結(jié)構(gòu)動力學(xué)之結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計算

1、COMPANY NAMEm)(xy從穩(wěn)定性角度考慮，平衡狀態(tài)具有三種情況：（1）穩(wěn)定平衡狀態(tài)；（2）不穩(wěn)定平衡狀態(tài)；（3）中性平衡狀態(tài)； 假設(shè)結(jié)構(gòu)原來處于某個平衡狀態(tài)，后來由于受到輕微擾動而稍微偏離原來位置。當(dāng)干擾消失后1）若結(jié)構(gòu)能夠回到原來的平衡位置， 則原來的平衡狀態(tài)成為穩(wěn)定平衡狀態(tài)。2）若結(jié)構(gòu)繼續(xù)偏離，不能夠回到原來的平衡位置， 則原來的平衡狀態(tài)成為不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。3）結(jié)構(gòu)由穩(wěn)定平衡過渡到不穩(wěn)定平衡的中間狀態(tài) 則為中性平衡狀態(tài)。 研究穩(wěn)定問題是考慮變形后的狀態(tài)來進行分析的，分析時有大變形和小變形兩種理論。 穩(wěn)定是指對結(jié)構(gòu)施加一微小干擾，使其離開初始位置，當(dāng)干擾力撤去以后，結(jié)構(gòu)能恢復(fù)到原來

2、的平衡位置。反之，若干擾力撤去以后不能回到原來的位置，則稱結(jié)構(gòu)失穩(wěn)。 工程中通常有兩類失穩(wěn)問題，即第一類穩(wěn)定問題和第二類穩(wěn)定問題。對于沒有缺陷的完善體系，屬于第一類失穩(wěn)問題；對于存在初彎曲或初偏心等缺陷的結(jié)構(gòu)，其失穩(wěn)時一般遵循第二類穩(wěn)定問題的規(guī)律。中心壓桿的荷載位移曲線特征：當(dāng)荷載小于臨界荷載時，結(jié)構(gòu)無初始位移，受到干擾力作用時，變形可恢復(fù)；當(dāng)荷載大于臨界荷載時，結(jié)構(gòu)受到一微小干擾就會突然產(chǎn)生較大的側(cè)移而失穩(wěn)。 Pcr稱為臨界荷載，它對應(yīng)的狀態(tài)稱為臨界狀態(tài)，因為B點為穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定平衡的分支點，所以Pcr又稱為分支荷載，又由于結(jié)構(gòu)破壞的突然性，Pcr又稱屈曲荷載。ABPPcrBAmB不穩(wěn)定平

3、衡穩(wěn)定平衡 壓桿和梁等結(jié)構(gòu)屈曲后所承擔(dān)的荷載可略有增加，但由于變形迅速增大，故不考慮此部分承載力。P2POP1DPc rDCAB穩(wěn)定穩(wěn)定不穩(wěn)定不穩(wěn)定小撓度小撓度大撓度大撓度 第二類穩(wěn)定問題應(yīng)按大撓度理論建立應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，并且在荷載達到臨界值之前，結(jié)構(gòu)部分進入塑性狀態(tài)，不在討論之列。特征：結(jié)構(gòu)受力開始就有變形，當(dāng)力大于Pcr時，結(jié)構(gòu)變形發(fā)展很快，在此過程中無突然變化，但是由于變形的增大或材料的應(yīng)力超出許可值導(dǎo)致結(jié)構(gòu)不能工作。 偏心受壓桿及荷載-位移曲線(a) 偏心受壓桿PePPPOPe(b) 荷載位移曲線（P 曲線）Pc rCAB穩(wěn)定驗算與強度驗算區(qū)別穩(wěn)定驗算強度驗算目的防止出現(xiàn)不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)

