常用微分公式

1、-3微分公式(甲)基本函數(shù)的微分公式/八dXn 1ni/fdnX(1)dx =nx , nN。(2)-dx dcdx =0,其中 c 為常數(shù)。(sinx)/=cosx (cosx)= sinx 另一種表示：(xn)/= nxn 1(n x)z =n x!xn1,n N。n(c)/=0證明：設(shè)a為f(x)= n x定義域中的任意點(diǎn)，則 fa)=limf(xf)x a x a=li頁需= !ma = xmXx na)(nx)n1 Cx)n2na . 11“1=? =_(a n )=一n (n.a)n1 nn設(shè)a為任意實(shí)數(shù)，f(x)=sinxsinx sina = 2sin x a -(na)n1丄

2、1(an )f(x) f(a)x a計(jì)算f /(a)=x a x acos2 2x ax a x a2si n coslim -(x)_ =lim (- )=cosaox a x a xax a(1)(3)(5)自證(乙)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算(1)f(x)與g(x)為可微分的函數(shù)。f(x)+g(x)為可微分的函數(shù)且 dx(f(x)+g(x)= dx(f(x)+ dx(g(x)成立。另一種表示：(f(x)+g(x)/=f /(x)+g/(x)證明：令h(x)=f(x)+g(x)，設(shè)a為h(x)定義域中的任一點(diǎn) h/(a)= lim 心x a x af(x) f(a)=代(x a=f /(a)+g/(a

3、)= lim f(x) g(x) f(a) g(a)x ag(x) g(a)x a)=lim(x a f(x) f(a)X a x a)+lim 巴g(a)a )例：求(x5 Vx)？dxdx推論：d (f1(x)+f2(x)+.+fn(x)=df,x)dxdf2(x)dxdfn(X)dx設(shè)f(x)為可微分的函數(shù)。cf(x)為可微分的函數(shù)。且急吩滬機(jī)特別c= 1時，忽f(x)=嚟 d(f(x) g(x)，另一種表示：(f(x) g(x)/=f/(x) g/(x)dxdx dxdddd dx(C1f1(x)+C2f2(x)+. + Cnfn(x)= d 衣”匕)+衣也匕)+.+ 6不仲山)例如:

4、(1)dx(anxn+an 1xn 1+.+a1x+ao)歡迎下載14(2)(3x5 2x3+45 x )/ =?(5)f(x), g(x)為可微分的函數(shù)。f(x)g(x)為可微分的函數(shù).ddd且 dx(f(x) g(x)= dx(f(x) g(x)+f(x) dx(g(x) 另一種表示：(f(x) g(x)/=f/(x) g(x)+f(x) g/(x) 證明：一r f d22例如：試求 一 (x x 3)(3x 2x 1) dx下面我們要推導(dǎo)例2的一般情形：df3(x)dx(a) 芻(f1(x) f2(x) f3(x) = f(X)2f3(x) 血)2 f3(x) f1(x)f2(x)dxd

5、xdx(b) d( f1f2fn) 並f2fn“2並(逐次輪流微分)dxdxdx(c) 如果 f1 f2fn f，則可得(f(x)n n(f(x)n1fdxdx例如：試求(x2 2x 3)5的導(dǎo)數(shù)。dx例題1證明竺dxrxr 1 ,r Q o若f(x), g(x)在x=a可微分，且g(a) 0 ,則因此可得：(f(x)/ f/(x)g(x) f (x)g/(x)(g(x)，(g(x)2dx g(x)f/(a)g(a) f (a)g(a) (g(a)2若 f(x)=1，則(孟)=g/(x)1(g(x)2例如:試求邛 1的導(dǎo)函數(shù)x2 x 11例如：求(齊亦)=？例如：設(shè)r為負(fù)有理數(shù)，證明dxrdx

6、rx結(jié)論：若設(shè)r為有理數(shù)，則dxrdxr 1 rx例題2求下列各函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)：(1) (x2+2x)(x2+3x+2) (2) (x 2)3(x2 1) (3)(x2+x+1)(4x3+x 4)(x+3)2x3卅Ans： (1)4x3+15x2+16x+4 (2)(x 2)2(5x2 4x 3)(3)(2x+1)(4x3+x 4)(x+3)+(x2+x+1)(12x2+1)(x+3)+ (x2+x+1)(4x3+x 4) 3(3x2+2)(x+1)(x+5)(x3+2x+1)2 (x 1)4例題3請利用(sinx)/=cosx, (cosx)/= sinx的結(jié)果證明: (tanxseCx, (

