多元統(tǒng)計分析方法

1、多元統(tǒng)計分析概述目錄一、引言 .3二、多元統(tǒng)計分析方法的研究對象和主要內(nèi)容 .31多元統(tǒng)計分析方法的研究對象 .32.多元統(tǒng)計分析方法的主要內(nèi)容.3三、各種多元統(tǒng)計分析方法 .3 1.回歸分析 .3 2.判別分析 .63.聚類分析.84.主成分分析.105.因子分析.106.對應(yīng)分析方法.117.典型相關(guān)分析.11四、多元統(tǒng)計分析方法的一般步驟 .12五、多元統(tǒng)計分析方法在各個自然領(lǐng)域中的應(yīng)用 .12六、總結(jié) .13參考文獻(xiàn) . 14謝15一、引言統(tǒng)訃分布是用來刻畫隨機變屋特征及規(guī)律的重要手段，是進(jìn)行統(tǒng)訃分布的基礎(chǔ) 和提高。多元統(tǒng)計分析方法則是建立在多元統(tǒng)訃分布基礎(chǔ)上的一類處理多元統(tǒng)計數(shù) 據(jù)方

2、法的總稱，是統(tǒng)計學(xué)中的具有豐富理論成果和眾多應(yīng)用方法的重要分支。在本 文中，我們將對多元統(tǒng)計分析方法做一個大體的描述，并通過一部分實例來進(jìn)一步 了解多元統(tǒng)計分析方法的具體實現(xiàn)過程。二、 多元統(tǒng)計分析方法的研究對象和主要內(nèi)容（一）多元統(tǒng)計分析方法的研究對象山于大量實際問題都涉及到多個變量，這些變量乂是隨機變量，所以要討論 多個隨機變量的統(tǒng)訃規(guī)律性。多元統(tǒng)訃分析就是討論多個隨機變量理論和統(tǒng)計方 法的總稱。其內(nèi)容包括一元統(tǒng)計學(xué)中某些方法的直接推廣，也包括多個隨即便量 特有的一些問題，多元統(tǒng)計分析是一類范圉很廣的理論和方法。現(xiàn)實生活中，受多個隨機變量共同作用和影響的現(xiàn)象大量存在。統(tǒng)計分析中， 有兩種方

3、法可同時對多個隨機變量的觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行有效的分析和研究。一種方法 是把多個隨機變量分開分析，一次處理一個隨機變量，分別進(jìn)行研究。但是，這 樣處理忽略了變量之間可能存在的相關(guān)性，因此，一般丟失的信息太多，分析的 結(jié)果不能客觀全面的反映整個問題，而且往往也不容易取得好的研究結(jié)論。另一 種方法是同時對多個隨機變量進(jìn)行研究分析，此即多元統(tǒng)計方法。通過對多個隨 即便量觀測數(shù)據(jù)的分析，來研究隨機變量總的特征、規(guī)律以及隨機變量之間的相 互關(guān)系。所以，多元統(tǒng)計分析是研究多個隨機變量之間相互依賴關(guān)系及內(nèi)在統(tǒng) 計 規(guī)律的一門統(tǒng)計學(xué)科。（二）多元統(tǒng)計分析方法的主要內(nèi)容近年來，隨著統(tǒng)計理論研究的不斷深入，多元統(tǒng)訃分析方

4、法的內(nèi)容一直在豐富。 其中，主要內(nèi)容包括多元正態(tài)總體參數(shù)估計、假設(shè)檢驗和常用的多元統(tǒng)計方法。多 元正態(tài)總體參數(shù)估計、假設(shè)檢驗是多元統(tǒng)計推斷的核心和基礎(chǔ)，而常用的多元統(tǒng)計 分析方法則是具體應(yīng)用。從形式上，常用多元統(tǒng)計分析方法可劃分為兩類：一類屬于單變量常用的統(tǒng)訃方法在多元隨機變量情況下的推廣和應(yīng)用，如多元 回歸分析，典型相關(guān)分析等；另一類是對多元變量本身進(jìn)行研究所形成的一些特殊方法。如主成分分析，因 子分析，聚類分析，判別分析，對應(yīng)分析等。三、各種多元統(tǒng)計分析方法具體來說，常用的多元統(tǒng)計分析方法主要包括：多元回歸分析、聚類分析、 判別分析、主成分分析、因子分析、對應(yīng)分析、典型相關(guān)分析等。下面我們