4、保證結(jié)構(gòu)的實際最大應(yīng)力不超過相應(yīng)的強度指標(biāo)內(nèi)容研究結(jié)構(gòu)同時存在的兩種本質(zhì)不同的平衡狀態(tài)的最小荷載值，即臨界荷載求解結(jié)構(gòu)在荷載下的內(nèi)力問題分析方法根據(jù)結(jié)構(gòu)變形后的狀態(tài)建立平衡方程求臨界荷載采用未變形前的狀態(tài)建立平衡方程及變形協(xié)調(diào)條件求內(nèi)力實質(zhì)是變形問題是應(yīng)力問題結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計算以下圖所示單自由度體系為例研究crPP 時，體系處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)crPP 時，體系處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)lABPPcrk結(jié)構(gòu)變形后的平衡狀態(tài)如圖（b），由B點平衡得：0sinkPl方程有兩解：1、 0當(dāng)lkP時，穩(wěn)定平衡lkP不穩(wěn)定平衡lkP隨遇平衡sin0lkP按大撓度理論分析Lsin（b）PPcrk BAkPk/l（a）ls

5、inHdHd穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡為求P最大值，令0ddP0)cos(sinsin12lkddP0cossin即tan代入時式（1）可以得到：不考慮分枝點后P的增加，則lkPcr/0時2、隨遇平衡不穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡PcrDABCPOsinlkP (1)cos1sintanlklkP因此，按大撓度理論分析 可以為任意值，即結(jié)構(gòu)處于隨意平衡狀態(tài)。大小撓度理論求出的分枝點荷載臨界值是相同的，但是失穩(wěn)后的承載能力結(jié)論是不同的。按小撓度理論分析sintan1cos0kPl1、0 P為任意值，即無外界干擾時，結(jié)構(gòu)無撓度，不會失穩(wěn)。lkP/即有外界干擾時，結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時的臨界荷載為：lkPcr/02、由小撓度理論：

6、平衡方程可以簡化為：隨遇平衡CABPOPcr求圖示結(jié)構(gòu)的臨界荷載求圖示結(jié)構(gòu)的臨界荷載. .P PEIlkyP P解解: :應(yīng)變能應(yīng)變能ykyVe21PPViie*外力勢能外力勢能2sin2cos2lllly)ly( l)( l22122222lPy22結(jié)構(gòu)勢能結(jié)構(gòu)勢能*PePVVE22ylPlk 0ylPlkdydEPlkPcr由勢能駐值原理由勢能駐值原理得臨界荷載得臨界荷載無限自由度體系的典型代表：壓桿穩(wěn)定問題無限自由度體系的典型代表：壓桿穩(wěn)定問題靜力法解題思路：靜力法解題思路： 1 1）先對變形狀態(tài)建立平衡方程；）先對變形狀態(tài)建立平衡方程； 2 2）根據(jù)平衡形式的二重性建立特征方程；）根據(jù)

7、平衡形式的二重性建立特征方程； 3 3）由特征方程求出臨界荷載）由特征方程求出臨界荷載 無限自由度體系的平衡方程為無限自由度體系的平衡方程為微分方程微分方程而不是代數(shù)方程，是區(qū)別于有限自由度體系而不是代數(shù)方程，是區(qū)別于有限自由度體系的不同點的不同點pcryxx)1()( xlRypM)( 1 xlRpyyEIyEIM ）：代代入入式式（將將 離體、寫平衡方程離體、寫平衡方程解：建立坐標(biāo)系、取隔解：建立坐標(biāo)系、取隔)2()( ,2 xlEIRyyEIp 則：則：令令)( sin cos2xlpRxBxAy微分方程，其解：）為常系數(shù)二階非齊次式（程中的常數(shù)：程中的常數(shù)：由邊界條件確定微分方由邊界條

8、件確定微分方 0pR0BlsinAlcos0 y lx0pR1BA00 y0 x0pRlB0A10 y0 x 00 sin cos1 0 0 1 ll l D ：穩(wěn)穩(wěn)定定方方程程（特特征征方方程程）lltglll 0 sin cos plEIpcrM(x)yRl-x左式為“超越方程”lltg 解解“超越方程超越方程”的兩種方法：的兩種方法：1、逐步逼近法（試算法）：。而而求求得得使使其其逐逐漸漸逼逼近近于于零零，從從算算初初值值后后，代代入入方方程程，計計給給 , lltg 2、圖解法： 以l為自變量，分別繪出z= l和z=tg l的圖形，求大于零的第一個交點，確定l。l z02 23 225

