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文檔簡介
1、2014 屆揚州中學高三數(shù)學期末模擬試題屆揚州中學高三數(shù)學期末模擬試題 2014.1.11 一、填空題(本大題共 14 小題,每小題 5 分,共計 70 分) 1. 已知集合 a1,1,2,3,b1,0,2,則 ab_ _. 2. “”是“”的 條件(填“充分不必要” 、 “必要不充分” 、1x 2 1x “充要” 、 “既不充分也不必要” ) 3. 設復數(shù) z 滿足 i(z1)32i(i 為虛數(shù)單位),則 z 的實部是_ _ 4. 一組樣本數(shù)據(jù) 8,12,10,11 ,9 的方差為 5. 若一個長方體的長、寬、高分別為、1,則它的外接球的表面積是 32 . 6. 如圖是一次青年歌手大獎賽上七
2、位評委為甲、乙兩名選手打出的分數(shù)的莖葉 圖(其中 m 為數(shù)字 09 中的一個),去掉一個最高分和一個最低分后,甲、乙 兩名選手得分的平均數(shù)分別為,則的大小關系是_ yx,yx, _(填 )yxyxyx, 7. 在區(qū)間,內隨機取兩個數(shù)分別記為 a,b,則使得函數(shù) 有零點的概率為 ; 22 ( )2f xxaxb 8. 公差不為零的等差數(shù)列的第二、三及第六項構成等比數(shù)列,則 n a = 642 531 aaa aaa 9若)2 3 2 cos(, 3 1 ) 6 sin( 則的值為 10. 在平面直角坐標系中,雙曲線的左頂點為xoy 22 22 :1(0,0) xy eab ab ,過雙曲線的右焦
3、點作與實軸垂直的直線交雙曲線于,兩點, aefebc 若為直角三角形,則雙曲線的離心率為 abce 11. 在平面區(qū)域上恒有,則動點所形( , ) | 1,| 1x yxy22axby( , )p a b 成平面區(qū)域的面積為 . 12.已知關于的不等式(恰好有一解,x12 2 baxx)0,arbra 則 的最小值為 2 1 a b 13.設函數(shù)在 r 上存在導數(shù),對任意的有,)(xf)(x f rx 2 )()(xxfxf 且在 上,若則實數(shù)的取值, 0.)(xxf,22)()2(aafafa 范圍為 ; 14. 已知為的三個內角, 向量,cba,abc) 2 sin3, 2 (cos ba
4、ba .如果當最大時,存在動點, 使得成等差2|cm| |,| |,|mbabma 數(shù)列, 則最大值是 ; | | ab mc 二、解答題(本大題共 6 道題,共計 90 分) 15.(本小題滿分 14 分) 已知函數(shù))cos(sincos) 2 sin()(xxxxxf 。 ()求函數(shù))(xf的單調遞增區(qū)間; ()在中,若為銳角,且)(af=1, 3 ,求邊的abca2bcbac 長。 16. (本小題滿分 14 分) 如圖,在四棱錐 pabcd 中,底面 abcd 為直角梯形,adbc,pb平面 abcd,cdbd, pbabad1,點 e 在線段 pa 上,且滿足 pe2ea (1)求三
5、棱錐 ebad 的體積; (2)求證:pc平面 bde p a b c d (第 16 題) e 17.(本小題滿分 14 分) 某汽車生產企業(yè)上年度生產一品牌汽車的投入成本為 10 萬元/輛,出廠價為 13 萬 元/輛,年銷售量為 5000 輛.本年度為適應市場需求,計劃提高產品檔次,適當增 加投入成本,若每輛車投入成本增加的比例為x(0 x1),則出廠價相應提高 的比例為 0.7x,年銷售量也相應增加.已知年利潤=(每輛車的出廠價每輛車的 投入成本)年銷售量. (1)若年銷售量增加的比例為 0.4x,為使本年度的年利潤比上年度有所增加, 則投入成本增加的比例x應在什么范圍內? (2)年銷售
6、量關于x的函數(shù)為) 3 5 2(3240 2 xxy,則當x為何值時,本年 度的年利潤最大?最大利潤為多少? 18.(本小題滿分 16 分) 已知橢圓 c 的中心在原點,焦點在x軸上,離心率為 2 1 ,短軸長為 43。 ()求橢圓 c 的標準方程; ()), 2(np,), 2(nq是橢圓 c 上兩個定點,a、b 是橢圓 c 上位于直線 pq 兩側的動點。 若直線 ab 的斜率為 2 1 ,求四邊形 apbq 面積的最大值; 當 a、b 兩點在橢圓上運動,且滿足apq=bpq 時,直線 ab 的斜率是 否為定值,說明理由。 b a p q o x y 18 題 19. (本小題滿分 16 分
7、) 已知函數(shù)( ), ( )ln xx f xeax g xex(e是自然對數(shù)的底數(shù)). (1)當時,曲線在1x 處取得極值,求實數(shù)a的值;0a)(xfy (2)若對于任意,( )0 xf xr恒成立,試確定實數(shù)a的取值范圍; (3)當1a 時,是否存在 0 (0,)x ,使曲線:( )( )cyg xf x在點 0 xx處的切線斜率與( )f x 在r上的最小值相等?若存在,求符合條件 的 0 x的個數(shù);若不存在,請說明理由. 20.(本小題滿分 16 分) 已知正項數(shù)列的前項和為,且 . n an n s (2) 4 nn n a a s * ()nn (1)求的值及數(shù)列的通項公式; 1
