7-5-1-組合的基本應(yīng)用(一).教師版(共7頁)

1、7-5-1.組合的基本應(yīng)用（一）教學(xué)目標1.使學(xué)生正確理解組合的意義；正確區(qū)分排列、組合問題；2.了解組合數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的組合；3.掌握組合的計算公式以及組合數(shù)與排列數(shù)之間的關(guān)系；4.會分析與數(shù)字有關(guān)的計數(shù)問題，以及與其他專題的綜合運用，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力；通過本講的學(xué)習(xí)，對組合的一些計數(shù)問題進行歸納總結(jié)，重點掌握組合的聯(lián)系和區(qū)別，并掌握一些組合技巧，如排除法、插板法等知識要點一、組合問題日常生活中有很多“分組”問題如在體育比賽中，把參賽隊分為幾個組，從全班同學(xué)中選出幾人參加某項活動等等這種“分組”問題，就是我們將要討論的組合問題，這里，我們將著重研究有

2、多少種分組方法的問題一般地，從個不同元素中取出個()元素組成一組不計較組內(nèi)各元素的次序，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合 從排列和組合的定義可以知道，排列與元素的順序有關(guān)，而組合與順序無關(guān)如果兩個組合中的元素完全相同，那么不管元素的順序如何，都是相同的組合，只有當兩個組合中的元素不完全相同時，才是不同的組合從個不同元素中取出個元素()的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個不同元素的組合數(shù)記作一般地，求從個不同元素中取出的個元素的排列數(shù)可分成以下兩步：第一步：從個不同元素中取出個元素組成一組，共有種方法；第二步：將每一個組合中的個元素進行全排列，共有種排法根據(jù)乘法原理，得到因此，組合數(shù)

3、這個公式就是組合數(shù)公式二、組合數(shù)的重要性質(zhì)一般地，組合數(shù)有下面的重要性質(zhì)：()這個公式的直觀意義是：表示從個元素中取出個元素組成一組的所有分組方法表示從個元素中取出()個元素組成一組的所有分組方法顯然，從個元素中選出個元素的分組方法恰是從個元素中選個元素剩下的()個元素的分組方法例如，從人中選人開會的方法和從人中選出人不去開會的方法是一樣多的，即規(guī)定，例題精講模塊一、組合之計算問題【例 1】 計算： ，； ， 【考點】組合之基本運用 【難度】1星 【題型】解答 【解析】 ， ，【小結(jié)】注意到上面的結(jié)果中，有，【答案】 ， ，【例 2】 計算： ； ； 【考點】組合之基本運用 【難度】1星 【題

4、型】解答 【解析】 ； ； 【答案】 【鞏固】 計算： ； ； 【考點】組合之基本運用 【難度】1星 【題型】解答 【解析】 【答案】 模塊二、組合之體育比賽中的數(shù)學(xué)【例 3】 某校舉行排球單循環(huán)賽，有個隊參加問：共需要進行多少場比賽？ 【考點】組合之基本運用 【難度】1星 【題型】解答 【解析】 因為比賽是單循環(huán)制的，所以，個隊中的每兩個隊都要進行一場比賽，并且比賽的場次只與兩個隊的選取有關(guān)而與兩個隊選出的順序無關(guān)所以，這是一個在個隊中取個隊的組合問題由組合數(shù)公式知，共需進行(場)比賽【答案】【鞏固】 芳草地小學(xué)舉行足球單循環(huán)賽，有個隊參加問：共需要進行多少場比賽？ 【考點】組合之基本運用

5、【難度】1星 【題型】解答 【解析】 由組合數(shù)公式知，共需進行(場)比賽【答案】【例 4】 六個人傳球，每兩人之間至多傳一次，那么最多共進行 次傳球【考點】組合之基本運用 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，三年級，初賽，7題【解析】 本題是一道比賽場數(shù)計數(shù)問題，“每兩個人之間至多傳一次”，讓6個人最多次地傳球，則是5432115（次）.但要看是否可以傳回去，在傳遞過程中兩人是否重復(fù).15條線，代表傳球15次，根據(jù)一筆畫問題，行不通，應(yīng)減少奇數(shù)點的個數(shù)，共有6個奇數(shù)點，應(yīng)該去掉兩條直線，也就是去掉4個奇數(shù)點，還剩下2個奇數(shù)點，就可以傳遞回來了.所以答案為54321213（次）.【答案】

