考研高等數(shù)學(xué)公式(word版-全面).doc

1、導(dǎo)數(shù)公式：(tgx )sec 2 x( ctgx)csc 2x(secx )sec xtgx(cscx )cscx ctgx( a x )a x ln a(log1a x )ax ln基本積分表：三角函數(shù)的有理式積分：tgxdxln cos xCctgxdxln sin xCsec xdxln sec xtgxCcsc xdxln csc xctgxCdx1xCa 2x 2arctgaadxa 21ln xaCx22 axadx1axCa 2x 22 alnxadxarcsinxCa 2x 2a高等數(shù)學(xué)公式(arcsinx )11x 2(arccosx )11 x 2( arctgx)1x21

2、( arcctgx)11x 2dxsec2xdxtgx Ccos 2xdxxcsc 2xdxctgxCsin 2sec xtgx dxsec xCcsc xctgxdxcsc xCa x dxa xCln ashxdxchxCchxdxshxCdxa 2ln( xx 2a 2 )Cx22sin n xdx2cos n xdxn1 I n 2I n00n2x2a 2 dxxx 2a 2aln( xx2a 2 )C22x2a 2 dxxx 2a 2a 2 ln xx 2a 2C22a 2x 2 dxxa 2x2a 2arcsinxC22a2u1u2，x， dx2dusin x2， cosxu2u

3、tg1 u21 u12一些初等函數(shù)：兩個重要極限：雙曲正弦e xe x: shx2雙曲余弦e xe x: chx2雙曲正切shxe xe: thxe xechxarshxln( xx 21）sinxlim1x 0xlim (11 ) x e 2. 7182818284 59045 .x xxxarchxln( xx 2 1)arthx1 ln 1x2 1x三角函數(shù)公式：誘導(dǎo)公式：和差角公式：sin()sincoscoscos()coscossintg ()tgtg1 tgtgctg ()ctgctg1ctgctg倍角公式：半角公式：函數(shù)sincostgctg角 A- -sin cos -tg

4、-ctg90 - cos sin ctg tg 90 +cos -sin -ctg -tg 180 - sin -cos -tg -ctg180 +-sin -cos tg ctg 270 - -cos -sin ctg tg 270 +-cos sin -ctg -tg 360 - -sin cos -tg -ctg360 +sin cos tg ctg 和差化積公式：sinsinsin2sincossin22sinsin2 cossin22coscos2 coscos22coscos2 sinsin22sin 22 sincoscos 22 cos21 12 sin 2cos 2sin 2

5、sin 33sin4sin 3ctg 2ctg 21cos 34 cos33 cos2ctg3tgtg 32tgtg 31 3tg 2tg 21tg 2sin1coscos1cos2222tg1cos1 cossinctg1cos1 cossin1cossin1 cos1cossin1cos22正弦定理：abc余弦定理：c2a2b22ab cosCsin Asin B2Rsin C反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsin xarccosxarctgxarcctgx22高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲（Leibniz ）公式：n(uv) ( n)Cnk u ( n k ) v( k )k 0u( n) vnu (n 1

6、) vn(n 1) u( n 2) vn(n 1) (n k 1) u( n k ) v( k )uv( n)2!k!中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：拉格朗日中值定理：f (b)f ( a)f ( )(b a)柯西中值定理： f (b)f ( a)f ()F (b)F ( a)F ()當(dāng) F(x ) x時，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式： ds1y 2 dx,其中 ytg平均曲率：K.: 從 M 點到 M 點，切線斜率的傾角變 化量；s：MM 弧長。sM 點的曲率： Klimdy.sds2s 0(1 y)3直線： K 0;半徑為 a 的圓： K1 .a定積分的近似計算：bba ( y

7、0矩形法： f ( x)y1y n 1 )anbba 1 ( y0梯形法： f ( x)y n )y1yn 1 an2bb a拋物線法： f ( x)2( y2y4yn 2 ) 4( y1y3yn 1 )( y0 y n )a3n定積分應(yīng)用相關(guān)公式：功： WFs水壓力： FpA引力： Fk m1 m2 ,k為引力系數(shù)r 21b函數(shù)的平均值： yf ( x)dxb a a1bf 2 (t )dt均方根：ba a空間解析幾何和向量代數(shù)：空間2 點的距離：dM 1M 2( x 2x 1 ) 2( y 2y 1 ) 2( z 2z 1 ) 2向量在軸上的投影：Prj uABABcos,是 AB 與 u

