動(dòng)力學(xué)方程拉格朗日方程

1、1.3拉格朗日方程為了得到廣義坐標(biāo)表示的完整力學(xué)系的動(dòng)力學(xué)方程拉格朗日方程，需要先導(dǎo)出達(dá)朗伯一拉格朗日方程。設(shè)受完整約束的力學(xué)體系有個(gè)質(zhì)點(diǎn)，體系中每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)都 服從如下形式的牛頓運(yùn)動(dòng)定律，設(shè)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)受主動(dòng)力，受約束 反力，則一、達(dá)朗伯一拉格朗日方程,f = 1, 2, A , nm娛左I# + 點(diǎn)=0, i 1,2, A , m-mfi :稱(chēng)為達(dá)朗伯慣性力或稱(chēng)有效力注意：這個(gè)達(dá)朗伯慣性力與力學(xué)中定義過(guò)的慣性力不是一個(gè)概念, 那里的慣性力是對(duì)某一非慣性系而言的，而上式中各質(zhì)點(diǎn)的0 并不相等，所以這里并不存在一個(gè)統(tǒng)一的非慣性系。以5#點(diǎn)乘上式后,再對(duì)i取和，得立（_“跖月+左）.龍=0i=l理想

2、約束條件下：i=l則（-舲月）.我=01=1這是達(dá)朗伯原理與虛功原理的結(jié)令，稱(chēng)為達(dá)朗伯 拉格朗日方程，申于存在約束，各F并不彼此獨(dú)立，因此 不能令上式中前面的所有乘式都等于零，否則就成為自由質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程了?；拘问降睦窭嗜辗匠态F(xiàn)在我倫從達(dá)朗伯一拉格朗日方程出發(fā)，把各并不彼此 獨(dú)立的坐標(biāo)F用各彼此獨(dú)立的廣義坐標(biāo)么（0 = 1,2,A ,s） 重新表述，從而導(dǎo)出適用于受理想約束的完整力學(xué)系所遵守的 動(dòng)力學(xué)方程一拉格朗日方程。設(shè)個(gè)質(zhì)點(diǎn)受k個(gè)約束，固是完整約束，體系的自由度數(shù) 應(yīng)為s=3nk。以廣義坐標(biāo)E表出斥=斥（務(wù)，弘，人，么,。丄學(xué)呵+搭仏+人+學(xué)仏二乞dQi 2。么仁6qa代入達(dá)朗伯一

3、拉格朗日方程（-加黔月）龍尹仏=00=1 Qa上式中的兩個(gè)取和號(hào)互不相關(guān)，故可以互易，則角 8 Qan p P） pQ嚴(yán)2町字 （廣義力） 心i6 qa則乞（-化+a）軌=。oc=因各勿a互相獨(dú)立，所以P=Qa3=丈“.辱北Qa=-S;=1 O Qa/5 Qa改寫(xiě)a = “摩#= “佟里“ F Q器 8Qa 翦灣、a o = 1, 2, A , $這就是著名的拉格朗日方程，也稱(chēng)基本形式的拉格朗日方程（或稱(chēng)第二類(lèi)拉格朗日方程）。其中廣義坐標(biāo)=g/t）, 所以上式是以r為自變量的廣義坐標(biāo)張的S個(gè)二階常微分方程組。只要我們能寫(xiě)出以為變量時(shí)體系的動(dòng)能T和廣義力01，02,，2,就可以代入上式，從而得到

4、體系的動(dòng)力學(xué) 方程組，再求解，就可得到體系的運(yùn)動(dòng)方程。三、廣義動(dòng)量與廣義力的計(jì)算對(duì)于單個(gè)質(zhì)點(diǎn)來(lái)說(shuō)，動(dòng)能對(duì)某速度分量的導(dǎo)數(shù)是對(duì)應(yīng)的動(dòng)量分量dT) = mu人少乙dT與此類(lèi)比，可以定義廣義動(dòng)量Pq為再二Pa JI)三IMS注意：廣義動(dòng)量可以是線(xiàn)動(dòng)量，也可以是角動(dòng)量等等, 視廣義坐標(biāo)的選擇而定。而廣義力：Qa = 石丄口 QaklFj廣義力可以是力，也可以是力矩等，視廣義坐標(biāo)的選擇而 定。計(jì)算廣義力的方法可以有兩種：一種方法是從上定義式直 接計(jì)算，另一種方法是從主動(dòng)力所作的虛功來(lái)計(jì)算。1、從主動(dòng)力所作的虛功來(lái)計(jì)算SaZ-1=1 V A1 弘丿a-如求01,令8q2=8q3=. = 8q=,則甲=（亍