8、a n a (2)求證:; 3333 123 11115 32 n aaaa * ()nn (3)是否存在非零整數(shù),使不等式 1 12 1111 (1)(1)(1)cos 21 n n n a aaaa 對一切都成立?若存在,求出的值;若不存在,說明理由. * nn 命題:高三數(shù)學組命題:高三數(shù)學組 理科理科(附加題)(附加題) (總分(總分 40 分,加試時間分,加試時間 30 分鐘)分鐘) 1.(本小題滿分 10 分)已知矩陣,其中,若點 p(1,1)在矩 1 11 a ara 陣 a 的變換下得到點 p(0,-3), (1)求實數(shù)的值; (2)求矩陣 a 的特征值及特征向量a 2 (本小
9、題滿分 10 分) 已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點,極軸與 x 軸的正半軸重合曲線 c 的極坐標方程為,直線 l 的參數(shù)方程為 2222 cos3sin3 (t 為參數(shù),tr)試在曲線 c 上求一點 m,使它到直線 l 的距離 3 , 1 xt yt 最大 3.(本小題滿分10分) 如圖,直三棱柱 abca1b1c1中,底面是以abc 為直角的等腰三角形, ac2,bb13,d 為 a1c1的中點,e 為 b1c 的中點 (1)求直線 be 與 a1c 所成的角的余弦; (2)在線段 aa1上取一點 f,問 af 為何值時,cf平面 b1df? 4.(本小題滿分 10 分) 在一次運動會
10、上,某單位派出了有 6 名主力隊員和 5 名替補隊員組成的代表隊參 加比賽 (1)如果隨機抽派 5 名隊員上場比賽,將主力隊員參加比賽的人數(shù)記為 x,求 隨機變量 x 的數(shù)學期望; (2)若主力隊員中有 2 名隊員在練習比賽中受輕傷,不宜同時上場;替補隊員中 有 2 名隊員身材相對矮小,也不宜同時上場;那么為了場上參加比賽的 5 名隊員中至少有 3 名主力隊員,教練員有多少種組隊方案? a bc c1 b1 a1 f e d 高三數(shù)學參考答案高三數(shù)學參考答案 1.11 一、填空題 1.; 2. 充分不必要; 3. 1; 4. 2; 5. ; 6. ; 7. 2 , 16yx ; 8. ; 9.
11、 9 7 ;10. 2; 11. 4; 12. 2 13. 14. 3 45 3 1 , 2 32 4 二、解答題 15. 解:())cos(sincos) 2 sin()(xxxxxf xxxcossincos2(2 分) 2 1 ) 4 2sin( 2 2 ) 12cos2(sin 2 1 2sin 2 1 cos2 xxxxx(3 分) 令zkkxk,2 24 22 2 所以函數(shù))(xf的單調增區(qū)間為:zk k,k 8 , 8 3 (6 分) ()因為)(af=1,所以1 2 1 ) 4 2sin( 2 2 a所以 2 2 ) 4 2sin( a 因為 a 為銳角,所以 4 5 4 2
12、4 a (8 分) 所以 4 3 4 2 a,所以 4 a (9 分) 在abc 中,由正弦定理得, 3 sin 4 sin 2 sinsin ac b ac a bc 即(12 分) 解得6ac (14 分) 16、 (本題滿分(本題滿分 14 分)分) (1)過作,垂足為, eefabf 因為平面,pbabcd 所以平面平面.pababcd 又平面平面,pababcdab 平面,efpab 所以平面,efabcd 即為三棱錐的高3 分efbade 由平面得,pbabcdabpb 故./ efpb 因為且eape21pb 故5 分 3 1 ef 因為所以在直角梯形中,.bdcd abcd.9
13、0obad 因為所以 . 1 adab 2 1 bad s 從而8 分 18 1 3 1 efsv badbade (2)連結交于,連結acbdgeg 因為在直角梯形中,又因為abcd.90obad . 1 adab 所以從而,45,2 abdbd.45cbd 因為所以10 分.bdcd . 2 bc 因為 所以, 1, 2,/adbcbcad . 2 :1:gcag 又因為,所以.2eape epaegcag: 所以12 分./ pceg 因為平面平面,pcegbde.bde 所以平面14 分/pcbde 17. 解:(1)由題意得:本年度每輛車的投入成本為 10(1+x) ; 出廠價為 1
14、3(1+0.7x) ;年銷售量為 5000(1+0.4x) , 2 分 因此本年度的利潤為13(10.7 )10(1) 5000(10.4 )yxxx (30.9 ) 5000 (1 0.4 )xx 即: 2 1800150015000(01),yxxx 6 分 由 2 180015001500015000 xx, 得 5 0 6 x 8 分 (2)本年度的利潤為 )55 . 48 . 49 . 0(3240) 3 5 2(3240)9 . 03()( 232 xxxxxxxf 則),3)(59(972)5 . 46 . 97 . 2(3240)( 2 xxxxxf 10 分 由, 3 9 5