8、 軸的夾角。Pr j u ( a 1a 2 )Pr j a 1Pr j a 2a bab cosa x b xa y b ya z b z , 是一個數(shù)量,兩向量之間的夾角：cosa x b xa y b ya z b z22a z2222a xa yb xb yb zijkca ba xa ya z, cabsin.例：線速度：vwr .b xb yb za xa ya z向量的混合積： a b c ( a b ) cb xb yb za b c cos , 為銳角時，c xc yc z代表平行六面體的體積。平面的方程：1、點法式：A ( xx 0 )B ( yy 0 )2、一般方程：AxB

9、yCzD3、截距世方程：xyz1abc平面外任意一點到該平面的距離：空間直線的方程：x x 0yy 0mn二次曲面：C ( zz 0 )0，其中n A , B ,C , M 0 ( x 0 , y0 , z 0 )0Ax0 By0Cz 0 DdA 2B 2C 2z z 0xx 0mtt ,其中 s m , n , p ; 參數(shù)方程：yyntp0zz0pt1、橢球面：x 2y 2z 21a 2b 2c 2、拋物面：x 2y 2（p, q同號）22 p2 qz ,3、雙曲面：單葉雙曲面：x 2y 2z 21a 2b 2c 2雙葉雙曲面：x 2y 2z 2（馬鞍面）a 2b 2c 21多元函數(shù)微分法

10、及應(yīng)用全微分：zzdyudxuudzdxdudydzxyxyz全微分的近似計算：zdzf x ( x , y ) xf y( x , y )y多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：zf u ( t ), v ( t )dzzdtuzf u ( x , y ), v ( x , y )zx當(dāng) uu ( x , y )， vv ( x , y ) 時，duu dxudydvxy隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：隱函數(shù)F ( x , y )0 ，dydx隱函數(shù)F ( x , y , z ) 0，zxuzvtvtzuzvuxvxv dxv dyxyF x ，d 2 y(F x )(F x )dyF ydx 2xF yyF ydxF

11、x，zF yF zyF zF ( x, y ,u ,v )0(F,G)FFF uF vuv隱函數(shù)方程組：JGGG uG vG ( x, y ,u ,v ) 0( u , v )uvu1(F,G)v1(F,G)xJ( x , v)xJ( u, x)u1(F,G)v1(F,G)yJ( y ,v )yJ( u, y )微分法在幾何上的應(yīng)用：x( t )xx 0yy0zz0空間曲線y( t )在點 M ( x 0, y 0 , z0 )處的切線方程：( t 0 )(t 0 )( t 0 )z(t )在點 M 處的法平面方程：(t 0 )( xx0 )(t 0 )( y y0 )(t 0 )( zz0

12、)0F ( x , y, z) 0F yF zF zF xF xF y若空間曲線方程為：,則切向量 T ,G zG x,G ( x , y, z) 0G yG zG xG y曲面 F ( x, y , z ) 0 上一點M ( x0 , y0 , z0 )，則：1、過此點的法向量：2、過此點的切平面方程3、過此點的法線方程：n F x ( x0 , y0 , z0 ), F y ( x0 , y 0 , z0 ), Fz ( x 0 , y 0 , z0 )： Fx ( x0 , y 0 , z 0 )( xx 0 )F y ( x0 , y0 , z0 )( yy0 ) F z ( x 0

13、, y 0 , z0 )( z z 0 ) 0x x0yy0z z0F x ( x 0 , y0 , z0 )F y ( x 0 , y0 , z0 )F z ( x 0 , y0 , z0 )方向?qū)?shù)與梯度：函數(shù) zf ( x , y )在一點p( x, y) 沿任一方向l 的方向?qū)?shù)為：ffflcossinxy其中為 x 軸到方向 l的轉(zhuǎn)角。函數(shù) zf ( x , y )在一點p( x, y)的梯度：grad f ( x, y)ffijxy它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是： f grad f( x, y) e ，其中 ecosi sinj ，為 l方向上的l單位向量。f 是 grad f ( x ,

14、y )在 l上的投影。l多元函數(shù)的極值及其求法：設(shè) f x ( x0 , y 0 )f y ( x 0 , y 0 )0，令： f xx ( x 0 , y0 ) A , f xy ( x0 , y 0 ) B , f yy ( x0 , y 0 ) CACB 2A0 ,( x 0, y 0)為極大值0時，0 ,( x 0, y 0B 2A)為極小值則： AC0時，無極值A(chǔ)CB 20時 ,不確定重積分及其應(yīng)用：f ( x, y )dxdyf (r cos , r sin) rdrdDD2z2曲面 zf ( x, y )的面積 A1zdxdyxyDM xx ( x , y ) dM yDy (