5、對各 種多元統(tǒng)計分析方法就行分別描述，（一）回歸分析回歸分析是最靈活最常用的統(tǒng)計分析方法之一，它用于分析一個因變量與一個 或多個自變量之間的關(guān)系。特別是用于：（1）定量的描述和解釋相互關(guān)系；（2）估 測或預(yù)測因變量的值?；貧w分析方法是在眾多的相關(guān)變量中，根據(jù)實際問題考察其中一個或多個變量 與其余變量的依賴關(guān)系。如果只要考察一個變量與其余多個變量之間的相互依賴關(guān) 系，我們稱為多元回歸問題。若要同時考察多個因變量與多個自變量之間的相互依 賴關(guān)系，我們稱為多因變量的多元回歸問題。多元回歸分析是研究因變量Y與m個自變量Xi,血，x川的相關(guān)關(guān)系， 而且總是假設(shè)因變量Y為隨機變量，而XI, X2, x,M

6、為一般變量。下面我們來看一下多元線性回歸模型的建立。假定因變量Y與A., a,，xmxm線性相關(guān)。收集到的n組數(shù)據(jù)(ym,Xr2,L, x xlnilni) ) ( t=l,2, n)滿足以下回歸模型：yiyi = =+ + XtXt + + + + mXmi+mXmi+ /(r=l,2,LE(E( t )=0,W/( z)= 2 2,Cov(,Cov( f, ； )=0(/ 力或 /N(0, 2),相互獨立(t二 1,2,L n).記1 XII K Xlmc= MOM =(1 MX)1 X/ilL Xnm則所建回歸模型的矩陣形式為Y=CY=C + +, ,E( )=on D( ) = hr或

7、Y=C +,M(0, 2/”),并稱它們?yōu)榻?jīng)典多元回歸模型，其 中Y是可觀測的隨機向量， 是不可觀測的隨機向量，C是已知矩陣， ，： 是未知參數(shù)，并設(shè)nm,且rank(C)=m+lo在經(jīng)典回歸分析中，我們討論模型中參數(shù) =(。，i,L, /)和2的估計和 檢 驗問題。近代回歸分析中討論變量篩選、估計的改進(jìn)，以及對模型中的一些假 設(shè)進(jìn)行診斷等問題。我國國內(nèi)生產(chǎn)總值與基本建設(shè)投資額的大小有密切關(guān)系，研究發(fā)現(xiàn)兩變量之間存在線性關(guān)系。根據(jù)甘肅省1990-2003年的國內(nèi)生產(chǎn)總值與基本建設(shè)投資額數(shù)據(jù)，研究它們的數(shù)量規(guī)律性，探討甘肅省基本建設(shè)投資額與國內(nèi)生產(chǎn)總值的數(shù)量 關(guān)系，原始數(shù)據(jù)見下表。年份GDP （

8、億元）基本建設(shè)投資（億元）1990242.829.041991271.3933.961992317.7939.221993372.2442.891994451.665&191995553.3562.621996714.18101.421997781.34121.741998869.75157.141999931.98187.492000983.36208.2820011072.51228.6320021161.43263.0620031304.6307.3利用excel進(jìn)行分具體輸出以下數(shù)平方和自由度方差F檢驗值回歸1553189.711553189.7殘差59475.667124956.30

9、563133765001離差1612665.413復(fù)相關(guān)系數(shù) R =.981386594345333剩 余 標(biāo)準(zhǔn)差SY =70.4010340269248回歸方差與剩余方差之比F =313.376500123223各個自變量 的t檢驗值17.70244334 t檢驗的自由度N-P-1 =12F檢驗的自由度第自由度=1,第二自由度=12各個自變量的偏回歸平方和1553189.7各個自變量的偏相關(guān)系數(shù)0.981386594由輸出結(jié)果,得以下結(jié)論：回歸方程為y=232.70+3.68x其中，負(fù)相關(guān)系數(shù)為疋=0.9814,說明回歸方程擬合優(yōu)度較高。而回歸系數(shù)的J22(XO)=(XO-2 )2(78-7