15、 , 0)( xxxf或解得 當)(, 0)() 9 5 , 0( xfxfx時,是增函數(shù);當)(, 0)() 1 , 9 5 ( xfxfx時,是減 函數(shù). 當 9 5 x時,20000) 9 5 ()(fxf取極大值萬元, 12 分 因為( )f x在(0,1)上只有一個極大值,所以它是最大值, 14 分 所以當 9 5 x時,本年度的年利潤最大,最大利潤為 20000 萬元 15 分 18. 解:()設 c 方程為)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 由已知 b=32 離心率 222 , 2 1 cba a c e 得4a 所以,橢圓 c 的方程為1 1216 22 yx (
16、)由()可求得占 p、q 的坐標為)3 , 2(p ,)3, 2( q,則6|pq, 設 a, 11 yxb( 22, y x),直線 ab 的方程為txy 2 1 ,代人1 1216 22 yx 得012 22 ttxx 由0,解得44t,由根與系數(shù)的關系得 12 2 21 21 txx txx 四邊形 apbq 的面積 2 21 34836 2 1 txxs 故,當312, 0 max st apq=bpq 時,pa、pb 的斜率之和為 0,設直線 pa 的斜率為k, 則 pb 的斜率為k, pa 的直線方程為)2(3xky與1 1216 22 yx 聯(lián)立解得 048)23(4)23(8)
17、43 222 kkxkxk(, 2 1 43 )32(8 2 k kk x 同理 pb 的直線方程)2(3xky,可得 2 2 43 )32(8 2 k kk x 所以 2 21 2 2 21 43 48 , 43 1216 k k xx k k xx 21 21 21 21 3)2(3)2( xx xkxk xx yy kab 2 1 48 24 43 48 43 16121216 4)( 2 2 33 21 21 k k k k k kkkk xx kxxk 所以直線 ab 的斜率為定值 2 1 19. 解:(1) ,由在1x 處取得極值得:aexf x )()(xfy =0,aef )
18、1 ( ,經檢驗是的極小值點;eaea)(xf (2)( ) x fxea 當0a 時,( )0, ( )fxf x在r上單調遞增,且當x 時, 0, x eax , ( )f x ,故( )0f x 不恒成立,所以0a 不合題意 ;6 分 當0a 時,( )0 x f xe對xr恒成立,所以0a 符合題意; 當0a 時令( )0 x fxea,得ln()xa, 當( ,ln()xa 時, ( )0fx , 當(ln(),)xa時,( )0fx ,故( )f x在(,ln()a上是單調遞減,在 (ln(),)a上是單調遞增, 所以 min ( )(ln()ln()0,f xfaaaaae 又0
19、a ,(,0)ae , 綜上:(,0ae . 10 分 (3)當1a 時,由(2)知 min ( )(ln()ln()1f xfaaaa , 設( )( )( )ln xx h xg xf xexex,則 / 11 ( )ln1(ln1)1 xxxx h xexeeex xx , 假設存在實數(shù) 0 (0,)x ,使曲線:( )( )cyg xf x在點 0 xx處的切線斜 率與( )f x在r上的最小值相等, 0 x即為方程的解,13 分 令( )1h x 得: 1 (ln1)0 x ex x ,因為0 x e , 所以 1 ln10 x x . 令 1 ( )ln1xx x ,則 22 11
20、1 ( ) x x xxx , 當01x是( )0 x,當1x 時( )0 x,所以 1 ( )ln1xx x 在 (0,1)上單調遞減,在(1,)上單調遞增,( )(1)0 x,故方程 1 (ln1)0 x ex x 有唯一解為 1, 所以存在符合條件的 0 x,且僅有一個 0 1x . 16 分 20. (1)由. (2) 4 nn n a a s 當時,解得或(舍去) 2 分1n 11 11 (2) 4 a a as 1 2a 1 0a 當時,2n 由, 11 1 (2)(2) 44 nnnn nnn a aaa ass 22 11 2() nnnn aaaa ,則,0 n a 1 0
21、nn aa 1 2 nn aa 是首項為 2,公差為 2 的等差數(shù)列,故 4 分 n a2 n an (2)證法一:)證法一: 3322 11111 (2 )88 (1)8(1) (1) n ann nn nnn n ,4 分 111 (2) 16 (1)(1) n nnn n 當時,2n 33333333 123 11111111 246(2 ) n aaaan 3 11111111 ()() 216 1 22 32 33 4(1)(1)nnn n . 7 分 11 111115 816 2(1)816232n n 當時,不等式左邊顯然成立. 8 分1n 3 1 115 832a 證法二:證
22、法二:,. 322 4 (1)(44)(2)0nn nn nnn n 3 4 (1)nn n .4 分 333 1111111 () (2 )832 (1)321 n annn nnn (2)n 當時,2n 33333333 123 11111111 246(2 ) n aaaan . 3 1111111111115 (1)()()(1) 232223183283232nnn 7 分 當時,不等式左邊顯然成立. 8 分1n 3 1 115 832a (3)由,得,2 n an 1 1 coscos(1)( 1) 2 n n a n 設,則不等式等價于. 12 1 111 (1)(1)(1)1