5、犬我）1=1=01 岡 1（秋須）i=lS 纟2 =3=5 纟$=求任一廣義力Qa =Ma（茁我）i=l2、從定義式直接計(jì)算i=l5 qp 09 0=1,2，A ,Ma例3計(jì)算一自由質(zhì)點(diǎn)取 平面極坐標(biāo)的廣義力。用兩種方法。解方法一:求Q尸與Qe設(shè)質(zhì)點(diǎn)P受力，廣義坐標(biāo) qx=r, q2=0。與此兩 廣義坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的廣義力為從定義式計(jì)算。將定義式用于極坐標(biāo)，因粒子數(shù)n = b則d F Jo又因 x= r cosft y=r sin0加in。井d y=Fx cos& + Fy sind = Fr可見(jiàn)廣義力的徑向分量就是的徑向分量，說(shuō)明0是一個(gè)力。另外存5,=rcosd*務(wù)耳d xd3=r(-Fx si

6、n & + Fy cos &)上式括號(hào)中的第一項(xiàng)為蚣 在方向的投影，第二項(xiàng)是竹在J方向的投影。所以?xún)烧咧途褪钦г趛方向的投影因此Qe=rFe （力矩）可見(jiàn)廣義力的橫向分量Qe是力矩。方法二：從主動(dòng)力 所作的虛功來(lái)計(jì)算8 x = -rsin0 6 0 + cos0 36 y = rcosO30 + sin0S r8Wr = Qr5 rSO =0=（*5卩）Fx5x+FyS y）遠(yuǎn)。Qr5 r Fx cos 0 5 r + Fy sin 0 5 rSW則 Q = l = p cos + F sin = Fvro r5WeQe5 0=(&=o= (Fx3xFy3y)0嚴(yán)SO=rFe兩種方法的結(jié)果一

7、致=rFx sin + Fy cos339 rFe39四、保守力學(xué)系的拉格朗日方程實(shí)際上，在很多情況下我們僅遇見(jiàn)保守力學(xué)系。對(duì)于保守力學(xué)系，存在勢(shì)能則對(duì)任一個(gè)質(zhì)點(diǎn)有V V（xvyvzvx2,y2,z2A ，兒，乙）d P d P 5 P 1 +1 +k 5 x. 5 %5 g分量式為i-. 2,A現(xiàn)在把廣義力與勢(shì)能函數(shù)連系起來(lái)n空耳+空血+空生1=_dvdQaoc . 2, A , s代入基本形式的拉格朗日方程，貝!Ia = 1,2, A 朋6Z = 12 A，s注意：一般勢(shì)能函數(shù)不顯含時(shí)間和速度變量，即V=V (xp yv zP xw, y n9 zj =V qv q s)av=o令 JL=

8、TV ,則dL _ d(T-V)dL _d(T-V) _ dT dVaaa代入最頂上一式：d 6L、=0, a = 1,2, A , sdt我丿7 7 7 7dQaL=T-V叫拉格朗日函數(shù)。一般厶是廣義坐標(biāo)，廣義速度 和時(shí)間的函數(shù)。即Q =厶,%4 4；奔務(wù)A，農(nóng);）簡(jiǎn)記為L(zhǎng) 爲(wèi)，t)而暢矚= Pa 仍是廣義動(dòng)量。A( dLy叭殘丿dq 0, a = 1,2, A , s這就是受理想約束的完整系在保守力作用下的拉格朗日 方程。因?yàn)橛玫幂^多，就直接稱(chēng)它為拉格朗日方程。當(dāng)取廣 義坐標(biāo)和廣義速度為獨(dú)立變量時(shí)，只要知道了 I,就可以求 出所滿(mǎn)足的動(dòng)力學(xué)方程，從而可求出體系的全部力學(xué)性質(zhì)。 因此，我們說(shuō)

9、：取廣義坐標(biāo)和廣義速度為變量時(shí)，拉格朗日 函數(shù)I是力學(xué)體系的一個(gè)特性函數(shù)。五、循環(huán)積分與能量積分拉格朗日方程是S個(gè)二階常微分方程組，我們希望也像牛頓 力學(xué)一樣，若能首先對(duì)微分方程組積分一次，找出某些初積分 （或叫第一積分），使我們對(duì)某些問(wèn)題的求解能簡(jiǎn)便些。在某 些情況下，部分的第一積分容易得到。1、循環(huán)積分一般保守力學(xué)系的拉格朗日函數(shù)是全部廣義坐標(biāo)和 廣義速度（廣義動(dòng)量）及時(shí)間t的函數(shù)，即L = L（q、，q2,A，么;做夠,A，釦）若込中不顯含某一廣義坐標(biāo)盯，則稱(chēng)你為循環(huán)坐標(biāo) （也叫可遺坐標(biāo)）。這時(shí)有=0dL代入拉格朗日方程=卩廠預(yù)“旦量=0=0可見(jiàn)，當(dāng)0函數(shù)中丕含去廣義坐標(biāo)盯時(shí)，這個(gè)盯即循