10、5)24.00=2.25o因為心o）=l5v4=心（按這種距離準(zhǔn)則應(yīng)判X（為設(shè)備B生產(chǎn)的。一般的，我們假設(shè)總體0的分布為N（, M （2 22）,厲，總體G2的分布為則利用相對距離的定義，可以找出分界點 ，1 2）,和（不妨設(shè)（2）1=17.7024,查t分布表加25（12） = 2.1788 ,小于t值，因此回歸系數(shù)顯著。查F分布表，F(xiàn)（l,12） =4.75,由下表知,F=313.37654.75,因此回歸方程也顯著。平方和自由度方差F檢驗值回歸1553189.711553189.7殘差59475.667124956.3056離差1612665.413313.3765001（二）判別分析判

11、別分析是多元統(tǒng)計分析中用于判別樣品所屬類型的一種統(tǒng)計分析方法，是 一種在已知研究對象用某種方法已經(jīng)分成與若干類的情況下，確定新的樣品屬于 哪一類的多元統(tǒng)計分析方法。判別方法處理問題時，通常通常要給出用來衡量新樣品與各已知組別的接近 程度的指數(shù)，即判別函數(shù)，同時也指定一種判別準(zhǔn)則，借以判別新樣品的歸屬。 所謂判別準(zhǔn)則是用于衡量新樣品與各已知組別接近程度的理論依據(jù)和方法準(zhǔn)則。 常用的有，距離準(zhǔn)則、Fisher準(zhǔn)則、貝葉斯準(zhǔn)則等。距離判別的基本思想是：樣品 和那個總體距離最近，就判斷它屬于哪個總體。距離判別也稱直觀判別。已知有兩個類G和G2,比如Gi是設(shè)備A生產(chǎn)的產(chǎn)品，G2是設(shè)備B生產(chǎn)的 同類產(chǎn)品。

12、設(shè)備A的產(chǎn)品質(zhì)量高（如考察指標(biāo)為耐磨度X）,其平均耐磨度=80,反映設(shè)備精度的方差2 =0.25；設(shè)備B的產(chǎn)品質(zhì)量稍差，其平均耐磨 度 2=75,反映設(shè)備精度的方差22=4O今有一產(chǎn)品X測得耐磨度戰(zhàn)=78,試判斷該產(chǎn)品是哪一臺設(shè)備生產(chǎn)的？下面考慮一種相對于分散性的距離。記X。與G或6的相對平均距離為J22(XO),則有：Jr(x()=(0,則Xi Gi (第一類)。又如，第一類的第11個樣品0=(1.00,4.50,12.00)丁，( X)=0.3083V0,故 0)G G (第二類)。將(X)投入使用，可判別小麥品種的分葉類型，如測得某小麥品種x1=U2 = 3.43 ,X3 =16.25,

13、則由(X)=-2.91280判別該品種為分廉型。(三)聚類分析聚類分析是將樣品或變量按照它們在性質(zhì)上的親疏程度進(jìn)行 分類的多元統(tǒng) 訃分析方法。聚類分析時，用來描述樣品或變量的親疏程度通常有 來兩個途徑，一是把每個樣品或變量看成是多維空間上的一個點，在多維坐標(biāo) 中，定一點與點，類和類之間的距離，用點與點間距離來描述樣品或變量之間的 親疏程度：另一個 是計算樣品或變量的相似系數(shù)，用相似系數(shù)來描述樣品或變量 之間的親屬程度。聚類分析是實用多元統(tǒng)計分析的一個新的分支，聚類分析的功能是建立一種 分類方法，他將一批樣品或變量，按照它們在性質(zhì)上的親疏、相似程度進(jìn)行分類。聚類分析的內(nèi)容十分豐富，按其聚類的方法

14、可分為以下兒種：(1)系統(tǒng)聚類法：開始每個對象自成一類，然后每次將最相似的兩類合并，合 并后重新計算新類與其他類的距離或相近性測度。這一過程可用一張譜系聚類 圖 描述。(2)調(diào)優(yōu)法(動態(tài)聚類法)：首先對n個對象初步分類，然后根據(jù)分類的損失函 數(shù)盡可能小的原則對其進(jìn)行調(diào)整，直到分類合理為止。(3)最優(yōu)分割法(有序樣品聚類法)：開始將所有樣品看做一類，然后根據(jù)某種 最優(yōu)準(zhǔn)則將它們分割為二類、三類，一直分割到所需的K類為止。這種方法適用 于有序樣品的分類問題，也稱為有序樣品的聚類法。(4)模糊聚類法：利用模糊集理論來處理分類問題，它對經(jīng)濟領(lǐng)域中具有模糊 特征兩態(tài)數(shù)據(jù)或多態(tài)數(shù)據(jù)具有明顯的分類效果。(5