23、n n n b a aaa 1 ( 1)n n b 1 1 1 12122 1 (21)(23)1 123 11 22 n n n n n abnn bnn n a n a ,9 分 2 2 484 1 483 nn nn ,數(shù)列單調遞增. 10 分0 n b 1nn bb n b 假設存在這樣的實數(shù),使得不等式對一切都成立,則 1 ( 1)n n b * nn 當為奇數(shù)時,得; 11 分n min1 2 3 () 3 n bb 當為偶數(shù)時,得,即. 12 分n min2 8 5 () 15 n bb 8 5 15 綜上,由是非零整數(shù),知存在滿足條件 8 5 2 3 (,) 153 1 14
24、分 附加題答案 1. 解:(1)4a (2)特征值 3 對應特征向量為 , 特征值-1 對應特征向量為 2 1 2 1 2. 解解:曲線 c 的普通方程是 2 2 1 3 x y 直線 l 的普通方程是 330 xy 設點 m 的直角坐標是,則點 m 到直線 l 的距離是( 3cos ,sin ) 3cos3sin3 2 d 32sin()1 4 2 因為,所以22sin()2 4 當,即z),即z)時,d 取 sin()1 4 2 ( 42 kk 3 2 ( 4 kk 得最大值 此時 62 3cos,sin 22 綜上,點 m 的極坐標為時,該點到直線 l 的距離最大 7 ( 2,) 6 注
25、注 凡給出點 m 的直角坐標為,不扣分 62 (,) 22 3. (1)因為直三棱柱 abca1b1c1中,bb1面 abc,abc 2 以 b 點為原點,ba、bc、bb1分別為 x、y、z 軸建立如圖所示空間直角坐標系, 因為 ac2,abc90,所以 abbc, 2 a b c c1 b1 a1 f e d x y z 從而 b(0,0,0),a(,0,0),c(0, ,0), 22 b1(0,0,3),a1(,0,3),c1(0, ,3), 22 d(,3),e(0,) 2 2 , 2 2 2 2 ,3 2 所以) ca1 (r(2),r(2),3),be 而, |ca1 | 13,|
26、be | 11 2 ,且ca1 be 7 2 所以 cos;所以直線 be 與 a1c 所成的角的余弦 ca1 be |ca1 |be | 7 2 13 11 2 7 143 143 為 (2)設 afx,則 f(,0,x), 2 cf (r(2),r(2),x),b1f (r(2),0,x3),b1d (f(r(2),2),f(r(2),2),0) , x00,所以,要使得 cf平 cf b1d 2 2 2 (r(2) 2 2 cf b1d 面 b1df,只需 cfb1f,由2x(x3)0, cf b1f 有 x1 或 x2,故當 af1,或 af2 時,cf平面 b1df 4. 解:(1)
27、隨機變量 x 的概率分布如下表: -3 分 e(x)=012345 05 65 5 11 c c c 14 65 5 11 c c c 23 65 5 11 c c c 32 65 5 11 c c c 41 65 5 11 c c c 50 65 5 11 c c c x012345 p 05 65 5 11 c c c 14 65 5 11 c c c 23 65 5 11 c c c 32 65 5 11 c c c 41 65 5 11 c c c 50 65 5 11 c c c =2.73 -5 分 630 231 (2)上場隊員有 3 名主力,方案有:() ()=144(種) 3
28、1 64 cc 22 52 cc 上場隊員有 4 名主力,方案有:()=45(種) - 42 64 cc 1 5 c 上場隊員有 5 名主力,方案有:()=2(種) - 53 64 cc 0 5 c 41 42 c c -8 分 教練員組隊方案共有 144452=191 種 -10 分 江江蘇蘇省省蘇蘇州中學州中學 2014 屆高三屆高三 1 月月質質量量檢測檢測 數(shù)學數(shù)學試試卷卷 2014.1 一、填空題:一、填空題: 1. 已知集合,則 rxyya x , 2 1 |rxxyyb),1(log| 2 ba 2已知命題“若,則” ,則命題及其逆命題、否命題、逆否命:pba |ba p 題中,
29、正確命題的個數(shù)是 3. 已知是這 7 個數(shù)據(jù)的中位數(shù),且這四個數(shù)據(jù)的平均x7 , 6 , 5 , 3 , 2 , 1xyx , 2 , 1 2 數(shù)為 1,則的最小值為 x y 1 4. 已知,則的值為 0, 1) 1( 0,cos )( xxf xx xf 4 ( ) 3 f 5. 已知向量 是第二象限角,則),cos6, 9(),3, 5(ba)2/(baa = tan 6. 已知直線平面,直線 m平面,有下面四個命題: m;m;m;m 其中正確命題序號是 7. 已知數(shù)列 n a中, n a * n,對于任意 * nn, 1nn aa ,若對于任意正整數(shù) k,在數(shù)列中恰有k個k出現(xiàn),求 50