15、x, y) d平面薄片的重心：D,yxM( x, y) dM( x, y ) dDD平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量：對于 x 軸 I xy 2( x, y) d,對于y軸 I yx 2( x, y ) dDD平面薄片（位于xoy 平面）對z軸上質(zhì)點M(0 ,0 ,a ), ( a0) 的引力：F F x , F y , F z ，其中：F xf( x , y ) xd，F(xiàn) yf( x, y ) yd，F(xiàn) zfa( x, y) xd333D ( x 2y 2a 2 ) 2D ( x 2y 2a 2 ) 2D ( x 2y 2a 2 ) 2柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)：xr cos柱面坐標(biāo)：yr sin,f ( x ,

16、 y , z ) dxdydzF ( r , z ) rdrddz ,zz其中： F( r , , z)f ( r cos, r sin, z )xr sincos球面坐標(biāo)：yr sinsin，dv rdr sinddrr 2sindrddzr cos2r (, )f ( x , y , z ) dxdydzF ( r ,) r 2 sindrddddF ( r , ,) r 2 sindr000重心： x1xdv ,y1dv ,z1z dv ，其中MxdvMyMM轉(zhuǎn)動慣量：I x( y 2z 2 )dv，I y( x 2z 2 )dv ，I z( x 2y 2 )dv曲線積分：第一類曲線積分

17、（對弧長的曲線積分）：設(shè) f ( x , y )在 L 上連續(xù)，L 的參數(shù)方程為：x(t )(t), 則：y,(t )f ( x, y) dsf ( t ), (t )2 ( t )2 (t ) dt()特殊情況：x ty( t )L第二類曲線積分（對坐標(biāo)的曲線積分）：設(shè) L 的參數(shù)方程為x( t ) ，則：y( t )P ( x , y ) dxQ ( x , y ) dy P ( t ),( t )( t )Q ( t ),( t )( t ) dtL兩類曲線積分之間的關(guān)系： PdxQdy( P cosQ cos) ds，其中和分別為LLL 上積分起止點處切向量的方向角。格林公式：( QP

18、) dxdyPdxQdy 格林公式：(QP ) dxdyPdxQdyDxyLDxyL當(dāng) Py , Qx ，即：QP2時，得到D 的面積：Adxdy1xdyydxxy2 LD平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件：1、 G 是一個單連通區(qū)域；2、 P ( x , y )， Q ( x , y ) 在 G 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且Q P 。注意奇點，如( 0, 0)，應(yīng)xy減去對此奇點的積分，注意方向相反！二元函數(shù)的全微分求積：在 Q P 時， PdxQdy 才是二元函數(shù)u ( x , y )的全微分，其中：xy( x , y )u ( x , y )P ( x , y ) dxQ ( x , y ) d

19、y，通常設(shè)x 0y 00。( x 0 , y 0)曲面積分：對面積的曲面積分：對坐標(biāo)的曲面積分：R( x, y, z )dxdy22f ( x , y, z) dsf x, y, z( x , y )1zx ( x, y)zy ( x, y) dxdyD xyP ( x, y, z) dydzQ ( x, y, z) dzdxR( x, y, z )dxdy ，其中：R x, y, z ( x, y ) dxdy ，取曲面的上側(cè)時取正號；D xyP ( x, y, z )dydzP x( y, z ), y, z dydz ，取曲面的前側(cè)時取正號；D yzQ ( x, y , z) dzdxQ

20、 x, y( z, x ), z dzdx ，取曲面的右側(cè)時取正號。D zx兩類曲面積分之間的關(guān)系：PdydzQdzdxRdxdy( P cosQ cosR cos)ds高斯公式：( PQR ) dvPdydzQdzdxRdxdy( P cosQ cosR cos)dsxyz高斯公式的物理意義 通量與散度：散度： divPQR ,即：單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量，若div0 ,則為消失 .xyz通量： AndsAn ds(P cosQ cosR cos) ds ，因此，高斯公式又可寫成： div A dvA n ds斯托克斯公式曲線積分與曲面積分的關(guān)系：( RQ ) dydz(PR ) dzdx