15、)圖論聚類法：利用圖論中最小支撐樹的理論來處理分類問題，創(chuàng)造了獨具 風(fēng)格的方法。(6)聚類預(yù)報法：利用聚類方法處理預(yù)報問題，在多元統(tǒng)計分析中，可以用來 做預(yù)報的方法很多，如回歸分析和判別分析。但對一些異常數(shù)據(jù)，如氣象中的災(zāi)害 性天氣的預(yù)報，使用回歸分析或判別分析處理的效果都不好，而聚類預(yù)報彌 補了 這一不足，只是一個值得重視的方法。聚類分析根據(jù)對象的不同乂分為R型和Q型兩大類，R型是對變量(指標(biāo))進(jìn) 行分類，Q型是對樣品進(jìn)行分類。R型聚類分析的目的有以下兒方面：(1)可以了解變量間及變量組合間的親疏關(guān)系；(2)對變量進(jìn)行分類；(3)根據(jù)分類結(jié)果及它們之間的關(guān)系，在每一類中選擇有代表性的變量作為

16、重 要變量，利用少數(shù)兒個重要變量進(jìn)一步作分析計算，如進(jìn)行回歸分析或Q型聚類 分析等。Q型聚類分析的口的主要是對樣品進(jìn)行分類。分類的結(jié)果是直觀的，且比傳統(tǒng) 的分類方法更細(xì)致、全面、合理。當(dāng)然使用不同的分類方法通常有不同的分類 結(jié) 果。對任何觀測數(shù)據(jù)都沒有唯一 “正確”的分類方法。實際應(yīng)用中，常采用不同的 分類方法，對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析訃算，一邊對分類提供具體意見，并山實際工作者決定 所需要的分類數(shù)及分類情況。下面是聚類分析的一個簡單例子。有五個樣品，每個只測量了一個指標(biāo)，分別 為126&11,我們用最短距離法將它們分類。(1MI算五個樣品兩兩間的距離，得初始類間的距離矩陣D*C1G2c3c4c5C10

17、G210c3540c47620109530(2)由知類間最小距離為1,于是將G和6合并成G-并計算G和其他類 之間的距離，的新的距離陣c6c3c4G60G340c4620G59530(3)由6)知，類間最小距離為2,合并G?和G為6 計算G?與其他類間的 距離得矩陣02”930（4）由02）知，類間的最小距離為3,將G和G?合并為G,得新的距離矩陣 D D,0 0c640c8（5）最后將Ge和Gs合并為G）,這時五個樣品聚為一類。（四） 主成分分析主成分分析是采取一種數(shù)學(xué)降維的方法，找出兒個綜合變量來代替原來眾多 的變量，是這些綜合變量盡可能的代表原來變量的信息，而且彼此之間互不相關(guān)。 這種把

18、多個變化量化為少數(shù)兒個互相無關(guān)的綜合變量的統(tǒng)汁分析方法就叫做主成 分分析或主分量分析。主成分分析所要做的就是設(shè)法將原來眾多具有一定相關(guān)性的變量，重新組合 為一組新的相互無關(guān)的綜合變量來代替原來變量。通常，數(shù)學(xué)上的處理方法就是將 原來的變量做線性組合，作為新的綜合變量，但是這種組合如果不加以限制，則可 以有很多，應(yīng)該如何選擇呢？如果將選取的第一個線性組合即笫一個綜合變量記 為Fi,自然希望它盡可能多的反映原來變量信息，這里信息用方差來測量，即希 望伙用）越大，表示用包含信息越多。因此在所有線性組合中所選取的尺應(yīng) 該 是方差最大的，故稱刊為第一主成分。如果第一主成分不足以代表原來p個變量 的信息，