30、 a 8. 設均為正實數(shù),且,則的最小值為 yx, 33 1 22xy xy 9.已知方程+ tan x sin 1 =0 有兩個不等實根和,那么過點 2 xab 的直線與圓的位置關系是 ),(),( 22 bbbaaa1 22 yx 10若動直線與函數(shù)( )3sin()( )cos() 66 f xxg xx 與的)(raax 圖象分別交于兩點,則|mn的最大值為 nm, 11. 各項都為正數(shù)的數(shù)列 n a,其前n項的和為 n s,且 2 11 () (2) nn ssan ,若 1 1 nn n nn aa b aa ,且數(shù)列 n b的前n項的和為 n t,則 n t= 12.若函數(shù)有極值
31、點 ,且則關于的方程 32 ( )f xxaxbxc 12 ,x x 11 (=f xx)x 的不同實根個數(shù)是 2 1 3()2( )0f xaf xb( 13已知橢圓與軸相切,左、右兩個焦點分別為,則原點 ox)25(1 , 1 ( 21 ,),ff 到其左準線的距離為 14. 設,的所有非空子集中的最 1 3 521 a, 2 4 82 n n n ,2nnn an 小元素的和為,則= ss 二、解答題:二、解答題: 15(本小題滿分本小題滿分 14 分分) 設向量,函數(shù)),cos,(sinxxa ),sin3,(sinxxb xr .)2()(baaxf (1)求函數(shù)的單調遞增區(qū)間;)(
32、xf (2)求使不等式成立的的取值集合( )2fxx 16(本小題滿分本小題滿分 14 分分) 如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,abcdp ,垂直于底面,/,90adbcbad paabcd 分別為的中點 nmbcabadpa,22pbpc , (1)求證:;dmpb (2)求點到平面的距離bpac 17(本小題滿分本小題滿分 14 分分) 某建筑公司要在一塊寬大的矩形地面(如圖所示)上進 行開發(fā)建設,陰影部分為一公共設施不能建設開發(fā),且要求 用欄柵隔開(欄柵要求在直線上) ,公共設施邊界為曲線 的一部分,欄柵與矩形區(qū)域的邊界交 2 ( )1(0)f xaxa 于點 m、n,切曲線于點 p,
33、設( ,( )p t f t ( i)將(o 為坐標原點)的面積 s 表示成 f 的函數(shù) s(t);omn (ii)若,s(t)取得最小值,求此時 a 的值及 s(t)的最小值 1 2 t 18(本小題滿分本小題滿分 16 分分) 如圖:在平面直角坐標系xoy中,已知 12 ,f f 分別是橢圓e: 2 2 22 10 y x ab ab 的左、右焦點,a,b分別是橢圓e的左、右頂點,且 22 5afbf 0 (1)求橢圓e的離心率; (2)已知點d(1,0)為線段 2 of 的中點,m為橢圓e上的動點(異于點 a、b) ,連接 1 mf 并延長交橢圓e于點n,連接md、nd并分別延長交橢圓e
34、 于點p、q,連接pq,設直線mn、pq的斜率存在且分別為 1 k、 2 k,試問是否存在常數(shù),使得 12 0kk恒成立?若存 在,求出的值;若不存在,說明理由 19. (本小題滿分本小題滿分 16 分分) 已知數(shù)列具有性質:為整數(shù);對于任意的正整數(shù),當為偶 n a 1 an n a 數(shù)時, ;當為奇數(shù)時,. 1 2 n n a a n a 1 1 2 n n a a (1)若為偶數(shù),且成等差數(shù)列,求的值; 1 a 123 ,a a a 1 a (2)設(且n),數(shù)列的前項和為,求證: 1 23 m a 3m m n an n s ; 1 23 m n s (3)若為正整數(shù),求證:當(n)時,
35、都有. 1 a 21 1 logna n0 n a 20. (本小題滿分本小題滿分 16 分分) 設,兩個函數(shù),的圖像關于直線對稱.0a ( ) ax f xeg( )lnxbxyx (1)求實數(shù)滿足的關系式;ba, (2)當取何值時,函數(shù)有且只有一個零點;a( )( )( )h xf xg x (3)當時,在上解不等式1a), 2 1 ( 2 )()1 (xxgxf 一、填空題一、填空題 1. 223. 4. 5. 6. 7.98.16, 0 3 233 2 4 - 3 9. 相切 102 11. 12.3 1314. 2 46 21 nn n 5 34 17 * 2 , 3, 2 1 2,
36、 4 7 nnn n n 二、解答題二、解答題 15解:解:(1) )2()(baaxf 222 sincos2(sin3sin cos )xxxxx 31 1 1 cos23sin222(sin2cos2) 22 xxxx . 522(sin2 coscos2 sin)22sin(2) 666 xxx 由,得, 222 262 kxk 63 kxk ()kz 的單調遞增區(qū)間為. 8( )f x, 63 kk ()kz (2) 由,得. ( )22sin(2) 6 f xx ( )4cos(2) 6 fxx 由,得,則, ( )2fx 1 cos(2) 62 x 222 363 kxk 即.