21、( QP) dxdyPdxQdyRdzyzzxxydydzdzdxdxdycoscoscos上式左端又可寫成：xyzxyzPQRPQR空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件：RQ ，PR ，QPyzzxxyijk旋度：rotAxyzPQR向量場A 沿有向閉曲線的環(huán)流量：PdxQdyRdzAt ds常數(shù)項級數(shù)：等比數(shù)列：1qq2q n 11q n1q等差數(shù)列：123( n1) nn2調(diào)和級數(shù)：111 是發(fā)散的123n級數(shù)審斂法：1、正項級數(shù)的審斂法 根植審斂法（柯西判別法）：1時，級數(shù)收斂設(shè)：limnu n ，則1時，級數(shù)發(fā)散n1 時，不確定2 、比值審斂法：U1時，級數(shù)收斂設(shè)：limn 1 ，則1時，級

22、數(shù)發(fā)散nUn1時，不確定3、定義法：s nu 1u 2u n; lims n 存在，則收斂；否則發(fā)散。n交錯級數(shù) u1 u2 u3u4(或 u1u2 u3,un0)的審斂法 萊布尼茲定理：如果交錯級數(shù)滿足unun 1 ，那么級數(shù)收斂且其和 s u1 ,其余項 rn的絕對值 rn un 1。lim un0n絕對收斂與條件收斂：( 1 ) u 1u 2u n，其中u n 為任意實數(shù)；( 2 ) u 1u 2u 3u n如果( 2 )收斂，則( 1 ) 肯定收斂，且稱為絕對收斂級數(shù)；如果( 2) 發(fā)散，而( 1 ) 收斂，則稱( 1 ) 為條件收斂級數(shù)。調(diào)和級數(shù)：1發(fā)散，而(1 ) n收斂；nn級數(shù)

23、：1收斂；n 2p 級數(shù)：1時發(fā)散npp1 時收斂冪級數(shù)：x1時，收斂于11 x x 2x 3x n1 xx1時，發(fā)散對于級數(shù)(3 )a 0a 1 x a 2 x2an xn，如果它不是僅在原點收斂，也不是在全xR 時收斂數(shù)軸上都收斂，則必存在 R，使xR 時發(fā)散，其中R 稱為收斂半徑。x R 時不定10時， R求收斂半徑的方法：設(shè)lima n1，其中a n， a n 1 是 (3 )的系數(shù)，則0時， Rann時，R 0函數(shù)展開成冪級數(shù)：函數(shù)展開成泰勒級數(shù)：f (x)f ( x0 )( x x0 )f ( x0 ) (xx0 )2f ( n ) ( x0 ) (xx0 )n2!n!余項： Rf

24、 (n 1)( )x ) n 1 , f (x)可以展開成泰勒級數(shù)的充要條件是： lim R0(xn(n1)!0nnx0 0時即為麥克勞林公式：f ( x) f ( 0)f (0 )x 2f (n ) (0 )f (0)xx n2!n!一些函數(shù)展開成冪級數(shù)：(1 x)m1 mxm(m1) x2m(m1)(mn1) xn(1 x1)x3x52!x2n 1n!sin xx( 1)n 1(x)3!5!(2n1)!歐拉公式：cosxeixe ixix2cosxi sin x或eeixe ixsin x2三角級數(shù)：f ( t)A0An sin( nta 0(a n cos nxbn sin nx )n)

25、2n 1n 1其中， a0aA 0， anAn sinn， b nAn cosn，tx。正交性：1, sin x,cos x,sin 2 x, cos 2 xsin nx ,cos nx任意兩個不同項的乘積在, 上的積分 0。傅立葉級數(shù)：f ( x)a 0(a n cos nxbnsin nx )，周期22n 1a n1f ( x) cos nxdx( n0,1,2)其中1bnf ( x)sin nxdx(n 1,2 ,3)11211121（相加）125 282 23 24 236111211112（相減）2 24 26 2242 23 24 212正弦級數(shù)：an0， b n2f ( x) s

26、in nxdxn1,2,3f ( x)b n sin nx是奇函數(shù)0余弦級數(shù)：bn0， a n2f ( x) cos nxdxn0,1,2a0a ncos nx是偶函數(shù)f (x )02周期為 2l的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)：f ( x )a 0nxnx，周期2 l2( a n cosbn sin)n1llan1 lf ( x ) cos nx dx( n0,1,2)其中l(wèi)ll1 lnxbndx( n1,2,3)l lf ( x ) sinl微分方程的相關(guān)概念：一階微分方程：yf ( x, y)或P( x, y)dxQ (x, y)dy0可分離變量的微分方程：一階微分方程可以化為 g( y)dyf ( x)dx的形式，解法：g ( y)dyf (x )dx得： G