二次函數(shù)教學(xué)案例

1、初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)的教學(xué)案例分析一、教材研讀與剖析教材分析：本節(jié)課內(nèi)容是在學(xué)生學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、反比例函數(shù)等基礎(chǔ)上的學(xué)習(xí). 本章我們研究的是二次函數(shù)，要求學(xué)生通過探究實(shí)際問題與二次函數(shù)的關(guān)系，掌握利用頂點(diǎn)坐標(biāo)解決最大值（或最小值）問題的方法. 學(xué)生要經(jīng)歷探索、分析和建立兩個變量之間的二次函數(shù)關(guān)系的過程，進(jìn)一步體驗(yàn)如何描述變量之間的數(shù)量關(guān)系，感悟新舊知識的關(guān)系，深刻的體會數(shù)學(xué)中的類比思想方法. 教學(xué)目標(biāo)：理解和掌握二次函數(shù)的概念、性質(zhì)，會做二次函數(shù)的圖像，掌握二次函數(shù)的形式；會建立二次函數(shù)模型，并能確定實(shí)際問題的自變量的取值范圍；會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；從實(shí)際情景和實(shí)例中讓學(xué)生探索分析，建

2、立兩個變量之間的二次函數(shù)，使學(xué)生能夠理解如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，學(xué)會用數(shù)學(xué)符號和數(shù)學(xué)方法解決最值問題，讓學(xué)生體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價值，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：第一，經(jīng)歷探究和表示二次函數(shù)的過程，獲得二次函數(shù)的定義；第二，能夠表示簡單變量之間的二次函數(shù)關(guān)系；第三，探究利用二次函數(shù)解決實(shí)際生活中的最值問題. 本節(jié)難點(diǎn)在于如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題，其中“合作性學(xué)習(xí)”涉及的實(shí)際問題有的較為復(fù)雜，要求學(xué)生有較強(qiáng)的概括能力.二、教學(xué)過程與設(shè)計(jì)（）溫故而知新，回顧有關(guān)函數(shù)的知識，激發(fā)興趣. 教師在課堂的開始，可以幫助學(xué)生回憶有關(guān)函數(shù)的定義在某個變化過程中，有兩個變量和，如果

3、給定一個值，相應(yīng)地就確定了一個值，那么我們稱是的函數(shù)，其中是自變量，是因變量做進(jìn)一步鞏固. 對“正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)”的知識點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)，并在上給出一次函數(shù) （其中，是常數(shù)，且 ）正比例函數(shù) （是不為的常數(shù)）反比例函數(shù) （是不為的常數(shù)）的形式.（）創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)興趣. 教師在上給出實(shí)際問題一，例如：現(xiàn)有米的籬笆要圍成一個矩形場地，若矩形的長為米，它的面積是多少？若矩形的長分別為米、米、米時，它的面積分別是多少？從上兩問同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了什么？教師提問后，學(xué)生可獨(dú)立回答. 在活動中，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注：學(xué)生是否能準(zhǔn)確的建立函數(shù)關(guān)系；學(xué)生是否能利用已學(xué)的函數(shù)知識求出最大面積；學(xué)生是否能準(zhǔn)確的討

4、論出自變量的取值范圍.問題的設(shè)計(jì)，旨在運(yùn)用函數(shù)模型讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的實(shí)際價值，學(xué)會用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識問題，解決問題，讓學(xué)生在合作學(xué)習(xí)中共同解決問題，培養(yǎng)合作精神. 最后，提出問題：由矩形問題你有什么收獲？讓學(xué)生經(jīng)過短時間的討論與思考后，師生共同歸納總結(jié)出函數(shù)解析式 （， 是常數(shù)， ）的形式. 在上給出概念：我們把形如 （其中，是常數(shù)， ）的函數(shù)叫做二次函數(shù). 稱為二次項(xiàng)系數(shù)， 為一次項(xiàng)系數(shù)，為常數(shù)項(xiàng). 通過層層設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生不斷思考，積極探索，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，激發(fā)其學(xué)習(xí)的熱情.（）利用圖像激發(fā)興趣. 學(xué)習(xí)性質(zhì)最好的方法就是根據(jù)圖像來探索. 例如，教師可以給出以下的問題，讓學(xué)生進(jìn)行自由探

