chap微分幾何實(shí)用PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1chap微分幾何實(shí)用微分幾何實(shí)用返回章首第1頁/共39頁2,1d d,ijiji jgu uI2,1d d.ijiji jhu uII返回章首第2頁/共39頁d d,ijijgu uId d.ijijhu uII 以后我們采用愛因斯坦求和約定，也就以后我們采用愛因斯坦求和約定，也就是上下重復(fù)的指標(biāo)表示從是上下重復(fù)的指標(biāo)表示從 1 到到 2 求和求和，如，如返回章首第3頁/共39頁11112111221222122gggggggg11122122,ggggg11222,gGggEGF12212,FggEGF 22112.gEggEGF令令則由線性代數(shù)的知識(shí)可知?jiǎng)t由線性代數(shù)的知識(shí)可知返回章

2、首第4頁/共39頁1,2jlijkklilijjilgggguuu 顯然，克氏符號(hào)關(guān)于下標(biāo)是對(duì)稱的，顯然，克氏符號(hào)關(guān)于下標(biāo)是對(duì)稱的，即即.kkijji 我們稱之為曲面的（第二類）我們稱之為曲面的（第二類）克里斯托克里斯托斐爾符號(hào)斐爾符號(hào)，簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱克氏符號(hào)克氏符號(hào)設(shè)設(shè)返回章首第5頁/共39頁1112(2),2()uuvGEFFEEGF2112(2),2()uvuEFEFEEGF1112212,2()vuGEFGEGF 2212212,2()uvEGFEEGF 1222(2),2()vuvGFGFGEGF2222(2).2()vvuEGFFGEGF曲面曲面 S: r = r(u,v) 的克氏符號(hào)總

3、共有的克氏符號(hào)總共有 8 個(gè)，但由于它們關(guān)于下標(biāo)是對(duì)稱的，所個(gè)，但由于它們關(guān)于下標(biāo)是對(duì)稱的，所以只有以只有 6 個(gè)是獨(dú)立的采用過去的記號(hào)個(gè)是獨(dú)立的采用過去的記號(hào)，這些克氏符號(hào)表示為，這些克氏符號(hào)表示為返回章首第6頁/共39頁注意，克氏符號(hào)的這些表達(dá)式非常復(fù)雜注意，克氏符號(hào)的這些表達(dá)式非常復(fù)雜，大家只需了解，不必記憶，大家只需了解，不必記憶當(dāng)取正交參數(shù)網(wǎng)時(shí)當(dāng)取正交參數(shù)網(wǎng)時(shí)（F = 0），有，有111,2uEE111221,2vEE 122,2uGE 211,2vEG 221221,2uGG 222.2vGG返回章首第7頁/共39頁上面的第一式稱為上面的第一式稱為高斯公式高斯公式，第二式稱，第二式

4、稱為為WeingartenWeingarten公式公式這兩個(gè)公式叫曲面這兩個(gè)公式叫曲面的的基本公式基本公式定理定理. . （曲面的基本公式曲面的基本公式）設(shè)設(shè) S: r = r(u1,u2) 是是 R3 的正則曲面，則的正則曲面，則,kijij kijkjiikjhg h rrnnr, =1,2.i j返回章首第8頁/共39頁112,LGMFAEGF212,LFMEAEGF122,NFMGAEGF222.NEMFAEGF3. 設(shè)設(shè),jjkikjAg h證明證明: 計(jì)算曲面的克氏符號(hào)計(jì)算曲面的克氏符號(hào) 222222ddd,()uvsuvC2如果曲面的第一基本形式是如果曲面的第一基本形式是1計(jì)算曲

5、面計(jì)算曲面 z = f (x,y) 的克里斯托斐耳記號(hào)的克里斯托斐耳記號(hào)返回章首第9頁/共39頁如果用如果用 tr A 表示矩陣表示矩陣 A 的主對(duì)角線元素之的主對(duì)角線元素之和，和， det A 表示表示 A 的行列式，則的行列式，則H = (tr A)，K = det A 12111222,AAAAA4. 記記返回章首第10頁/共39頁定理定理. . 黎曼曲率張量滿足：黎曼曲率張量滿足：（1）Rlijk = Rlikj，Rlijk + Rljki + Rlkij = 0；（2）Rijkl = Rijlk，Rijkl + Riklj + Riljk = 0，（3）Rijkl = Rjikl，R

6、ijkl = Rklij通過直接驗(yàn)證，可得通過直接驗(yàn)證，可得我們將我們將 Rlijk 和和 Rijkl 都叫曲面的都叫曲面的黎曼曲率張量黎曼曲率張量,llijlplplikijkijpkikpjkjRuu 設(shè)設(shè) .lmijkmlijkRg R返回章首第11頁/共39頁高斯方程和科達(dá)齊方程叫曲面的高斯方程和科達(dá)齊方程叫曲面的基本方基本方程程科達(dá)齊方科達(dá)齊方程程：.ijllikikljijlkkjhhhhuu 高斯方程高斯方程：Rmijk = hijhmk hikhmj.定理定理. . 我們有我們有返回章首第12頁/共39頁g = g11g22 (g12)2.返回章首第13頁/共39頁特別地，如果