19、再考慮選取尺即第二個線性組合，為了有效地反映原來信息，用已有的 信息就不需要再出現(xiàn)在尺中，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)就是要求C（F2）=0,稱尺為第 二主成分，以此類推可以構(gòu)造出第三、四第p個主成分。（五）因子分析因子分析是主成分分析的推廣和發(fā)展，它是由研究原始數(shù)據(jù)相關(guān)矩陣的內(nèi)部 依賴關(guān)系出發(fā)，把一些具有錯綜復(fù)雜關(guān)系多個變量（或樣品）綜合為少數(shù)兒個因子， 并給出原始變量與綜合因子之間相關(guān)關(guān)系的一種多元統(tǒng)訃分析方法。它也屬 于多元分析中數(shù)據(jù)降維的一種統(tǒng)計方法。因子分析是通過變量（或樣品）的相關(guān)系 數(shù)矩陣內(nèi)部結(jié)構(gòu)的研究，找出存在于所有變量（或樣品）中具有共性的因素，并綜 合為少數(shù)兒個新變量，把原始變 量表示成

20、少數(shù)兒個綜合變量的線性組合，以再現(xiàn) 原始變量與綜合變量之間的相關(guān) 關(guān)系。其中，這里的少數(shù)兒個綜合變量一般是不 可觀測指標(biāo)，通常稱為公公因子。因子分析常用的兩種類型：一種是R型因子分析，即對變量進(jìn)行因子分析： 另一種叫做Q型因子分析，即對樣品進(jìn)行的因子分析。（六）對應(yīng)分析方法 對應(yīng)分析乂稱為相應(yīng)分析，是一種口的在于揭示和樣品之 間或者定性量資料中變量與其類別之間的相互關(guān)系的多元統(tǒng)計分析方法。對應(yīng) 分析的關(guān)鍵是利用一種數(shù)據(jù)變換，使含有p個變量n個樣品的原始數(shù)據(jù)矩陣，變 換成為一個過渡矩陣乙 并通過矩陣Z將R型因子分析和Q型因子分析有機的 結(jié)合起來。具體地說，首先給出進(jìn)行R型因子分析時變量點的協(xié)差陣

21、A二Z Z和 進(jìn)行Q型因子分析時樣品點的協(xié)差陣B二ZZ ,山于Z Z和ZZ有相同的非零 特征根，記為L 0 m m min （ p,p, n n）依據(jù)證明，如果A的特征根i對應(yīng)的特征向量為6 ,則B的特征根：對 應(yīng)的特征向量就是ZUiViZUiVi9 9根據(jù)這個結(jié)論就可以很方便的借助R型因子分析而 得到Q型因子分析的結(jié)果。因為求出A的特征根和特征向量后很容易地寫出變量點 協(xié)差陣對應(yīng)的因子載荷矩陣，記為F。則這樣，利用關(guān)系式ZUtZUt也很容易地寫出樣品點協(xié)差陣B對應(yīng)的因子載荷 陣，記為G。則從結(jié)果的展示上，山于A和B具有相同的非零特征根，而這些特征根正是公 共因子的方差，因此可以用相同的因子軸

22、同時表示變量點和樣品點，即把變量點 和樣品點同時反映在具有相同坐標(biāo)軸的因子平面上，以便顯示出變量點和樣品點 之間的相互關(guān)系，并且可以一并考慮進(jìn)行分類分析。（七）典型相關(guān)分析在經(jīng)濟問題中，不僅經(jīng)常需要考察兩個變量之間的相關(guān)程度，而且還經(jīng)常需 要考察多個變量與多個變量之間即兩組變量之間的相關(guān)系。典型相關(guān)分析就是硏 究兩組變量之間相關(guān)程度的一種多元統(tǒng)訃分析方法。典型相關(guān)分析是硏究兩組變量之間相關(guān)關(guān)系的一種統(tǒng)計分析方法。為了研究 兩組變量XXLXpXXLXp和YLYqYLYq之間的相關(guān)關(guān)系，采用類似于主成分分析的方法, 在兩組變量中，分別選取若干有代表性的變量組成有代表性的綜合指數(shù)，通過研 究這兩組變