37、使不等式成立的的取值集 124 kxk ()kz( )2fxx 合為.14, 124 x kxkk z 16解:解:(1)因為 n 是 pb 的中點,pa=ab, 所以 anpb,因為 ad面 pab,所以 adpb,又因為 adan=a 從而 pb平面 admn,因為平面 admn, 所以 pbdm.7 (2) 連接 ac,過 b 作 bhac,因為底面, paabcd 所以平面 pab底面,所以 bh 是點 b 到平面 pac 的距離.abcd 在直角三角形 abc 中,bh 14 ab bc2 5 ac5 17解:(),直線的斜率為,2yax mn2at 直線的方程為mn 2 (1)2(
38、)yatat xt 令得 0,y 2222 1121 222 atatatat xt atatat 2 1 (,0) 2 at m at 3 分 令,得, 0 x 2222 121,(0,1)yatatatnat 的面積, mon 222 2 1 1(1) ( )(1) 224 atat s tat atat 6 分 (), 2 4222 22 321(1)(31) ( ) 44 a tatatat s t atat 因為,由,得, 0,0at( )0s t 2 1 310, 3 att a 得 9 分 當時, , 2 1 310, 3 att a 即( )0s t 當時, 2 1 310,0
39、 3 att a 即( )0s t . 1 , ( ) 3 ts t a 當時有最小值 已知在處, ,故有, 1 2 t ( )s t 取得最小值 114 , 233 a a 故當時, 41 , 32 at 2 min 4 1 (1) 12 3 4 ( )( ) 4 1 23 4 3 2 s ts 18 (1) 22 50afbf , 22 5aff b .5acac,化簡得23ac, 故橢圓e的離心率為 2 3 . (2)存在滿足條件的常數(shù), 4 7 l.點1,0d為線段 2 of的中點, 2c ,從而3a ,5b ,左焦點 1 2,0f ,橢圓e的方程為 22 1 95 xy . 設 11
40、 ,m x y, 22 ,n xy, 33 ,p x y, 44 ,q xy,則直線md 的方程為 1 1 1 1 x xy y , 代入橢圓方程 22 1 95 xy , 整理得, 211 2 11 51 40 xx yy yy . 11 13 1 1 5 yx yy x , 1 3 1 4 5 y y x .從而 1 3 1 59 5 x x x , 故點 11 11 594 , 55 xy p xx .同理,點 22 22 594 , 55 xy q xx . 三點m、 1 f、n共線, 12 12 22 yy xx ,從而 122112 2x yx yyy. 從而 12 1221121
41、2 34121 2 12 341212 12 44 57557 5959 444 55 yy x yx yyyyyyyxxk k xx xxxxxx xx 故 2 1 4 0 7 k k ,從而存在滿足條件的常數(shù) 7 4 19. 解:(1)為偶數(shù),可設,故, 1 a 1 2 ()zan n 1 2 2 a an 若為偶數(shù),則,由成等差數(shù)列,可知,n 3 2 n a 123 ,a a a 213 2aaa 即,解得,故; (2 分) 5 2 2 nn0n 1 0a 若為奇數(shù),則,由成等差數(shù)列,可知,n 3 1 2 n a 123 ,a a a 213 2aaa 即,解得,故; 51 2 22 n
42、n1n 1 2a 的值為 0 或 2 (4 分) 1 a (2)是奇數(shù), 1 23(3,)n m amm 1 1 2 1 21 2 m a a ,依此類推, 2 2 3 1 2 2 m a a 33 4 2 2 m a a 可知成等比數(shù)列,且有, 341 , m a aa 1 2m n n a (31)nm 又, 0 1 21 m a 2 1 1 0 2 m a 3 0 m a 當時,;當時,都有 (3 分)1nm0 n a 2nm0 n a 故對于給定的,的最大值為m n s 121mm aaaa 123010 (23)(21)222(222 )4 mmmmmm ,所以 (6 分) 1 1
43、21 423 21 m m 1 23 m n s (3)當為正整數(shù)時,必為非負整數(shù)證明如下: 1 a n a 當時,由已知為正整數(shù), 可知為非負整數(shù),故結論成立;1n 1 a 1 a 假設當時,為非負整數(shù),若,則;若為正偶數(shù),nk n a0 n a 1 0 n a n a 則必為正整數(shù);若為正奇數(shù),則必為非負整數(shù) 1 2 n n a a n a 1 1 2 n n a a 故總有為非負整數(shù)(3 分) n a 當為奇數(shù)時, ;當為偶數(shù)時, n a 1 1 22 nn n aa a n a 1 2 n n a a 故總有,所以, 1 2 n n a a 121 21 222 nn n n aaa
44、a 當時,即 ( 6 分) 21 1logna n a 21 log1 1 11 1 11 ( )( )1 22 an a aa a 1 n a 又必為非負整數(shù),故必有(8 分) n a0 n a 【另法提示:先證“若為整數(shù),且,則也為整數(shù), k a 1 22(*)n tt k at 1k a 且” ,然后由是正整數(shù),可知存在正整數(shù),使得, 1 1 22 tt k a 1 as 1 1 22 ss a 由此推得,及其以后的項均為,可得當1 s a 1 0 s a 2s a 21 1logna 時,都有】()nn0 n a 20.解:(1)設是函數(shù)圖像上任一點,則它關于直線p() ax xe,(