5、索：填空： 根據(jù)下邊已畫好拋物線 的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ， 對稱軸是，在側(cè)，即時，隨著的增大而增大；在側(cè)，即時， 隨著的增大而減小.當(dāng) 時，函數(shù)的最大值是. 當(dāng)時， . 教師讓學(xué)生根據(jù)問題進(jìn)行探究，并歸納出：二次函數(shù) （ ）的圖像和性質(zhì)，頂點(diǎn)坐標(biāo)與對稱軸，位置與開口方向，增減性與最值.（）小組合作探索二次函數(shù)與一元二次方程 . 教師向?qū)W生展示二次函數(shù) ， ， 的圖像如圖所示教師引導(dǎo)學(xué)生以小組為單位，對以下問題進(jìn)行合作探究：每個圖像與軸有幾個交點(diǎn)？一元二次方程 ， 有幾個根？驗(yàn)證一下一元二次方程 有根嗎？二次函數(shù) 的圖像和軸交點(diǎn)的坐標(biāo)與一元二次方程 的根有什么關(guān)系？并引導(dǎo)學(xué)生對二次函數(shù) 的圖像和軸交點(diǎn)的

6、三種情況進(jìn)行歸納.三、教學(xué)反思與小結(jié)教學(xué)活動是建立在學(xué)生對已學(xué)函數(shù)理解的基礎(chǔ)上，通過類比和探索的方式進(jìn)行的. 課堂開始時，對已學(xué)過的知識進(jìn)行復(fù)習(xí)和總結(jié)，然后，給出簡單的實(shí)際問題. 接著筆者進(jìn)一步將問題引申，加大難度，引出本節(jié)課所學(xué)習(xí)的內(nèi)容，這一方法旨在激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 通過幾個簡單的問題，讓學(xué)生體會兩個變量的關(guān)系. 特別是在創(chuàng)設(shè)問題中，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生是否發(fā)現(xiàn)變量，是否注意到取值范圍，這個環(huán)節(jié)中簡單問題的設(shè)計(jì)旨在激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望. 利用圖像進(jìn)行教學(xué)，是幾何教學(xué)的一個重點(diǎn)內(nèi)容. 這個環(huán)節(jié)教師引導(dǎo)學(xué)生小組進(jìn)行合作探究，在興趣下去探求真知. 本節(jié)課學(xué)生對二次函數(shù)的基本概念、圖像有了比較扎實(shí)的

7、認(rèn)識，但是眾觀整個教學(xué)過程，筆者發(fā)現(xiàn)還存在不合理的地方，如還缺乏一些生動的教學(xué)方式激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，在進(jìn)行圖像的教授過程中，教師可以利用多媒體進(jìn)行動態(tài)的教學(xué)，課堂的結(jié)尾處教師還缺乏引導(dǎo)學(xué)生對二次函數(shù)知識的實(shí)際運(yùn)用等. 這些還需要教師不斷地進(jìn)行反思與發(fā)現(xiàn)，對教學(xué)方法進(jìn)行不斷改進(jìn)與更新. 二次函數(shù)復(fù)習(xí)課教學(xué)案例教學(xué)過程：一、 基礎(chǔ)知識之自我構(gòu)建師：今天我們來復(fù)習(xí)二次函數(shù)，先把課本知識歸納部分齊讀一遍。生：齊讀。師：現(xiàn)在我把本章知識分類歸納成表格形式，請大家完成填空：（展示課件）生：完成填空。師:展示答案.生:糾正.師：請思考函數(shù)y=(x-2)2-1并寫出相關(guān)結(jié)論同學(xué)們比一比，賽一賽，看誰寫得多生