9、 493. 4lz ltgz 22222)7 . 0(19.20493. 4 493. 4 lEIlEIEIpEIplcrcr 得：得：代入代入將將例14-1 試求圖示結(jié)構(gòu)的臨界荷載)1()( ypM ppyyEIyEIM 1 ）：）：代入式（代入式（將將 1離體、寫平衡方程離體、寫平衡方程、建立坐標(biāo)系、取隔、建立坐標(biāo)系、取隔解：解：)2( ,22 yyEIp則則：令令yxxpcrpcrM(x)y plEIlEIABCxBxAyxBxAy cos sin sin cos 解解為為：xBxAyxBxAy cos sin sin cos 解解為為：) sin cos(1 cos sin 3000

10、0020101 0012 BlAllBlAll y-yl xBA y xBA yxlx）（）（）（、邊界條件：、邊界條件：0sincoscossin l)Bll(l)All( 即即：00 sincoscossin(0 01 01 l) ll(l) ll 于于是是：lltg 13 定定方方程程：、展展開開、整整理理后后，得得穩(wěn)穩(wěn)2274. 04lEIEIpcr 、解穩(wěn)定方程，得：、解穩(wěn)定方程，得：（另法）試求圖示結(jié)構(gòu)的臨界荷載)( ypppyMpyMA 離離體體寫寫平平衡衡方方程程下下半半部部為為隔隔解解：建建立立坐坐標(biāo)標(biāo)系系后后，以以yxxpcrplEIlEIABCAyM(x)p pMA xy

11、亦得同樣結(jié)果。亦得同樣結(jié)果。（一）用能量原理建立的能量準(zhǔn)則（適用于單自由度體系）2、解題思路1、三種平衡狀態(tài)（1）穩(wěn)定平衡：偏離平衡位置，總勢能增加。（2）不穩(wěn)定平衡：偏離平衡位置，總勢能減少。（3）隨遇平衡： 偏離平衡位置，總勢能不變。圖1圖2圖3（1）當(dāng)外力為保守力系時（外外力力勢勢能能）（變變形形勢勢能能）（體體系系的的總總勢勢能能）WU 外力的功）(TWrrTU （2）當(dāng)體系偏離平衡位置，發(fā)生微小移動時。則原體系處于穩(wěn)定平衡則原體系處于穩(wěn)定平衡若若, rTU 衡衡。則則原原體體系系處處于于不不穩(wěn)穩(wěn)定定平平若若, rTU 荷荷載載。，利利用用此此條條件件確確定定臨臨界界則則原原體體系系處

12、處于于隨隨遇遇平平衡衡若若, rTU （3）直桿穩(wěn)定（剛性桿）rTU 依依能能量量準(zhǔn)準(zhǔn)則則：)cos1 ()sin(21 2 pllk即即216421 75312542753.!cos.!sin221 22 pl)l (k klpcr k EI lcrp plcrpexydxde dsEANdsGAkQdsEIMUlll 020202212121 )1(變變形形能能：MyEI 不計剪力、軸力影響，不計剪力、軸力影響， (A)ds)yEI(21U l02 lrdeppeT0 )2(外力的功：外力的功： lrBdxypTdxydxdxde0222)()(21)(212)cos1( )(dx)y(d

13、x)y(EIpBA)(llcr2414 30202 ）：式式（）依依能能量量準(zhǔn)準(zhǔn)則則，令令式式（二）用勢能原理建立的能量準(zhǔn)則（適用于多自由度體系）設(shè)彈性曲線為多參數(shù)曲線： niiixaxaxaaxy1332211)()()()( dx)a(EIpdx)a(EIdx)y(EIpdx)y(EITUWUiiiir22222121 2121 總總勢勢能能： 依“勢能駐值原理”：臨界狀態(tài)下真實的變形曲線應(yīng)使體系的總勢能為駐值。), 3 , 2 , 1( 0niai n),1,2,3,(i0)dxP(EIan1jjijij 得： 0SK 這就是計算臨界荷載的特征方程，其展開式是關(guān)于P的n次線性方程組，可求