45、 ) ax f xe 對稱的點在函數(shù)的圖像上,yxp () ax ex , ,g( )lnxbxln ax xbeabx .1ab (2)當時,函數(shù)有且只有一個零點,兩個函數(shù)的圖像0a ( )( )( )h xf xg x 有且只有一個交點,兩個函數(shù)關于直線對稱,兩個函數(shù)圖像的交點就yx 是函數(shù),的圖像與直線的切點.( ) ax f xeyx 設切點為, 0 0 a() ax xe, 0 0= ax xe( ) ax fxae , 0=1 ax ae 0=1 ax , 0 0= = ax xee 當時,函數(shù)有且只有一個零點; 0 11 a xe ( )( )( )h xf xg xxe (3)
46、當=1 時,設 ,則 a 2 ( )(1)+gr xfxxx 1 x e 2 ln xx ,當時,( )r x ,1 1 2 x ex x 1 ,1 2 x 1 1 22 11,1 x xe x ,( )0r x , 當時,1,+x 1 1 21 21,0 x xe x ( )0r x , 在上是減函數(shù).( )r x 1 , 2 又0,不等式解集是(1)r 2 (1)+gfxxx1, 啟啟東東市市 2014 屆屆第第一一次次測測試試 數(shù)學試題 注意事項 1本試卷包含填空題(第 1 題第 14 題,共 14 題) 、解答題(第 15 題第 20 題,共 6 題) ,總分 160 分,考試時間為
47、120 分鐘 2答題前,請您務必將自己的姓名、考試證號用書寫黑色字跡的 0.5 毫米簽字筆 填寫在答題紙上 3請認真核對監(jiān)考員所粘貼的條形碼上的姓名、考試證號是否與您本人的相符 4請用書寫黑色字跡的 0.5 毫米簽字筆在答題卡紙的指定位置答題,在其它位置 作答一律無效 一一、填空題:本大題共 14 小題,每小題 5 分,共 70 分。不需寫出解答過程,請 把答案直接填寫在答題卡相應位置上。 1已知集合,則 2 1a ,1 2b ,ab 2命題“若,則(r) ”否命題的真假性為 (從真、ab 22 acbcba, 假中選一個) 3已知扇形的周長是 8cm,圓心角為 2 rad,則扇形的弧長為 c
48、m 4已知為鈍角,且,則與角終邊相同的角的集合為 2 1 sin 5集合,集合,集合的真子集有 , 3 , 2 , 0 , 1, 2a, 1| |rxxxbba 個 6化簡的結果是 ) 2 3 cos() 2 sin( )sin( )cos( 7已知命題:“正數(shù) a 的平方不等于 0”,命題:“若 a 不是正數(shù),則它的平方pq 等于 0”, 則是的 (從“逆命題、否命題、逆否命題、否定”中選一個填pq 空) 8已知,則滿足1 的角 x 所在的象限為 01a xx a cossin 9定義在 r 上的函數(shù),對任意 xr 都有,當 ( )f x)()3(xfxf)0 , 3(x 時,則 x xf3
49、)()2014(f 10若函數(shù)(kz*)在區(qū)間(2,3)上有零點,則 k = kxxxf 2 log)( 11設 f (x)是定義在 r 上的奇函數(shù),且 y= f (x)的圖像關于直線 x=對稱,則 f(1) 1 2 + f (2)+f (3)+ f (4) +f (5)=_ _ 12曲線在點(1,f(1)處的切線方程為 2 (1)1 ( )e(0) e2 x f f xfxx 13正實數(shù)及滿足,且,則 21,x x)(xf 14 14 )( x x xf1)()( 21 xfxf 的最小值等于 )( 21 xxf 14已知平面上的線段 l 及點 p,任取 l 上的一點 q,線段 pq 長度的
50、最小值稱為 點 p 到線段 l 的距離,記為 d(p,l)設 a(-3,1),b(0,1),c(-3,-1),d(2,-1), ,,abl 1 cdl 2 若滿足,則關于 x 的函數(shù)解析式為 ),(yxp),(),( 21 lpdlpdy 二、解答題:本大題共 6 小題,共 90 分。請在答題卡指定區(qū)域內作答,解答時應 寫出文字說明、證明過程或演算步驟。 15 (本題滿分 14 分) (1)設,求的值; 2 1 tan 22 cos2cossinsin 1 (2)已知 cos(75+)=,且-180-90,求 cos(15-)的值 3 1 16 (本題滿分 14 分) 已知集合,032| 2
51、xxxaraaxxxb, 04| 2 (1)存在,使得,求 a 的取值范圍;bxba (2)若,求 a 的取值范圍bba 17 (本題滿分 14 分) 已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù) 1 2 ( ) 2 x x b f x a (1)求的值;, a b (2)判斷函數(shù)的單調性,并證明;)(xf 18(本題滿分 16 分) (1)設扇形的周長是定值為,中心角求證:當時該扇形面(0)c c 2 積最大; (2)設(-2a2,xr) 求證:y-3xxaaay 22 sin2cos221 19 (本題滿分 16 分) 設 a 是同時符合以下性質的函數(shù)組成的集合:)(xf ,都有;在上是減函數(shù)), 0 x4
52、 , 1 ()(xf)(xf), 0 (1)判斷函數(shù)和(x0)是否屬于集合 a,并xxf 2)( 1 x xf) 2 1 (31)( 2 簡要說明理由; (2)把(1)中你認為是集合 a 中的一個函數(shù)記為,若不等式)(xg k 對任意的 x0 總成立,求實數(shù)的取值范圍)2()(xgxgk 20 (本題滿分 16 分) 已知函數(shù),設曲線在與 x 軸交點處的切dcxbxxxf 23 3 1 )()(xfy 線為,為的導函數(shù),滿足124 xy)(xfy)(xf)()2(xfxf (1)求;)(xf (2)設,m0,求函數(shù)在0,m上的最大值;)()(xfxxg)(xg (3)設,若對于一切,不等式)(