6、次【例 5】 一批象棋棋手進行循環(huán)賽，每人都與其他所有的人賽一場，根據(jù)積分決出冠軍，循環(huán)賽共要進行78場，那么共有多少人參加循環(huán)賽？【考點】組合之基本運用 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 從若干人中選出人比賽，與選出的先后順序無關(guān)，這是一個組合問題依題意，假設(shè)有個人參加循環(huán)賽，應(yīng)該有，所以，所以，即一共有人參加循環(huán)賽【答案】【例 6】 某校舉行男生乒乓球比賽，比賽分成3個階段進行，第一階段：將參加比賽的48名選手分成8個小組，每組6人，分別進行單循環(huán)賽；第二階段：將8個小組產(chǎn)生的前2名共16人再分成個小組，每組人，分別進行單循環(huán)賽；第三階段：由4個小組產(chǎn)生的個第名進行場半決賽和場決賽，確

7、定至名的名次問：整個賽程一共需要進行多少場比賽？ 【考點】組合之基本運用 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 第一階段中，每個小組內(nèi)部的個人每人要賽一場，組內(nèi)賽場，共個小組，有場；第二階段中，每個小組內(nèi)部人中每人賽一場，組內(nèi)賽場，共個小組，有場；第三階段賽場根據(jù)加法原理，整個賽程一共有場比賽【答案】【例 7】 有8個隊參加比賽，采用如下圖所示的淘汰制方式問在比賽前抽簽時，可以得到多少種實質(zhì)不同的比賽安排表？ 【考點】組合之基本運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 (法1)先選4人，再考慮組合的方法8選4有種組合，其中實質(zhì)不同的有一半，即種；對每一邊的4個人，共有實質(zhì)性不同的種，所以，可

8、以得到種實質(zhì)不同的比賽安排表(法2)先考慮所有情況，再考慮重復(fù)情況首先是考慮到實質(zhì)相同：1、2；3、4；5、6；7、8；一、二；三、四；、，以上7組均可交換，即每一種實際上重復(fù)計算了次，答案為：【答案】模塊三、組合之數(shù)字問題【例 8】 從分別寫有、的五張卡片中任取兩張，做成一道兩個一位數(shù)的乘法題，問： 有多少個不同的乘積？ 有多少個不同的乘法算式？ 【考點】組合之基本運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 要考慮有多少個不同乘積由于只要從張卡片中取兩張，就可以得到一個乘積，所以，有多少個乘積只與所取的卡片有關(guān)，而與卡片取出的順序無關(guān)，所以這是一個組合問題由組合數(shù)公式，共有(個)不同的乘積

9、要考慮有多少個不同的乘法算式，它不僅與兩張卡片上的數(shù)字有關(guān)，而且與取到兩張卡片的順序有關(guān)，所以這是一個排列問題由排列數(shù)公式，共有(種)不同的乘法算式【答案】 【鞏固】 9、8、7、6、5、4、3、2、1、0這10個數(shù)字中劃去7個數(shù)字，一共有多少種方法？ 【考點】組合之基本運用 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 相當于在10個數(shù)字選出7個劃去，一共有10987654（7654321）=1098（321）=120種【答案】120【鞏固】 從分別寫有、的八張卡片中任取兩張，做成一道兩個一位數(shù)的加法題，有多少種不同的和？ 【考點】組合之基本運用 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 (種)【答案】

10、【例 9】 有紅、黃、藍、綠四種顏色的卡片各5張，且每種顏色的卡片上分別標有1，2，3，4，5，從這些卡片中取出5張，要求1、2、3、4、5各一張，但四種顏色都要有，求共有_種取法？【考點】組合之基本運用 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，4年級，第14題【解析】 四種顏色都有，則有兩個數(shù)是同一種顏色即可，其它三個數(shù)字和三種顏色一一對應(yīng)。種【答案】240種【例 10】 在中任意取出兩個不同的數(shù)相加，其和是偶數(shù)的共有多少種不同的取法？ 【考點】組合之基本運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 兩個數(shù)的和是偶數(shù)，通過前面剛剛學(xué)過的奇偶分析法，這兩個數(shù)必然同是奇數(shù)或同是偶數(shù)，而取出的