7、secx)/=secx tanx(練習(xí)1.)試求下列的導(dǎo)函數(shù)：(1)x3 6x2+7x 11(2)(x3+3x)2(2x+1)(3) (x+1)(2x2+2)(3x2+x+1)(4)(2x3+x+1)52323Ans: (1)3x2 12x+7(2)2(x3+3x)(3x2+3)(2x+1)+2(x3+3x)(3) (2x2+2)(3x2+x+1)+(x+1) (4x) (3x2+x+1)+ (x+1)(2x2+2) (6x+1) 5(2x3+x+1)4 (6x2+1)(練習(xí)2.)求下列各函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。3x +x+13x11(1)f(x)=2x2+x+3(2)f(x)= x2(3)f(x)=

8、4x3+3x2+2x+1 f(x)=x3+2x+12x4+2x3+7x2 4x+23x2+3Ans: (1)(2x2+x+3)2(2)(x2+3x+1)2123x2 2(4x3+3x2+2x+1)2 (12x +6x+2)(4)(x3+2x+1)22 dcsc x， (cscx)dxcscx cot x-J(練習(xí)3.)證明 一(cotx) dx(丙)連鎖法則(1)合成函數(shù)：(a) 設(shè) f (x) x2 x 1,g(y)3 y，則 g(f(x)3 x2 x 1。x 彳 x2 x 193 x2 x 1， (g f )(x)3 x2 x 1所以(g f)(x)為x的函數(shù)。(b) g f f g(2)

9、連鎖法則：既然(g f)(x)為x的函數(shù)，我們就可以討論 (g f)(x) dx例：設(shè) f(x) x2 2,g(x) y3，則(g f)(x)g(f(x) (x22)3利用(f (x)n n(f(x)nlfx)，可得dxdxd 232d-(x2 2)3)3(x 2)2 2x = -g(y)|ydxdy y上式并不是巧合，一般的情形亦是如此x2df(x)2 dx定理：(連鎖法則Cha in Rule)若f(x),g(y)都是可微分的函數(shù)，則合成函數(shù)(g f )(x)亦可微分，k廠 ddg(y)df (x)亠/而且丁(g f )(x)|或(g f)/(x) g/(f(x)f/(x)dxdydx例題

10、4求(3 x2x 1)/？般情形：n N，f(x)可微分，求(n f(x)/=?例題5求 f(x)=sin2x 的導(dǎo)函數(shù)。Ans： 2sinx cosx例題6求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù):3 f(x)tan3x(2) f (x) csc5x(3) f (x) tan -1 x2Ans： (1)3tan2x se(?x (2) 5csc5x cot5x x sec2 .1、1 x2(練習(xí)4.)設(shè)n為正整數(shù)而f(x)為可微分的函數(shù)，試用連鎖律去計(jì)算 Ans: n(f(x)n 1 f /(x)(練習(xí) 5.)求ddx(5 (x4(f(x)n的導(dǎo)函數(shù)。3x2x 5) = ?Ans： 1 (x4 3x2_4x 5)

11、t(41+6X 1) /(練習(xí) 6.) 3(x2x 1)2? Ans:2(2x 1)3 3 x2 x 1(練習(xí)7.)求下列各小題xsinx(1)yyAns:/y(2)y3cos x (3) y 5cos(2x 1)sinxcos4x (5) y(1) sinx xcosx (2)(4) cosxcos4x 4sinxsin4x1 sin 2x23cos xsinx (3) 10sin(2xsin xcosx一11)sin2 x(練習(xí)8.)計(jì)算下列各小題:(1)(x ”1 y=?3x_12x 16x 232 3x 5 (3x 5)求f(x)= 甘的導(dǎo)函數(shù)。Ans： f /(x)=Ans：dX(2

