k也有其實(shí)不必,)(4baCxf)()(xSxf的三次樣條插值多項(xiàng)式即先作)(),(,)(xSxSxS 二階導(dǎo)數(shù)在任意一點(diǎn)的一階甚至再求)(),

12、()(xfxfxf 數(shù)值導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)點(diǎn)的一階或二階作為1, 1 ,0),()(,1nkxSxfxxkkk的三次樣條函數(shù)作在區(qū)間kkkkkkyxxhxxhxS213)()(2)(1231)()(2kkkkkyxxhxxhkkkkmxxhxx212)()(1221)()(kkkkmxxhxxHermite插值從而)()(xSxf)()(xSxf -(18)-(19)樣條求導(dǎo)公式的優(yōu)點(diǎn):可以求非節(jié)點(diǎn)處的12階導(dǎo)數(shù)精度較高樣條求導(dǎo)公式的缺點(diǎn):要求預(yù)知邊界條件要解三對角方程組比較復(fù)雜樣條求導(dǎo)公式的簡化介紹兩種常用的簡化方法:方程組的求解，避免解三對角簡化), 1 ,0()1(njmj), 1 ,0(njm

13、j以替代首先用三點(diǎn)或五點(diǎn)公式求出節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)這種方法不但避免解三對角方程組也不必預(yù)知邊界條件(2) 采用先求節(jié)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù),然后作三次樣條插值直接代入(16)(17)式), 1 ,0)(njxfj求出節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即先用三點(diǎn)或五點(diǎn)公式作三次樣條插值與然后再利用), 1 ,0()(njxxfjj)(xf 值以便求出任一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)其缺點(diǎn)是不好求二階導(dǎo)數(shù)四四. . 運(yùn)用數(shù)值積分求數(shù)值微分運(yùn)用數(shù)值積分求數(shù)值微分( )( )( )( )( )( )( )( )xxyf xF xF xfxf xxRf xf xF t dt 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)是是，即即，則則可可將將函函數(shù)數(shù)用用定定積積分分的的形形式式表

14、表示示出出來來，對對111111,()()( )(1,2,1)kkkkxkkxxxxxf xf xF t dtkn 取取，得得到到11113( )( )2()()kkkkxxxkxF t dtF t dthF xO h 若若對對積積分分用用中中矩矩形形公公式式計計算算，即即得到得到311211()()2()()()()()()()2kkkkkkkf xf xhF xO hf xf xF xfxO hh 11,kkxx 這這就就是是在在上上用用中中心心差差商商構(gòu)構(gòu)造造的的數(shù)數(shù)值值微微分分公公式式。11011(0,1, )( )(4)(1,2,1)3kkkxkkkxxxkh knhF t dtFFFkn 設(shè)設(shè)已已知知等等距距節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)上上的的數(shù)數(shù)值值積積公公為為例例分分式式( )( )( )(0,1, ),( )()(0,1, )( )( )xkxkf xf xF t dtxknyf xfxknF xfx 試試用用構(gòu)構(gòu)造造在在節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)上上 求求函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的數(shù)數(shù)值值微微分分公公式式解解：將數(shù)值積分公式代入將數(shù)值積分公式代入( )( )( )xxf xf xF t dt 11k-