7、特別地，如果 E = 1，則，則1212,uuRGG/.uuKGG 對(duì)對(duì) R3 中的曲面，如果我們?nèi)≌粎?shù)，則中的曲面，如果我們?nèi)≌粎?shù)，則有有1212()(),vuvuEGREGGE()()1.vuvuEGKEGGE 返回章首第14頁/共39頁返回章首第15頁/共39頁返回章首第16頁/共39頁CSPa ae en則則 a a、e e、n 是曲線是曲線 C 上彼此正交的單位上彼此正交的單位向量，并且構(gòu)成一右向量，并且構(gòu)成一右手系手系命命 e e = na a n 是曲面是曲面 S 在在 P 點(diǎn)的單位法向量點(diǎn)的單位法向量，a a 是是 C 在在 P 點(diǎn)的單位切向量點(diǎn)的單位切向量，我們要考慮

8、的新標(biāo)架就是我們要考慮的新標(biāo)架就是 P ; a a, e e, n 返回章首第17頁/共39頁返回章首第18頁/共39頁dcossin ,duvgggs1ln,2ugEvG 1ln.2vgGuE其中其中 是曲線是曲線 C 與與 u -曲線的夾角曲線的夾角定理定理. . 當(dāng)取正交坐標(biāo)網(wǎng)時(shí)，曲面曲線當(dāng)取正交坐標(biāo)網(wǎng)時(shí)，曲面曲線 C 的測(cè)地曲率為的測(cè)地曲率為 u -曲線與曲線與 v -曲線的測(cè)地曲率分別為曲線的測(cè)地曲率分別為返回章首第19頁/共39頁返回章首第20頁/共39頁平面與球面的交線平面與球面的交線) )一定是測(cè)一定是測(cè)地線，這是因?yàn)榇髨A的主法線地線，這是因?yàn)榇髨A的主法線重合于球面的法線重合于

9、球面的法線返回章首第21頁/共39頁定理定理. . 對(duì)任意一點(diǎn)對(duì)任意一點(diǎn) PS 和任意一個(gè)和任意一個(gè)單位切向量單位切向量 vTPS，存在正數(shù)存在正數(shù) e e 和唯和唯一一條測(cè)地線一一條測(cè)地線 g gv(s)，s(e e, e e)，滿足滿足 g gv(0) = P, g gv (0) = v， 并且并且 g gv(s) 光滑地光滑地依賴于依賴于 s、P、v，而且而且 s 是是 g gv 的弧長(zhǎng)的弧長(zhǎng)參數(shù)參數(shù)由常微分方程理論得：由常微分方程理論得：22ddd0,dddkijkijuuusss1,2.k 測(cè)地線的方程為測(cè)地線的方程為返回章首第22頁/共39頁返回章首第23頁/共39頁返回章首第24

10、頁/共39頁。g av e(v) P g (v)返回章首第25頁/共39頁返回章首第26頁/共39頁RQ返回章首第27頁/共39頁如果區(qū)域如果區(qū)域 G 是一整塊，里面沒有洞，是一整塊，里面沒有洞，也沒有縫隙，則稱區(qū)域也沒有縫隙，則稱區(qū)域 G 是是單連通單連通的的單連通區(qū)域單連通區(qū)域不是單連通區(qū)域不是單連通區(qū)域返回章首第28頁/共39頁其中其中 a ai 是是 G 的第的第 i 個(gè)內(nèi)角的角度個(gè)內(nèi)角的角度，p p a ai 是第是第 i 個(gè)外角的角度個(gè)外角的角度1dd()2 ,kgiGGiKsa 定理定理. . 如果如果 G 是單連通的，則有是單連通的，則有高斯高斯- -波波涅公式涅公式：曲面曲面

11、 S 上的區(qū)域上的區(qū)域 G 的邊界記為的邊界記為 G，高，高斯曲率記為斯曲率記為 K，G 的測(cè)地曲率記為的測(cè)地曲率記為 g，曲面的面積元素和弧長(zhǎng)元素分別記為曲面的面積元素和弧長(zhǎng)元素分別記為 d 和和 ds返回章首第29頁/共39頁SGGaia2a1GG返回章首第30頁/共39頁其中其中 S(D D) = a a1 + a a2 + a a3 表示表示 D D 的三內(nèi)角之的三內(nèi)角之和和d( ), GKSD 如果如果 G 是一個(gè)測(cè)地三角形是一個(gè)測(cè)地三角形 D D，即三條即三條測(cè)地線所圍成的三角形，則有測(cè)地線所圍成的三角形，則有 1d()2;kiGiKa如果如果 G 是由測(cè)地線段組成，則有是由測(cè)地線

12、段組成，則有dd2;gGGKs 如果如果 G 是一條光滑曲線，則有是一條光滑曲線，則有返回章首第31頁/共39頁2計(jì)算測(cè)地曲率在一般參數(shù)下的計(jì)算公式計(jì)算測(cè)地曲率在一般參數(shù)下的計(jì)算公式arctandddd .dgvGsGvuu1.證明：如果曲面證明：如果曲面 S: r = r(u,v) 的第一基本的第一基本形式為形式為 I = du2 + Gdv2，則曲面上的曲線，則曲面上的曲線 C 的測(cè)地曲率滿足的測(cè)地曲率滿足返回章首第32頁/共39頁返回章首第33頁/共39頁C 是是|r(t)| 是是常數(shù)常數(shù) 返回章首第34頁/共39頁返回章首第35頁/共39頁7證明測(cè)地?fù)下蕿樽C明測(cè)地?fù)下蕿?222dddddd dd1.gvuvussssEFGEGFLMN6證明測(cè)地曲率為證明測(cè)地