53、ln)(xfxh 1 , 0 x 恒成立,求實數(shù) t 的取值范圍)22()1(xhtxh 啟啟東東市市 2014 屆屆第第一一次次測測試試 數(shù)學答案 一一、填空題: 1答案:;2答案:真分析 :否命題“若 ab,則”;3答( 2 2) , 2 ac 2 bc 案:4; 4答案:,;(制度不統(tǒng) zkk, 6 5 2| zkk,150360| 一不給分) 5答案:7;6答案:;7答案:否命題;8答案:二或四(少 1 個 2 cos- 不給分) 9答案:,分析:周期為 3, 9 1 )2()23672()2014(fff 10答案:4;11答案:0;分析:;)()() 1(nfnfnf 12答案:,
54、分析:可得,; 1 e 2 yx1)0(f 2 1 ) 1 ( efef ) 1 ( 13答案:;由得, 5 4 1)()( 21 xfxf 14 34 4 2 2 1 x x x 144 2 1 14 14 )( 2121 21 21 xxxx xx xxf , 6 14 4 ) 14( 2 1 2 2 x x 6 14 4 ) 14(2 2 1 2 2 x x 5 4 5 1 1 當且僅當,即,時取得最小值. 14 4 14 2 2 x x 34 2 x 3log4 2 x 14答案: )2(1 )20( 4 1 )0(0 2 xx xx x y 二、解答題: 15 (1)原式-3 分 2
55、2 22 cos2cossinsin cossin -7 分 2tantan 1tan 2 2 1 2 2 1 4 1 1 4 1 (2)由-180-90,得-105+75-15, 故 sin(75+)=,-10 分 3 22 )75(cos1 2 而 cos(15-)=cos90-(75+)= sin(75+) 所以 cos(15-)=-14 分 3 22 16 (1)由題意得,故0,解得 a4-2 分ba4-16 令,對稱軸為 x=2,4)2(4)( 22 axaxxxf ,又 a=,ba , 31, ,解得 a3-5 分0)3(f 由上得 a 的取值范圍為(-,3)-7 分 (2),bb
56、aab 當,即 a4 時,b 是空集,-9 分0416a 這時滿足,當0,即 a4-bbaa416 令,對稱軸為 x=2,axxxf4)( 2 , 31,a ,解得 a-5-0) 1(f 由得 a-5, -12 分 綜上得 a 的取值范圍為(-,-5)(4,+)-14 分 17 (1)因為是奇函數(shù),且定義域為 r,所以,-2 分( )f x0)0(f -4 分 1 11 2 01( ) 22 x x b bf x aa x y b c d o a 又,知) 1 () 1(ff 1 1 1 2 2 2. 41 a aa 當時,是奇函數(shù)-7 分2,1ab( )f x (2)函數(shù)在 r 上為減函數(shù)-
57、9 分)(xf 證明:法一:由()知, 1 1 211 ( ) 22221 x xx f x 令,則,-12 分 21 xx 21 220 xx 022 12 xx , 21 12 21 2 22 2 1 2 1 )()( 21 xx xx xx xfxf 即,函數(shù)在 r 上為減函數(shù)-14 分)()( 21 xfxf)(xf 法二:由(1)知, 1 1 211 ( ) 22221 x xx f x ,-12 分 2 ) 12( 2ln2 )( x x xf ,0 ) 12( 2ln2 , 02ln, 02, 2 x x x rx 即函數(shù)在 r 上為減函數(shù)-14 分0)(xf)(xf 18 (1
58、)證明:設弧長為 l,半徑為 r,則 2r+l=c,()-2 分 2 lc r lc 2 22 1111 ()() 22244216 clcc srllclll -5 分 2 max , 216 cc ls當時 此時,而 4 c r 2 r l 所以當時該扇形面積最大-7 分2 (2)證明:)cos1 (2cos221 22 xxaaay -9 分12 2 ) 2 (cos2 2 2 a aa x -2a2,-11,-11 分 2 a 當時,-14 分 2 cos a x min y 6)2( 2 1 12 2 2 2 aa a 又-2a2,-3,當 a = 2 時取等號,6)2( 2 1 2
59、 min ay 即 y-3-16 分 法二:1cos2)cos1 (2 22 xxaay -9 分2cos2cos)cos1 ( 22 xxxa 02,-2a2,-11 分xcos1 當 a=時,xcos1 ,-14 分3) 1(cos2cos2cos 22 min xxxy 又-11,-3xcos3) 1(cos 2 min xy 當=1 時取等號xcos 即 y-3-16 分 19 (1)在時是減函數(shù),,xxf 2)( 1 2 ,()( 1 xf 不在集合 a 中,-3 分)( 1 xf 又x0 時,1,4,,-5 分 x ) 2 1 (0 x ) 2 1 (3114 , 1 ()( 2
60、xf 且在上是減函數(shù), x xf) 2 1 (31)( 2 ), 0 在集合 a 中-7 分 x xf) 2 1 (31)( 2 (2)=,)(xg x xf) 2 1 (31)( 2 ,-9 分 xxx xgxg) 2 1 ( 4 15 2) 2 1 (31 ) 2 1 (31 )2()( 2 在0,+)上是減函數(shù),-11 分 4 23 )2()( max xgxg 又由已知k 對任意的 x0 總成立,)2()(xgxg ,因此所求的實數(shù)的取值范圍是-16 分k 4 23 k), 4 23 20 (1),cbxxxf2)( 2 ,函數(shù)的圖象關于直線 x=1 對稱 b=-1,-2 分)()2(
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