10、環(huán)坐標(biāo)所對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量Pj就是守恒量，稱(chēng)為循環(huán)積分。=0=0這表明，對(duì)任一循環(huán)坐標(biāo)，都對(duì)應(yīng)有一個(gè)循環(huán)積分。例4求一自由質(zhì)點(diǎn)在有心力場(chǎng)中的循環(huán)積分。解：設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為加，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)質(zhì)點(diǎn)，故 自由質(zhì)點(diǎn)只受有心力作用時(shí)，作平面曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)， 所以$=2，取極坐標(biāo)（r, 0）為廣義坐標(biāo)，則有=mt)2十(&+V = -L = T_V =丄加（嫂+尸於）+也=乙（廠，洋的2r可見(jiàn)I函數(shù)中不含0,所以&是循環(huán)坐標(biāo)，則Pe =餘=恒量亠幾二加廠2=恒量2、能量積分體系是否能量守恒的問(wèn)題。由拉格朗日方程得到能量積分 需要一定的條件。(1) 若個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的受理想約束的完整系只受保守力作用， 稱(chēng)為完整的保守的力學(xué)體

11、系。設(shè)其自由度數(shù)為S,先求 體系以%、皚表示的動(dòng)能式。因所以E二附 42,A 膽盈 + 嚴(yán)=1,2,A ,)卻 dqadt則體系的動(dòng)能 T = 吉乞(腫2 i=iT = mi(2=t4t乙 i=l乙 i=l a占工厶 i=lcc=l0=1i=l亠2 厶a=l0=1s (+a=l i=l5 Qa 5 Q/3心丄2 71a=l(n%)gm=-X Ymi-工工就云嚴(yán)+壯c 厶厶 1 dqa dqp)須丫L = a 5t J一1 sS、1則T =三乞a卯碗聲+藝Q懐盈+刁Q2 q=ia=厶Q=1上式中的丁2、爲(wèi)和幾分別是廣義速度的二次、_次、零次函數(shù)。 其中、%、都仍崑廣義坐標(biāo) 3=1，乙：嚴(yán) 各 函

12、數(shù)，有時(shí)不顯備，眉仍是插燧函數(shù)，不然就不會(huì)出現(xiàn)翦了。爲(wèi)+7+%、葉、葉1T = 3工卩蕊鈣+工轆+齊 a=la=l乙0=1對(duì)保守系的拉格朗日方程兩邊乘起，再對(duì)a求和，得cc= Woeoc= Woe魏-E丿 a-d dTdt。鳶d ar# 代入上式，得dTdT 、藥務(wù)+瓦 7銘=-工dv（2）對(duì)于穩(wěn)定約束，而且丁、V不顯含r的完整保守力學(xué)系 的分析。對(duì)穩(wěn)定約束,么,人，么）= 話(huà)。宀宀1T = 3工a卯愿郵+工愿+寸 =T2 +Tl +T a=la=l，0=1aa=u = o i T = T2先應(yīng)用一個(gè)結(jié)論（后面證明）：因V中不顯含f7,盈=-工效殘丿dTdtSEcc=z av qadVdtg)

13、_史udrdt dt空+吐=0dt dtT+卩=E=恒量這就是力學(xué)體系的能量積分?？梢?jiàn)拉格朗日方程具有能量積分的條件是：受穩(wěn)定 的理想約束的完整系，只受保守力而且7； V中不顯含f, 這時(shí)體系的能量守恒。(3) 對(duì)于完整的保守的力學(xué)體系，受不穩(wěn)定約束而且7； V 中不顯含rlt況的分析。這時(shí) E =A y), T = 7；+7 +7；dTs-E7 a s4+簽5幺矚 纟矚 幺喝 匚禺a(chǎn)-a-l=27；+7+0dVdt-(T2-To +V) = 0T2-T0+V=h=恒量at下面證明SEadT2議二Mi琳+“2i夠+ A +%夠+ A +知拗昇+（12矽+“22衣+ A +勺2夠+ A +乞2衣磁+ak +A A