23、量之間的相關(guān)關(guān)系，來代替這兩組變量之間的相關(guān)關(guān)系，這些綜合指 數(shù)稱為典型變量。此外，多元統(tǒng)計分析方法還有方差分析、偏最小二乘回歸分析、邏輯分析、聯(lián) 合分析等，我們就不做一一介紹了。四、多元統(tǒng)計分析方法的一般步驟與一般統(tǒng)計分析方法一樣，多元統(tǒng)計分析方法也要經(jīng)過建立模型、進(jìn)行參數(shù) 估計、假設(shè)檢驗以及預(yù)測控制等步驟。以經(jīng)濟統(tǒng)計為例，具體步驟是：1、根據(jù)經(jīng)濟理論進(jìn)行定性分析，設(shè)計理論模型；2、對實際經(jīng)濟活動的現(xiàn)象抽取樣本，并取得樣本統(tǒng)計資料；3、對描述樣本的指標(biāo)利用多元統(tǒng)計分析方法進(jìn)行統(tǒng)計分析，選擇最佳的統(tǒng) 計指標(biāo)；4根據(jù)最佳指標(biāo)的樣本數(shù)據(jù)，估計參數(shù)，建立數(shù)量模型模型；五、多元統(tǒng)計分析方法在各個自然領(lǐng)

24、域中的應(yīng)用多元統(tǒng)訃分析是解決實際問題的有效的數(shù)據(jù)處理方法，其應(yīng)用范圉非常廣泛。 多元統(tǒng)計分析方法可以應(yīng)用于地質(zhì)科學(xué).氣象科學(xué)、醫(yī)療衛(wèi)生、體育、語言 學(xué)、 考古學(xué)、教育學(xué)、心理學(xué)以及經(jīng)濟學(xué)、管理學(xué)等各個方面。下面我們以經(jīng)濟 學(xué)和 管理學(xué)為例，了解一下多元分析方法在其中的作用和應(yīng)用的場合與領(lǐng)域：1、 簡化數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。對多個變量進(jìn)行降維處理，選擇數(shù)U較小的變量子集 合。在商業(yè)經(jīng)濟中，為了能夠全面刻畫所硏究對象的數(shù)量特征，往往要調(diào)查多方 面的統(tǒng)計數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)維 數(shù)越多，反映問題越全面，但同時也給數(shù)據(jù)分析帶來困 難。這是句要用降維的方 法將很復(fù)雜的數(shù)據(jù)綜合成商業(yè)指數(shù)形式，處理方法主要 有主成 分分析、因子分

25、析和對應(yīng)分析等。2、 對研究對象進(jìn)行分類與判別。比如根據(jù)各地區(qū)的經(jīng)濟發(fā)展水平、經(jīng)濟發(fā) 展特征對我國各地區(qū)的經(jīng)濟發(fā)展類型進(jìn)行劃分，需要通過反映各地區(qū)經(jīng)濟情況的 多項數(shù)據(jù)測算各地區(qū)經(jīng)濟發(fā)展的相 似度，并以對各地經(jīng)濟類型此進(jìn)行劃分和歸 類。用來處理這一問題的多元統(tǒng)計方 法主要是聚類分析、判別分析等。3、 建立經(jīng)濟模型。經(jīng)濟模型一般是指把經(jīng)濟變量之間的依存關(guān)系通過通過 數(shù)學(xué)表達(dá)形式加以模擬。例如根據(jù)我國兒十年來財政收入與國民收入、工農(nóng)業(yè)總 值、人口、就業(yè)人口、固定投資等相關(guān)因素，利用回歸方法建立預(yù)測模型，對今 后的財政收入進(jìn)行預(yù)測。4、 研究經(jīng)濟現(xiàn)象之間的相互關(guān)系。當(dāng)我們研究兩組變量之間的相關(guān)程度 時，只用簡單直線相關(guān)系數(shù)是不夠的，在多元統(tǒng)計分析中，用典型相關(guān)分 析可以處理兩組變量之間的相關(guān)程度的分析和測算。有一點需要特殊說明，山于現(xiàn)實問題的復(fù)雜性和每種多元分析方法特殊的應(yīng)用 場合和自身的局限性，所以在處理問題時有必要將各種多元分析方法結(jié)合運 用。六、總結(jié)經(jīng)過20世紀(jì)的空前發(fā)展，數(shù)學(xué)的基本理論更加深入和完善，而計算機技術(shù)的 發(fā)展使得數(shù)學(xué)的應(yīng)用更加廣泛和直接，多元統(tǒng)計分析方法已經(jīng)廣泛的應(yīng)用到社 會 科學(xué)和自然科學(xué)的許多領(lǐng)域，尤其在經(jīng)濟方面根是發(fā)揮了巨大的作用。通過本文 的描述可以使大家簡單了解