8、1：開口向上生2：對稱軸:直線x=2生3：頂點(diǎn)（2，1）生4：圖像是拋物線，且與y軸交點(diǎn)為（0，3）生5：拋物線與x軸兩交點(diǎn)分別為（1，0）（3，0）生6：拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間距離為2師歸納：剛才同學(xué)們歸納的結(jié)論都正確，可見同學(xué)們對二次函數(shù)基礎(chǔ)知識掌握得還是很到位的下面老師提出的問題，相信同學(xué)們肯定能順利地解決二、基礎(chǔ)知識之基礎(chǔ)演練在投影幕上出示一組題目：1、求將二次函數(shù)y=x2-2x圖像向右平移1個單位，再向上平移2個單位后得到圖像的函數(shù)表達(dá)式2、請寫出一個二次函數(shù)解析式，使其圖像的對稱軸為x=1，并且開口向下3、請寫出一個二次函數(shù)解析式，使其圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2， 0）、（1，0）

9、4、請寫出一個二次函數(shù)解析式，使其圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0， 2），且圖象的對稱軸在y軸的右側(cè)學(xué)生思考3分鐘后，教者開始提問生：第1題，先求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），平移后為（2，1），從而知道后來拋物線解析式為y=x2-4x+5 生：第2題，設(shè)解析式y(tǒng)=a(x+1)(x-2) ，其中a0生：剛才同學(xué)答案不對，題中要求寫出一個具體的二次函數(shù)解析式，不妨設(shè)，則解析式為：y=x2-x-2 ；當(dāng)然a可以取一個不等于0的任何實(shí)數(shù)師：很好，剛才學(xué)生做的這道題，我們有什么收獲？生：要認(rèn)真審題生:由題意知，設(shè)解析式為y=ax2+bx+2，其中a，b異號即可，例如： ，即為 y=x2-x-2投影幕上再

10、出示第5、6兩題：5、如圖,拋物線 ，請判斷下列各式的符號：a 0 b 0c 0 b2-4ac06、如圖,拋物線 ,請判斷下列各式的符號： abc 0 2ab 0 a +b+c 0 ab+c 0生：第5題，由圖像可知：拋物線開口向下，故a0拋物線與y軸交點(diǎn)（0，c）在y軸正半軸上，故c0 ，拋物線與x軸有兩交點(diǎn)，故b2-4ac0 生：第6題，由圖像可知：a0,b0,c0 ，故 ，對稱軸 =1 ，故2a-b0 ，橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)在第三象限，故a-b+c0 ;當(dāng)x為_ 時，a2-4ac0 2、關(guān)于x的一元二次方程x2-x-n=0 無實(shí)數(shù)根，則拋物線y=x2-x-n的頂點(diǎn)在（ ）a第一象限 b.第二象

11、限 c. 第三象限 d.第四象限3、根據(jù)下列表格的對應(yīng)值：x3.233.243.253.26y=ax2+bx+c0.060.020.030.09不解方程，試判斷方程ax2+bx+c =0（，a，b，c為常數(shù)）一個解x的范圍是（ ）a、3x3.23 b、3.23x3.24c、3.24x3.25 d、3.25x3.26生 ：第1題，二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)就是令y=0得到一元二次方程的解，從而方程解為x1=-3,x2=1 ，再由圖象可知，當(dāng)-3x0 時， ，當(dāng)x1 時，a2x+bx+c0 生：第2題，由方程無實(shí)根說明拋物線與x軸無交點(diǎn)，再根據(jù)隱含條件對稱軸在y軸右側(cè)，故頂點(diǎn)在第一象限，從而選a