12、3；15)=?x2+1 3x+1Ans：(3x+1)2 ,x2+1Ans：/？例題7試求(練習(xí)g)試求4右的導(dǎo)函數(shù)Ans：144 x3 (3x 1)5(練習(xí)11.)求f(x)= . 2x . x2 1的導(dǎo)函數(shù)Ans：f /(x)=x 212i2x x21 x21x 1(練習(xí)9.)設(shè)可微函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=x，則f /(0)= ?27 4 2323(練習(xí) 12.) f (x)4 2x x 1 ，求 f3)= ？(練習(xí) 13.)設(shè) y=(x+ . 1+x2)10，試求 dy= ？Ans：10 21+x2(x+-1+x)101 3 1 2 1例題8求斜率為2,而與曲線y=f(x)=x3 2

13、x2+相切之直線方程式。Ans： 4x 2y+3=0， 2x y 3=0(練習(xí)14.)求過曲線y=f(x)=3x3+x2 2的點(diǎn)，而斜率最小的切線方程式。4Ans: y+g=( 1)(x+1)(練習(xí)15.)求通過y=x3 3x2 4x 1上x=1處之切線與法線方程式。Ans: 7x+y=0, x 7y 50=0x2 1(練習(xí)16.)函數(shù)f(x)=x2+x刁的圖形上以(0, 1)為切點(diǎn)的切線斜率為 。Ans： 1例題9設(shè)拋物線y=ax2+bx+c與直線7x y 8=0相切于點(diǎn)(2,6)，而與直線x y+1=0相切,求a,b,c之值。Ans: a=3,b= 5,c=4(85 日大 自然)例題10直

14、角坐標(biāo)上，給定一曲線：y=x3 3x2,自點(diǎn)P(2, 5)向 所作的切線方程式。Ans： 3x+y 仁0，15x 4y 50=0(練習(xí)17.)過原點(diǎn)且與曲線y=x3 3x2 1相切之直線方程式。Ans： y= 3x，y=x。(練習(xí)18.)設(shè)拋物線y=a/+bx+c過點(diǎn)(1,1)，且與直線x y=3相切于(2, 1)。求a,b,c之值A(chǔ)ns: a=3， b= 11， c=9例題11設(shè)a,b,c為實(shí)數(shù)，已知二曲線y=x2+ax+b與y= x3+c在點(diǎn)A(1, 2)處相切，L為兩曲線在A點(diǎn)的公切線，試求(1)a,b,c求L的方程式。Ans： (1)a= 5, b=2, c= 1 (2)3x+y 1=

15、0(練習(xí)19.)拋物線:y=p(x)的對稱軸平行于y軸，且 與x軸交于點(diǎn)(2,0),并在x=1時與函數(shù)y=x4+1的圖形相切，試求 p(x)= ？ Ans： p(x)= 6/+16x 8(練習(xí)20.)求y=x3 3x，y=x3 3x+32兩曲線的公切線方程式。 Ans： 9x y+16=0綜合練習(xí)1.y 4x233x 5Ans:(1) I亠dy，求dx=? f(x)223 3x 512x2 40x 34x21 41一x，求 f/g)=? (3)f(x)=x3(x3+5x)10，求 f /(x)4、；3Tx35x 9 33x5 65x32.求下列各函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)：(1) f (x)3 (x251)

16、(2)f(x)2x(2x1)5 (3)f(x)(2x1)4,25(x 1)Ans： (1) f(x) 10x(2) f(x)3 f(x)(2x 1)3(8 1X E)2410x(x2)(x 1)/ 2 6(x 1)3.試求下列個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù):(1) f (x) sin x f (x) f(x) f (x). cosx ( x )(3) f (x)2 2sin(x2 1) (5) f (x)sin2(x3)2sin2x.1 cos x (8) f (x)cosxtan-x(6) f (x) tan2 xseS x2 2xcos(x 1)八 /八 cos Jxsin x i 2 1Ans:斫 2/co hec;233sin 2x2(5) 6x sin(x ) cos(x ) (6)0(7) (8) sin xsec x sinx1 cos2 x4. (1)設(shè) f (x). ax21，若 f1)=2，則 a=?(2)設(shè) f(x), 3： 5，則 f /(2) =? Ans： (1)2 5. 設(shè) y u3 4 , u x2 2x，求 dy =? Ans： 6x2(x 2)2(x 1)dx6. 求f