14、出n個根，由最小根可確定臨界荷載。 00021212222111211212222111211nnnnnnnnnnnnnaaaSSSSSSSSSKKKKKKKKK得：n),1,2,3,(i0)dxP(EIan1jjijij xEIKjiijd xPSjiijd 令：0S)a(K 簡寫為：彈性支承等截面直桿的穩(wěn)定計算具有彈性支承的壓桿的穩(wěn)定問題。一般情況下有四類 MA= k ABPc rxxyyEIPc rBxklyxyEIMA= k APc rxyyRBEIyPc rBxkAEI一端固定、一端為彈性支座 xlky)P(M x)(lky)P(MyEI xlkPPyyEI x)(lPk1xBcos

15、xAsinyPc rBxklyxyEIEIP 令令 0BcosclAsin0PkA0Pkl1B00cososiniEIk0EIkl11022 由邊界條件：x=0處，y=y=0；x=l處，y=。得到： xlEIkEIPyy 2 kEIlltan3 MA= k ABPc rxxyyEI一端自由、另一端為彈性抗轉(zhuǎn)支座00 1 y:x)( kPy:x)( 0 2EIkltanl 邊界條件：)y(PM 平衡方程：穩(wěn)定方程：一端鉸支、另一端為彈性抗轉(zhuǎn)支座0 2 y:lx)( klRy,y:x)(B 0 0 1邊界條件： )xl (RPyMB 平衡方程：穩(wěn)定方程：lkEI)l(lltan 211 MA= k

16、 APc rxyyRBEI一端鉸支、另一端為彈性支座 yPc rBxkAEI0)(lcosR)P(lsin0,MBA 考慮在小變形情況下，取sin=、cos=1， 上式改寫為 0lRPlB 彈簧的支反力 klRB 臨界荷載 ： klPcr )1()()( xlRypMc pxlRpyyEIyEIMc)( 1 ）：代代入入式式（將將 1離體、寫平衡方程離體、寫平衡方程、建立坐標(biāo)系、取隔、建立坐標(biāo)系、取隔解：解：)2()( ,2 EIpxlEIRyyEIpc 則則：令令lpRxBxAyxlpRxBxAycc cos sin )( sin cos 解解為為：0cossin )3(0 sin cos

17、0300 002001 0012 lplRlBlAlyl xlBlAl yxplRBA y xplRBA yxccc ）（）（）（、邊界條件：、邊界條件：補充例題（補充例題（1）試求圖示結(jié)構(gòu)的臨界荷載試求圖示結(jié)構(gòu)的臨界荷載yxxpM(x)y plEIlEIABCpEIABCxEIBCRc)1()()( xlRypMc pxlRpyyEIyEIMc)( 1 ）：代代入入式式（將將 1離體、寫平衡方程離體、寫平衡方程、建立坐標(biāo)系、取隔、建立坐標(biāo)系、取隔解：解：)2()( ,2 EIpxlEIRyyEIpc 則則：令令 )( cos sinxlpRxBxAyc 解為：解為：lllBlAlylxBlAll yxBA yx sincos )3(0 cos sin 02000 0012）（）（、邊界條件：、邊界條件：補充例題（補充例題（2）試求圖示結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定方程及臨界荷載試求圖示結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定方程及臨界荷載yxxpM(x)y plEIlEIABCpEIABCxEIBCRclPRlRPMCCA 0 0lxBxAylxxBxAy sincos cos sin解為：解為：2467. 2 2 0lEIpllcr 臨界荷載：臨界荷載：穩(wěn)定方程：穩(wěn)定方程： 補充例題（補充例題（3）試求圖示結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定方程及臨界荷載試求圖示結(jié)構(gòu)的