12、師：本課詮釋了二次函數(shù)與一元二次方程之間的緊密關(guān)系，以及數(shù)形結(jié)合思想的廣泛應(yīng)用生：由圖表不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng) y=0時，-0.02y0.03 ，從而3.24x3.25 ，故選c師：剛才這一組題目告訴我們，善于抓住圖象、圖表特點(diǎn)，充分挖掘題中的隱含條件是解題的關(guān)鍵四、難點(diǎn)突破之思維激活投影幕上出示一組題目：1、已知拋物線的對稱軸為x=2，且經(jīng)過點(diǎn)（3，0），則a+b+c的值為 2、已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)a（2，7），b（6，7），c（3，8），則該拋物線上縱坐標(biāo)為8的另一點(diǎn)坐標(biāo)是_3、下圖是拋物線 的一部分，且經(jīng)過點(diǎn)（2，0），則下列結(jié)論中正確的個數(shù)有（ ）a 0; b0;拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)可能是（

13、1，0）;拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)可能是（4，0）a.2個 b.3個 c.4個 d.5個生：第1題，由題意得，由于兩個方程中含有三個未知數(shù)，故此方程不可解，從而本題不好做師：同學(xué)們從拋物線的軸對稱性入手，想想看生：由對稱性可知拋物線與x軸另一交點(diǎn)坐標(biāo)（1，0），從而生：第2題，由a、b兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等可知a、b兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，從而對稱軸，又因?yàn)閏（3，8），從而另一點(diǎn)就是c點(diǎn)關(guān)于直線 對稱點(diǎn)，即（1，8）生：第3題中我能判斷對，錯，無法判斷師：誰來幫他一把生：由頂點(diǎn)在第一象限可以畫出草圖，從而判斷肯定錯，可能對從而選b五、難點(diǎn)突破之聚焦中考投影幕上出示題目：某商場銷售一批名牌襯衫，平均每

14、天可售出20件，進(jìn)價是每件80元，售價是每件120元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫降低1元，商場平均每天可多售出2件，但每件最低價不得低于108元若每件襯衫降低x元（x取整數(shù)），商場平均每天盈利y元，試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍每件襯衫降低多少元時，商場每天（平均）盈利最多？教者讓一名學(xué)生黑板上板演：其板演如下：解：由于每件襯衫的利潤為 元，每天銷售件數(shù)為 件，因此 其中的整數(shù) ，因此當(dāng) 時，y取最大值，且為1250元師：做完了的同學(xué)看黑板上同學(xué)做的，看有沒有不同意見的生：第（1）問正確，第（2）問中頂點(diǎn)橫坐標(biāo)

15、15不在自變量取值范圍內(nèi)，故他求的y的最大值是錯誤的正確的解法是當(dāng) 時，y有最大值，且為1232元師：這位同學(xué)回答得很到位，做函數(shù)類應(yīng)用題求最值問題時，往往借助頂點(diǎn)坐標(biāo)來求，但有時由于實(shí)際問題實(shí)際意義的限制，需結(jié)合自變量的取值范圍進(jìn)行調(diào)整六、反思與提高1、本節(jié)課你印象最深的是什么？2、通過本節(jié)課的函數(shù)學(xué)習(xí)，你認(rèn)為自己還有哪些地方是需要提高的？3、在下面的函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們還需要注意哪些問題？生：1、本節(jié)課印象最深的是：基礎(chǔ)知識很重要數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想值得重視解應(yīng)用題時，要認(rèn)真審題，注意題中的隱含條件2、就我而言，解題技巧方面需要提高3、今后學(xué)習(xí)中，我需要注意多做、多練、多總結(jié)師：老師這里整理了本章知識網(wǎng)絡(luò)圖從今天復(fù)習(xí)課中，我們應(yīng)該悟出：掌握基礎(chǔ)知識的重要性，注意知識綜合的靈活性，通過學(xué)以致用的體驗(yàn)，讓我們感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是有趣的、豐富的、有價值的教學(xué)反思：本課從“二次函數(shù)”基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)入手，以題目訓(xùn)練帶動知識點(diǎn)的回顧，從學(xué)生的踴躍發(fā)言，以及回答問題正確率來看，學(xué)生基本功是