11、兩個數(shù)與順序無關(guān)，所以是組合問題從個偶數(shù)中取出個，有(種)取法；從個奇數(shù)中取出個，也有(種)取法根據(jù)加法原理，一共有(種)不同的取法【小結(jié)】在本題中，對兩個數(shù)的和限定了條件不妨對這個條件進行分類，如把和為偶數(shù)分成兩奇數(shù)相加或兩偶數(shù)相加這樣可以把問題簡化【答案】【鞏固】 從、這個數(shù)中，選取兩個不同的數(shù)，使其和為偶數(shù)的選法總數(shù)是多少？ 【考點】組合之基本運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 、中有個奇數(shù)，個偶數(shù)，從個數(shù)中任取個數(shù)的方法有：(種)，所以選法總數(shù)有：(種)【答案】【例 11】 一個盒子裝有個編號依次為，的球，從中摸出個球，使它們的編號之和為奇數(shù)，則不同的摸法種數(shù)是多少？ 【考點】

12、組合之基本運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 個編號中奇偶，要使個球的編號之和為奇數(shù)，有以下三種情形： 奇偶，這時對奇數(shù)只有種選擇，對偶數(shù)有種選擇由乘法原理，有(種)選擇； 奇偶，這時對奇數(shù)有(種)選擇，對偶數(shù)也有(種)選擇由乘法原理，有(種)選擇； 奇偶，這時對奇數(shù)有種選擇，對偶數(shù)只有種選擇由乘法原理， 有(種)選擇由加法原理，不同的摸法有(種)【答案】 【例 12】 用2個1，2個2，2個3可以組成多少個互不相同的六位數(shù)？用個，個，個可以組成多少個互不相同的六位數(shù)？ 【考點】組合之基本運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 先考慮在個數(shù)位上選個數(shù)位放，這兩個的順序無所謂，故是組

13、合問題，有(種)選法；再從剩下的個數(shù)位上選個放，有(種)選法；剩下的個數(shù)位放，只有種選法由乘法原理，這樣的六位數(shù)有(個)在前一問的情況下組成的個六位數(shù)中，首位是、的各個如果將全部換成，這個首位是的數(shù)將不是六位數(shù)，所以可以組成互不相同的六位數(shù)(個)【答案】【例 13】 從，中任取三個數(shù)字，從，中任取兩個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，一共可以組成多少個數(shù)？ 【考點】組合之基本運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 整個過程可以分三步完成：第一步，從，中任取三個數(shù)字，這是一個組合問題，有種方法；第二步，從，中任取兩個數(shù)字，也是一個組合問題，有種方法；第三步，用取出的個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位

14、數(shù)，有種方法所以總的個數(shù)為：（個）【答案】【例 14】 從、這七個數(shù)字中，任取3個組成三位數(shù)，共可組成多少個不同的三位數(shù)？（這里每個數(shù)字只允許用次，比如100、210就是可以組成的，而211就是不可以組成的）【考點】組合之基本運用 【難度】1星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】陳省身杯，五年級【解析】 若三位數(shù)不含有，有（個），若含有一個，有（個），若含有兩個，有（個），所以共有（個）【答案】【例 15】 用2個1，2個2，2個3可以組成多少個互不相同的六位數(shù)？用2個0，2個1，2個2可以組成多少個互不相同的六位數(shù)？ 【考點】組合之基本運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 先考慮在6個數(shù)位上選2個數(shù)位放1，這兩個1的順序無所謂，故是組合問題有種選法；再從剩下的4個數(shù)位上選2個放2，有種選法；剩下的2個數(shù)位放3，只有1種選法由乘法原理，這樣的六位數(shù)有個在前一問的情況下組成的90個六位數(shù)中，首位是1、2、3的各30個如果將3全部換成0，這30個首位是0的數(shù)將不